TH`ESE - Library of Ph.D. Theses | EURASIP

4.3. Critère multi-utilisateurs avec contraintes de TEB 105et (3.67), quedQ( √ N su γ u (b) )= dQ(√ N su γ u (b) ) dγ u (b)dω n dγ u (b) dω( nN su= −2 √ 2πN su γ u (b) exp − N s uγ u (b)2} {{)}f(γ u(b))dγ u (b)dω n. (4.9)Pour simplifier l’écriture dans la suite, posons les variables auxiliaires suivantesN u (b) ω H u R u (b)ω u (4.10)U∑D u (b) p j ω H j R u (b)ω j + σ 2 (4.11)j=1j≠ux u (b) N u(b)D u (b) . (4.12)Précodeurs optimaux D’abord, on remarque que l’expression de dérivée dγu(b)dω nvarie selon n = u ou n ≠ u. Intéressons-nous d’abord au cas n = u [ω n intervient aunumérateur de l’équation (4.4)], auquel cas la dérivée vautdγ u (b)dω u= 2p u R u (b) ω uD u (b). (4.13)D’autre part, quand n ≠ u, alors ω n intervient au dénominateur de γ u (b). Il s’agitde ω i et la dérivée est donnée pardγ u (b)dω i= p u N u (b)[− 1D 2 u(b)]2p i R u (b) ω i = −γ u (b) 2p i R u (b) ω iD u (b). (4.14)Finalement, on peut écriredQ( √ N su γ u (b) )= −2 f( γ u (b) )p u R u (b) ω udω u D u (b)dQ( √ N su γ u (b) )= 2 f( γ u (b) )γ u (b)p i R u (b) ω i , i ≠ u .dω i D u (b)(4.15)Pour trouver la solution optimale, dérivons d’abord la fonction coût J cBER par