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88 Chapitre 3. Techniques mono-utilisateur3.6.3 Algorithme mBER-TD-DB (minimum BER-TransmitDiversity-Downlink Beamforming)Pour trouver la solution optimale correspondant au critère de minimum de TEB,on propose d’utiliser une méthode itérative basée sur la méthode du gradient [24,8]. Étant donné que la contrainte concerne seulement la norme de ω, on peut latraiter de façon indépendante de la minimisation en soi. Ainsi, la méthode du gradientsera appliquée à la fonction coût J mBER (ω) comme si c’était une minimisation sanscontrainte. Après chaque itération du gradient, le vecteur ω trouvé sera normalisé defaçon à respecter la contrainte de puissance d’émission. Cela résulte en un algorithmesimple et efficace, comme on verra par la suite.( √Ns )Avant d’énoncer l’algorithme, calculons la dérivée de Q γ b par rapportà ωdQ( √ N s γ b )= dQ(√ N s γ b ) dγ bdω dγ b dω . (3.66)Pour le premier terme de la dérivée, en partant de l’équation (3.62), on obtientdQ( √ N s γ b )dγ bN s= −2 √ exp2πN s γ b(− N )sγ b −f(γ b ) . (3.67)2Notons que la fonction f(γ b ) ainsi définie dépend indirectement de ω.En exploitant l’équation (3.60), le second terme de la dérivée vautdγ bdω = 2 P TXR(b)ω . (3.68)σν2Finalement, on aboutit au gradient de J mBER (ω), qui s’écrit comme{ }∇J mBER (ω) = ∂J mBER(ω)= −2 P TXE f(γ∂ω σν2 b ) R(b) ω . (3.69){ }On note que, à une itération donnée, l’espérance E f(γ b ) R(b) correspond à unematrice de covariance formée par les matrices R(b) pondérées par la fonction f(γ b ).On pose alors{ }R k = Ef(γ b ) R(b)comme la matrice de covariance résultante à l’itération k de l’algorithme.(3.70)La fonction f(γ b ) peut être vue comme un estimateur du TEB du bloc b pourdes RSB relativement élevés, comme montre la figure 3.25. On peut voir que, pourγ b > −5 dB, la fonction f(γ b ) est une bonne approximation pour la fonction Q( √ γ b ).Par contre, pour des RSB inférieurs à −5 dB, la fonction f(γ b ) peut être vue comme