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2M A T H E M A T I Q U E S 2 /310 G 18 bis A 01Séries : S1- S3Epreuve du 1 er groupe..a) Démontrer g(f(a)) ≡ a 83×155 [193]. En déduire que pour tout a ∈ A on a : g ( f(a) ) = a.0,5 pt +0,5 ptb) Déterminer f ◦g. 0,5 ptPROBLEME (12 points).Partie ASoit a un réel non nul, u et v deux fonctions deux fois dérivables sur R et telles que :{u′= v(0.1)v ′ = au1. a) Montrer que u et v vérifient l’équation différentielle(0.2) y ′′ −ay = 00,25 pt + 0,25 ptb) résoudre l’équation (0.2) selon les valeurs de a. 0,75 pt2. On suppose que a = 1. Déterminer u et v sachant que u(0) = 3 et v(0) = 0. 0,75 ptPartie BLe plan P est muni d’un repère orthonormé (O, −→ i , −→ j ) (unité graphique 2 cm).Soit (Γ) l’ensemble des points M de P dont les coordonnées (x, y) vérifient :⎧⎪⎨ x(t) = 3 (e t +e −t)2(0.3)t ≥ 0⎪⎩y(t) = 3 (e t −e −t)2L’objet de cette partie est de calculer l’aire du domaine plan délimité par (Γ) et les droitesd’équation y = 0, x = 3 et x = 5.1. a) Démontrer que (Γ) est une partie de la conique dont une équation est :(0.4) x 2 −y 2 −9 = 00,5 ptb) Préciser la nature de cette conique ainsi que ses éléments géométriques caractéristiques.Construire (Γ).0,5 pt + 0,5 pt2. Soit f : R → Rx ↦→ x− √ x 2 −9etg : R ∗ → Rx ↦→ x 2 + 92xa) Etudier les variations de f. 0,75 ptb) Montrer que la restriction de f à l’intervalle I = [ 3, +∞ [ est une bijection de I sur unintervalle J à préciser. On note ϕ cette restriction.0,25 ptc) Démontrer que pour tout x élément de J, on a : ϕ −1 (x) = g(x). 0,5 ptd) Tracer C ϕ , courbe représentative de ϕ dans le repère (O, −→ i , −→ j ). Expliquer commentobtenir C ϕ −1, courbe représentative de ϕ −1 dans ce repère, à partir de C ϕ . Tracer C ϕ −1.0,25 pt x 33. Soit β un élément de ] 0, 3 [ et α = g(β).∫ 3a) Calculer g(x)dx et en déduire que f(x)dx = β2β3 4 − 9 4 − 9 2 ln β 3 .[Indication : On pourra interpréter ces deux intégrales comme des aires.]∫ α.
M A T H E M A T I Q U E S 3 /310 G 18 bis A 01Séries : S1- S3Epreuve du 1 er groupe3.0,25 pt+0,75 pt.b) Endéduirel’airedudomaineplandélimitépar(Γ)etlesdroitesd’équationy = 0, x = 3et x = 5.0,75 ptPartie COn considère la suite (u n ) n∈N telle que :{u0 = 5(0.5)u n+1 = g(u n ) si n ∈ NOn se propose de calculer de trois façons différentes la limite de la suite (u n ).1. a) Etudier les variations de g puis montrer que∀n ∈ N, u n > 3 et ∀n ∈ N ∗ g(u n )−g(u n−1 ), > 0.u n −u n−10,5 pt + 0,25 pt + 0,25 ptb) Déterminer le signe de u 1 −u 0 puis montrer que la suite (u n ) est monotone.0,25 pt + 0,25 ptc) En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.0,25 pt + 0,25 pt2. a) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction g dans un intervalleapproprié, montrer queg(u n )−3∀n ∈ N, < 1 u n −3 2En déduire que∀n ∈ N ∗ , u n −3 < 12 n−1.Montrer que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.0,5 pt + 0,25 pt + 0,25 ptb) Déterminer une valeur possible de n pour que u n −3 ≤ 10 −3 . 0,25 pt3. Pour tout n ∈ N on pose : v n = u n −3u n +3 .a) Montrer que (lnv n ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et laraison.0,5 ptb) Exprimer alors u n en fonction de n et calculer la limite de (u n ). 0,5 pt + 0,25 pt
Page 1: UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKA

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