Le cours - Math'ambouille

Transformée en ZI. Séries entières1. Le théorème de Taylor intégralThéorème : Soit f une fonction n + 1 fois dérivable sur un intervalle I contenant le réel a ettelle que f (n + 1) soit continue sur I. On a alors :f(x) = f(a) + (x – a) f’(a) +(x – a)22!On a donc f(x) = P n (x) + R n (x)P n (x) = f(a) + (x – a) f’(a) +R n (x) = ⌡ ⌠ ax(x – t)nn!f’’(a) +(x – a)22!(x – a)33!f’’(a) +f (n + 1) (t) dt s’appelle le restef (3) (a) + ... +(x – a)33!(x – a)nn!f (3) (a) + ... +f (n) (a) + ⌡ ⌠ ax(x – a)nn!(x – t)nn!f (n + 1) (t) dtf (n) (a) est un polynômeCe théorème permet de déterminer un polynôme de degré n proche de f(x) lorsque x estproche de a. On peut ainsi évaluer l’erreur R n (x) que l’on fait lorsqu’on remplace f(x) parP n (x).Exemple : f(x) = e x et a = 0e x = 1 + x + R 1 (x)e x = 1 + x + x22 + R 2(x)e x = 1 + x + x22 + x36 + R 3(x) e x = 1 + x + x22 + x36 + x424 + R 4(x)On obtient des polynômes de plus en plus proches de x ⏐⎯⎯→ e x au voisinage de 0.2. Définition+ ∞Rappel : ∑ t n est une série géométrique qui converge pour tout réel t ∈ [– 1 ; 1], c’est à diren = 0+ ∞lorsque ⏐t⏐< 1 et on a ∑ t n 1=1 – t .n = 0

+ ∞De même la série géométrique ∑ z n converge pour tout complexe+ ∞n = 0z tel que ⏐z⏐< 1 et on a ∑ z n 1= . (z est l’affixe d’un point du1 – zn = 0cercle de centre O et de rayon 1). .Exemple : 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + … = 11 – 1 = 221 + 1 + i2 + ⎝ ⎜⎛ 1 + i2 ⎠ ⎟⎞2+ ⎜ ⎛ 1 + i⎝ 2 ⎠ ⎟⎞3 1 + … =1 + 1 + i = 1 + i2Définition : Une série entière est une série de terme général U n = a n z n où les nombres réelsou complexes a n sont donnés et où z est une variable réelle ou complexe.+ ∞Exemple : ∑ z n on a a n = 1n = 03. Rayon de convergence+ ∞∑xnn! on a a n = 1 n!n = 0Théorème : Pour toute série entière ∑ a n z n on a :• soit il existe un nombre réel R > 0 (appelé rayon de convergence) de la série tel que :- si ⏐z⏐< R alors la série converge,- si ⏐z⏐> R alors la série diverge• soit la série converge pour tout complexe z, lerayon de convergence est alors + ∞.

4. Fonction développable en série entièreDéfinition : S’il existe une série entière ∑ a n z n de rayon de convergence R, telle que pourtout z tel que ⏐z⏐< R on a :+ ∞f(x) = ∑ a n z nn = 0on dit qu’une fonction f est développable en série entière.5. Exemples usuelse x = 1 + x 1! + x2 xn+ ... +2! n! + …11 – x = 1 + x + x2 + x 3 + ... + x n + …11 + x = 1 – x + x2 – x 3 + ... + (– 1) n x n + …sin x = x – x33 ! + x55 ! + ... + (– 1)p x 2 p + 1(2 p + 1) ! + …cos x = 1 – x22 ! + x44 ! + ... + (– 1)p x 2 p(2 p) ! + …Pour α ∈ IR : (1 + x) α = 1 + α 1!x +α (α – 1)2!x 2 + ... +α (α – 1) ... (α – n + 1)n!x n + …II.Transformée en Z1. EchantillonnageSoit x(t) un signal causal.On considère la suite de réels x(0), x(1), x(2), …, x(n), …On dit qu’on a échantillonné le signal x(t) avec 1 comme période d’échantillonnage.Le nouveau signal obtenu est un signal discret.

2. DéfinitionSoit x(n) un signal causal discret, on appelle transformée en Z de x la série définie par :+ ∞Z(x)(z) = ∑n = 03. Transformées des signaux usuelsa) L’échelon unitéOn considère le signal causal discret e(n) = 1Théorème : Z e (z) =dém :zz – 1x(n) ⎜ ⎛ 1⎝ z⎠ ⎟⎞noù z ∈ IC et n ∈ INb) L’impulsion unitéOn considère le signal causal discret ⎩⎨ ⎧ d(n) = 0 si n = 0d(n) = 1 si n = 1Théorème : Z d (z) = 1dém :c) La rampeOn considère le signal causal discret r(n) = nThéorème : Z r (z) =dém :z(z – 1) 2

d) Le carréOn considère le signal causal discret c(n) = n 2Théorème admis : Z c (z) =z (z + 1)(z – 1) 3e) L’exponentielleOn considère le signal causal discret x(n) = a nThéorème : Z x (z) =dém :zz – aTableau récapitulatife(n)zz – 1d(n) 1r(n)z(z – 1) 2c(n) z (z + 1)(z – 1) 3a nzz – a4. Calculs de transforméesa) LinéaritéThéorème : On considère deux signaux discrets x et y et deux nombres complexes a et b. Ona :Z ax + by (z) = a Z x (z) + b Z y (z)

) Signal retardéDéfinition : Si x est un signal discret alors n ⏐⎯⎯→ x(n – n 0 ) e(n – n 0 ) est le signal retardé de xde n 0 .Exemple : n 0 = 5x(n) x(n – n 0 ) e(n – n 0 )Théorème : Soit x un signal discret et n 0 ∈ IN. On a :Zx(n)Z x (z)Retard de n 0x(n – n 0 ) e(n –n 0 )z -n 0Z x (z)× z -n 0dém :

c) Produit par a nThéorème : Soit x un signal discret et n 0 ∈ IN. On a :Zx(n)Z x (z)× a n z z ⏐⎯⎯→a naZx(n) x⎝ ⎜⎛ za⎠ ⎟⎞dém :Exemple : Déterminer Z y (z) pour y(n) = n 2 nd) Produit de convolutionDéfinition : x et y sont deux signaux discrets causaux. On définit un nouveau signal x*y par :n(x*y)(n) = ∑ x(k) y(n – k)k = 0

Exemple :(r*e)(n) =(d*x)(n) =Z r*e (z) =r(n)e(n)(r*e)(n)d(n)x(n)(d*e)(n)Théorème : Z x*y (z) = Z x (z) × Z y (z)5. Théorème des valeurs initiale et finaleThéorème de la valeur initiale :Théorème de la valeur finale :dém :x(0) = limz → + ∞ Z x(z)lim x(n) = lim (z – 1)Z x(z)n → + ∞ z → 1Exemple :