TH`ESE - Library of Ph.D. Theses | EURASIP
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106 Chapitre 4. Techniques multi-utilisateursrapport à ω j∂J cBERU∑ ∂ ( ⎧ ()√Nsu ) ⎫p u ω H u ω uU∑ ⎨∂ Q γ u (b) ⎬=+ λ u E∂ω j ∂ωu=1 j ⎩ ∂ωu=1j ⎭= ∂ ( p j ω H j ω ) { (√j ∂ Q Nsj γ j (b) ) }+ λ j E+∂ω j∂ω j⎧ ( √NskU∑ ⎨∂ Q γ k (b)λ k E⎩k=1k≠j(4.16)) ⎫⎬∂ω j ⎭ .En rappelant les dérivées données par l’équation (4.15), on peut développer l’équation(4.16) comme∂J cBER∂ω j= 2p j ω j − 2p j λ j E{f(γj (b) )}ω jD j (b) R j(b)U{ (∑ f γk (b) ) }+ 2p j λ k ED k (b) γ k(b)R k (b) ω j . (4.17)k=1k≠jAinsi, en posant ∂J cBER∂ω j= 0, les puissances p j se simplifient et on obtient l’expressionsuivante pour les précodeurs optimaux⎛ ⎞⎜⎝U∑k=1k≠j⎟λ k ˜Rk + I⎠ω j − λ j R j ω j = 0 , (4.18)où{ (f γj (b) ) }R j = ED j (b) R j(b)(4.19)et{ (f γk (b) ) }˜R k = ED k (b) γ k(b)R k (b) . (4.20)En réarrangeant l’équation (4.18) et en posant R INTj= U ∑k=1k≠jλ k ˜Rk + I, on obtientR j ω j − 1 λ jR INTj ω j = 0 . (4.21)
4.3. Critère multi-utilisateurs avec contraintes de TEB 107On remarque que l’équation ( (4.21) ) correspond à une décomposition en élémentspropres généralisée de R j ,R INTj , de façon analogue au critère avec contraintes surle RSIB (DBPC) présenté dans la section 2.7.2, équation (2.23). La différence estque dans le cas présent, les matrices R j et ˜R k sont obtenues à partir d’une moyennepondérée des MCST R u (b), tandis que dans le cas de la solution DBPC on utilise lesmatrices moyennes sans pondération [voir l’équation (2.17)].Dû à la similarité entre la décomposition en éléments propres (4.21), qui provientdu critère avec contraintes de TEB, et celle donnée par (2.23), obtenu selon le critèreavec contraintes de RSIB, il est évident qu’il faut prendre le vecteur propre ω j correspondantà la plus grande valeur propre dans l’équation (4.21), comme il a déjàété prouvé pour la solution DBPC dans la section 2.7.3. Par conséquent, à partirde (4.21), on conclut que ce vecteur propre maximal émettra dans le sous-espacegénéré par la matrice R j et dans le sous-espace nul de R INTj . Si l’on considère quele canal possède des trajets bien définis, on peut dire que ce vecteur propre maximalémet en utilisant les trajets représentés dans la matrice R j tout en évitant ceuxreprésentés dans la matrice R INTj .Quant aux pondérations, on observe que, de façon analogue au cas mono-utilisateur,la matrice de covariance R j correspond( )à la moyenne pondérée des matricesR j (b), dont la pondération vaut f γ j (b)D j. Cette pondération est l’équivalent(b)multi-utilisateurs de la pondération f(γ b)pour le cas mono-utilisateur, comme montreσν2 ( )l’équation (3.70). La signification physique de la pondération f γ j (b)est que, d’unepart, les blocs dont les TEB, approximés par la fonction f ( γ j (b) ) , sont élevés serontplus représentés dans la matrice R j . D’autre part, les blocs pour lesquels l’interférenceest importante, c’est-à-dire que D j (b) est grand, seront moins représentés dans la matriceR j .Ainsi, en bref, la matrice R j sera composée des blocs dont le TEB est mauvaiset, en plus, que ce mauvais TEB ne vient pas de l’interférence, mais de la mauvaiseutilisation du canal de l’utilisateur j. En conséquence, le précodeur optimal tendra às’attaquer plus fortement à ces blocs pour diminuer le TEB de l’utilisateur j, utilisantmieux son canal.La matrice de covariance d’interférence ˜R k est aussi résultat d’une moyennepondérée des matrices R k (b) des utilisateurs k ≠ j. Par contre, la pondérationpossède un terme additionnel γ k (b), qui est le(RSIB ) de l’interféreur k au bloc b.Alors, comme pour la matrice R j , la partie f γ k (b)de la pondération signifie quela matrice ˜R k sera composée des blocs dont le TEB est mauvais dû à la faible puissanceutile reçue. Par contre, le terme γ k (b) tend à compenser l’autre partie de lapondération dans le sens où la matrice ˜R k tiendra compte d’un plus grand nombre deblocs, de façon à représenter mieux le comportement global du canal de l’interférantk. Cela est dû au fait que quand f ( γ k (b) ) est important γ k (b) est petit et vice-versa.Ainsi, le produit f ( γ k (b) ) γ k (b) tend à être plus ou moins constant.D k (b)D j (b)
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106 Chapitre 4. Techniques multi-utilisateursrapport à ω j∂J cBERU∑ ∂ ( ⎧ ()√Nsu ) ⎫p u ω H u ω uU∑ ⎨∂ Q γ u (b) ⎬=+ λ u E∂ω j ∂ωu=1 j ⎩ ∂ωu=1j ⎭= ∂ ( p j ω H j ω ) { (√j ∂ Q Nsj γ j (b) ) }+ λ j E+∂ω j∂ω j⎧ ( √NskU∑ ⎨∂ Q γ k (b)λ k E⎩k=1k≠j(4.16)) ⎫⎬∂ω j ⎭ .En rappelant les dérivées données par l’équation (4.15), on peut développer l’équation(4.16) comme∂J cBER∂ω j= 2p j ω j − 2p j λ j E{f(γj (b) )}ω jD j (b) R j(b)U{ (∑ f γk (b) ) }+ 2p j λ k ED k (b) γ k(b)R k (b) ω j . (4.17)k=1k≠jAinsi, en posant ∂J cBER∂ω j= 0, les puissances p j se simplifient et on obtient l’expressionsuivante pour les précodeurs optimaux⎛ ⎞⎜⎝U∑k=1k≠j⎟λ k ˜Rk + I⎠ω j − λ j R j ω j = 0 , (4.18)où{ (f γj (b) ) }R j = ED j (b) R j(b)(4.19)et{ (f γk (b) ) }˜R k = ED k (b) γ k(b)R k (b) . (4.20)En réarrangeant l’équation (4.18) et en posant R INTj= U ∑k=1k≠jλ k ˜Rk + I, on obtientR j ω j − 1 λ jR INTj ω j = 0 . (4.21)
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