Corrigé examen exercices d'août 2008 - IIHE

Corrigé des exercices de l’examen du 30 août 2008(Les N° de page font référence au livre « Physique » de E. Hecht)Q1. Soient deux cubes concentriques dont les arrêtes des côtés mesurent respectivement L = 2met l = 1m. Ils sont faits de tôle métallique mince. Chaque face du plus petit cube est percée en soncentre d’un petit trou. Une coupe horizontale du dispositif est schématisée dans la figure. Al’intérieur du petit cube règne un champ magnétique B non nul et uniforme, dont la direction estperpendiculaire au plan de la figure et s’enfonce dans ce plan. Le champ magnétique est nul àl'extérieur du petit cube. Une différence de potentiel ΔV = 20kV est établie entre les deux cubes.Un ion positif est placé au point A du centre de la face du grand cube, sans vitesse initiale. Leq 4rapport entre sa charge et sa masse vaut = 10 C/kg . L’ion est accéléré du grand cube vers lempetit cube.a) Quelle est la valeur absolue de la vitesse v de l’ion lorsqu’il atteint l’orifice du petit cube enface du point A ?b) Le champ magnétique B est tel que l’ion atteindra un autre orifice du petit cube. Que vautdans ces conditions le rapportFFélmdes forces électrique et magnétique auxquelles l’ion estsoumis ?c) Quelle est la valeur absolue du champ magnétique B ?d) Au bout d’un certain temps, l’ion reviendra au point A. Son mouvement est périodique.Dessinez sa trajectoire et justifiez brièvement.e) Que vaut la période du mouvement de l’ion ?a) (p. 687) Chute d'énergie potentielle Δ E = q⋅ΔV. L'énergie de l'ion est conservée:ECi + EPi = ECf + EPfcomme E Ci = 0, ECf = EPi − EPf =ΔE PEdoncPE122mv = q ⋅ΔV et2q⋅ΔV4 4 4v = = 2(10 C/kg)(2× 10 V) = 2×10 m/smb) (p. 660) F = q ⋅E ; (p. 691) Δ V = E⋅d où d = ( L−l)/2est la distance entre le point A et l'orificeéldu petit cube. DoncFél2q⋅ΔV= .L − l

(p. 810) la force magnétique est égale à la force centripète Fmmv=Rtrajectoire pour passer de l'orifice supérieur à l'orifice latéral. Doncpar son expression établie en a):On en déduit:Fél1 l 1= =F 2 L−l 2mFm4qΔV= .l2Foù R=l/2 est le rayon de lam2mv=l2. En remplaçant mv 24mv m 2v4 − 1 2(2×10 m/s)c) (p. 810) B = = = (10 C/kg) = 4 T .qR q l (1m)d) On a un mouvement rectiligne uniformément accéléré à l'extérieur du petit cube et un mouvementcirculaire uniforme dans le petit cube:e) L'ion parcourt 8 fois la distance (L-l)/2 à l'extérieur du petit cube selon un MRUA. Pour une1 2 Fél12q⋅ ΔVdistance on a : ( L − l)/2=at où a = = . Donc:2 m m L−l22 1 m ( L−l) m 1 4 −1 1−5t = et t = ( L− l) = (2m− 1m) (10 C/kg) = 5×10 s .42 q ΔV q 2Δ V2(2×10 V)−4Pour 8 distances: t = 8t= 4×10 s.él4L'ion parcourt au total un cercle de rayon l/2 dans le petit cube à la vitesse tangentielle v = 2×10 m/s.π⋅lπ(1m)−4Donc: 2 π ( l/2) = vtmet tm= = = 1,57× 10 s .4v 2×10 m/sLa période est le temps total nécessaire pour revenir au point A :−4 −4 −4T = t + t = 4× 10 s + 1,57× 10 s = 5,57×10 s .élm

Q2. Un morceau de fil rectiligne de longueur l et de résistance R peut se mouvoir sans frottementsur deux rails parallèles de résistance nulle situés dans le plan (x,y) (voir Figure). Il est attaché àun ressort de constante k dont l’autre extrémité est fixe.Une différence de potentiel V 0 est établie par le générateur G entre les deux rails et le tout estplongé dans un champ magnétique B de valeur absolue BB0. Lorsque la force de rappel du ressortest nulle, la coordonnée x f du morceau de fil est égale à x 0 .Valeurs numériques :V 0 = 2 V, R = 2 Ω, l = 0,1 m, k = 5 N/m, BB0 = 0,5 T, x 0 = 0,5 m.Donnez l’expression analytique et la valeur de la coordonnée x f du fil lorsque :a) B = B01b) B =−B01 zc) B B 1 0z=yd) On fait à présent tourner B très lentement dans le plan (y,z) de sorte que B = sin ωzB0 t etBy= B0 cos ωt avec ω = 2 rad/s.Donnez dans ce cas l’expression x f (t) de la coordonnée du fil en fonction du temps (vous pouveznégliger les effets liés à la vitesse de déplacement du fil).e) Donnez l’expression de x f (t) dans le cas où B = B01et la tension du générateur G est V(t) = V 0sinωt avec ω = 2 rad/s.Expression générale de la force résultant du champ magnétique et du courant circulant dans le fil:(p. 813) FM= Il×B. Elle est compensée par la force de rappel du ressort : F r=−kx(f−x0)1x.Donc, à l'équilibre: FM + Fr= 0 et FM =−Fr.0a)01 VIlB =01 = ( −0)1xlBxk xfxx.RV02VDonc: xf= x0 + lB0= (0,5m) + (0,1m)(0,5T) = 0,51m .kR(5 N/m)(2 Ω)0b) −01 VIlB =−01 = ( −0)1xlBxk xfxxRV02VDonc: xf= x0 − lB0= (0,5m) − (0,1m)(0,5T) = 0,49m .kR(5 N/m)(2 Ω)c) Le champ et le morceau de fil ont la même direction, donc le produit vectoriel est nul et F = 0 N.Donc x f = x 0 = 0,5 m.z

0d)0sinω 1 VIlB t =0sinω 1 = ( −0)1xlB txk xfxxRV02VDonc: xf= x0 + lB0sin ω t = (0,5m) + (0,1m)(0,5T)sin 2 t = (0,5+0,01sin 2 t) mkR(5 N/m)(2 Ω)()0sine)01 Vtω=01 V tIlB =01 = ( −0)1xlBxlBxk xfxxRRV0sin ωt (2 V)sin2tDonc: xf= x0 + lB0= (0,5m) + (0,1m)(0,5T) = (0,5 + 0,01sin 2 t)m.kR(5 N/m)(2 Ω)

Q3. Deux charges sont placées sur l'axe des x:Q 1 de + 2 10 -5 C est située en (-1 m,0 m,0 m)Q 2 de - 2 10 -5 C est située en (1 m,0 m,0 m)a) Quelle est la force exercée par Q 1 sur Q 2 ? (grandeur et direction)b) Quel est le potentiel électrostatique en (2 m,0 m,0 m) ?c) A partir de ce résultat, quelle serait l'énergie électrostatique d'une charge de 3 10 -4 C déposéeà cet endroit ?d) Quel est le potentiel électrostatique en (0 m,0 m,0 m) ?e) Quel est le lieu géométrique où le potentiel électrostatique est nul ?a) Loi de Coulomb (p. 653):−5 −5QQ1 2QQ1 29 2 2 (2× 10 C)( − 2×10 C)F = k = k = (9,0× 10 N ⋅ m /C ) =−0,9 N2 2 2r ( x2 − x1) (1m+1m)sur l'axe des x vers les x négatifs.⎛ 1 ⎞b) (p. 694) : Chaque charge individuelle a une contribution donnée par : V = kQ⎜ ⎟. Donc⎝ R ⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞9 2 2 −5 ⎛ 1 ⎞ 9 2 2 −5⎛ 1 ⎞V = kQ1⎜ ⎟+ kQ2⎜ ⎟= (9× 10 N ⋅ m /C )(2× 10 C) ⎜ ⎟+ (9× 10 N ⋅m /C )( − 2× 10 C) ⎜ ⎟=−120kV⎝R1⎠ ⎝R2⎠⎝3m⎠ ⎝1m⎠c) (p. 687) :EPE= Q⋅ V = × − × =−−4 5(3 10 C)( 1, 2 10 V) 36Jd)⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞V = kQ1⎜ ⎟+ kQ2⎜ ⎟= × ⋅ × ⎜ ⎟+ × ⋅ − × ⎜ ⎟=⎝R1⎠ ⎝R2⎠⎝1m⎠ ⎝1m⎠e) plan y,z9 2 2 −5 9 2 2 −5(9 10 N m /C )(2 10 C) (9 10 N m /C )( 2 10 C) 0 V

Q4. Un cadre métallique carré de côté l = 50 cm s'éloigne à une vitesse constante v de 2 m/sperpendiculairement à un long fil métallique rectiligne parcouru par un courant I de 500 A. Al'instant initial t 0 , le bord du cadre le plus proche est à une distance x 0 de 2 cm du fil rectiligne.a) Quelle est la force électromotrice induite dans le cadre après 0,04 s ?b) Quel est le sens du courant qui parcourt le cadre ?μ Ia) (p. 796) Champ magnétique généré par le fil rectiligne B = perpendiculaire à la section du2 π xcadre.dΦM(p. 835) Loi de Faraday E =−dt(p. 834) Flux du champ magnétique à travers le cadre : Φ = B⋅dSoù dS=ldx et l'intégrale porte surl'intervalle [x t , x t +l] où x t = x(t) = x 0 +vt .μI x + μ μ ⎛ ⎞Donc Φ = = [ log( + ) − log( )]= log⎜1+⎟2π∫ t lldx Il Il lMxt l xt.xtx 2π 2π ⎝ xt⎠A l'instant t = 0,04 s, x t = 0,02 m + (2 m/s).(0,04 s)= 0,1 mDonc:l dxt−2 2 −6 2μIl xtdt μ Il v (1,257× 10 Tm/A) ⋅ ⋅(500 A) ⋅(0,5 m) (2 m/s)E =− = = = 0,82mV2π l1+2 π xt( xt+ l) 2 π (0,1 m) ⋅ (0,1m + 0,5m)xtM∫b) (p.798) Règle de la main droite: le champ magnétique généré par le fil rectiligne entre dans lafeuille. Le flux magnétique, qui traverse le cadre, diminue lorsque le cadre s'éloigne du fil.(p. 836) Loi de Lenz: le champ magnétique induit dans le cadre s'oppose à la diminution de fluxmagnétique entre dans la feuille, donc (p. 799) le courant circule dans le sens des aiguilles d'unemontre.

Q5. Les composants du circuit ci-dessous ont les valeurs:V = 4,5 VR 1 = 200 ΩR 2 = 100 ΩC = 2 10 -7 FAu départ, l'interrupteur est ouvert et le condensateur n'est pas chargé.On ferme l'interrupteur.a) Quels sont les courants dans R 1 et dans R 2 juste après la fermeture de l'interrupteur ?b) Quels sont les courants dans R 1 et dans R 2 après un temps infini ?c) Quels sont, à ce moment la différence de potentiel et la charge du condensateur ?On ouvre l'interrupteur.d) Quels sont les courants dans R 1 et dans R 2 juste après l'ouverture de l'interrupteur ?a) A la fermeture de l'interrupteur, le condensateur a une résistance nulle le courant passe dans laV 4,5Vmaille (V, R 1 , C): Loi d'Ohm (p. 734) : I1= = = 22,5mA ; I 2 = 0 A.R1200Ωb) Après un temps infini, le condensateur s'est chargé et sa résistance devient infinie. Le courantV 4,5Vcircule dans la maille (V, R 1 , R 2 ) : I1 = I2= = = 15mA .R + R (200 Ω ) + (100 Ω)1 2c) Vc= V2 = I2R2 = (0,015A)(100 Ω ) = 1,5V−7 −7(p. 702) : Q = CV c= (2× 10 F)(1,5V) = 3×10 C .d) A l'ouverture du circuit, le condensateur se décharge dans la maille (R 2 , C). Le courant est donc nulV 1, 5 Vdans R 1 (I 1 = 0 A) et I2= c= = 15mA .R 100Ω2

Q6. Soient deux plaques métalliques carrées de côté l = 10 cm ayant chacune une masse de 10 g.Elles sont maintenues face à face, perpendiculairement à la verticale. La plaque supérieure estattachée à un support isolant alors que la plaque inférieure peut se déplacer sur la verticaleguidée sans frottement par des rails conducteurs. A quelle différence de potentiel V faut-ilsoumettre les plaques pour qu'elles se maintiennent à une distance d de 2 mm l'une de l'autre.(p. 704) Les deux plaques forment un condensateur plan dont la capacité vaut:2εSεlC = =d dLa force électrique qui s'exerce sur la plaque mobile est (p. 660):de la plaque (p. 702:Q(p. 691: E = V ) F dA l'équilibre :E2ε= C⋅ V = lVεlV=2d2 2εlVmg = FE=2d2 2dFE= Q⋅E où Q est la charge totale) et E le champ électrique uniforme généré par le condensateur−32d mg (2×10 m) (0,01 kg)(9,81 m/s )et V = = = 2,1kV−122 2l ε (0,10 m) 8,85× 10 C /N⋅m