Bases de la logique des prédicats du premier ordre

1. SyntaxeDéfinition (langage du premier ordre)Un langage du premier ordre L = ({a1, a2, ..., ak}, {p1, p2, ..., pn}) est formé :- d'un ensemble de constantes : {a1, a2, ..., ak}- et d'un ensemble de symboles de relation, ou prédicats : {p1, p2, ..., pn}.A chaque prédicat pi est associé un entier ≥ 0, son arité, qui fixe son nombre d'arguments.Remarque. Du point de vue des langages formels, les formules sont des mots construits surl'alphabet formé de L, d'un ensemble de variables et des autres symboles que sont lesquantificateurs (∀,∃), les connecteurs (¬, ∧,∨, …) et les parenthèses. Donc L est une partie del'alphabet ; toutefois l'utilisation de l'expression « langage » du premier ordre est traditionnelle enlogique.Un terme permet de désigner une entité (un objet) :Définition (terme)Un terme est une variable ou une constante (et plus tard ce pourra aussi être une fonction).Définition (formule bien formée – fbf)Les formules bien formées, fbf, construites sur le langage du premier ordre L peuvent être définiesinductivement de la manière suivante :(base) la base est constituée par les formules atomiques (ou atomes) : p(t1, ..., tn) où p est unprédicat n-aire et t1, ..., tn sont des termes ; parfois, on ajoute l’atome ⊥ qui symbolise« l’absurde ».(règle de construction) si A et B sont des fbf et si x est une variable alors les expressions suivantessont des fbf :¬A, (A ∧ B), [ (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) ]∀xA [ ∃xA ]Remarque : Les formules entre [] ci-dessus peuvent être réécrites de façon équivalente à partir de¬A, (A ∧ B) et ∀xA. En particulier ∃xA se réécrit ¬∀x¬A.Remarque : par la suite, on s'autorisera à ne mettre que les parenthèses utiles [comme par exempledans ∃x(A(x) ∧ B(x) ∧ C(x)), (p→q)→r ou p→(q→r)]. La définition d'une fbf entraîne que lesquantificateurs ont priorité sur les connecteurs binaires.Définition (arborescence syntaxique d'une fbf)L'arborescence syntaxique d'une fbf f (notation : ARBO(f)) se définit inductivement de la façonsuivante :(base) si f est un atome, ARBO(f) est une arborescence réduite à un sommet étiqueté par f(règles)si f = ¬A, ARBO(f) est une arborescence dont la racine est étiquetée par ¬ et a un seul fils qui est laracine de ARBO(A)si f = QxA, où Q est un quantificateur, ARBO(f) est une arborescence dont la racine est étiquetéepar Qx et a un seul fils qui est la racine de ARBO(A)si f = (A op B), où op est un opérateur binaire, ARBO(f) est une arborescence dont la racine estétiquetée par op et qui a deux fils : le fils gauche est la racine de ARBO(A) et le fils droit est laracine de ARBO(B).Logique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 2

Exemple : arborescence de la formule ∀x(p(x)→∃y r(x,y))∀xàp(x)∃yr(x,y)Remarque : par abus de langage, on parlera souvent d'arbre syntaxique (même si d'un point de vuegraphe, il s'agit bien d'une arborescence).On peut définir diverses notions à partir de cette définition : profondeur d'une fbf, ensemble dessous-fbf d'une fbf, etc.Exemple (profondeur d’une fbf) :Soit f une fbf.(base) Si f est un atome, profondeur(f) = 0(règles)Si f = ¬A ou f = ∃x A ou f = ∀x A, profondeur(f) = 1 + profondeur(A)Si f = (A op B) où op est l'un des connecteurs binaires,profondeur(f) = 1 + max(profondeur(A), profondeur(B)).Dans la fbf ∀xA, [ou ∃xA], x est la variable quantifiée, et A est la portée de la quantification ∀x[∃x]. Une occurrence de la variable x est liée si elle est dans la portée d'une quantification portantsur x. Sinon, cette occurrence est libre. Une variable est libre si elle a au moins une occurrencelibre. Elle est liée si elle a au moins une occurrence liée. Dans une fbf, une même variable peut doncêtre à la fois libre et liée. Toutefois, on peut toujours renommer les variables d'une formule (engardant une formule équivalente), de façon à ce qu'une variable ne soit pas à la fois libre et liée.Définition (formule fermée)Une fbf est dite fermée (ou close) lorsqu'elle n'a aucune variable libre (et pas lorsque toutes lesvariables sont liées, puisqu’une variable peut être libre et liée ...).Les formules fermées sont celles que l'on utilise pour exprimer des connaissances, lorsque l’onmodélise un problème ; il est toutefois nécessaire de considérer des formules quelconques lorsquel’on effectue des preuves, en particulier lorsqu’on doit décomposer une formule en sous-formules :même si la formule de départ est fermée (par exemple ∀x p(x)), les sous-formules (par exemplep(x)) ne le seront plus forcément.2. SémantiqueLa valeur de vérité d’une fbf (vrai ou faux) dépend de l’interprétation du langage L sur lequel elleest construite. On peut voir une interprétation de L comme :(1) un monde constitué d’entités (ou individus, ou objets, …) : l’ensemble des entités de cemonde s’appelle le domaine de l’interprétation ;(2) une mise en correspondance de L avec ce monde : les constantes de L donnent un nom àcertaines entités de ce monde (mais pas forcément à toutes) et les prédicats de L décriventLogique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 3

certaines propriétés des entités du domaine (si ce sont des prédicats unaires) ou certainesrelations entre les entités du domaine.Il existe une infinité d’interprétations possibles de L.Définition (Interprétation)Soit L = (C, P) un langage du premier ordre où C est l’ensemble des constantes et P est l’ensembledes prédicats. Une interprétation I de L est constituée d'un ensemble non vide D appelé domaine etd'une définition du sens des symboles de L sous forme d'applications dans D ou de relations sur D :• pour tout a de C, I(a) est un élément de D (il y a une application de C dans D)• pour tout p de P, d’arité non nulle, I(p) ⊆ D arité(p)Si p est d'arité 0 (p peut-être vu comme un symbole propositionnel)I(p) est égal à vrai ou faux.Un symbole de constante s'interprète donc comme un élément du domaine d'interprétation et unprédicat comme une relation sur D (une "table" sur D) ayant pour arité celle du symbole : I(p) estun sous-ensemble de D si p est d’arité 1 ; c’est un sous-ensemble de D x D si p est d’arité 2, etc.Notez que deux constantes peuvent désigner le même élément du domaine (cet élément a alors deux« noms » dans L), et que tous les éléments du domaine n’ont pas forcément de constante associée.Exemple : L = (C, P) avec C = {a,b,c} et P = {F,C} où F est unaire et C binaire.v Une interprétation possible de L (I 1 )• Domaine D1 = {Alan, Bob, Bill, Boule}• Interprétation des constantes de L :I 1 (a) = Alan I 1 : a à AlanI 1 (b) = Bobb à BobI 1 (c) = Billc à Bill2 façons de présenterl’interprétation des constantes• Interprétation des prédicats de L :I 1 (F) = {Alan, Boule}I 1 (C) = {(Alan, Bill), (Bob, Bill), (Bill, Bill)}I 1 (F)AlanBouleAlanBobBillI 1 (C)BillBillBill2 façons de présenterl’interprétation des prédicatsv Une autre interprétation possible de L (I 2 )• Domaine D2 = N (ensemble des entiers naturels)• Interprétation des constantes de L :I 2 (a) = 0 I 2 (b) = 1 I 2 (c) = 1• Interprétation des prédicats de L :I 2 (F) = {0, 2, 4, 6, …}x appartient à I 2 (F) si et seulement si x est pairI 2 (C) = {(0,1), (1,2), (2,3), …} (x,y) appartient à I 2 (C) si et seulement si x a pour successeur y.Logique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 4

Etant données une fbf A sur un langage L et I une interprétation de ce langage, nous voulons définirune application v(A, I) dans {vrai, faux} (ou {0,1} avec faux = 0 et vrai = 1) qui associera à A unevaleur de vérité pour I. Ceci se fait en utilisant l’interprétation I, le sens donné aux connecteurs(c’est le même qu’en logique des propositions), et le sens que l'on va donner aux quantificateurs.Si on considère la définition inductive des fbf on s'aperçoit qu’il faut savoir donner un sens à unefbf ayant des variables libres, même si on ne veut considérer que les fbf fermées ; en effet, si A estfermée et si, par exemple, A = ∀x B, on ne peut plus supposer que B est fermée.On peut faire cela en utilisant la notion d'une assignation des variables libres de la formule : étantdonné une interprétation de domaine D, une assignation des variables (libres) d'une formule A estune application des variables (libres) de A dans D.On suppose dans la suite que qu’une même variable n’est pas quantifiée deux fois dans la formule(pour qu’une assignation ne donne pas deux valeurs à une même variable).Définition (valeur de vérité d'une fbf pour une interprétation I et une assignation s)Si I est une interprétation et s est une assignation, l’application v(A, I, s) dans {vrai, faux} estdéfinie de la manière suivante :• si A est un atome p(t1, t2, ..., tn), v(A, I, s) = vrai si :il existe (d 1 …d n ) ∈ I(p) avec, pour tout i :si t i est une constante, d i = I(t i )si t i est une variable, d i = s(t i )[• v(⊥, I, s) = faux pour toute I et pour toute s]• si A = ¬B alors v(A, I, s) = NON(v(B, I, s)), la négation étant interprétée comme en logique despropositions;• si A = (B ∧ C) alors v(A, I, s) = ET(v(B, I, s), v(C, I, s)), la conjonction étant interprétée commeen logique des propositions,… de même pour les autres connecteurs• si A = ∀x B alors v(A, I, s) = vrai si pour tout élément d de D, v(B, I, s+[xßd]) = vrai, oùs+[xßd] est l'assignation obtenue à partir de s en donnant à la variable x la valeur d ;[• si A = ∃x B alors v(A, I, s) = vrai si pour (au moins) un élément d de D, v(B, I, s+[xßd]) = vrai]Si on considère le prédicat « égalité » (noté =) : v(t 1 =t 2 , I, s) est vrai si t 1 et t 2 sont interprétés par lemême élément de D, c’est-à-dire si d 1 = d 2 , où d i est I(t i ) ou s(t i ) selon que t i est une constante ouune variable.Exemple (suite) : avec les interprétations I 1 et I 2 :Formule A v(A,I 1 ) v(A,I 2 )∃x C(x,x) vrai faux∃x (F(x) ∧ ¬C(x,x)) vrai vrai∀x ¬C(x,x) faux vraiC(a,b) faux vraiCompléments sur la notion d’assignation• Pour une fbf fermée A, la valeur de v(A, I, s) est indépendante de s et on la note v(A, I).• Dans le cas où A n'est pas fermée, on a les équivalences suivantes :"il existe s tel que v(A,I,s) = vrai" ssi v(∃x 1 …x n A, I) = vrai, où les x i sont les variables libres deA ;"pour tout s, v(A,I,s) = vrai" ssi v(∀x 1 …x n A, I) = vrai, où les x i sont les variables libres de A.Logique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 5

Remarque : dans les définitions qui suivent, pour simplifier, on considérera des fbf fermées. Onpeut facilement étendre ces définitions à des fbf quelconques : il faut remplacer « il existe uneinterprétation I avec v(A,I) = …» par « il existe une interprétation I et une assignation savec v(A,I,s) = …», et « pour toute interprétation I avec v(A,I) = …» par « pour toutesinterprétation I et assignation s avec v(A,I,s) = … ». On aura besoin de considérer les notions devalidité et d’équivalence de fbf quelconques dans la section 4 notamment.On retrouve les définitions de la logique des propositions :Définition (fbf satisfiable, valide, …)Soit A une fbf fermée :A est satisfiable s’il existe une interprétation I avec v(A, I) = vraiA est contingente s’il existe I avec v(A, I) = vrai et I’ avec v(A, I’) = fauxA est insatisfiable si pour toute interprétation I , v(A, I) = fauxA est valide si pour toute interprétation I, v(A, I) = vrai[Si A n’est pas fermée, on a : A est satisfiable s’il existe une interprétation I et une assignation stelles que v(A,I,s) = vrai ; A est valide si pour toute interprétation I et toute assignation s, v(A,I,s) =vrai ; etc. ]Une formule est soit satisfiable, soit insatisfiable.Et si elle est satisfiable, elle est soit valide, soit contigente.Définition(modèle/contre-modèle d'une fbf)Une interprétation I est un modèle d'une fbf fermée A si v(A,I)=vrai.C'est un contre-modèle d'une fbf A si v(A,I)=faux.Il est immédiat de vérifier que : A est valide ssi ¬A est insatisfiable.On a également :A est satisfiable ssi ¬A n'est pas valideA est contingente ssi ¬A est contigente.A est insatisfiable ssi ¬A est valide.3. Equivalence et conséquence logiquesDéfinition (formules équivalentes)Deux fbf fermées A et B (construites sur un même langage du premier ordre L) sont diteslogiquement équivalentes, A ≡ B, lorsque, pour toute interprétation I, v(A, I) = v(B, I).[Si A et B ne sont pas fermées : A ≡ B, lorsque pour toute interprétation I et toute assignation s,v(A, I, s) = v(B, I, s)].On a immédiatement : A ≡ B ssi (A ↔ B) est valide.Définition (conséquence logique)Si H1, H2, ..., Hn et C sont des fbf fermées d'un même langage du premier ordre L, on dit que C estune conséquence logique de H1, H2, ..., Hn, lorsque toute interprétation I de L qui est un modèlede tous les Hi est un modèle de C. Notation : H1, H2, ..., Hn |= C.On a immédiatement : pour toutes fbf fermées A et B, A ≡ B ssi A |= B et B |= ALogique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 6

ThéorèmeSoient H1, H2, ..., Hn et C des fbf fermées d'un langage du premier ordre. Les propriétés cidessoussont équivalentes :(i) H1, H2, ..., Hn |= C(ii) H1∧ H2∧ ... ∧ Hn → C est valide(iii) H1 ∧ H2 ∧ ... ∧ Hn ∧ ¬C est insatisfiable[Schéma de démonstration : soit I telle que v(H i , I) = vrai pour tout i ; supposons (i) : on a donc v(C,I) = vrai, et on en déduit facilement (ii), puis de (ii) on obtient (iii) en prenant la négation de laformule, et enfin de (iii) on obtient (i) ]On peut maintenant parler de la "validité", ou "correction", d'un "raisonnement". De façongénérale, un raisonnement consiste à obtenir une conclusion à partir d'un ensemble d'hypothèses.Imaginons que l'on formule les hypothèses H 1 , …, H n (chacune étant une fbf) et qu'on en conclut C(une fbf). Ce raisonnement est correct (ou valide) si C est une conséquence logique de H 1 , …, H n .4. Quelques équivalencesPour montrer que deux formules A et B sont équivalentes, on peut s’appuyer directement sur lanotion d’interprétation ; on peut montrer que toute interprétation qui rend vraie A rend aussi vraieB, et que toute interprétation qui rend fausse A rend aussi fausse B (on applique la définition del’équivalence) ; ou bien, on peut montrer que tout modèle de A est un modèle de B (c’est-à-dire queA |= B), et réciproquement (c’est-à-dire que A |= B).Nous étudions ci-dessous d’autres façons de montrer l’équivalence entre deux formules : ens’appuyant sur des équivalences connues pour la logique des propositions (voir théorème detautologie) ou en passant d’une formule à l’autre en remplaçant des sous-formules par des formuleséquivalentes (voir théorème de substitution).Théorème de tautologieSoit A une fbf valide de la logique des propositions ayant p1, p2, ..., pn pour symbolespropositionnels. Soient A1, A2, ..., An des fbf d'un langage du premier ordre L. La fbf A' obtenue àpartir de A en remplaçant, pour tout i, pi par Ai, est valide.(toute formule valide A de la logique des propositions conduit à une fbf valide de la logique dupremier ordre si on remplace dans l'arbre syntaxique de A, pour tout i, toutes les feuilles étiquetéespar pi par un même arbre syntaxique Ai ; les Ai ne sont pas nécessairement fermées).Exemples : Si A, B et C sont des fbf d'un langage du premier ordre on a entre autres leséquivalences suivantes entre des formules ayant A, B et C comme sous-formules :¬¬A ≡ A(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B(A → B) ≡¬A ∨ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)Logique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 7

Le théorème de substitution permet d'obtenir, par substitution d'une fbf à une fbf équivalente, deséquivalences entre fbf du premier ordre à partir d'équivalences entre fbf du premier ordre.Théorème de substitutionSoient A une fbf, B une sous-fbf de A, et B' une fbf équivalente à B. Toute fbf A' obtenue à partir deA en remplaçant une occurrence de B par une occurrence de B' est équivalente à A (A, B, B', A' nesont pas nécessairement fermées).Exemple : A = ∃x (p(x) à q(x)), B = (p(x)àq(x)), B’=(¬p(x)∨q(x)). En remplaçant dans A, B parB’, on obtient la fbf suivante équivalente à A : ∃x (¬p(x)∨q(x)).Nous allons donner quelques équivalences qui ne peuvent pas être obtenues avec le théorème detautologie car elles concernent des remplacements ou déplacements de quantificateurs. Ci-dessous,A et B désignent des fbf, et l'on ne fait pas d'hypothèse sur les variables qu'elles contiennent. Lanotation A(xßy) désigne la formule obtenue à partir de A en remplaçant toutes les occurrences de xpar y.(0) si y ∉ var(A) QxA ≡ QyA(xßy) où Q∈{∀, ∃} renommage d'une variable liée(1) si x ∉ var(A) ∀xA ≡ ∃xA ≡ A(2) si x ∉ var(B) (QxA ∧ B) ≡ Qx (A ∧ B) où Q∈{∀, ∃}(3) si x ∉ var(B) (QxA∨ B) ≡ Qx (A ∨ B) où Q∈{∀, ∃}(4) ¬∀xA ≡ ∃x ¬A(5) ¬∃xA ≡ ∀x ¬A(6) ∀xA ∧ ∀xB ≡ ∀x(A ∧ B) distributivité du ∀ par rapport au ∧.(7) ∃xA ∨ ∃xB ≡ ∃x(A ∨ B) distributivité du ∃ par rapport au ∨.(8) QxA ∧ Q'xB ≡ QxQ'y (A ∧ B(x, y)) où Q et Q'∈{∀, ∃} et y ∉{var(A) ∪ var(B)(9) QxA ∨ Q'xB ≡ QxQ'y (A ∨ B(x, y)) où Q et Q'∈{∀, ∃} et y ∉{var(A) ∪ var(B)Exemple de démonstration. Prouvons (4) :• Si ¬∀xA et ∃x ¬A sont des formules fermées : soit I une interprétation.v(¬∀xA, I) = vrai ssi NON(v(∀xA, I)) = vrai ssi v(∀xA, I) = faux.ssi on n'a pas, pour tout élément d de D, v(A, I, s+[xßd] = vrai,où s est une assignation des variables de A qui assigne d à x,ssi il existe un élément d de D avec v(A, I, s+[xßd] = fauxssi il existe un élément d de D avec v(¬A, I, s+[xßd]) = vraissi v(∃x¬A, I, s) = vrai• Si ¬∀xA et ∃x ¬A sont des formules non fermées, il faut introduire la notion d’assignation dèsle départ : soit I une interprétation et s une assignation.v(¬∀xA, I, s) = vrai ssi NON(v(∀xA, I, s)) = vrai ssi v(∀xA, I, s) = fauxssi on n'a pas, pour tout élément d de D, v(A, I, s+[xßd] = vraissi il existe un élément d de D avec v(A, I, s+[xßd] = fauxssi il existe un élément d de D avec v(¬A, I, s+[xßd]) = vraissi v(∃x¬A, I, s) = vraiOn observe que la différence entre les deux preuves est minime, car dès que l’on décompose uneformule fermée on obtient des sous-formules qui ne sont pas forcément fermées.Logique 2 (notes de cours). ML Mugnier. Bases de la logique du premier ordre 8