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108 Chapitre 4. Techniques multi-utilisateursMultiplicateurs de Lagrange On a donc montré que les précodeurs optimauxsont des vecteurs propres maximaux des décompositions en éléments propres généraliséesdonnées par l’équation (4.21). Cependant, pour obtenir ω j il faut connaître lesmultiplicateurs de Lagrange λ k , avec k ≠ j, de façon à pouvoir calculer la matriceR INTj . On remarque que les matrices R j et ˜R k dépendent aussi des précodeurs, maison les considère connues pour l’instant. Leurs valeurs seront calculées dans la suite,donnant la voie à une procédure itérative. Intéressons-nous, d’abord, à l’obtentiondes multiplicateurs de Lagrange optimaux. Pour cela, on dérive J cBER par rapportaux puissances p j pour obtenir∂J cBERU∑ ∂ ( ⎧ (p u ω H u=ω )√Nsu ) ⎫U∑ ⎨∂ Q γuu (b) ⎬+ λ u E∂p j ∂pu=1 j ⎩ ∂pu=1j ⎭= ∂ ( ) { (√p j ω H j ω j ∂ Q Nsj γ j (b) ) }+ λ j E+∂p j∂p(4.22)j⎧ ( √Nsk ) ⎫U∑ ⎨∂ Q γ k (b) ⎬λ k E⎩ ∂p j ⎭ .k=1k≠j( √Nsu )De façon analogue aux dérivées de Q γ u (b) par rapport à ω u et ω i ,( √Nsu )données par l’équation (4.15), on peut écrire les dérivées de Q γ u (b) parrapport à p u et p i commedQ( √ N su γ u (b) )= dQ(√ N su γ u (b) )dp u dγ u (b)dQ( √ N su γ u (b) )= dQ(√ N su γ u (b) )dp i dγ u (b)= f( γ u (b) )D u (b)dγ u (b)dp u= −f ( γ u (b) ) x u (b) (4.23)dγ u (b)dp iγ u (b)ω i R u (b) ω i , i ≠ u . (4.24)On peut alors réécrire (4.22) comme{∂J cBER= ω H j ω j − λ j E f ( γ j (b) ) }x j (b)∂p j{ ( U∑ f γk (b) )}+ λ k E γ k (b) ω H jD k (b)R k(b)ω j . (4.25)k=1k≠jFinalement, en posant ∂J cBER∂p j= 0, on obtient le système linéaire suivantAλ = b , (4.26)