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92 Chapitre 3. Techniques mono-utilisateurL’équation (3.74) montre par ailleurs que le précodeur optimal ω opt est vecteurpropre de R opt , car à l’optimum on a ∆ω opt = 0, ce qui peut aussi être réécrit commeR opt ω opt − ∥ ∥ Ropt ω opt∥ ∥ ωopt = 0 . (3.75)On voit donc que ω opt est vecteur propre de R opt et la valeur propre vaut‖R opt ω opt ‖. De plus, en rappelant l’équation (3.71), on en conclut que ω opt est vecteurpropre associé à la valeur propre maximale de R opt , vu que (3.71) correspond àune itération de la méthode de la puissance itérée.On insiste sur le fait que R opt est obtenu à partir de ω opt . En conséquence, cen’est pas possible de trouver directement la valeur de ω opt par une décompositionen éléments propres, d’où le besoin d’une procédure itérative comme celle proposée.Cette procédure revient à faire de petits changements à la matrice R k et au vecteurω k à chaque itération de façon à trouver les valeurs optimales R opt et ω opt .Faire des changements petits correspond à avoir un µ petit. De façon analogueaux algorithmes basés sur le gradient, la valeur de µ est responsable de deux caractéristiquesde la convergence, à savoir la vitesse de convergence et l’erreur résiduelle(ou la finesse de convergence). Un plus grand µ mène à une convergence plus vite,mais aussi à une plus grande erreur résiduelle. Il y a cependant une limite à la valeurde µ, au-delà de laquelle, l’algorithme ne converge plus. D’autre part, un plus petitµ conduit à une erreur résiduelle plus faible, mais aussi à une convergence plus lente.Il y a donc un compromis entre la vitesse de convergence et l’erreur résiduelle.Une analyse théorique plus détaillée de la convergence de l’algorithme mBER-TD-DB n’est pas évidente et la convergence de cet algorithme vers le minimum globaln’a pas encore été prouvée. Cependant, on croit que l’obtention de résultats dans cedomaine est possible et on considère cela comme une des suites possibles de ce travail.Cela est corroboré par le fait que l’on n’a pas observé un seul cas de divergence ou deconvergence vers des minimums relatifs lors de simulations réalisées avec des canauxRayleigh, où l’on connaît l’optimum global donné par la solution Eigen-Beamforming.Pour les autres types de canaux, il n’existe pas dans la littérature de techniques pourminimiser le TEB. Alors, on ne peut pas comparer la solution trouvée par l’algorithmeproposé avec d’autres solutions, mais les simulations indiquent que la solution mBER-TD-DB serait l’optimum global.Quant au pas d’adaptation utilisé, on l’a déterminé de façon empirique pour avoirun bon compromis entre une convergence rapide et une erreur résiduelle faible, commesera montré dans la section suivante. Une valeur typique serait µ = 0,5.Pour finir, on revient sur l’initialisation de l’algorithme, étape 1 dans le tableau 3.4.De même que pour la technique CPA, on propose une initialisation à maximum dediversité, qui est bien adaptée lorsque la puissance d’émission est élevée et le TEBrésultant est très faible. Cette initialisation correspond à l’utilisation d’un précodeurdiagonal qui lie simplement chaque capteur virtuel à un capteur réel (cf. figure 3.1).Cela correspond à l’application de la technique de diversité de transmission directementaux capteurs réels, sans rien faire. Ensuite, si nécessaire, pendant l’exécutionde l’algorithme le précodeur ω sera adapté pour minimiser le TEB.