Représentation SAT-graph - Centre de Recherche en Informatique ...

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GDR07litéraux tel que ¬η c ⊂ c et |c − {¬η c }| = 2 i.e quand η c est vrai, la clause c devient uneclause binaire.Exemple 1Soit c = (a ∨ ¬b ∨c∨d) une clause. Un contexte possible associé à c est η c = (b ∧ ¬c).La clause c peut être réécrite comme ((¬a ∧ η c ) → d).Pour une clause c de taille k, on a |η c | = k − 2. Le contexte associé à une clausebinaire est vide, Tandis que pour les clauses ternaires, le contexte est réduit à un seullitéral. Le nombre des contextes possibles de c est égal à k(k−1)2. Une clause c peutêtre réécrite en k(k − 1) différentes façons. Quand k = 1, la clause est unitaire, aucuncontexte n’est possible.En utilisant la clause c de l’exemple 1, on obtient six contextes possibles de taille 2et douze différentes façons pour réécrire c.Définissons maintenant le graphe représentatif d’une formule CNF.Définition 2 (Représentation SAT-graphe )Soit φ une formule CNF. On définit G φ = (S, E, v) comme étant le graphe SAT associéeà φ défini comme suit– S = {x, ¬x|x ∈ L(φ)}– E = {a = (¬x, y) tel que ∃c ∈ φ, c = (x ∨ ¬η c ∨ y) et v(a) = η c }Dans la suite, pour des raisons de clarté, on notera parfois l’arc étiqueté a = (x, y)comme (x, y, v(a)). On note aussi cla(a) = (¬x ∨ ¬v(a) ∨ y) comme étant la clauseassociée à a.Clairement la définition 2 généralise le graphe classique 2-SAT. En effet, si tous lescontextes sont vide i.e. toutes les clauses de φ sont binaires, dans ce cas tous les arcs deG φ sont étiquetés avec un ensemble vide de litéraux.3.2 Résolution/fermeture transitiveDans cette section, nous démontrons l’équivalence entre la résolution classique etla fermeture transitive du graphe. On commencera par introduite quelques définitionsnécessaires et on considère dorénavant uniquement les formules φ sans clauses tautologiqueset G φ = (S, A, v) indique le graphe associé à φ.Définition 3Soit G φ = (S, A, v) un graphe, a 1 = (x, y, v(a 1 )) ∈ A et a 2 = (y, z, v(a 2 )) ∈ A. Ondéfinit tr(a 1 , a 2 ) = a 3 tel que a 3 = (x, z, v(a 1 ) ∪ v(a 2 )\{x, ¬z}).Dans la définition ci-dessus, l’élimination de {x, ¬z} du contexte associé à a 3 garantieque la clause cla(a 3 ) ne contient pas plusieurs occurrences du même litéral. Ce quicorrespond à l’application de la règle de fusion.Exemple 2Soit a 1 = (x, y, {¬z, e}) et a 2 = (y, z, {x, f}). Les deux clauses codées respectivementpar a 1 et a 2 sont c 1 = (¬x ∨ z ∨ ¬e ∨ y) et c 2 = (¬y ∨ ¬x ∨ ¬f ∨ z). On obtient
tr(a 1 , a 2 ) = (x, z, {¬e, ¬f}) et cla(tr(a 1 , a 2 )) = (¬x ∨ ¬e ∨ ¬f ∨ z). Cette dernièreclause ne contient pas de litéraux redondants. En utilisant la résolution, res(c 1 , c 2 , y)on obtient donc c 3 = (¬x ∨ z ∨ ¬e ∨ ¬x ∨ ¬f ∨ z).En appliquant la règle de fusion sur c 3 , on élimine une occurrence de ¬x et z. Onobtient res(c 1 , c 2 , y) = cla(tr(a 1 , a 2 )) = (¬x ∨ ¬e ∨ ¬f ∨ z)Propriété 1Soit c 1 = (x ∨ η c1 ∨ y) ∈ φ, c 2 = (¬y ∨ η c2 ∨ z) ∈ φ, a 1 = (x, y, η c1 ) ∈ A eta 2 = (x, y, η c2 ) ∈ A. On a res(c 1 , c 2 , y) = cla(tr(a 1 , a 2 ))La preuve de la propriété 1 est une conséquence directe des définitions 2 et 3.Définition 4 (chemin)Un chemin p(x, y) entre x et y dans G φ , est définit comme suit : p(x, y) = [x i1 , x i2 , . . .,x ik ]tel que x i1 = x et x ik = y et 1 < j ≤ k (x ij−1 , x ij ) ∈ A.On définit η p = ⋃ 1
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