Représentation SAT-graph - Centre de Recherche en Informatique ...

– S = {x, ¬x|x ∈ L(φ)}– E = ⋃ c∈φ arcs(c), tel que arcs(c) pour c = (x 1 ∨x 2 ∨..∨x n ) est défini comme :– pour (1 ≤ i < n), a i = (x i , x i+1 , v(a i )) et v(a i ) = {x j |1 ≤ j ≤ n et j ≠ i etj ≠ i + 1}, et– pour (i = n), a n = (x n , x 1 , v(a n )) et v(a n ) = {x 2 , ..., x n−1 }Exemple 3Soit φ = (x 1 ∨ x 2 ∨ x 3 ) ∧ (¬x 1 ∨ x) ∧ (¬x 2 ∨ x) ∧ (¬x 3 ∨ x) une formule CNF. Legraphe ordonné G orφ est représenté dans la figure 1. Comme on peut le remarquer, pourles clauses binaires, le graphe obtenu (SAT graphe ordonné) est le même avec et sansresctriction. i.e. une clause binaire est representé par deux arcs dans les deux graphes.¬x 1 x 2{¬x 3 }¬x¬x 2 x 3x{¬x 1 }¬x 3 x 1{¬x 2 }FIG. 1 – Graphe G orφordonné associé à la formule φ de (exemple 3)Le graphe ordonné est un bon compromis entre une représentation totale et le grapheunique. Comme expliqué dans les sections précédentes, l’utilisation de la fermeturetransitive sur un chemin du graphe, permet de générer facilement des résolvantes. L’applicationde la résolution classique revient à appliquer la fermeture transitive du graphe.En conséquence, un tel processus est clairement exponentiel dans le pire des cas.Décrivons maintenant l’étape principale de notre pré-traitement utilisant le graphereprésentatif d’une formule CNF φ. Le but de cette étape est de générer une résolvantefondamentale de taille limitée. A chaque étape une nouvelle clause c = (x 1 ∨x 2 ∨ . . . ∨ x n ) de φ est sélectionnée et traitée comme décrit dans l’algorithme 2.Pour chaque x i ∈ c (ligne 4), un arc a = (x i , x j , v(a)) ∈ G orφest choisi tel queres(c, (¬x i ∨ ¬v(a) ∨ x j ), x i ) est fondamentale (ligne 4 à 11). Plus précisément, lanouvelle résolvante est générée suivant les arcs de G orφ. Une telle résolvante est composéedes ensembles de litéraux cumulées (noeuds) et contextes (η). Un arc a est choisi telque res(c, cla(a), x i ) est fondamentale (ligne 5). Si un tel arc existe, le contexte η (resp.noeuds) est augmenté de a(v) (resp. {x j }) (ligne 6) ; sinon x i est simplement ajoutéà l’ensemble des noeuds (ligne 8) si la résolvante obtenue est fondamentale. (ligne 7).Dans le dernier cas, si aucune clause fondamentale n’a pu être générée le pré-traitements’arrête (ligne 10).Pour une formule contenant une clause c = (x 1 ∨ x 2 ∨ x 3 ) et un ensemble declauses binaires C = {(¬x 1 ∨ y), (¬x 2 ∨ y), (¬x 3 ∨ y)}, le litéral y est généré parl’algorithme 2. A partir de la clause c et les arcs qui codent C. Dans ce cas, l’applicationde notre algorithme correspond exactement à l’application de l’hyper binaire