Mémoire de Magistère - Ens

Silvain Rideau 25 octobre 2011École Normale SupérieureL.M.F.I., Paris 7Mémoire deMagistèresous la direction deÉlisabeth BouscarenOrsay, Paris 11

Table des matièresI Introduction au domaine de recherche 3II Curiculum Vitae 14III Mémoire de M2 17IV Mini-mémoire écrit pour le cours Géométries non-archimédiennes à Paris IV 84V Rapport de stage à Cambridge en deuxième année 107VI Article publié à Logic in Computer Science 2011 156VII Rapport de stage de license en informatique 168VIII Mini-mémoire écrit pour le cours Catégories et lambdacalcul à l'Ens 206IX Article publié à Compiler Construction en 2010 222X Exposé de magistère 243XIRapport de projet du cours Neurosciences informatiques à1

TABLE DES MATIÈRESl'Ens 300XII Mini-mémoire écrit pour le cours Langage formel calculabilitéet complexité à l'Ens 3192

Première partieIntroduction au domaine derecherche3

Fromages suisses et métastabilitéLa théorie des modèles des corps valuésSilvain Rideausous la direction d’Élisabeth Bouscaren9 octobre 2011Table des matières1 Introduction à la théorie des modèles 11.1 Quelques brefs rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Élimination des quantificateurs et des imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 L’espace des types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Corps valués 42.1 Les corps valués algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Les corps valués p-adiquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Stabilité et Métastabilité 7Références 9La théorie des modèles est une branche de la logique mathématique qui a pour but l’étude desstructures (notamment des structures algébriques) à travers l’étude de leurs sous-ensembles ditsdéfinissables. Elle a de nombreuses applications, en particulier, en géométrie algébrique, en géométriediophantienne, en géométrie analytique réelle ou en analyse réelle. Je m’intéresserai iciprincipalement à ses liens avec les corps valués et rappellerai, au fur et à mesure, divers résultatsde mathématiques plus « classiques » que ces considérations logiques ont permis de démontrer.1 Introduction à la théorie des modèles1.1 Quelques brefs rappelsCommençons par rappeler quelques notions essentielles de théorie des modèles que l’on peuttrouver dans les premières pages de n’importe quel livre sur la théorie des modèles, par exemple[Mar02]. Un langage L est un ensemble de symboles de fonctions et de relations d’une arité donnée.Une L-structure M est la donnée d’un ensemble M et pour chaque symbole de fonction (resp.de relation) de L d’une fonction (resp. d’une relation) de la bonne arité, que l’on appelle son interprétation.Un morphisme de structure est alors une fonction qui respecte les interprétations desfonctions et des relations. Par exemple, les corps sont des structures dans le langage des anneaux1

1 Introduction à la théorie des modèlesL ann ∶= {+, −, ×, 0, 1} où + − et × sont des fonction binaires et 0 et 1 sont des fonctions 0-aires, i.e.des constantes.Toute formule ϕ écrite à l’aide des symboles de L, de variables et de connecteurs logiques ¬,∧, ∨, ⇒, ⇐⇒ , ∀ et ∃ peut donc être interprétée dans M (à condition d’interpréter les variablesqui ne sont pas quantifiée, i.e. libres, par des points de M). Soient ϕ[x 1 , . . . , x n ] une formule dontles variables libres apparaissent parmi les x i et a un n-uplet dans M, on note M ⊧ ϕ[ a] si ϕ[ a]est vraie dans M. La formule ϕ permet donc de définir dans M un ensemble ϕ[M] ∶= { a ∶ M ⊧ϕ[ a]}, l’ensemble des réalisations de ϕ dans M. Par exemple, l’ensemble des puissances n-ièmesest défini dans tout groupe (multiplicatif) par la formule ∃y, x = y × . . . × y. On parlera aussi deformules à paramètres pour une formule de la forme ϕ[ x, m] où m est un uplet de M. On dira qu’unpoint c de M est définissable au dessus de A ⊆ M s’il existe une formule ϕ[x] à paramètres dans Atelle que ϕ[M] = {c}. On dira qu’il est algébrique au dessus de A s’il existe ϕ[x] à paramètres dansA telle que ϕ[M] est fini et contient c. Enfin, on dira que A est algébriquement clos s’il contienttous les points qui sont algébriques sur A.Une théorie T est un ensemble de L-formules sans variables libres ni paramètres (on parled’énoncés. On dit que M est un modèle de T, et on le note M ⊧ T, si M satisfait toutes les formulesde T. De même, on note Th(M) la théorie de M qui est l’ensemble des énoncés vérifiésdans M. Deux L-structures sont dites élémentairement équivalentes si elles ont la même théorie,on le note M ≡ N . Si un énoncé ϕ est vrai dans toute modèle d’une théorie T, on dit que T impliqueϕ, ce que l’on note T ⊢ ϕ. On dira qu’une théorie est complète si tous ses modèles sont élémentairementéquivalents. En particulier, une théorie complète implique toute formule ou sa négation.Enfin, si M ⊆ N, et que les interprétations des symboles sur M sont induits par les interprétationsdans N , on dira que M est une sous-structure de N , ce que l’on note M ⊆ N . Si, de plus, touténoncé à paramètres dans M est vérifié dans M si et seulement s’il l’est dans N , on dira que M estune sous-structure élémentaire de N (ou N une extension élémentaire), ce que l’on note M ⪯ N .1.2 Élimination des quantificateurs et des imaginairesLorsqu’on étudie une théorie en particulier, il est utile de savoir exactement comment sontconstruits les objets définissables. Les « bonnes » théories sont celles qui vérifient les deux propriétéssuivantes :Définition 1.1 :On dit qu’une théorie T élimine les quantificateurs si pour toute L-formule ϕ[ x], il existe uneformule θ[ y] sans quantificateurs telle que x ⊆ y et T ⊢ ∀ y ϕ[ x] ⇐⇒ θ[ y].Définition 1.2 :On dit qu’une théorie T élimine les imaginaires si pour toute formule E[ x, y] telle que T ⊢ « E estune relation d’équivalence », il existe une fonction f définissable dans T (i.e. il existe une formuleϕ[ x, z] telle que T ⊢« ϕ définit une fonction de x ») telle que T ⊢ ∀ x y E[ x, y] ⇐⇒ f( x) = f( y).L’élimination des quantificateurs permet de savoir que les ensembles définissables sont générésà partir d’un certain nombre d’atomes par les opérations booléennes (union, intersection etcomplémentation) et l’élimination des imaginaires permet de savoir que tous les quotients définissablessont, en fait, simplement des ensembles définissables. Dans chacun des cas il y a uneméthode canonique pour construire une extension définissable du langage dans laquelle on aitl’élimination voulue. Pour l’élimination des quantificateurs il suffit de rajouter, pour chaque formulesans paramètres, un prédicat que l’on interprète par cette même formule (c’est la Morleyisation),et pour les imaginaires, il suffit de rajouter à tout modèle M un point par classe d’équivalence2

1 Introduction à la théorie des modèlesdéfinissable et des symboles de fonctions pour toutes les surjections canoniques (c’est la constructionM eq de Shelah).Si ces constructions permettent de considérer que toute théorie abstraite élimine à la fois lesimaginaires et les quantificateurs, pour étudier une théorie précise, ce procédé est complètementcontre-productif car il n’informe absolument pas sur la forme des objets définissables. Ce qui nousintéresse vraiment, c’est d’essayer de comprendre quelle est l’extension minimale du langage telleque la théorie vérifie ces deux propriétés. Voyons quelques exemples pour illustrer :Exemple 1.3 :– La théorie des corps algébriquement clos dans le langage des anneaux élimine les quantificateurs.Ce résultat de Tarski est l’équivalent modèle-théorique du théorème de Chevalley quidit que les ensembles constructibles (i.e. les combinaisons booléennes de fermés de Zariski)sont clos par projection. Cette théorie élimine aussi les imaginaires (voir [Poi83]).– La théorie des corps réels clos RCF (i.e. les corps élémentairement équivalents à R) n’éliminepas les quantificateurs car l’ensemble des carrés n’est pas définissable sans quantificateurs,mais c’est le seul problème. En effet, Tarski a aussi démontré que RCF admet l’éliminationddes quantificateurs dans l’extension du langage des anneaux avec un prédicat ⩽ définit parx ⩽ y ⇐⇒ ∃z x − y = z × z. Ce théorème a aussi une contrepartie algébrique, le théorème deTarski-Seidenberg qui énonce que les ensembles semi-algébriques sont clos par projection.Cette théorie (avec l’ordre) élimine aussi les imaginaires.– La théorie des Z-groupes (i.e. les groupes qui ont la même théorie que Z) n’élimine pas lesquantificateurs dans le langage des groupes, par contre si on rajoute, pour tout k ∈ N, lesensembles de multiples de k, alors la théorie élimine les quantificateurs et les imaginaires(pour ce dernier résultat, voir [Clu03])1.3 L’espace des typesBien que la théorie des modèles, comme je l’ai dit précédemment, soit l’étude des ensemblesdéfinissables dans une structure, un de ses principaux outils est de considérer des objets, a prioriplus compliqués : les ensembles définissables par une infinité de formules, i.e. les types.Définition 1.4 (Types) :Soient M une L-structure, A ⊆ M un ensemble de paramètres et (x i ) i∈N . Un n-type partielsur A est un ensemble de formules à paramètres dans A consistant (i.e. satisfaisable, potentiellementdans un extension élémentaire de M) dont les variables libres sont parmi x 1 , . . . , x n . Ondira qu’un type est complet (on pourra aussi parler simplement de type) s’il est maximal au sensde l’inclusion. On note S n (A) l’ensemble des n-types (complets) sur A et S(A) = ⋃ n∈N ⋆ S n (A)l’ensemble des types sur A.Si a est un uplet de M, on notetp( a/A) ∶= {ϕ[ x] L -formule à paramètres dans A ∶ N ⊧ ϕ[ a]}C’est un n-type au-dessus de A où n est la longueur de a que l’on nomme le type de a. Réciproquement,on dira que a est un réalisation de p ∈ S(A) si pour tout formule ϕ[ x] ∈ p, M ⊧ ϕ[ a], i.e.p ⊆ tp( a/A).On peut munir S n (A) d’une topologie engendrée par les ouverts de la forme ∣ϕ∣ ∶= {p ∈ S n (A) ∶ϕ ∈ p}. C’est alors un espace totalement discontinu car les éléments de la base d’ouverts sont aussifermés. En effet, ∣ϕ∣ n’est rien d’autre que le complémentaire de ∣¬ϕ∣. Le théorème de compacité,outil fondamental de la théorie des modèles, tire son nom du fait qu’il peut s’exprimer comme suit :3

2 Corps valuésThéorème 1.5 (Compacité pour la logique du premier ordre) :L’espace des n-types sur A est compact.On en déduit la formulation plus classique que tout ensemble de formules Σ[ x] est satisfaisable(dans une extension élémentaire) si et seulement s’il est finiment satisfaisable (i.e. tout sousensemblefini de Σ est satisfaisable). Comme il est évident que satisfaisable implique finiment satisfaisable,il suffit de montrer la réciproque. Supposons que Σ[ x] ne soit pas satisfaisable, il s’ensuit alors que ⋂ ϕ∈Σ ∣ϕ∣ est une intersection vide. En effet si cette intersection contenait un type p,alors ce type contiendrait Σ et comme p est satisfaisable, Σ le serait aussi. Cette intersection de ferméeétant vide, on peut en extraire un nombre fini de fermés ∣ϕ i ∣ dont l’intersection est toujoursvide. Mais alors les ϕ i ne sont satisfaisable dans aucune extension élémentaire N de M. En effets’ils l’étaient, on aurait M ⪯ N et c ∈ N tel que pour tout i, N ⊧ ϕ i [c] et tp(c/A) serait alors dans⋂ i ∣ϕ i ∣ = ∅, ce qui est absurde.Les types d’une structure peuvent être extrêmement compliqués à comprendre et à manipuler.Les deux définitions qui suivent caractérisent des types plus « raisonnables », avec lesquels il estplus facile de travailler.Définition 1.6 (Types définissables) :Soit p[ x] ∈ S n (A), on dit que p est définissable si pour toute L-formule ϕ[ x, y], il existe uneL-formule (d p ϕ)[ y] (potentiellement à paramètres) telle que pour tout a ∈ A, on ait ϕ[ x, a] ∈ p siet seulement si M ⊧ (d p ϕ)[ a].Définition 1.7 (Types invariants) :Soient p[ x] ∈ S n (M). Les automorphismes de Aut(M) agissent sur p par σ(p) = {ϕ[ x, σ( a)] ∶ϕ[ x, a] ∈ p}. On dit que p est Aut(M /A)-invariant si tous les automorphismes de M qui fixentA point par point fixent p par l’action que l’on vient de définir. Il s’en suit alors (et c’est équivalent)que dans toute extension élémentaire N de M, l’ensemble des réalisations de p est laisséglobalement invariant par tout automorphisme de N qui fixe A.La condition de définissabilté d’un type, qui est très forte, demande en quelque sorte que l’ensembledes formules qui compose le type soit lui-même un ensemble définissable dans le modèle, ou dumoins, formule par formule, l’ensemble des paramètres tels que cette formule est dans le typesoit définissable. On peut donc parler du fait d’appartenir au type à l’intérieur de la structure ellemême.La condition d’invariance est un peu plus faible mais assure tout de même que le type estassez canonique au dessus de A. Il est évident qu’un type A-définissable (i.e. les d p ϕ sont à paramètresdans A) est Aut(M /A)-invariant. Si p ∈ S n (A) et q ∈ S n (M), on dira que q est uneextension Aut(M /A)-invariante de p si p ⊆ q et q est Aut(M /A)-invariant.2 Corps valuésNous allons maintenant nous intéresser aux corps valués et à ce que la théorie des modèles a puapporter à leur étude.Définition 2.1 (Corps valué) :Soient K un corps et Γ un groupe abélien totalement ordonné. Une valuation est une applicationv ∶ K → Γ ∪ {∞} telle que :(i) pour tout a ∈ K, v(a) = ∞ ⇐⇒ a = 0 ;(ii) pour tous a, b ∈ K, v(ab) = v(a) + v(b) ;(iii) pour tous a, b ∈ K, v(a + b) ⩾ min(v(a), v(b)) ;4

2 Corps valués(iv) pour tout γ ∈ Γ, γ < ∞ et γ + ∞ = ∞ + γ = ∞.L’ensemble v(x) ⩾ 0 définit alors un anneau local O K d’idéal maximal M K . Dans la suite on noterak K = O K / M K le corps résiduel de K et res ∶ O K → k K la surjection canonique. On étudie les corpsvalués dans le langage suivant :Définition 2.2 (L div ) :Le langage L div est L ann ∪{div} et div est une relation binaire. Dans un corps valué (K, v), oninterprète x div y par v(x) ⩽ v(y).2.1 Les corps valués algébriquement closLa théorie des corps valués algébriquement clos de valuation non triviale, ACVF est probablementla théorie de corps valué la plus étudiée. En 1956, Robinson a démontré qu’elle élimine lesquantificateurs (voir [Rob56]). Holly en a déduit en 1995 une description canonique des ensemblesdéfinissables dans ACVF :Définition 2.3 (Boules et fromage suisse) :Soit (K, v) un corps valué. Soit a ∈ K et γ ∈ Γ K , on définit B ⩾γ (a) ∶= {x ∈ K ∶ v(x − a) ⩾ γ} la boulefermée de rayon γ et B >γ (a) ∶= {x ∈ K ∶ v(x − a) > γ} la boule ouverte de rayon γ.Un fromage suisse de K est un ensemble de la forme b/(⋃ n i=1 b i) où b et les b i sont des boules(ouvertes ou fermées) de K. On dira que deux fromages suisses sont trivialement emboîtés si laboule extérieure de l’un est un trou de l’autre.Proposition 2.4 ([Hol95, Théorème 3.26]) :Soit (K, v) ⊧ ACVF, tout sous-ensemble définissable de K s’écrit de manière unique comme uneunion finie de fromages suisses non trivialement emboîtés.On peut alors facilement en déduire quels sont les types dans ACVF au-dessus d’ensembles deparamètres algébriquement clos.Définition 2.5 (Généricité) :Soient (b i ) i∈I une famille de boules A-définissables et P = ⋂ i b i . On dit que x ∈ K est génériquedans P au-dessus de A si x ∈ P et x n’appartient à aucune sous-boule stricte A-définissable de P.On note α P ∣A le A-type partiel suivant, que l’on appelle le type générique sur P au dessus de A :α P = {x ∈ b i ∶ i ∈ I} ∪ {¬x ∈ b ∶ b est une boule A-définissable et b ⊊ P}Proposition 2.6 :Soit K ⊧ ACVF, tout point de K est générique sur une intersection de boules et si P est uneintersection de boules et A un ensemble de paramètres algébriquement clos, alors α P est completQuelques années plus tard, dans [HHM06], Haskell, Hrushovski et Macpherson démontrentqu’il suffit de rajouter des points correspondants aux réseaux, i.e. les sous-O K -modules libresde rang n de K n , et pour tout réseau s de rajouter l’ensemble s/ M s pour que ACVF admettentl’élimination des imaginaires. Dans la suite de leur article [HHM08], ils démontrent de nombreusespropriétés de ACVF : l’existence d’extensions invariantes pour tous les types sur des ensemblesde paramètres algébriquement clos, le fait que les types génériques des boules sont définissables...5

2 Corps valuésUne des principales applications de ces travaux est le récent article de Hrushovski et Loeser (voir[HL]), où ils démontrent que l’analytifié de Berkovich de toute variété algébrique quasi-projectivepeut être assimilé à un ensemble définissable de types et ils en déduisent l’existence d’une rétractionvers un complexe simplicial, en toute dimension.2.2 Les corps valués p-adiquement closÀ vrai dire la théorie des modèles des corps valués est peu étudiée en toute généralité. Il y en aune sous-classe qui intéresse particulièrement les théoriciens des modèles, et ce depuis le théorèmed’Ax-Kochen-Ershov, c’est les corps henséliens.Définition 2.7 (Corps Hensélien) :Un corps valué (K, v) est dit Hensélien si pour tout polynôme P[X] ∈ O K [X] et tout a ∈ O K telque res(P(a)) = 0 et res(P ′ (a)) ≠ 0, il existe b ∈ O tel que P(b) = 0 et res(a) = res(b).Théorème 2.8 (Ax-Kochen-Ershov) :Soient K et L deux corps valués henséliens de caractéristique résiduelle nulle (i.e. car(k K ) =car(k L ) = 0). Ils sont élémentairement équivalents si et seulement si leurs groupes de valeurssont élémentairement équivalents (dans le langage des groupes) et leurs corps résiduels sontélémentairement équivalents (dans le langage des anneaux).Ce théorème a été démontré par Ax-Kochen (et indépendamment par Ershov) en 1965 dans[AK65]. Il était motivé par la démonstration d’une conjecture de Artin qui prévoyait que pour toutd ∈ N ⋆ et pour tout nombre premier p ∉ X d , tout polynôme homogène de degré d dans Q p en aumoins d 2 + 1 variables a une racine non triviale. Il s’est avérée que la conjecture est fausse en tantque telle mais que pour tout d il y a au plus un nombre fini de nombres premiers pour laquelle elleest fausse. Il a fallu attendre jusqu’il y a quelques années pour une preuve purement algébrique dece résultat.Bien que le théorème d’Ax-Kochen-Ershov soit un outil puissant, il y a cependant des corps valuéstrès étudiés, en particulier en théorie des nombres, qui ne rentrent pas dans le cadre de ce théorèmecar leur caractéristique résiduelle n’est pas nulle : pour tout p premier, le corps des nombresp-adiques Q p . C’est le complété de Q pour la valuation p-adique qui à tout rationnel a b pn où a etb ne sont pas divisibles par p associe n. C’est un corps Hensélien, et bien que sa caractéristiquerésiduelle ne soit pas nulle, il vérifie la conclusion du théorème d’Ax-Kochen-Ershov. En effet, toutcorps dont le groupe de valeur est un Z-groupe et dont le corps résiduel est F p est élémentairementéquivalent à Q p . On dit que de tels corps sont p-adiquement clos, et on note pCF leur théorie.C’est d’ailleurs la preuve d’Ax et Kochen qui a inspiré à Macintyre, en 1976 (voir [Mac76]), unepreuve d’élimination des quantificateurs pour Q p dans L div étendu avec les prédicats qui définissentles puissances k-ièmes. Une des applications algébriques de ce résultat est l’article [Den84]de Denef en 1984, dans lequel il démontre (ou redémontre, pour certaines) la rationalité de sériesde Poincaré :Définition 2.9 :Soit (P i ) une famille finie de polynômes de Q p [X 1 , . . . , X n ], on note a n ∶= #{x mod p n ∶ x ∈Z n p ∧∀i P i (x) ≡ 0 mod p n } et ã n ∶= #{x mod p n ∶ x ∈ Z n p ∧∀i P i (x) = 0}. On peut alors définir lesdeux séries suivantes, dites de Poincaré, P(T) = ∑ i a i T i et ̃P(T) = ∑ i ã i T iThéorème 2.10 (Denef) :Les séries P et ̃P sont rationnelles.6

3 Stabilité et MétastabilitéLa preuve consiste à remarquer que les coefficients de ces séries sont les mesures de sousensemblesdéfinissables de Q p et comme, par le théorème de Macintyre, on sait exactement commentsont construits ces ensembles, cela nous donne des indications sur leur mesure. En 1988,Grunewald, Segal et Smith dans [GSS88], ont appliqué ce genre de techniques pour montrer la rationalitéde séries de comptage des sous-groupes : si G est un groupe, on note b n le nombre de sousgroupesd’indice n. Ils ont alors montré que si G est finiment engendré et nilpotent, les b n sont toujoursfinis et ∑ i b p iT i est rationnelle. Leur preuve procède en deux temps. Tout d’abord, montrerque l’ensemble des sous-groupes de G d’indice une puissance de p est en bijection avec l’ensembledes classes d’équivalences d’une relation d’équivalence définissable E sur un sous-ensemble définissableD de Q n p. Et ensuite, trouver une fonction f ∶ D → Q p telle que pour tout x ∈ D, la mesure dela E-classe de x est égale à v p (f(x)). Dans ce cas précis, la relation d’équivalence E est assez simplepour qu’on puisse trouver explicitement une telle fonction f, mais cette méthode atteint ses limitessi le E devient trop compliquée, en particulier, si, au lieu de compter les sous-groupes d’indice p n ,on veut compter les caractères complexes irréductibles de dimension p n .C’est donc dans le but de montrer la rationalité de telles séries que Hrushovski et Martin (voir[HM08]) se sont attelés à la tâche de démontrer l’élimination des imaginaires dans pCF. Commetout corps p-adiquement clos se plonge dans un corps algébriquement clos, l’idée est d’utiliser lerésultat d’élimination d’imaginaires dans ACVF pour démontrer qu’il suffit de rajouter les mêmepoints à un corps p-adiquement clos pour obtenir l’élimination des imaginaires (la preuve de cethéorème est le but de mon mémoire de M2).3 Stabilité et MétastabilitéCe qui fait la difficulté de la preuve précédente est qu’aucun type de pCF n’est définissable.L’espace des types est compliqué, en particulier, il est très gros. À l’autre extrême, il y a les théoriesdites stables dont l’étude a ses racines dans les travaux de Morley sur le théorème de catégoricité 1et qui est développée par Shelah dans le cadre de la théorie de la classification.Définition 3.1 (Stabilité) :Soit κ un cardinal infini, une théorie T est κ-stable si pour tout modèle M de T et tout ensembleA ⊆ M de cardinal κ, S(A) est de cardinal κ. On dira que T est stable si elle est κ-stable pour uncertain cardinal κ.Comme le cardinal de S(A) est au moins le cardinal de A, il s’en suit que la stabilité est unehypothèse de petitesse de l’espace des types. Elle a de nombreuses définitions équivalentes dont ladéfinition historique qui est liée a la présence d’un ordre dans la théorie.Définition 3.2 (Propriété de l’ordre) :Une formule ϕ[ x, y] a la propriété de l’ordre dans M s’il existe ( a i ) i∈N et ( bi ) i∈N dans M telsque M ⊧ ϕ[ a i , bj ] si et seulement si i < j.1. Le théorème de catégoricité s’énonce ainsi : toute théorie dans un langage dénombrable qui a un seul modéle àisomorphisme près d’un certain cardinal non dénombrable a un seul modèle à isomorphisme près de tout cardinal nondénombrable.7

3 Stabilité et MétastabilitéThéorème 3.3 :Soit T une théorie, les conditions suivantes sont équivalentes :(i) T est stable ;(ii) Dans tout modèle de T, aucune formule n’a la propriété de l’ordre ;(iii) Tous les types sont définissables.Une des conséquences principales de l’hypothèse de stabilité est qu’on peut alors définir unenotion d’indépendance abstraite au dessus de tout ensemble de paramètres A, notée ⫝ A .Parmi les exemples les plus habituels de théories stables, il y a (vous vous en seriez peut êtredouté) les corps algébriquement clos (où la notion abstraite d’indépendance due à la stabilité setrouve être l’indépendance algébrique), les K-espaces vectoriels, où K est un corps fixé (la notiond’indépendance de la stabilité et alors nulle autre que l’indépendance linéaire) et la théorie del’ensemble infini sans structure. Ces classes de structures vérifient même une propriété encoreplus restrictive qui est la forte minimalité : tous les ensembles unaires définissables sont soit finissoit cofinis. Il existe aussi des théories stables non fortement minimales, c’est le cas par exempledes corps séparablement clos non parfaits 2 et des corps différentiellement clos de caractéristiquenulle.Définition 3.4 (Corps différentiel) :Soit K un corps de caractéristique nulle, une dérivation sur K est une fonction δ ∶ K → K quiest un morphisme de groupe additif et qui vérifie la règle de Leibniz : pour tout x, y ∈ K, δ(xy) =δ(x)y + xδ(y). On définit l’anneau des polynômes différentiels sur K par K{X} = K[(X (n) ) n∈N ].Tout polynôme différentiel peut s’évaluer en un point x en remplaçant X (i) par δ i (x) et on définitl’ordre d’un polynôme différentiel comme le i maximal tel que X (i) apparaisse dans le polynôme.On dit que K est différentiellement clos si pour tout f, g ∈ K{X} tel que g n’est pas nul et l’ordrede f est strictement supérieur à l’ordre de g, il existe a ∈ K tel que f(a) = 0 ≠ g(a).En revanche, toutes les théories classiques où un ordre est sous-jacent sont instables : les corpsréels clos, les groupes abéliens divisibles ordonnés, les corps valués algébriquement clos, les corpsp-adiquement clos... Toutes les théories que je viens de nommer ont cependant une propriété plusfaible que la stabilité, la propriété NIP (not indendance property), qui est de plus en plus étudiée.Il y a aussi bien sûr des théories qui n’ont pas NIP (et qui sont donc instables), et en premier lieul’arithmétique (i.e. la théorie de (N, +, ×)).Définition 3.5 (Propriété d’indépendance) :Une formule ϕ[ x, y] a la propriété d’indépendance dans M si pour tout entier N il existe desuplets ( a i ) 0⩽i⩽N et ( bJ ) J⊆⟦0...N⟧ dans M tels que M ⊧ ϕ[ a i , bJ ] si et seulement si i ∈ J.On dira qu’une théorie a NIP si aucune formule n’a la propriété d’indépendance dans aucunmodéle de T.On peut remarquer que la propriété d’indépendance apparaît aussi en probabilités sous le nomde Vapnik-Chervonenkis-dimension finie.Comme je l’ai fait remarqué précédemment, les deux théories ACVF et pCF ont NIP, il y a cependantune différence fondamentale entre ces deux théories. L’une, pCF, est irrémédiablementinstable, l’autre, par contre, peut être vue comme l’interaction d’une partie stable qui est liée aucorps résiduel (qui est un corps algébriquement clos et donc une structure très stable vu qu’elle estfortement minimale) et d’une partie instable qu’est le groupe de valeur (qui est ordonné). On parledans ces cas-là de métastabilité.2. C’est d’ailleurs une conjecture toujours ouverte de savoir si tout corps stable est séparablement clos.8

RéférencesDéfinition 3.6 (St A ) :Un ensemble A-définissable X est dit stablement plongé si pour tout ensemble définissable Y,X ∩ Y est définissable à partir de A et de points de X. L’ensemble X est dit stable si la structure Xmuni d’un prédicat par sous-ensemble A-définissable de X n est stable. On note St A la structurequi est l’union disjointe de tous les ensembles A-définissables stables et stablement plongés munisde leurs sous-ensembles A-définissables.Par exemple dans ACVF le corps résiduel k est stable et stablement plongé. Il en est de mêmede tous les k-espaces vectoriels définissables (et tous les ensembles stables et stablement plongéssont essentiellement de cette forme).La structure St A est, en quelque sorte, la partie stable de la structure qui est définissable audessus de A. On peut vérifier que c’est elle même une structure stable. Si B ⊆ M, On note St A (B)l’ensemble des points définissables sur B qui sont dans St A .Définition 3.7 (Type stablement dominé) :Soit c ∈ M, on dit que tp( c/A) est stablement dominé si pour tout B ⊆ M tel que St A ( c) ⫝ A St A (B)alors tp(B/A St A ( c)) ⇒ tp(B/Ac), i.e. si B ′ a le même type que B au dessus de A St A ( c) alors il aaussi le même type au dessus de A c..Définition 3.8 (Métastabilité) :Soit Γ un ensemble définissable de M stablement plongé et muni d’un ordre définissable sansparamètres. On dit que M est métastable si :(i) Tout type au dessus d’un ensemble de paramètres algébriquement clos a une extensioninvariante ;(ii) Pour tout n, il existe un ensemble B qui contient A tel que pour tout n-uplet a, le typetp( a/BΓ(B a)) est stablement dominé.La métastabilité exprime donc que si on ignore la partie instable en la mettant dans les paramètresalors les types sont « contrôlés » par la partie stable de la structure. Le premier exemple destructure métastable est les corps valués algébriquement clos, et la notion de métastabilité a, plusou moins, été inventée à partir de ces structures (voir [HHM08]). Il y a un autre exemple de théoriequi semble faite pour cette notion de métastabilité : les corps valués différentiellement clos (essentiellementun corps différentiellement clos muni d’une valuation, avec quelques axiomes pour queles deux interagissent bien – voir [Sca00] où Scanlon présente des structures un petit peu plusgénérales), mais il n’est pas clair que les extensions invariantes existent dans cette théorie.L’étude de cette dernière théorie, de ses rapports avec la métastabilité et de la métastabilité dansun cadre plus abstrait est la direction dans laquelle semble se diriger ma thèse.Références[AK65] James Ax et Simon Kochen. « Diophantine Problems Over Local Fields I ». Dans :American Journal of Mathematics 87.3 (1965), p. 605–630.[Clu03][Den84]Raf Cluckers. « Presburger Sets and P-Minimal Fields ». Dans : The Journal of SymbolicLogic 68.1 (2003), pp. 153–162.Jan Denef. « The rationality of the Poincaré series associated to the p-adic points ona variety ». Dans : Inventiones Mathematicae 77 (1984), p. 1–23.9

Références[GSS88][HHM06][HHM08][HL][HM08][Hol95][Mac76]F. J. Grunewald, D. Segal et G. C. Smith. « Subgroups of Finite Index in NilpotentsGroups ». Dans : Inventiones Mathematicae 93.1 (1988), p. 185–223.Deirdre Haskell, Ehud Hrushovski et Dugald Macpherson. « Definable Sets in AlgebraicallyClosed Valued Fields : Elimination of Imaginaries ». Dans : Journal für dieReine und Angewandte Mathematik 597 (2006), p. 175–236.Deirdre Haskell, Ehud Hrushovski et Dugald Macpherson. Stable Domination andIndependance in Algebraically Closed Valued Fields. Association for Symbolic Logic.Lecture Notes in Logic 30. Cambridge University Press, 2008.Ehud Hrushovski et François Loeser. « Non-archimedean tame topology and stablydominated types ». arXiv : 1009.0252.Ehud Hrushovski et Ben Martin. « Zeta Functions from Definable Equivalence Relations». arXiv : math/0701011. 2008.Jan E. Holly. « Canonical forms for definable subsets of algebraically closed and realclosed valued fields ». Dans : The Journal of Symbolic Logic 60.3 (1995), p. 843–860.Angus Macintyre. « On Definable Subsets of p-Adic Fields ». Dans : The Journal ofSymbolic Logic 41.3 (1976), p. 605–610.[Mar02] David Marker. Model Theory : An Introduction. Graduate Texts in Mathematics 217.Springer, 2002.[Poi83][Rob56][Sca00]Bruno Poizat. « Une théorie de Galois imaginaire ». Dans : The Journal of SymbolicLogic 48.4 (1983), p. 1151–1170.Abraham Robinson. Complete Theories. Studies in Logic 7. North-Holland PublishingCompany, 1956.Thomas Scanlon. « A model complete theory of valued D-fields ». Dans : The Journalof Symbolic Logic 65.4 (2000), p. 1758–1784.10

Deuxième partieCuriculum Vitae14

Curriculum vitaeSilvain Rideauné le 11 mars 1988 à Grasse45 rue d'Ulm75005 Parismail : silvain.rideau@ens.frÉtudes2006200820082009Été 2009Classes préparatoires au lycée Massena (MPSI puis MP*)Licence de maths-info de la FIMFA à UlmStage à l'INRIA sous la direction de Xavier Leroy dans le butd'écrire un validateur d'allocation de registre.1 semestre 2009-2010 M1 de mathématiques de la FIMFA à Ulm et cours de M2erd'informatique2 semestre 2009-2010 Stage au Computer Lab de Cambridge, sous la direction deeGlynn Winskel sur les jeux concurentsMars 201020102011Juin 2011Diplômes et concoursConférence Compiler ConstructionM2 de Logique Mathématique et Fondement de l'Informatiqueà Paris VII, sous la direction d'Élisabeth BouscarenConférence Logic in Computer ScienceJuin 2006Baccalauréat option internationale anglo-américaine, mentionTBJuillet 2008 Admis 9 à Ulm et 1 à polytechniquee erJuin 2009Licence 3 de Mathématiques, mention TBJuin 2010Master 1 de Mathématiques, mention TBSeptembre 2011 Master 2 de Mathématiques, mention TBCours de M2 suivisAu LMFI : Théorie des modèles et théorie des ensembles. Calculabilité et incomplétude. Outils classiques et introduction à la théorie des modéles géométriques. Structures de Zariski.1

Logique catégorique. Logique du second ordre et forcing.Au master de mathématiques fondamentales à Paris VI : Introduction aux groupes et algèbres de Lie. Initiation à la Géométrie Algébrique. Algèbre homologique et faisceaux. Introduction à la théorie des schémas. Géométrie non archimédienne et théorie des modèles.Au master de mathématiques fondamentales à Paris VI : Représentations linéaires des groupes nis.Au MPRI : Logique linéaire et pradigme logiques du calcul. Démonstration automatique. Fondements des systémes de preuve. Assistants de preuve. Modéles des langages de programation : domaine, catégories, jeux. Programation fonctionnelle et système de types.Publications Avec Xavier Leroy, Validating Register Allocation and Spilling , CompilerConstruction 2010, Lecture Notes in Computer Science volume 6011. Avec Glynn Winskel, Concurent Strategies , LICS 2011.Divers Bilingue anglais, des connaissances en russe. Une expérience de l'enseignement dans le cadre de Talens, association de tutoratd'Ulm. Et pour les loisirs : piano, cirque et debating.2

Troisième partieMémoire de M217

Silvain Rideau 28 septembre 2011École Normale SupérieureL.M.F.I., Paris 7Théorie des modèlesdesCorps Valuéssous la direction deÉlisabeth BouscarenOrsay, Paris 11

IntroductionLe résultat historique qui a fait des corps valués un domaine de prédilection desthéoriciens des modèles (et a peut être aussi attiré l'attention des géomètres algébristessur la théorie des modèles) est le théorème démontré en 1965 par Ax et Kochen (etindépendamment par Ershov) dans [AK65]. Ce théorème énonce qu'en caractéristiquerésiduelle nulle, la théorie d'un corps valué est totalement déterminée par la théorie dugroupe de valeur et du corps résiduel. Ce théorème était motivé par la démonstrationd'une conjecture d'Artin sur les racines des polynômes homogènes dans le corps desnombres p-adiques Q p , dont il a fallu attendre jusqu'il y a quelques années une preuvepurement algébrique.Bien que le théorème d'Ax-Kochen-Ershov ne s'applique qu'en caractéristique résiduellenulle et qu'il ne soit pas à proprement parler un résultat d'élimination desquanticateurs, il a néanmoins inspiré Macintyre en 1976 (voir [Mac76]) pour démontrerun résultat d'élimination des quanticateurs pour la théorie de Q p . Une des applicationsalgébriques de ce résultat est l'article [Den84] de Denef en 1984, dans lequell'auteur démontre (ou redémontre, pour certaines) la rationalité de séries de Poincaré: si (P i ) est une famille nie de polynômes de Q p [X 1 , . . . , X n ], on note a n ∶= #{xmod p n ∶ x ∈ Z n p ∧∀i P i (x) ≡ 0 mod p n } et ã n ∶= #{x mod p n ∶ x ∈ Z n p ∧∀i P i (x) = 0}.Le résultat que Denef démontre est que la série des ∑ i ã i T i est rationnelle et sa preuvedonne une nouvelle démonstration du fait que ∑ i a i T i l'est aussi. La preuve de Denefconsiste à remarquer que les coecients de ces séries sont les mesures de sous-ensemblesdénissables de Q p et comme, par le théorème de Macintyre, on sait exactement commentsont construits ces ensembles, cela nous donne des indications sur leur mesure.En 1988, Grunewald, Segal et Smith dans [GSS88], ont appliqué ce genre de techniquespour montrer la rationalité de séries de comptage des sous-groupes : si G estun groupe, on note b n le nombre de sous-groupes d'indice n. Ils ont alors montré quesi G est niment engendré et nilpotent, les b n sont toujours nis et ∑ i b p iT i est rationnelle.Leur preuve procède en deux temps. Tout d'abord, montrer que l'ensembledes sous-groupes de G d'indice une puissance de p est en bijection avec l'ensemble desclasses d'équivalences d'une relation d'équivalence dénissable E sur un sous-ensembledénissable D de Q n p. Et ensuite, trouver une fonction f ∶ D → Q p telle que pourtout x ∈ D, la mesure de la E-classe de x est égale à v p (f(x)), où v p est la valuationp-adique. Dans ce cas précis, la relation d'équivalence E est assez simple pour qu'onpuisse trouver explicitement une telle fonction f, mais cette méthode atteint ses limitessi le E devient trop compliquée, en particulier, si, au lieu de compter les sous-groupes1

INTRODUCTIONd'indice p n , on veut compter les caractères complexes irréductibles de dimension p n .De même que le résultat de Denef sur la rationalité de séries de Poincaré étaitpossible grâce à un résultat d'élimination des quanticateurs qui permettait de savoirqu'il susait de rajouter, pour tout n, l'ensemble des puissances n-ièmes comme atomespour pouvoir construire tous les ensembles dénissables par des opérations booléennes ;on voudrait aussi savoir exactement quelles sont les relations d'équivalence dénissablesdans Q p qu'il faut rajouter pour pouvoir toutes les décrire simplement. En d'autrestermes et pour reprendre la terminologie modèle théorique introduite par Poizat en1983 dans [Poi83], on veut montrer un résultat d'élimination des imaginaires pour Q p .En 2006, Haskell, Hrushovski et Macpherson dans [HHM06] démontrent qu'on al'élimination des imaginaires pour les corps valués algébriquement clos si on rajoutecertains quotients de GL n (K). Deux ans plus tard, Hrushovski et Martin, dans [HM08],utilisent ce résultat pour montrer l'élimination des imaginaires pour Q p avec les mêmesortes additionnelles et en déduisent la rationalités des séries de comptage des représentationsdes groupes niment engendrés nilpotents.Le but de ce mémoire est donc (d'essayer) de démontrer le principal résultat dethéorie des modèles de [HM08] : l'élimination des imaginaires pour la théorie de Q pavec les sortes géométriques et d'en proter pour démontrer la plupart des résultatspréliminaires sur les corps valués algébriquement clos et les corps p-adiquement clos,i.e. les corps dont la théorie est celle de Q p . Malheureusement, certaines imprécisionsde la preuve donnée dans [HM08] font que la preuve donnée ici n'est pas complète, ilen manque l'extême n.Ce mémoire s'organise en deux parties. Une première, centrée autour des corps algébriquementclos, dans laquelle on introduit les notions de théorie des modèles (dont lanotion d'imaginaire) et de théorie des corps valués qui sont nécessaires. On en proterapour démontrer le résultat de A. Robinson (voir [Rob56]) d'élimination des quanticateurspour les corps valués algébriquement clos et rappeler le résultat de [HHM06]d'élimination des imaginaires pour cette même théorie. La deuxième partie, quant àelle, contient une étude des corps p-adiquement clos : la clôture algébrique et dénissable,les types, les extensions algébriques et pour nir les premiers éléments d'unepreuve d'élimination des imaginaires.Protons en pour xer quelques notations : le langage L A est le langage L augmenté d'une constante par élément de A. ÊtreL A -dénissable revient donc à être L-dénissable à paramètres dans A ; on notera c ≡ A c ′ pour c et c ′ ont le même type au dessus de A ; pour tout ensemble dénissable (ou inniment dénissable) X et tout ensemblede paramètres A dans un modèle M, on notera X(A) ∶= {x ∈ A ∶ M ⊧ X(a)}.Enn je tiens à remercier Élisabeth Bouscaren de m'avoir proposé ce sujet de mémoireet de m'avoir patiemment encadré au cours de ces derniers mois. Luc Belairet Pierre Simon pour leurs discussions éclairantes. Tous les professeurs qui m'ont fait2

INTRODUCTIONdécouvrir et aimer la théorie des modèles : François Loeser, René Cori, Martin Hils...Pierre-Yves Coudert pour sa grande vigilance orthographique et Catherine Kikuchipour les synomymes et le thé.3

Première partieLes corps valués algébriquementclos4

1. LES LANGAGES DES CORPS VALUÉS1 Les langages des corps valuésDénition 1.1 (Corps valué) :Soient K un corps et Γ un groupe abélien totalement ordonné. Une valuation estune application v ∶ K → Γ ∪ {∞} telle que :(i) pour tout a ∈ K, v(a) = ∞ ⇐⇒ a = 0 ;(ii) pour tous a, b ∈ K, v(ab) = v(a) + v(b) ;(iii) pour tous a, b ∈ K, v(a + b) ⩾ min(v(a), v(b)) ;(iv) pour tout γ ∈ Γ, γ < ∞ et γ + ∞ = ∞ + γ = ∞.Une autre notion utile est celle d'anneau de valuation mais ces deux notion sont enfait identiques.Dénition 1.2 (Anneau de valuation) :Un anneau intègre O de corps de fractions K est dit de valuation si pour tout x ∈ K,x ou x −1 est dans O.Remarque 1.3 :(i) Soient (K, v) un corps valué et O v = {a ∈ k ∶ v(a) ⩾ 0}, alors O v est un anneaude valuation.D'autre part, soit O un anneau de valuation et K son corps de fraction, alorsK peut être muni d'une valuation telle que O soit son anneau de valuation.(ii) Tout anneau de valuation est local. Si K est un corps valué d'anneau de valuationO et M est son idéal maximal, alors O /M est appelé le corps résiduelde K.Dans tout ce qui suit, si (K, v) est un corps valué, on notera O v son anneau devaluation, M v son idéal maximal, Γ v son groupe de valuation et k v son corps résiduel.S'il n'y a pas d'ambiguïté sur la valuation on les notera O K , M K , Γ K et k K , voire O,M, Γ et k s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps non plus.Dénition 1.4 :Soient v 1 et v 2 deux valuations sur un même corps K, on dit que v 1 ⩽ v 2 si et seulementsi O v2 ⊆ O v1 . C'est un pré-ordre. On dira que deux valuations sont équivalentessi elles sont équivalentes pour la relation associée à ce pré-ordre, i.e. O v1 = O v2 .Remarque 1.5 :Soient v 1 et v 2 deux valuations sur un même corps K, v 1 est équivalente à v 2 siet seulement si il existe σ ∶ Γ v1 → Γ v2 , isomorphisme de groupes ordonnés, tel quev 2 = σ ○ v 1 .5

1. LES LANGAGES DES CORPS VALUÉSIl suit de cette remarque qu'on ne considérera désormais les valuations qu'à équivalenceprès. La théorie des corps valués n'est donc pas tant la théorie des valuationsque la théorie des anneaux de valuation.Pour faire de la théorie des modèles, il faut introduire le langage qu'on utilisera. Ily en a un certain nombre qui sont classiquement utilisés dans la littérature. Celui quisera le plus utilisé ici est le suivant :Dénition 1.6 (L div ) :Le langage L div est {+, −, ×, 0, 1, div} où +, − et × sont des fonctions binaires, 0 et1 sont des constantes et div est une relation binaire. Dans un corps valué (K, v), oninterprète +, −, ×, 0 et 1 par la structure d'anneau de K et x div y par v(x) ⩽ v(y).La théorie des corps valués est alors donnée par les axiomes suivants :(i) K est un corps ;(ii) 1 div 1 ∧ 1 div 0 ;(iii) ∀x∀y 1 div x ∧ 1 div y ⇒ 1 div x + y ∧ 1 div xy ;(iv) ∀x∀y xy = 1 ⇒ (1 div x ∨ 1 div y) ;(v) ∀x∀y∀z xy = 1 ⇒ (x div z ⇐⇒ 1 div yz).On aurait pu tout simplement prendre le langage des anneaux {+, −, ×, 0, 1} etajouter un prédicat pour l'anneau de valuation, mais alors, à moins de rajouter l'inverse,les théories que l'on considère plus loin perdent l'élimination des quanticateurs.Remarque 1.7 :Une sous-L div -structure est un anneau dont le corps des fractions (qui est aussi unesous-structure) est un corps valué muni de la restriction de la valuation.Il y a un autre langage classique, qui est peut être plus proche de l'intuition quel'on a de ce qu'est un corps valué, mais qui a le défaut d'être multi-sorté.Dénition 1.8 :Le langage tri-sorté des corps valué est constitué de trois sortes K, Γ ∞ et k et dessymboles suivants : {+, −, ×, 0, 1} sur K et k ; {+, −, 0, ⩽, ∞} sur Γ ∞ ; v ∶ K → Γ ∞ ; res ∶ K → k.Il faut alors faire attention que la théorie des corps valué dans ce langage contient lefait que v et res sont surjectives, bien que ce ne soit pas le cas de toutes les structures. Àce détail près, la théorie des corps valués a les même propriétés dans ces deux langages,et, en particulier, les sous-ensembles dénissables de la sorte K sont exactement lesmême que ceux qui sont dénissables dans L div .6

1. LES LANGAGES DES CORPS VALUÉSDénition 1.9 (ACVF) :On note ACVF la théorie des corps valués algébriquement clos de valuation nontriviale dans L div . Elle est composée des axiomes suivants : K est un corps valué (voir l'axiomatisation de la théorie des corps valuésci-dessus) ; pour tout n ∈ N ⋆ , tout polynôme de K[X] de degré n admet une racine ; il existe x tel que ¬(x div 1).Dans la suite de ce mémoire, à de rares exceptions près, les corps valués seront toujoursnon trivialement valués. On ne considérera des corps valués de valuation trivialeque dans la preuve du théorème (3.4) car ils pourront apparaître lorsque l'on considèredes sous-structures.Pour nir, nous allons dénir une classe de corps valués particulière qui est trésprésente en théorie des modèles. À vrai dire, tous les corps dont on étudie la théoriedans ce mémoire en font partie.Dénition 1.10 (Corps Hensélien) :Un corps valué (K, v) est dit Hensélien si pour tout polynôme P [X] ∈ O[X] ettout a ∈ O tel que res(P (a)) = 0 et res(P ′ (a)) ≠ 0, il existe b ∈ O tel que P (b) = 0 etres(a) = res(b).Proposition 1.11 :Soit (K, v) un corps valué, les conditions suivantes sont équivalentes :(i) K est Hensélien.(ii) Il n'y a qu'une extension de v à toute extension algébrique de K (à équivalenceprès).(iii) Il n'y a qu'une extension de v à toute extension nie de K (à équivalence près).(iv) (Hensel-Rychlik) Soient P [X] ∈ O[X] et a ∈ O tel que v(P (a)) > 2v(P ′ (a)),il existe alors b ∈ O tel que P (b) = 0 et v(b − a) = v(P (a)) − v(P ′ (a)).Démonstration.(iv) ⇒ (i) Soient P ∈ O[X] et a ∈ O tel que res(P (a)) = 0 et res(P ′ (a)) ≠ 0 i.e.v(P (a)) > 0 = v(P ′ (a)). Alors par (iv) il existe b ∈ O tel que P (b) = 0 etv(b − a) = v(P (a)) − 0 > 0.(i) ⇒ (iv) Comme v(P ′ (a)) est strictement majoré par une valuation, on ne peut pasavoir P ′ (a) = 0. Soient c = −P (a)/P ′ (a) et Q(X) = P (Xc + a)/P (a). Si P (x +a) = ∑ n i=0 λ iX i on a bien λ i ∈ O et Q(X) = ∑ n i=0 a i(−1/P ′ (a)) i P (a) i−1 X i . Soncoecient constant est a 0 /P (a) = 1 ∈ O. Le coecient de X est −a 1 /P ′ (a) = −1 ∈O et pour les autres on a v(a i (−1/P ′ (a)) i P (a) i−1 ) ⩾ (i − 1)v(P (a)) − iv(P ′ (a)) >(2(i − 1) − i)v(P ′ (a)) ⩾ 0. On a donc bien Q(X) ∈ O[X]. De plus v(Q(1)) =7

2. LES EXTENSIONS DES VALUATIONSv(∑ n i=2 a i(−1/P ′ (a)) i P (a) i−1 ) et tous les termes de la somme sont dans M doncv(Q(1)) > 0. De même, v(Q ′ (1)+1) = v(∑ n i=2 a ii(−1/P ′ (a)) i P (a) i−1 ) ⩾ v(Q(1)) >0 et donc v(Q ′ (1)) = 0. Le (i) nous donne alors d ∈ O tel que Q(d) = 0 etv(d − 1) > 0, en particulier v(d) = 0. Si on pose b = cd + a alors P (b) = Q(d) = 0 etv(b − a) = v(c) + v(d) = v(P (a)) − v(P ′ (a)).(ii) ⇒ (iii) C'est évident.(iii) ⇒ (ii) Soient K ⩽ L une extension algébrique et O 1 et O 2 deux anneaux de valuationde L qui étendent O v . Pour tout x ∈ L, K[x] est une extension nie deK et O 1 ∩K[x] et O 2 ∩K[x] en sont deux anneaux de valuation. Par (iii), ilssont égaux. Pour tout x ∈ L on a donc x ∈ O 1 ⇐⇒ x ∈ O 1 ∩K[x] ⇐⇒ x ∈O 2 ∩K[x] ⇐⇒ x ∈ O 2 .(i) ⇐⇒ (ii) Se reporter à [EP05, Proposition 4.1.3, p. 87-90].◻On peut remarquer une conséquence immédiate de la proposition que l'on vientd'énoncer : comme un corps algébriquement clos n'a pas d'extension algébrique, il estHensélien.Corollaire 1.12 :Toute extension algébrique d'un corps Hensélien est Hensélienne.Démonstration. Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension algébrique de corps valué, où K estHensélien. Alors toute extension algébrique L ′ de L est une extension algébrique de Ket comme toute valuation qui étend w étend v, il ne peut y avoir qu'une extension dew à L ′ .◻Proposition 1.13 (Existence de l'Hensélianisé) :Soit (K, v) un corps valué, il existe un corps hensélien (K h , v h ) et une injection decorps valué i ∶ K → K h , qui est universelle au sens suivant : pour toute injection j deK dans un corps Hensélien L, il existe une unique injection ĵ de K h dans L telle quej = ĵ ○ iDémonstration. On peut en trouver une dans [EP05, 5.2.2, p.121]◻2 Les extensions des valuationsLe but de cette section est d'étudier comment les valuations peuvent s'étendre à uneextension de corps. On montrera tout d'abord que de telles extensions existent toujours,et ensuite on se restreindra aux extensions algébriques pour démontrer le théorème deconjugaison (voir (2.15)). La preuve donnée ici de ce dernier théorème est inspirée de[Rib99 ; EP05]. On peut aussi en trouver une dans [Lan02, Corollary XII.4.9, p.485].8

2. LES EXTENSIONS DES VALUATIONSDénition 2.1 (Extension de valuation) :Soient (K, v) et (L, w) deux corps valués tels que K ⩽ L. On dit que w étend v (eton note (K, v) ⩽(L, w)) si O w ∩K = O v .On remarque alors que w K et v sont équivalentes et donc quitte à remplacer v parune valuation équivalente, on peut supposer w K = v.Tout d'abord montrons le théorème d'extension de Chevalley, la preuve donnée iciest celle de [Rib64, Théorème 4, p. 43-45]Théorème 2.2 (Extension de Chevalley) :Soient K un corps, A un sous-anneau de K et p un idéal premier de A, il existealors un anneau de valuation O de K d'idéal maximal M, tel que A ⊆ O et M∩A =p.Démonstration. Soit F ∶= {(O, M) ∶ A ⊆ O ⊆ K, O est un sous-anneau local de Kd'idéal maximal M et M ∩ A = p}. Cette famille contient A p (le localisé de A en p)qui est bien un sous-anneau local de K qui contient A et dont l'idéal maximal estpA p dont l'intersection avec A est bien p. De plus, on peut ordonner cette famille par(B, M) ⩽ (B ′ , M ′ ) si B ⊆ B ′ et M ′ ∩ B = M. Muni de cette ordre F est inductive, eneet si (O i , M i ) est une chaîne alors O = ⋃ i O i est un sous anneau de K qui contientA et dont M = ⋃ i M i est un idéal. Si I est un autre idéal de O, alors, pour tout i,I ∩ O i est un idéal de O i et donc I ∩ O i ⊆ M i . Comme tout point de I est dans un O i ,il s'en suit que I ⊆ M et ce dernier est donc bien l'unique idéal maximal de O. EnnM ∩ A = ⋃ i M i ∩ A = ⋃ i p = p.Par le lemme de Zorn, il existe (O, M) maximal dans F. Supposons qu'il existex ∈ K tel que x ∉ O et x −1 ∉ O. Supposons alors que M[x] ≠ O[x], il existe M ′ unidéal maximal de O[x] qui contient M[x]. Montrons alors que O[x] M ′ est un élémentde F. C'est un sous-anneau de K qui contient A et dont l'unique idéal maximal estM ′ O[x] M ′. De plus, M ′ O[x] M ′ ∩O = (M ′ O[x] M ′ ∩O[x])∩O = M ′ ∩O ⊇ M[x]∩O ⊇ M,or M ′ O[x] M ′ ∩ O est un idéal de O qui ne contient pas 1 (sinon M ′ O[x] M ′ devrait lecontenir, ce qui contredirait son caractère maximal) et donc M ′ O[x] M ′ ∩ O = M. Enparticulier M ′ O[x] M ′ ∩ A = (M ′ O[x] M ′ ∩ O) ∩ A = M ∩ A = p. Comme O ⊊ O[x], celacontredirait le fait que (O, M) soit maximal. On a donc montré que O[x]M = O[x].Par le même argument appliqué à x −1 , on a aussi O[x −1 ]M = O[x −1 ].Il s'en suit que 1 = ∑ n i=0 a ix i = ∑ m i=0 b ix −i où les a i et les b i sont dans M. De plus, onpeut supposer que n et m sont minimaux et que m ⩽ n (l'autre cas est identique). Ona alors ∑ m i=1 b ix −i = 1 − b 0 ∈ O /M et donc, en posant c i =b i1−b 0qui est toujours dans M,on a 1 = ∑ m i=1 c ix −i , d'où x n = ∑ m i=1 c ix n−i et 1 = ∑ n i=0 a ix i = ∑ n−1i=0 a ix i + ∑ n−1i=n−m a nc n−i x ice qui contredit la minimalité de n.Il s'en suit donc que pour tout x ∈ K, soit x soit x −1 est dans O et ce dernier estdonc bien un anneau de valuation.◻9

2. LES EXTENSIONS DES VALUATIONSOn peut en déduire immédiatement l'existence d'extensions pour les valuations.Corollaire 2.3 :Soient (K, v) un corps valué et K ⩽ L une extension de corps, il existe alors unevaluation w sur L qui étend v.Démonstration. On applique le théorème (2.2) dans L avec A = O K et p = M K . Ilexiste donc O un anneau de valuation de L d'idéal maximal M qui contient O K ettel que M ∩ K = M K . Si on avait x ∈ (O ∩K) qui ne soit pas dans O K , on auraitx −1 ∈ M K ⊆ M, mais comme x ∈ O, on aurait 1 ∈ M ce qui est absurde. On a donc bienO ∩K = O K et donc toute valuation sur L associée à O étend v.◻Remarque 2.4 :La principale conséquence de ce théorème est que tout corps valué (K, v) peut êtreplongé dans un corps valué algébriquement clos muni d'une valuation qui étend v. Celasera particulièrement utile quand on voudra étudier la théorie de Q p car tout modèle decette théorie se plonge donc dans un corps valué algébriquement clos, théorie que l'onconnaît mieux.Rappelons ensuite le théorème des restes chinois qui sera utilisée dans la preuve duthéorème d'approximation (2.6).Théorème 2.5 (Théorème des restes chinois) :Soient A un anneau, (A i ) i=1...n des idéaux tels que A i + A j = A pour tout i ≠ j,alors la èche canonique A → ∏ i A/A i est surjective.On prouve maintenant une version très faible du théorème d'approximation, maisqui sura à notre démonstration. On peut en trouver des versions plus fortes dans[EP05] ou [Rib99].Théorème 2.6 (Théorème d'approximation) :Soient (v i ) i=1...n des valuations incomparables d'un corps K et M i l'idéal maximalde O i l'anneau de valuation associé à la valuation v i , alors pour tout (a i ) ∈ ∏ i O i ,il existe a ∈ ⋂ i O i tel que pour tout i, a − a i ∈ M i .Commençons par démontrer un lemme technique.Lemme 2.7 :En reprenant les notation précédentes, soit A = ⋂ i O i et p i = A ∩ M i . Alors pourtout i, O i = A pi (i.e. le localisé de A en p i ).Démonstration. Comme A ⊆ O i et que A/p i ⊆ O i /M i = O ⋆ i , il s'en suit que A pi ⊆ O i .Soit maintenant a ∈ O i (on peut supposer a non nul sinon c'est ni). Soit p un nombrepremier supérieur à la caractéristique de tous les k j = O j /M j et tel que le résidu de a10

2. LES EXTENSIONS DES VALUATIONSdans k j (quand il existe) n'est pas une racine p-ième de l'unité. On pose b = ∑ p−1k=0 ak , eton va montrer que b −1 ∈ A/p i et ab −1 ∈ A.Soit j tel que a ∈ O j et soit â j son résidu dans k j . Si â j = 1 le résidu de b, noté ˆb j ,est égal à p qui est non nul. Sinon ˆb j = (1−â p j )(1−â j) −1 ≠ 0. Dans les deux cas v j (b) = 0et donc b −1 ∈ O ⋆ j = O j /M j et bien sûr ab −1 ∈ O j . Comme a ∈ O i , on a, en particulier,que b −1 /∈ M i ⊇ p i .Si a /∈ O j , alors v j (a) < 0 et donc a −1 ∈ M j . Si on pose c = ∑ p−1k=0 a−k , on a alorsa p−1 b = c ∈ O j et de plus, par les même considérations que précédemment, c est inversibledans O j . On a donc b −1 = a −(p−1) c −1 et ab −1 = a −(p−2) c −1 ils sont bien tous les deuxdans O j .On a donc bien montré que ab −1 et b −1 sont dans ⋂ j O j et que b −1 ∉ p i . Il s'en suitimmédiatement que a = ab −1 /b −1 ∈ A pi .◻Démonstration(Théorème (2.6)).En reprenant les notations du lemme, si p i ⊆ p j , comme A pi = O i , on aurait alorsO j ⊆ O i , ce qui est impossible car les valuations sont incomparables.Montrons de plus que les p j sont maximaux. En fait on va montrer que tout idéalpropre A de A est inclus dans un p i . Cela sura car si on a un idéal propre de A telque p i ⊆ A alors il existe j tel que p i ⊆ A ⊆ p j . Comme les p j sont incomparables, ondoit alors avoir i = j et p i = A.Par l'absurde, soit donc A qui n'est inclus dans aucun p i , on a alors pour tout i una i ∈ A/p i . De plus, comme p i /⊆ p j pour i ≠ j, soit b ij ∈ p i /p j . On pose alors c j = ∏ i≠j b ijqui est donc un élément de p i pour tout i ≠ j. De plus comme p j est premier, c j /∈ p j . Lesa j c j sont donc des éléments de A qui sont dans tous les p i pour i ≠ j et mais pas dansp j . Et si on pose d = ∑ j a j c j on obtient alors un élément de A qui n'est dans aucun desp i . Comme p i = A ∩ M i ils ne sont dans aucun des M i . Comme les O i sont des anneauxlocaux, d −1 ∈ O i pour tout i et donc d −1 ∈ A ce qui implique que A contient un élémentinversible et donc A = A.Comme les p i sont maximaux et distincts, le théorème des restes chinois (2.5)implique que la èche canonique A → ∏ i A/p i est surjective. De plus, le morphismecanonique A → A pi → A pi /p i A pi qui a a ∈ A associe a/1 + p i A pi est une surjection. Eneet, soit a/b ∈ A pi , i.e. b ∈ A/p i . Comme p i est maximal, l'idéal engendré par p i et best A. Il existe donc c ∈ A tel que a − cb ∈ p i et donc a/b − c = (a − cb)/b ∈ p i A pi et donca/b + p i A pi est l'image de c ∈ A. De plus cette surjection passe au quotient et on a doncune surjection A/p i → A pi /p i A pi . Mais ces deux anneaux sont des corps et le morphismeest donc injectif, i.e. A/p i ≅ A pi /p i A pi . Comme par le lemme (2.7) on a A pi = O i et queson idéal maximal est p i A pi = M i , on a une èche A → ∏ i O i /M i qui est surjective etil sut de prendre pour a l'antécédent de (a i + M i ) i=1...n .◻11

2. LES EXTENSIONS DES VALUATIONSLemme 2.8 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension algébrique de corps, alors :(i) Γ L ⊆ div(Γ K ) ;(ii) k K ⩽ k L est une extension algébrique.Démonstration.(i) Soit w(x) ∈ Γ L , comme K ⩽ L est algébrique, il existe P ∈ K[X] tel queP (x) = ∑ i a i x i = 0. Mais alors, comme w(P (x)) = ∞ il existe i et j distinctstels que w(a i x i ) = w(a j x j ) et donc (j − i)w(x) = v(a i ) − v(a j ) ∈ Γ K .(ii) Soient res(x) ∈ k L et P ∈ K[X] tel que P (x) = ∑ i a i x i = 0. Soit a i0 devaluation minimale parmi les a i , on a alors Q(x) = ∑ i a i a −1i 0x i ∈ O v [x] quiannule x. Comme le coecient i 0 de Q est 1, celui de res Q aussi, i.e. res(Q)est un polynôme non nul, et res(Q)(res(x)) = res(Q(x)) = 0.◻Corollaire 2.9 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension algébrique de corps valués. Si v est triviale alorsw est triviale aussi.Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme qui précède. En eetdiv({0}) = {0}.◻Lemme 2.10 :Soit O un anneau de valuation, alors O est intégralement clos (dans son corps defractions K).Démonstration. Soient P ∈ O[X] unitaire et x ∈ K tel que P (x) = 0. Notons P =∑ n i=0 a ix i et supposons que v(x) < 0. Alors pour tout i < n, on a v(a i x i ) = v(a i )+i⋅v(x) ⩾iv(x) > n ⋅ v(x) = v(a n x n ) et donc v(P (a)) = n ⋅ v(x) ≠ ∞ = v(0), ce qui est absurde,donc x ∈ O.◻Lemme 2.11 :Soit (K, v) un corps valué algébriquement clos, on a alors :(i) Γ K est divisible ;(ii) k K est algébriquement clos.Démonstration.(i) Soient v(x) ∈ Γ K et n ∈ N. Comme K est algébriquement clos, il existe y ∈ Ktel que y n = x. On a alors nv(y) = v(x).12

2. LES EXTENSIONS DES VALUATIONS(ii) Soit P ∈ k K [X] unitaire il existe alors Q ∈ O v [X] unitaire tel que res(Q) = P.Comme K est algébriquement clos il existe x ∈ K tel que Q(x) = 0. CommeO v est intégralement clos par le lemme (2.10), on a x ∈ O v et P (res(x)) =res(Q(x)) = 0.◻Lemme 2.12 :Soit (K, v) ⩽(L, w) une extension normale de corps valués. Alors pour tout σ ∈Aut(L/K), w ○ σ est une valuation et ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ est la clôture intégrale de O vdans L.Démonstration. Le fait que w ○ σ soit une valuation suit de vérications évidentes.De plus, comme O w○σ est intégralement clos dans L (voir lemme (2.10)), la clôtureintégrale de O v est incluse dans ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ . Réciproquement, soit x ∈⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ . Comme l'extension est normale, P (X) = ∏ σ∈Aut(L/K) (X − σ(x)) ∈K[X] et comme O w○σ = σ −1 (O w ), pour tout σ ∈ Aut(L/K), w(σ(x)) ⩽ 0 et doncP ∈ O w [X]. Mais, comme O w ∩K = O v , on a P ∈ O v [X] et ce polynôme est unitaire etannule x.◻Lemme 2.13 :Soit (K, v) un corps valué, K ⩽ L une extension algébrique de corps et O 1 ⊆ O 2 deuxanneaux de valuation de L au dessus de O v , alors O 1 = O 2 .Démonstration. Montrons tout d'abord que M 2 ⊆ O 1 , où M 2 est l'idéal maximal deO 2 . Soit x ∈ M 2 , comme O 1 est un anneau de valuation, on a x ∈ O 1 ou x −1 ∈ O 1 . Six −1 ∈ O 1 ⊆ O 2 alors x est inversible dans O 2 ce qui est absurde. De plus comme M 2 estun idéal de O 2 ⊇ O 1 c'est aussi un idéal de O 1 . On a alors Ô1 = O 1 /M 2 ⊆ O 2 /M 2 = k 2 .Comme O 1 et O 2 sont des anneaux de valuation au dessus de O K , on a en particulierque M K ⊆ M 2 ∩ O et donc que k K = O K /M K ⊆ Ô1. D'après le lemme (2.8), k K ⩽ k 2est une extension algébrique, et comme on a k K ⊆ Ô1 ⊆ k 2 , il s'en suit que pour toutx ∈ Ô1, k K [x] est une k-algèbre de dimension nie, intègre, donc un corps. Comme toutélément de Ô1 est inversible, c'est donc un corps. Mais Ô1 est un anneau de valuationde k 2 . En eet, soit ̂x ∈ k 2 , où x ∈ O 2 ⊆ K 2 . Si x ∈ O 1 alors ̂x ∈ Ô1 et si x −1 ∈ O 1alors (̂x) −1 = ̂x −1 ∈ Ô1. On a donc Ô1 = Frac(Ô1) = k 2 . Il s'en suit immédiatement queO 1 = O 2 .◻Lemme 2.14 :Soient v et (v i ) i=1...n des valuations non triviales de K telles que ⋂ i O vi ⊆ O v , alorsil existe un indice i 0 tel que O v et O vi0 sont comparables.Démonstration. Quitte à retirer les j tels que O vi ⊆ O vj pour un certain i ≠ j, onpeut supposer qu'aucune des valuations v i ne sont comparables. Supposons alors quev n'est comparable à aucune des valuations v i , alors par le lemme (2.6), il existe13

3. ÉLIMINATION DES QUANTIFICATEURS DANS ACVFx ∈ ⋂ i O vi ∩ O v tel que v(x − 1) > 0 et v i (x) > 0 pour tour i. Mais alors comme v(x) > 0implique v(x − 1) = 0, on a donc v(x) = 0. De même on trouve y ∈ K tel que v(y) > 0et v i (y) = 0 pour tout i. Mais alors v(x/y) = −v(y) < 0 et v i (x/y) = v i (x) > 0 pour touti, ce qui contredit le fait que ⋂ i O vi ⊆ O v . ◻Théorème 2.15 (Théorème de conjugaison) :Soit (K, v) un corps valué et (K, v) ⩽(L, w) une extension normale de corps valué,alors toute valuation w ′ sur L qui étend v est de la forme (à équivalence près) w○σpour σ ∈ Aut(L/K).Démonstration. Le cas des extensions de la valuation triviale est traitée dans le corollaire(2.9), on peut donc supposer que v n'est pas triviale.Comme w ′ étend v, O w ′ ∩K = O v . De plus, d'après le lemme (2.10), O w ′ estintégralement clos dans L et d'après le lemme (2.12), ⋂ σ∈Aut(K/K) O w○σ est la clôtureintégrale de O v dans L, on a donc ⋂ σ∈Aut(L/K) O w○σ ⊆ O w ′. Mais alors d'après le lemme(2.14), comme Aut(L/K) est ni, il existe σ ∈ Aut(L/K) tel que O w ′ et O w○σ sontcomparables et donc, par le lemme (2.13), w ′ et w ○ σ sont équivalentes.◻Le résultat que l'on utilisera vraiment est une extension de ce théorème à toute laclôture algébrique.Corollaire 2.16 :Soient (K, v) un corps valué, K 1 et K 2 deux clôtures algébriques de K. Soientv 1 et v 2 des valuations sur K 1 et K 2 respectivement qui étendent v. Alors il existeσ ∈ Iso K (K 1 , K 2 ) tel que v 1 = v 2 ○ σ (à équivalence près).Démonstration. Soit X ∶= {(L 1 , σ) ∶ K ⩽ L 1 ⩽ K 1 , σ ∈ End K (L 1 , K 2 ) et v 1 L1 = v 2 ○ σ}.L'ensemble X ordonné par l'inclusion est inductif et donc par le lemme de Zorn, ilexiste (L 1 , σ) ∈ X maximal. Montrons que L 1 = K 1 . On aura alors K ⩽ σ(K 1 ) ⩽ K 2 etσ(K 1 ) algébriquement clos d'où σ(K 1 ) = K 2 et on aura terminé.Supposons donc, par l'absurde, qu'on ait a ∈ K 1 /L 1 . Soit L ′ 1 la clôture normale deL 1 [a]. Comme K 1 est la clôture algébrique de L 1 , par unicité de la clôture algébrique(au dessus d'un isomorphisme), on peut étendre σ en σ ′ ∈ Iso K (K 1 , K 2 ). Le corpsL ′ 1 est muni de deux valuations qui sont les restrictions de v 1 et v 2 ○ σ ′ , et ces deuxvaluations coïncident sur L 1 . Par le théorème (2.15), il existe τ ∈ Aut(L ′ 1 /L 1) tel quev 1 L ′1= v 2 ○ σ ′ ○ τ. Mais alors (L ′ 1 , σ′ ○ τ) ∈ X, ce qui contredit le fait que (L 1 , σ) soitmaximal.◻3 Élimination des quanticateurs dans ACVFLa preuve de l'élimination des quanticateurs pour les corps valués est adaptée decelle de [Cha08] en utilisant un autre critère, plus élémentaire.14

3. ÉLIMINATION DES QUANTIFICATEURS DANS ACVFLemme 3.1 (Critère d'élimination des quanticateurs) :Une théorie T dans un langage L admet l'élimination des quanticateurs si et seulementsi pour tous modèles M et N de T qui contiennent une L-structure commune A,toute formule ϕ de L A et ¯m ∈ M tel que M ⊧ ϕ[ ¯m], il existe ¯n ∈ N tel que N ⊧ ϕ[¯n].Étant donné qu'une preuve de l'élimination des quanticateurs suivant ce critèrecontient explicitement une preuve de la modèle-complétude, pour plus de clarté, on vanaturellement procéder en deux temps. Tout d'abord montrer la modèle-complétude,puis en déduire l'élimination des quanticateurs, en utilisant le théorème de conjugaison.Lemme 3.2 :La théorie ACVF est modèle-complète.Démonstration. On va utiliser le critère de Tarski-Vaught. Soient (K, v) et (L, w) deuxmodèles de ACVF tels que (K, v) est une sous-structure de (L, w), i.e. un sous-corpsmuni de la restriction de la valuation par la remarque (1.7). Soit alors ϕ[x, ā] ∈ L divoù ā est un uplet de K et m ∈ L tel que L ⊧ ϕ[m, ā]. On veut montrer qu'il existem ′ ∈ K tel que K ⊧ ϕ[m ′ , ā]. Si m = 0 alors il est déjà dans K et c'est évident. Onpeut donc supposer m inversible et comme toute formule sur m est équivalente à uneformule sur m −1 (il sut de remplacer x par 1/x dans les polynômes qui apparaissent etmultiplier par la bonne puissance de x pour que cela garde un sens), on peut supposerque w(m) ⩾ 0. De même, si m est algébrique sur K, qui est algébriquement clos, on am ∈ L et c'est ni. On peut donc aussi supposer que m est transcendant sur K.Il y a donc trois cas qui correspondent aux diérentes formes d'extension transcendante.Extension purement ramiée : Supposons qu'il existe b ∈ K tel que w(m−b) /∈ Γ K .Quitte à considérer ϕ[x + b, ā], on peut considérer que w(m) /∈ Γ K . On peut alorssupposer (comme toujours) que ϕ est une conjonction d'atomes et de négationd'atomes, i.e. de la forme suivante :n⋀i=1¬P i (x) = 0 ∧ n′⋀j=1R j [x] div R ′ j[x] ∧n′′⋀j=n ′ +1¬R j [x] div R ′ j[x]Notons R j = λ 1 ∏ k (x − a j,k ) n j,k et de même pour R′j . Quitte à agrandir ā, onpeut supposer que toutes les racines sont dedans. Soit alors (G, D) la coupure dew(m) dans v(ā), i.e. G = {x ∈ ā ∶ w(x) < w(m)} et D = {x ∈ ā ∶ w(m) < w(x)}.On a alorsw(R j (m)) = w(λ) +∑a j,k ∈Gn j,k w(a j,k ) +∑a j,k ∈Dn j,k w(m)15

3. ÉLIMINATION DES QUANTIFICATEURS DANS ACVFet donc R j (m) div R j ′ (m) si et seulement si :w( λ jλ ′ ) + ∑ n j,k w(a j,k ) −j a j,k ∈G∑ n ′ j,k w(a′ j,k ) + ( ∑a ′ j,k ∈Ga j,k ∈Dn j,k −∑a ′ j,k ∈D n ′ j,k)w(m) ⩽ 0,c'est-à-dire n j w(m) ⩽ b j avec n j ∈ Z et b j ∈ Γ K . Comme L est algébriquement clos,Γ K est divisible (voir lemme (2.11)) et comme w(m) /∈ Γ K , R j (m) div R j ′ (m) estdonc équivalent à w(m) < b ′ j ou w(m) > b ′ j avec b ′ j ∈ Γ K. Quitte à supposer que lesb ′ j sont dans v(ā), les conditions sur la valuation de m (même les négations) sontdonc toutes équivalentes à la réalisation de la coupure de w(m) sur v(ā). Maiscomme Γ K ⊧ DLO dont tous les modèles sont ω-saturés, il existe m ′ ∈ K qui réalisecette coupure. De plus pour tout u ∈ K tel que w(u) > w(m ′ ), w(m ′ + u) = w(m ′ )réalise aussi cette coupure et il y a donc une innité de valeurs possibles pour m ′ .Il sut d'en prendre une qui n'annule aucun des P i et on a alors K ⊧ ϕ[m ′ , ā].Extension purement inertielle : Supposons qu'il existe b et c ∈ K tel que res((m −b)/c) /∈ k K . Quitte à considérer ϕ[cx + b, ā], on peut considérer que res(m) /∈ k K .Si on a b ∈ K tel que v(b) = w(m), on a alors w(m − b) ⩾ w(m) ⩾ 0. Mais siw(m − b) > 0 on a alors res(m − b) = 0 et donc res(m) = res(b) ∈ k K ce qui estabsurde. Donc w(m − b) = 0. Soit alors (G, E, D) la coupure de w(m) dans v(ā),où E = {x ∈ ā ∶ w(x) = w(m)}. On a alors :w(R j (m 1 )) = w(λ j ) +∑a j,k ∈Gn j,k w(a j,k ) +∑a j,k ∈Dn j,k w 1 (m 1 ).Comme k K est algébriquement clos pas le lemme (2.11), il est inni et il y a doncune innité de m ′ ∈ K tels que w(m ′ ) = 0 et res(m ′ ) ≠ res(b) pour tout b ∈ ā. Onen choisit un qui n'annule aucun des P i . On peut alors vérier que pour tout b ∈ āon a w(m − b) = w(m ′ − b). En eet, si b ∈ D, w(m ′ − b) = w(m ′ ) = 0 = w(m − b),si b ∈ G, w(m ′ − b) = w(b) = w(m − b) et si w(b) = 0, w(m ′ − b) ⩾ 0 mais commeres(m ′ ) ≠ res(b), w(m ′ − b) ⩽ 0 et donc w(m ′ − b) = 0 = w(m − b). Il s'en suit doncque K ⊧ ϕ[m ′ , ā].Extension immédiate : Il reste le cas où, pour tout b ∈ K, w(m − b) ∈ Γ K et pourtous b, c ∈ K, res((m − b)/c) ∈ k K . L'ensemble X = {w(m − b) ∶ b ∈ K} n'a alorspas de maximum. En eet soit b, c ∈ K tel que w(m − b) = w(c). On a alorsw((m − b)/c) = 0 et il existe donc u ∈ K tel que res(u) = res((m − b)/c). On adonc w((m − b)/c − u) > 0 et donc w(m − (b + uc)) > w(c) = w(m − b). On peutdonc trouver m ′ ∈ K tel que w(m ′ − m) > w(m − b) pour tout b ∈ ā. On a alorsw(m ′ −b) = w(m ′ −m 1 +m 1 −b) = w(m−b) et donc pour tout polynôme P ∈ K[X]à racines dans ā, w(P (m)) = w(P (m ′ )). De plus comme X n'a pas de maximum,il y a une innité de m ′ qui conviennent. On peut donc en prendre un qui n'annuleaucun des P i . On a alors K ⊧ ϕ[m ′ , ā].◻16

3. ÉLIMINATION DES QUANTIFICATEURS DANS ACVFRemarque 3.3 :(i) La modèle complétude nous permet alors de comprendre la clôture algébriquedans ACVF. En eet, soit (K, v) ⊧ ACVF et A ⊆ K. Comme L div contient lelangage des anneaux, il est évident que acl(A) contient K ′ = Frac(< A >) alg ,i.e. la clôture algébrique du corps des fractions de l'anneau engendré par A(que l'on notera dorénavant A alg même si A n'est qu'un ensemble quelconquede paramètres). De plus, il est évident que K ′ est un corps valué algébriquementclos et donc K ′ ⪯ K, ce qui implique que acl(A) ⊆ K ′ = A alg et donc acl(A) =A alg .(ii) En revanche, dcl n'est pas la clôture rationnelle comme c'est le cas dans lescorps algébriquement clos. C'est en fait l'hensélianisé. En reprenant les notationsprécédentes, comme L div contient le langage des anneaux, Frac(< A >) ⊆ dcl(A) on peut donc supposer que A = Frac(< A >) et donc que A est uncorps. On choisit alors A h un Hensélianisé de A. Comme K est algébriquementclos (et donc Hensélien) il s'en suit que A h s'injecte dans K. Quitte àl'identier à son image, on peut donc considérer que c'est un sous-corps deK. Soit alors σ un automorphisme de K (en tant que corps valué) qui xe A.Il s'en suit que si on note i ∶ A → A h et j ∶ A h → K les injections induitespar l'inclusion, on a σ ○ i = σ A = j ○ i et donc par la propriéte universellede l'Hensélianisé, σ A h = j i.e. A h est xé point par point par σ. Il s'en suitdonc que A h ⊆ dcl(A). Toujours comme L div contient le langage des anneaux,dcl(A) doit contenir K ′ = A hins , la clôture inséparable de A h . Montrons alorsque dcl(A) = K ′ .Soit x ∉ /K ′ . Comme x est séparable au dessus de K ′ , il existe un automorphismeσ de K qui xe K ′ mais pas x. Mais comme K ′ est Hensélien par lecorollaire (1.12), v est v ○ σ qui sont deux valuations de K qui coïcident surK ′ sont équivalentes, i.e.σ(O K ) = O K et donc σ est un automorphisme de Ken temps que corps valué. On a donc x ∉ dcl(A).Théorème 3.4 :La théorie ACVF admet l'élimination des quanticateurs dans le langage L div .Démonstration. Soient (K 1 , v 1 ) et (K 2 , v 2 ) deux modèles de ACVF et (K, v) un souscorpsvalué commun (qui est bien une sous-L div -structure de chacun des modèles parla remarque (1.7)). Soient (K 1 ′, v′ 1 ) et (K′ 2 , v′ 2 ) les clôtures algébriques de K dans K 1et K 2 respectivement, munis des restrictions des valuations. Par le corollaire (2.16), ilexiste σ ∈ Iso K (K 1 ′, K′ 2 ) qui soit un isomorphisme de corps valué. Il induit un plongementde K 1 ′ dans K 2 et on peut donc remplacer K par K 1, ′ i.e. considérer que K estalgébriquement clos.17

3. ÉLIMINATION DES QUANTIFICATEURS DANS ACVFSoient alors ϕ[x] ∈ L div sans quanticateurs à paramètres dans K et m 1 ∈ K 1 telque K 1 ⊧ ϕ[m 1 ]. Si K est de valuation non triviale, c'est un modèle de ACVF et doncpar modèle-complétude (voir lemme (3.2)), K 1 ⊧ ∃xϕ[x] implique K ⊧ ∃xϕ[x], quiimplique K 2 ⊧ ∃x ϕ[x].Reste le cas où K est trivialement valué. La preuve du lemme (3.2) marche encoreet permet de trouver un m ∈ K tel que K ⊧ ϕ[m] et donc, comme ϕ est sans quanticateurs,K 2 ⊧ ϕ[m], sauf dans le cas de l'extension totalement ramiée, car on aalors {0} ⊭ DLO. Mais dans ce cas-là, la coupure de m 1 sur K se résume à savoir siv(m 1 ) > 0 ou pas. Il sut alors de choisir m 2 ∈ K 2 qui n'annule aucun des P i et tel quev(m 2 ) > 0 si et seulement si v(m 1 ) > 0. On aura alors bien K 2 ⊧ ϕ[m 2 ].◻Une première remarque que l'on peut faire est que l'élimination des quanticateursdans le langage tri-sorté se déduit assez facilement du résultat que l'on donne ici etpermet de démontrer que Γ est un pur groupe abélien totalement ordonné, divisible etsans torsion et que k est un pur corps algébriquement clos.Comme souvent, il n'est pas dicile de déduire les complétions d'une théorie, unefois que l'on sait qu'elle admet l'élimination des quanticateurs.Corollaire 3.5 (Complétude de ACVF) :Les complétions de ACVF sont données par la caractéristique du corps et celle ducorps résiduel (appelée caractéristique résiduelle). Les cas possibles sont (0, 0), (0, p) et(p, p) où p est un nombre premier. On note ACVF (n,m) ces diérentes complétions.Démonstration. Si un corps valué est de caractéristique p alors sa L div -théorie contient∑ p i=1 1 = 0. Si il est de caractéristique résiduelle p alors v(p) > 0 i.e. ¬(∑p i=11 div 1). Lescomplétions de ACVF xent donc bien ces deux caractéristiques.D'autre part, comme on a un morphisme d'anneau qui va de O l'anneau de valuation(qui est de même caractéristique que le corps valué) vers k, le corps résiduel, il s'en suitque la caractéristique résiduelle divise la caractéristique et les cas possibles sont doncbien (0, 0), (0, p) et (p, p).Si un corps valué K est de caractéristique (0, 0), alors Z ⊆ K. Comme pour toutn ∈ Z /{0}, v(n) = v(∑ n i=1 1) ⩾ v(1) = 0 mais qu'on ne peut pas avoir v(n) > 0, ona v(n) = 0 et donc Z muni de la valuation triviale est une sous-structure de tous lescorps valués de caractéristique (0, 0), par élimination des quanticateurs, cela sutpour montrer que ACVF (0,0) est complète.Si un corps K est de caractéristique (0, p), alors Z ⊆ K, mais maintenant, pourtout n ∈ Z /{0} on a v(n) > 0 ⇐⇒ res(n) = 0 ⇐⇒ p∣n. D'où Z muni de la valuationp-adique (voir dénition (6.6)) est une sous-structure commune à tous les modèles deACVF (0,p) . Enn, si K est de caractéristique (p, p), alors Z /p Z muni de la valuationtriviale est une sous-structure de K.◻Une autre conséquence de ce résultat d'élimination des quanticateurs est un ré-18

3. ÉLIMINATION DES QUANTIFICATEURS DANS ACVFsultat de Holly (voir la proposition (3.7)), qui donne une description canonique desensembles dénissables de ACVF. Cette description utilise des sous-ensembles d'uncorps valués qui sont particulièrement importants : les boules. Si (K, v) est un corpsvalué, pour tout γ ∈ Γ K et a ∈ K, on note B ⩾γ (a) ∶= {x ∈ K ∶ v(x − a) ⩾ γ}, la boulefermée de centre a et de rayon γ et B >γ (a) ∶= {x ∈ K ∶ v(x−a) > γ}, la boule ouverte decentre a et de rayon γ. Une boule de K est alors n'importe quel ensemble dénissablequi soit d'une de ces deux formes. Il faut cependant faire attention au fait que si K ⩽ L,l'empreinte d'une boule de L dans K n'est pas forcément une boule.Dénition 3.6 (Fromage suisse) :Soit (K, v) un corps valué. Un fromage suisse de K est un ensemble de la formeb/(⋃ n i=1 b i) où b et les b i sont des boules. On dira que deux fromages suisses sont trivialementemboîtés si la boule extérieure de l'un est un trou de l'autre.Proposition 3.7 ([Hol95, Théorème 3.26]) :Soit (K, v) ⊧ ACVF, tout sous-ensemble dénissable de K s'écrit de manière uniquecomme une union nie de fromages suisses non trivialement emboîtés.Enn, maintenant que l'on sait que ACVF admet l'élimination des quanticateurs,l'étude des formules faite dans la preuve de (3.2) permet de décrire le cardinal desensemble dénissables.Proposition 3.8 :Soit (K, v) ⊧ ACVF, alors tout ensemble dénissable dans K est soit ni soit ducardinal de K.Démonstration. Montrons tout d'abord qu'il sut de considérer les ensembles à unevariable. Soient X ⊆ K n dénissable et π i la projection sur la i-ième composante. Sitous les π i (X) sont nis, alors X est inclus dans un produit ni d'ensemble nis etest donc ni. Par contre, si l'un des π i (X) est inni, il sut de montrer que ce π i (X)est de même cardinal que K car c'est alors aussi le cas de X qui se surjecte sur cetensemble.Soit alors X ⊆ K dénissable par une formule ϕ. Par élimination des quanticateurs,on peut supposer que c'est une disjonction de conjonctions d'atomes et de négationsd'atomes. Il sut alors de le montrer pour les conjonctions. En eet si elles dénissenttoutes un ensemble ni alors X aussi et si l'une d'entre elles dénit un ensemble inni,il serait alors du même cardinal que K et donc X aussi car il le contient. On peutdonc supposer que X est déni par une conjonction. Si un atome de la forme P (x) = 0apparaît alors X est ni. On peut donc supposer que X est déni par une formule dela forme :n⋀i=1¬P i (x) = 0 ∧ n′⋀j=1R j [x] div R ′ j[x] ∧19n′′⋀j=n ′ +1¬R j [x] div R ′ j[x].

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITDe plus, on peut écrire tous les polynômes qui apparaissent sous forme scindée etsupposer que les racines sont dans l'ensemble ni A des paramètres qui dénissent X.Si X est vide alors c'est ni, sinon soit m ∈ X. L'ensemble {v(m − a) ∶ a ∈ A} est niet soit γ qui le majore. Montrons que la boule B >γ (m) ⊆ X. Tous les points de cetteboule sont distincts des racines des P i car par dénition de γ, v(m − a) ⩽ γ. De plus,soit m ′ ∈ B >γ (m), pour tout a ∈ A, v(m ′ − a) = v(m ′ − m + m − a) = v(m − a) carv(m ′ − m) > γ ⩾ v(m − a). Pour tout polynôme Q qui apparaît dans la formule, on adonc v(Q(m ′ )) = v(λ ∏ i (m ′ −a i )) = v(λ)+∑ i v(m ′ −a i ) = v(λ)+∑ i v(m−a i ) = v(Q(m))et il s'en suit que m ′ vérie aussi la formule.Il sut donc de montrer que toute les boules ouvertes de rayon ni sont de mêmecardinal que K, et comme elles sont toutes de la forme a + xM où v(x) est le rayon dela boule, il sut de montrer que M a le même cardinal que K. Mais comme on a unmorphisme de groupe v ∶ K ∗ → Γ dont le noyau est R/M et que la valuation est nontriviale, M contient au moins un translaté du noyau et comme K = M ∪ (R/M) ∪ M −1 ,il s'en suit que M est de même cardinal que K.◻4 L'élimination des imaginaires dans un cadre abstraitUne fois la question de l'élimination des quanticateurs traitée, l'autre questionqui se pose comme préliminaire à l'étude de toute théorie est celle de l'élimination desimaginaires. En eet, l'élimination des quanticateurs permet une description extrêmementsimple de tous les ensembles dénissables, mais il reste le problème des quotientsdénissables. A priori, ils ne sont pas représentées comme de vrais points des structuresmais n'existent qu'en tant qu'ensembles de classes d'équivalence, ce qui les rendcompliqués à traiter. Le but de l'élimination des imaginaires est justement d'en fairede vrais points.Dans les dénitions qui suivent, on distinguera des notions uniforme et non-uniformed'élimination des imaginaires, comme dans [Hod93]. On ne dénira cependant pas la notiond'élimination semi-uniforme qu'il introduit car, par compacité, elle est équivalenteà l'élimination non-uniforme. Dans tout ce qui suit, L sera un langage.Dénition 4.1 (Code et code uniforme) :Soient M une L-structure et X un ensemble M-dénissable. On dit que ā ∈ Mest un code pour X via ϕ[¯x, ȳ] une L-formule, si X = ϕ[M, ā] et que ā ′ ≠ ā impliqueϕ[M, ā] ≠ ϕ[M, ā ′ ].Si X = θ[M,¯b], on dit que X est codé uniformément via ϕ[¯x, ȳ] si pour tout ¯b ′ ∈ A(bien sorté), il existe un code de θ[M,¯b ′ ] via ϕ[¯x, ȳ].Dans la dénition de code, on autorise la variable ȳ à représenter un 0-uplet, dansle cas où X est ∅-dénissable.20

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITIl est évident que la notion de codage uniforme sera beaucoup plus pratique que saversion non-uniforme, mais dans le cas où la théorie admet susamment de constantes,ces deux notions coïncident.Lemme 4.2 :Soit M une L-structure telle que dcl(∅) contient au moins deux éléments de lamême sorte et un élément de chaque sorte. Soit θ[¯x, ȳ] une L-formule telle que pour tout¯m ∈ M (bien sorté), θ[M, ¯m] ait un code, alors ce codage peut être choisi uniformément.Démonstration. Pour tout ¯m ∈ M, on a ϕ ¯m [¯x, ¯z] et ā ¯m qui est un code de θ[M, ¯m]via ϕ ¯m [¯x, ¯z]. L'ensemble de formules Σ[ ¯m] = {∀ā (∀ā ′ ā ≠ ā ′ ⇒ ¬(∀¯x ϕ[¯x, ā] ⇐⇒ϕ[¯x, ā ′ ])) ⇒ ¬(∀¯x ϕ[¯x, ā] ⇐⇒ θ[¯x, ¯m]) ∶ ϕ[¯x, ¯z] ∈ L} n'est donc pas satisfaisable et,par compacité, il n'est donc pas niment satisfaisable. Il existe donc (ϕ i [¯x, ¯z i ]) i=1...ntel que pour tout ¯m, il existe ā et i tel que ā est un code de θ[M, ¯m] via ϕ i [¯x, ¯z i ]. Deplus, on peut supposer que les ¯z i sont sortés de la même manière, quitte à rajouter desvariables de la bonne sorte et spécier qu'elles doivent être égales à une constante dansϕ i . On peut donc remplacer les ¯z i par un unique uplet de variables ¯z.Quitte à remplacer les ϕ par ϕ[¯x, ¯z] ∧ (⋀ j

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITDémonstration. Supposons que ā soit un code de X. Comme X est ā-dénissables, toutautomorphisme qui xe ā xe X et réciproquement si X est codé par ā via ϕ[¯x, ȳ] etque σ est un automorphisme qui xe X, alors ϕ[¯x, σ(ā)] dénit X et donc par dénitiond'un code, σ(ā) = ā.D'autre part soit N une extension assez saturée de M et supposons que tout automorphismede N xe ā si et seulement si il xe X. Tout d'abord, comme X estAut(N /ā)-invariant et que N est assez saturé, il existe une formule ϕ[¯x, ȳ] telle queϕ[¯x, ā] dénit X. Posons p = tp(ā), l'ensemble de formules p[ȳ] ∪ {∀¯x ϕ[¯x, ȳ] ⇐⇒ϕ[¯x, ā], ȳ ≠ ā} n'est alors pas satisfaisable. En eet s'il l'était, il le serait dans N etil existerait donc σ un automorphisme de N qui xe X mais pas ā ce qui contreditnotre hypothèse. Il existe donc ψ[ȳ] ∈ tp(ā) telle que N ⊧ ∀ȳ(ψ[ȳ] ∧ ∀¯x ϕ[¯x, ȳ] ⇐⇒ϕ[¯x, ā]) ⇒ ȳ = ā. Il s'en suit donc que X est codé par ā via ϕ[¯x, ȳ] ∧ ψ[ȳ]. ◻Dénition 4.5 (Élimination des imaginaires) :Une théorie T élimine (faiblement) les imaginaires si tout ensemble dénissabled'un modèle de T admet un code (faible). L'élimination (faible) est dite uniforme sitout ensemble dénissable est codé (faiblement) uniformément.Une conséquence immédiate du lemme (4.2) est que si une théorie admet susammentde constantes, alors elle a l'élimination des imaginaires si et seulement si elle al'élimination uniforme des imaginaires.La présentation qu'on a choisi de prendre ici passe par la notion de code mais,comme je l'ai fait remarquer précédemment, l'élimination des imaginaires est essentiellement,et historiquement, liée à la question de représenter les classes d'équivalencedénissables (qui sont en quelque sorte des points imaginaires ) par de vrais points du modèle.Lemme 4.6 :Soit T une L-théorie, elle élimine uniformément les imaginaires si et seulementsi pour toute L-formule qui dénit une relation d'équivalence E dans T, il existe uneL-formule qui déni une fonction f dans T telle que T ⊢ E[¯x, ȳ] ⇐⇒ f(¯x) = f(ȳ).Démonstration. Supposons que T élimine uniformément les imaginaires et soit M unmodèle de T et E une relation d'équivalence dénissable. Comme les classes d'équivalencesde E sont toutes dénies par des formules de la forme E[¯x, ā], où ā ∈ M, parélimination uniforme des imaginaires, il existe une L-formule ϕ[¯x, ȳ] telle que E[M, ā]est codée via ϕ. La formule ∀¯x ϕ[¯x, ȳ] ⇐⇒ E[¯x, ¯z] dénit donc une fonction qui vériebien les propriétés voulues.Réciproquement, soit ϕ[¯x, ȳ] une L-formule, on dénit E[ȳ, ȳ ′ ] ∶= ∀¯x ϕ[¯x, ȳ] ⇐⇒ϕ[¯x, ȳ ′ ] qui est bien une relation d'équivalence. Par hypothèse, il existe une fonctiondénissable f E telle que E[ȳ, ȳ, ] ⇐⇒ f E (ȳ) = f E (ȳ ′ ). Il est alors facile de voir quef E (ā) code uniformément ϕ[M, ā] via θ[¯x, ¯z] ∶= ∃ȳ ϕ[¯x, ȳ] ∧ f E (ȳ) = ¯z).◻22

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITLa notion d'imaginaire a été introduite par S. Shelah (voir [She78, Denition 6.2,p. 129]) à travers la construction suivante, dont l'utilité en théorie des modèle n'estplus à démontrer.Dénition 4.7 (T eq et M eq ) :Soit T une L-théorie, on lui associe un langage L eq qui contient, pour toute relationE[¯x, ȳ] ∅-dénissable (où ¯x et ȳ ont la même longueur) telle que T ⇒ E est unerelation d'équivalence , une sorte S E et un symbole de fonction f E ∶ S = → S E . Celangage contient L sur la sorte S = (si L est déjà un langage multi-sorté, la sorte S = esten fait une union de sortes...). On dénit alors la théorie T eq qui contient T ramenéeà la sorte S = et les formules ∀¯x∀ȳ f E (¯x) = f E (ȳ) ⇐⇒ E[¯x, ȳ].À tout modèle M de T on associe M eq ⊧ T eq en interprétant S E par l'ensemble desclasses d'équivalence de E et f E par la surjection canonique.La structure M eq est alors, en quelque sorte la structure de M et de tous sesimaginaires.Remarque 4.8 (Quelques propriétés de M eq ) :(i) Soit ϕ[x 1 , . . . , x n ] ∈ L eq , il existe alors ψ[y 1 , . . . y n ] ∈ L tel queT eq ⊢ ϕ[f E1 (y i ), . . . , f En (y n )] ⇐⇒ ψ[y 1 , . . . , y n ]où S Ei est la sorte de x i .(ii) Si M ⊧ T eq et N ⊆ M alors N ⊧ T eq si et seulement si S = (N) ⊧ T.(iii) Si N ⪯ M alors N eq ⪯ M eq .(iv) Si T est modèle-complète alors T eq l'est aussi. Néanmoins, en règle générale,si T élimine les quanticateurs, ce n'est pas forcément le cas de T eq .(v) T eq élimine uniformément les imaginaires.Lemme 4.9 :Soient M une L-structure, X un ensemble dénissable et ā ∈ M. Alors, X est codépar ā si et seulement si dcl eq (ā) = dcl eq (⟨X⟩), où ⟨X⟩ est un code de X dans M eq etX est faiblement codé par ā si et seulement si ⟨X⟩ ∈ dcl eq (ā) et ā ∈ acl eq (⟨X⟩).Démonstration. Quitte à agrandir M, on peut le supposer assez saturé. Si X est codépar ā, un automorphisme de M eq xe X et donc ⟨X⟩ si et seulement si il xe ā et ona donc bien que ā ∈ dcl eq (⟨X⟩) et ⟨X⟩ ∈ dcl eq (a). La réciproque est évidente.Si X est faiblement codé par ā via ϕ[¯x, ȳ], tout automorphisme qui xe ⟨X⟩ etdonc X ne peut envoyer ā que sur l'un des ā ′ en nombre ni tel que ϕ[x, ā ′ ] dénitaussi X et donc ā ∈ acl eq (⟨X⟩). Comme X est dénissable sur ā on a aussi bien sûr⟨X⟩ ∈ dcl eq (ā). Réciproquement, si ⟨X⟩ ∈ dcl eq (ā), il existe ϕ[x, ā] qui dénit X. Si l'on23

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITnote p = tp(ā) et n la taille de son orbite au dessus de ⟨X⟩, par une compacité à peineplus compliquée qu'au lemme (4.4), il existe ψ ∈ p tel que si on a n éléments distinctsde M qui vérient ψ et qui dénissent X via ϕ[¯x, ȳ] alors l'un d'entre eux est ā. Il estalors facile de voir que X est codé faiblement pas ā via ϕ[¯x, ȳ] ∧ ψ[ȳ].◻Enn, montrons que ce qui fait la diérence entre les codes et les codes faibles, c'estsimplement la capacité de coder les ensembles nis.Lemme 4.10 :Soit M une L-structure qui admet des codes pour les ensembles nis. Un ensembledénissable a alors un code si et seulement si il a un code faible.Démonstration. Tout d'abord, il est évident qu'un code est aussi un code faible. Réciproquement,soit E l'ensemble ni des conjugués de ā au dessus de ⟨X⟩ (un code dansM eq ) et σ ∈ Aut(M eq /⟨X⟩). Comme σ xe ⟨X⟩, on a σ(X) = X, i.e. ϕ[M, σ(ā)] = X.Il s'en suit donc que pour tout ā ′ ∈ E, ϕ[x, ā ′ ] déni X. Tout automorphisme qui xeX envoie un conjugué de a au dessus de ⟨X⟩ sur un conjugué de a au dessus de ⟨X⟩et donc xe E. Réciproquement, tout automorphisme qui xe globalement E xe Xcomme on vient de le démontrer. Tout code de E est donc un code de X. ◻Exemple 4.11 :(i) La théorie des corps algébriquement clos élimine uniformément les imaginaires,c'est d'ailleurs l'exemple qui a motivé la dénition de cette notiondans [Poi83]. C'est aussi le cas des corps réels clos.(ii) Th(Q,

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITLemme 4.12 (Critère d'élimination des imaginaires) :Soit T une L-théorie qui admet susamment de constantes, si pour tout M ⊧ T ettoute fonction f ∶ S → M n M-dénissable (totale) telle que S soit une sorte dominante,le graphe de f a un code, alors T admet l'élimination des imaginaires.Démonstration. Soit R une relation M-dénissable sur ∏ n i=1 S i. Il existe une fonction ∅-dénissable (et donc xée par tout automorphisme) f ∶ ∏ m j=1 T i → ∏ n i=1 S i, où les T i sontdes sortes dominantes. De plus, si c 1 et c 2 sont deux constantes d'une même sorte etqu'on pose χ R la fonction qui vaut c 1 sur R et c 2 ailleurs, un code de R est exactementun code de χ R ○ f. Il sut donc de démontrer que toute fonction f ∶ ∏ n i=1 S i → M, oùles S i sont dominantes, a un code.Pour cela, on procède par induction sur n. Si n = 1 c'est exactement l'hypothèsede l'énoncé. Sinon supposons qu'on ait démontré que la propriété est vraie pour n etconsidérons f ∶ ∏ n+1i=1 S i → M dénie par la formule ϕ[x 1 , . . . , x n+1 , y, ¯m], où ¯m ∈ M.Pour tout c ∈ S 1 , on pose f c ∶ x 2 . . . x n+1 ↦ f(c, x 2 , . . . , x n ). Par récurrence, tous les f csont codés et comme tous les f c sont dénis par la formule ϕ avec diérents paramètres,on peut supposer que ce codage est uniforme. Il existe donc θ[x 2 , . . . , x n , y, ¯t] tel que,pour tout c, il existe un unique ⟨f c ⟩ tel que θ[x 2 , . . . , x n , y, ⟨f c ⟩] dénit f c . La formule∀x 2 . . . x n y (θ[x 2 , . . . , x n , y, ∀t] ⇐⇒ ϕ[c, x 2 , . . . , x n , y, ¯m]) dénit donc une fonctiong ∶ S 1 → M m . Par hypothèse elle est donc codée par un élément ⟨g⟩ ∈ M.Vérions alors que ⟨g⟩ code aussi f. Supposons que ⟨g⟩ code g via χ[x 1 , ¯t, ¯s]. Quitteà remplacer χ[x 1 , ¯t, ¯s] par χ[x 1 , ¯t, ¯s] dénit une fonction totale ∧χ[x 1 , ¯t, ¯s], on peutsupposer que pour tout m χ[x 1 , ¯t, ¯m] est soit vide, soit dénit une fonction totale.La formule ψ[¯x, y, ⟨g⟩] = ∃¯t θ[x 2 , . . . , x n , y, ¯t] ∧ χ[x 1 , ¯t, ⟨g⟩] dénit alors f. En eet, si(¯x, y) ∈ f, cette formule est vériée pour ¯t = ⟨f x1 ⟩. Réciproquement, si (¯x, y) vérie cetteformule, comme g est une fonction, on a alors forcément ¯t = ⟨f x1 ⟩ et donc (x 2 . . . x n y) ∈f x1 , i.e. (¯x, y) ∈ f. Enn, si ¯m ≠ ⟨g⟩, soit χ[x, y, ¯m] dénit l'ensemble vide et doncψ aussi, soit elle dénit une fonction g ¯m , mais il existe alors c 1 ∈ M tel que g ¯m (c 1 ) ≠g(c 1 ) = ⟨f c1 ⟩. Il y a alors deux cas possibles. Soit il existe (c 2 . . . c n , d) ∉ f c1 , i.e. (¯c, d) ∉ f,tel que M ⊧ θ[c 2 , . . . , c n , d, g m (c 1 )]. On a alors M ⊧ ψ[c, ¯d, ¯m] mais (c, ¯d) ∉ f. Soit ilexiste (c 2 . . . c n ) tel qu'il n'existe pas de d tel que M ⊧ θ[c 2 , . . . , c n , d, g m (c 1 )], mais alorsψ[¯c, M, ¯m] est l'ensemble vide. Comme f est totale, ψ[¯x, y, ¯m] ne peut pas dénir f.On a donc que f est codé par ⟨g⟩ via ψ[¯x, y, ¯z].◻Prouvons maintenant un théorème de [HM08] qui permet de déduire l'éliminationdes imaginaires dans une théorie en utilisant une autre théorie qui les élimine. C'estle théorème qui sera utilisé pour montrer l'élimination des imaginaires dans la théoriede Q p en utilisant les corps valués algébriquement clos. On a cependant besoin pour lapreuve de la notion de germe que l'on commence donc par dénir.Dénition 4.13 (Germe) :Soient M une L-structure, f une fonction M-dénissable dénie par ϕ[¯x, ȳ, ¯m], où25

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAIT¯m ∈ M et p ∈ S(M) un type tel que f soit dénie sur p. On note ∂ p f la classe d'équivalencede f pour la relation d'équivalence dénie par E(m, m ′ ) ∶= (∀ȳ, ϕ[¯x, ȳ, ¯m] =ϕ[¯x, ȳ, ¯m ′ ] ∈ p), i.e. l'ensemble des fonctions qui coïncident avec f sur une réalisationde p dans une extension élémentaire de M.Si le type p est dénissable, cette relation d'équivalence est dénissable et si, de plus,Th(M) élimine les imaginaires, ∂ p f est un point.Dans tous les cas, si on a A ⊆ M tel que p est Aut(M /A)-invariant, on peutparler de l'action de Aut(M /A) sur ∂ p f (même si ce n'est pas un point), en posantσ(∂ p f) = ∂ p σ(f).La preuve nécessite aussi un résultat de combinatoire sur les groupes d'automorphismesd'un modèle saturé qui découle du lemme de Neumann.Lemme 4.14 (Lemme de Neumann) :Soient G un groupe et (g i H i ) i=1...n des translatés de sous-groupes de G. Si G =⋃ i=1...n g i H i alors l'un des H i au moins est d'indice ni.Ce lemme est énoncé et prouvé dans [Neu54, Lemma 4.1, p. 239].Corollaire 4.15 :Soient M un modèle assez universel et homogène et (e i ) i∈N une famille de points telleque tout automorphisme de M xe tous les e i sauf un nombre ni. Il y a alors au plusun nombre ni de e i qui ont qui ont une orbite innie sous l'action des automorphismesde M.Démonstration. Supposons par l'absurde qu'il y ait une innité de e i qui ont une orbiteinnie et montrons qu'il existe alors un automorphisme qui ne xe aucun de ces e i .Quitte à en oublier, on peut supposer qu'ils ont tous une orbite innie. Montrons toutd'abord que pour tout ensemble ni de e i il existe des automorphismes qui n'en xentaucun. Soient donc e i1 , . . . e in et supposons que tout automorphisme de M en xe aumoins un. Si on note H j le stabilisateur de e j dans G, on a alors G = ⋃ j H j , maiscomme tous ces sous-groupes sont d'indice inni (leur indice est égal au cardinal del'orbite du e i correspondant), on a une contradiction par le lemme de Neumann (voir(4.14)).Notons alors p i = tp(e i /e j

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITProposition 4.16 :Soient ̃L ⊆ L deux langages, ̃T une ̃L-théorie complète qui admet l'élimination desquanticateurs (en conséquence, toutes les ̃L-formules considérées seront sans quanticateurs)et l'élimination uniforme des imaginaires, T une L-théorie complète telle quẽT ∀ ⊆ T (i.e. tout modèle de T se plonge en tant que ̃L-structure dans un modèle de ̃T)qui admet assez de constantes.Soient M ⊧ T susamment saturé et ̃M ⊧ ̃T tel que M ̃Lest une sous-structurede ̃M (quitte à le grossir, on peut également le supposer susamment saturé). On notedcl ̃Lla clôture dénissable par des ̃L-formules sans quanticateurs dans ̃M et dcl L laclôture dénissable par des L-formules dans M eq . De même pour acl L , acl ̃L,tp L ettp ̃L.Il faut cependant faire attention que M eq n'est pas, a priori, inclus dans ̃M etdonc que pour A ⊆ M, dcl L (A) et acl L (A) ne sont pas inclus dans ̃M.On suppose alors que :(i) pour tout M ′ ⪯ M et c ∈ dom(M), dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c) ;(ii) pour tout A ⊆ M tel que A = acl L (A) et c ∈ dom(M), acl L (Ac) ⊆ dcl L (Ac) ;(iii) soit e ∈ dcl ̃L(M), il existe e ′ ∈ M tel que tout ̃L-automorphisme de ̃M qui xeglobalement M, xe e si et seulement si il xe e ′ ;(iv) tout ensemble X ⊆ dom(M) M-dénissable a un code dans M ;(v) soient c ∈ dom(M) et A ⊆ M tel que acl L (A) = A. Il existe un type ̃p ∈ S ̃L( ̃M)Aut ̃L(̃M/A)-invariant tel que ̃p∣M soit consistant avec tp L (c/A) et que pourtoute fonction r ̃L ̃M-dénissable on ait :(∗) il existe (e i ) i∈N ∈ dcl ̃L(M) tel que σ ∈ Aut ̃L(̃M/A) xe ∂̃p r si et seulementsi σ xe tous les e i sauf un nombre ni ;(∗∗) soit B ⊇ A tel que ∂̃p r est xé par Aut ̃L(̃M/B), il existe alors unefonction ̃L B -dénissable h qui a le même germe sur ̃p que r.La théorie T élimine alors les imaginaires.Démonstration. Commençons par remarquer une conséquence immédiate de la condition(iii).Lemme 4.17 :Les ensembles nis sont codés dans M ⊧ T.Démonstration. Soit E ⊆ M n un ensemble ni. Comme E est dénissable (avec l'égalitéet sans quanticateurs) sur M, il l'est aussi dans ̃M. Soit e un code dans ̃M, on a alorsque e ∈ dcl ̃L(M) et soit e ′ ∈ M donné par (iii). Soit alors σ ∈ Aut L (M), c'est alorsaussi une ̃L-application élémentaire qui peut donc s'étendre en ̃σ ∈ Aut ̃L(̃M). On aalors que σ xe E si et seulement si ̃σ xe E (car E ⊆ M) si et seulement si ̃σ xe e,si et seulement si ̃σ xe e ′ (par dénition car ̃σ laisse M globalement invariant), si etseulement si σ xe e ′ (car e ′ ∈ M).◻27

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITRevenons maintenant à la preuve de l'élimination des imaginaires. Par le lemme(4.12) il sut de montrer que le graphe d'une fonction L M -dénissable f ∶ dom(M) →M n est codé. Par les lemmes (4.10) et (4.17), il sut de montrer qu'il est faiblementcodé. On pose A ′ = acl L (⟨f⟩) et A = A ′ ∩ M où ⟨f⟩ est pris dans M eq . Il sut alors demontrer que f est A-dénissable.Lemme 4.18 :Il existe une relation R[x, ȳ] ̃L M -dénissable telle que, pour tout c ∈ dom(M),l'ensemble R(c) = { ¯d ∈ ̃M ∶ ̃M ⊧ R[c, d]} est ni et f(c) ∈ R(c).Avant de démontrer ce lemme, remarquons que, comme R est dénie sans quanticateurs,il s'en suit que pour tout c, ¯d ∈ M, M ⊧ R[c, ¯d] si et seulement si ̃M ⊧ R[c, ¯d].En particulier pour tout c ∈ dom(M), { ¯d ∈ M ∶ M ⊧ R[c, ¯d]} est aussi ni.Démonstration. Soit M ′ ⪯ M (petit) tel que f soit M ′ -dénissable et soit ϕ[x, ȳ] uneL M ′-formule qui le dénit, alors pour tout c, par (i), f(c) ∈ dcl L (M ′ c)∩M ⊆ acl ̃L(M ′ c).Considérons alors l'ensemble de formules suivant :Σ[x, ȳ] = {ϕ[x, ȳ]} ∪ {¬ψ[x, ȳ] ∈ ̃L M ′ ∶ ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n ȳ ψ[x, ȳ] pour un n ∈ N}.Si cet ensemble de formules était satisfaisable, il le serait dans M et on aurait c ety ¯d ∈ M qui le satisfont. On aurait alors ¯d = f(c) ∈ acl ̃L(M ′ c). Il existerait donc unẽL M ′-formule ψ sans quanticateurs telle que ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n y ψ[x, ȳ] et ̃M ⊧ ψ[c, ¯d]. Maisalors on aurait aussi M ⊧ ψ[c, ¯d], ce qui est absurde. Par compacité, il existe donc(ψ i ) i=1...N ∈ ̃L M ′ telles que M ⊧ ∀xȳ ϕ[x, ȳ] ⇒ ⋁ i ψ i [x, ȳ] et que, par dénition, ilexiste n tel ̃M ⊧ ∀x∃ ⩽n ȳ ⋁ i ψ i [x, y].◻Lemme 4.19 :Soient c ∈ dom(M) et p = tp L (c/A). Il existe alors une fonction g A-dénissable telleque f et g coïncident sur toute réalisation de p et {x ∶ f(x) = g(x)} est A-dénissable.Démonstration. Soit ̃p le type Aut ̃L(̃M/A)-invariant qui étend p donné par (v). Pourtout R comme au lemme (4.18), on a alors ∃ =n ȳ R[x, ȳ] ∈ ̃p pour un certain n. Ainsi,le cardinal de R(x) est constant sur l'ensemble des réalisations de ̃p. On choisit alorsun R comme au lemme (4.18) tel que le cardinal de R(x) sur une réalisation de ̃p soitminimal (parmi tous les R qui vérient le lemme (4.18)) et on note r ∶ x ↦ ⟨R(x)⟩(une telle fonction existe car t admet l'élimination uniforme des imaginaires). Soit alorsσ ∈ Aut L eq(M eq /A ′ ), σ M est alors aussi une ̃L-application élémentaire qui peut doncs'étendre à ˜σ ∈ Aut ̃L(̃M/A) qui xe globalement M. Comme σ xe A ′ , il xe f etdonc ˜σ le xe aussi. De plus, pour tout x ∈ ̃M, ˜σ(R)(x) est ni (de même cardinal queR(x)) et donc ˜σ(R) vérie aussi la conclusion du lemme (4.18). Il est alors facile devoir que la relation R ∧ ˜σ(R) vérie aussi la conclusion de ce lemme et donc, commeR a été choisi de cardinal minimal sur les réalisations de ̃p, pour tout x ⊧ ̃p, on a28

4. L'ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS UN CADRE ABSTRAITR(x) = R(x) ∩ ˜σ(R)(x) et donc R(x) = ˜σ(R)(x) car ils ont le même cardinal. Commeil est évident que ˜σ(r)(x) code ˜σ(R)(x), il s'en suit que ˜σ(∂̃p r) = ∂̃p˜σ(r) = ∂̃p r.Considérons alors les e i ∈ dcl ̃L(M) comme dans le (∗) et pour tout i, le e ′ i ∈ Mdonné par le (iii). On a montré que toute extension (au sens décrit ci-dessus) ˜σ à ̃Md'un σ ∈ Aut L eq(M eq /A ′ ) xe ∂̃p r ; ˜σ doit donc xer tout les e i sauf un nombre ni,par dénition des e i et donc tous les e ′ i sauf un nombre ni, par dénition des e ′ i. Parle corollaire (4.15) (appliqué dans le modèle M eqA), tous les e ′ ′ i sauf un nombre ni ontune orbite nie, i.e. il existe I 0 ni tel que i ∉ I 0 implique e ′ i ∈ acl L(A ′ ) = A ′ , de pluscomme e ′ i ∈ M, on a alors e′ i ∈ A = A′ ∩ M.Pour tout x ∈ dcl ̃L(M), l'action de Aut L (M) sur x est bien dénie car toute extensionde σ ∈ Aut L (M) à ̃M donnera la même image à x. Posons alors A ∗ = {x ∈dcl ̃L(M) ∶ x est xé par Aut L (M /A)}. Pour i ∉ I 0 , comme e ′ i ∈ A, on a (par dénitionde e ′ i), e i ∈ A ∗ . Tout automorphisme de Aut ̃L(̃M/A ∗ ) xe donc tous les e i qui nesont pas dans I 0 , i.e. tous sauf un nombre ni. Il s'en suit donc que ∂̃p r est xé parAut ̃L(̃M/A ∗ ). Par l'hypothèse (∗∗), il existe s ̃L A ∗-dénissable qui a le même germeque r au dessus de ̃p.Comme r(c) est un code de R(c), il existe ϕ[x, ȳ] ∈ ̃L telle que pour tout c ∈ ̃MR(c) = ϕ[̃M, r(c)]. Soit alors la relation S dénie par ϕ[s(x), ȳ] ∈ ̃L A ⋆. Comme ∂̃p s =∂̃p r, S(c) = R(c) pour tout c ⊧ ̃p. Comme tout isomorphisme de Aut L (M /A) xe A ∗et donc S, il s'en suit que S ∩ M est Aut L (M /A)-invariant. Il sut donc de montrerque c'est un ensemble dénissable (dans M) pour savoir qu'il est A-dénissable. Maiscomme S est A ⋆ -dénissable, il existe ψ[x, ȳ, ā] ∈ ̃L, où ā ∈ A ⋆ , qui dénit S. De plus,comme ā ∈ A ⋆ ⊆ dcl ̃L(M), il existe θ[¯z, ¯t] ∈ ̃L et ¯m ∈ M tels que θ[̃M, ¯m] = {ā}. Laformule ∃¯z θ[¯z, ¯m] ∧ ψ[x, ȳ, ¯z] dénit donc S et est équivalente à une formule sansquanticateurs χ[x, ȳ, ¯t]. Cette formule dénit donc, dans M, l'ensemble S ∩ M quel'on peut donc supposer A-dénissable.Soit alors c ⊧ ̃p∣B ∪ p (qui existe par hypothèse) où B ⊆ M est tel que A ⊆ B et rest dénit sur B. Alors comme ∂̃p r = ∂̃p s, on a R(c) = S(c) et donc f(c) ∈ S(c) ∩ M.On a donc f(c) ∈ acl L (Ac) = dcl L (Ac) par (ii). Il existe donc g L A -dénissable telleque g(c) = f(c). On pose alors E = {x ∈ M ∶ f(x) = g(x)}. C'est un ensemble unairequi est A ′ -dénissable. Par (iv), il a un code e ∈ M, mais alors e ∈ dcl L (A ′ ) = A ′ etdonc e ∈ A = A ′ ∩ M, i.e. E est A-dénissable. Comme c ∈ E et c ⊧ p, on a bien E ∈ pet donc ∂ p f = ∂ p g.◻Revenons donc à la preuve de la proposition et montrons que f est A-dénissable.Comme M est saturé, tout p ∈ S 1 (A) tel que son unique variable est dans les sortesdominantes, est de la forme tp L (c/A) pour c ∈ dom(M). Par le lemme (4.19), si g pest la fonction A-dénissable telle que ∂ p f = ∂ p g et l'ensemble {x ∶ f(x) = g(x)} estA-dénissable, on a S 1 (A) = ⋃ p∈S1 (A)[f(x) = g p (x)] (où [ϕ] est l'ouvert engendré parϕ). Par compacité, il existe donc (D i ∶ 1 ⩽ i ⩽ n) des ensembles A-dénissables et29

5. LES SORTES GÉOMÉTRIQUES(g i ∶ 1 ⩽ i ⩽ n) des fonctions A-dénissables telles que f coïncide avec g i sur D i et lesD i recouvrent M. Il s'en suit bien que f est A-dénissable.◻5 Les sortes géométriquesDans [HHM06], il est démontré que la théorie ACVF (m,n) élimine (uniformément)les imaginaires si l'on rajoute certaines sortes de réseaux. Le but de cette section estde rappeler la dénition de ces sortes et le langage dans lequel on a alors éliminationdes quanticateurs.Dénition 5.1 (Réseaux) :Soit (K, v) un corps valué. On note S n (K) l'ensemble des sous-O K -modules de K nlibres de rang n. Un élément de S(K) = ⋃ n⩾1 S n (K) est appelé un réseau de K.Un réseau de K a donc une base e 1 . . . e n dans K. Deux bases engendrent le mêmeréseau s'il existe une matrice dans GL n (O K ) qui conjugue ces deux bases. On a doncS n (K) ≃ GL n (K)/ GL n (O K ). Il s'en suit donc que pour tout n, S n est bien une sortede K eq . De plus l'ensemble S 1 n'est rien d'autre que l'ensemble des boules ferméescentrées en 0 de rayon ni appartenant à K. On a donc S 1 (K) ≃ Γ K . D'ailleurs, lasurjection canonique K ⋆ → S 1 (K) ≃ GL 1 (K)/ GL 1 (O K ) = K ⋆ / O ⋆ K = Γ K est v.On peut aussi remarquer que la sorte S contient des codes pas seulement pour lesréseaux mais aussi pour tous les translatés de réseaux :Lemme 5.2 :Soient (K, v) un corps valué, s ∈ S n (K) et a ∈ K. Le sous-O K -module de K n+1engendré par (a + s) × {1} est un réseau et il code a + s.Démonstration. Soit (e 1 , . . . , e n ) une base de s. On pose e 0 = 0, la famille des (a + e i , 1)est alors une base du sous-O K -module de K n+1 engendré par (a + s) × {1}, que l'onnotera h(a + s). Supposons que l'on ait ∑ i λ i (a + e i , 1) = 0, où λ i ∈ O K . On a alors(∑ i λ i a + ∑ i⩾1 λ i e i , ∑ i λ i ) = (0, 0). Il s'en suit donc que ∑ i λ i = 0 et donc ∑ i⩾1 λ i e i =0. Or c'est une famille libre donc pour tout i ⩾ 1, λ i = 0 et donc, λ 0 = 0. Pour cequi est du fait que ce soit une famille génératrice, tout élément de h(a + s) est dela forme x = ∑ i λ i (a + x i , 1), où x i ∈ s. En particulier, x i = ∑ j⩾1 µ i j e j. On a doncx = ∑ i λ i (a + e 0 , 1) + ∑ i,j λ i µ j (e j , 0). Or (e j , 0) = (a + e j , 1) − (a + e 0 , 1) et donc x estbien combinaison linéaire des (a + e i , 1).Le module h(a+s) est donc bien un réseau. De plus, h(a+s)∩K n ×{1} = (a+s)×{1}.En eet, si x ∈ h(a + s) ∩ K n × {1}, il existe λ i ∈ O K , x i ∈ s et y ∈ K n tels que∑ i λ i (a + x i , 1) = (y, 1) = x. Il s'en suit que ∑ i λ i = 1 et donc y = ∑ i λ i a + ∑ i λ i x i =a + ∑ i λ i x 1 ∈ a + s. L'inclusion réciproque est évidente. Il s'en suit donc que h est unefonction ∅-dénissable qui injecte les translatés d'éléments de S n dans S n+1 , i.e. a + sest codé par h(a + s) via la fonction qui dénit h.◻30

5. LES SORTES GÉOMÉTRIQUESOn en déduit immédiatement que l'ensemble des boules fermées dont le rayon estdans Γ K s'injecte dans S 2 (K) ∪ K. En eet l'ensemble des boules fermées de rayoninni est exactement K. Pour ce qui est des boules fermées de rayon ni, ce sont destranslatés de boules centrées en 0, i.e. d'éléments de S 1 , par le lemme précédent, ilss'injectent bien dans S 2 .Dénition 5.3 (Torseurs) :Soit (K, v) un corps valué. On pose T n (K) = ⊔ s∈Sn(K) s/(M s). Un élément deT (K) = ⋃ n⩾1 T n (K) est appelé un torseur de K.Il est clair que T vit aussi dans K eq vu que ses points sont des classes de congruencesd'un réseau s (qui est bien un ensemble dénissable) par M s qui est bien un sous-groupedénissable.De plus, comme k K = O K / M K et que O K est évidemment un réseau de rang 1, ils'en suit que k K ⊆ T 1 (K). L'application res est aussi dénissable car c'est celle qui àa ∈ O K associe sa classe dans O K / M K .Pour pouvoir dénir le langage dans lequel on a à la fois élimination des imaginaireset élimination des quanticateurs pour ACVF m,n , il faut introduire une dernière notion,celle de base générique. Il faut cependant commencer par montrer le lemme suivant :Lemme 5.4 :Soient (K, v) un corps valué algébriquement clos, A ⊆ K et a un élément génériquede k K au-dessus de A (au sens de la stabilité). Tous les b ∈ O K tels que res(b) = a ontalors le même type.Démonstration. Quitte à agrandir K, on peut le supposer assez saturé. Soient b et c telsque res(b) = a = res(c), i.e. en se rappelant que a est un translaté de M K , b et c sontdans a. S'ils n'ont pas le même type sur A, il existe un ensemble A-dénissable X ⊆ O Ktel que b ∈ X et c ∉ X. Mais alors pour tout a ′ générique dans k K au-dessus de A (onpeut en construire une innité en prenant un élément générique au-dessus de ceux quel'on a déjà construits), il existe b ′ et c ′ dans a ′ tels que b ′ ∈ X et c ′ ∉ X. Mais celacontredit le fait que X est A-dénissable. En eet, on aurait alors, par la proposition(3.7), X = ⋃ n i=1 (t i/(⋃ m ij=1 tj), où les i t i et t j isont des translatés de sous-O-modules deO, i.e. des idéaux. Si t i est un translaté d'un idéal strict de O, il est contenu dans untranslaté de M et ne peut donc contenir qu'un seul des b ′ . On doit donc avoir i = 1et t 1 = O. Mais pour la même raison on ne peut alors pas éviter tous les c ′ sans avoir= O et donc X = ∅, ce qui est absurde.◻t j 1Dénition 5.5 (Base générique) :Soient K un corps valué algébriquement clos, A ⊆ K eq et s ∈ S n (A). Si l'on noteres(s) = s/Ms, res(s) n est dénissablement isomorphe à k n2 . Comme k est un pur corpsalgébriquement clos, cet ensemble est de degré 1 et a donc un type générique q res(s) n,31

5. LES SORTES GÉOMÉTRIQUESqui est l'unique type de rang maximal de l'ensemble. Soit alors q s tel que pour tout(ā 1 . . . ā n ), on a (ā 1 . . . ā n ) ⊧ q s si et seulement si (res(ā 1 ) . . . res(ā n )) ⊧ q res(s) n, oùres(ā i ) = ā i + Ms.Soit B ⊆ A, une base générique de s au-dessus de B est une réalisation de q s ∣B.Cette dénition a un sens car pour tout i, res(ā i ) est générique au-dessus deAā 1 . . . ā i−1 et donc, par le lemme (5.4), tous les choix possibles de ā i ont le mêmetype au-dessus de ces paramètres. De plus, comme q res(s) n est A-dénissable (tous lestypes sont dénissables dans une théorie stable), q s l'est aussi ; en eet ϕ[¯x 1 , . . . ¯x n ] ∈ q ssi et seulement si (∀¯x 1 . . . ¯x n ⋀ i y i = res(¯x i ) ⇒ ϕ[x 1 , . . . x n ]) ∈ q res(s) n (il n'est d'ailleurspas très compliqué de voir que ce type est dénissable uniformément en s). Si l'on aplusieurs réseaux s 1 , . . . s n , on dénit le type q s1 ,...,s ncomme le type des bases de s igénériques au dessus des paramètres et des bases déjà choisies pour les (s j ) j

5. LES SORTES GÉOMÉTRIQUESψ[¯x 1 ] ⇐⇒ ψ[¯x 2 ] et doncACVF G ⊢ ϕ ⋆ [¯z] ⇐⇒ (∀¯x f(¯x) = ¯z ⇒ ψ[¯x]) ⇐⇒ (∃¯x f(¯x) = ¯z ∧ ψ[¯x]). (1)On peut alors montrer que si (K, v) ⩽(L, w) est une extension de corps valués alorsK G ⊆ L G . En eet, si s ∈ S n (K) alors O L s ∈ S n (L) et O L s ∩ K n = s. On peut doncinjecter S(K) dans S(L) en respectant les ∈ n . Il s'en suit facilement qu'on peut aussiinjecter T (K) dans T (L) en respectant les τ n et les ν n . Reste alors le problème desavoir si les ϕ ⋆ sont respectés. Mais comme K alg ⪯ L alg (en les munissant de valuationsraisonnables), on a (K alg ) eq ⪯(L alg ) eq et comme lg est une extension dénissable dansles corps valués algébriquement clos (K alg ) G ⪯(L alg ) G . Comme par dénition ϕ ⋆ [K G ] =ϕ ⋆ [(K alg ) G ]∩K G , on a ϕ ⋆ [L G ]∩K G = (ϕ ⋆ [(L alg ) G ]∩L G )∩K G = ϕ ⋆ [(L alg ) G ]∩(K alg ) G )∩K G = ϕ ⋆ [(K alg ) G ] ∩ K G = ϕ ⋆ [K G ].Il s'en suit que les ϕ ⋆ sont en fait dénissables par les même formules qu'en (1). Eneet, soit (K, v) un corps valué quelconque, on a alors, par dénition K G ⊧ ϕ ⋆ [¯z] si etseulement si (K alg ) G ⊧ ϕ ⋆ [¯z] et donc (K alg ) G ⊧ ∀¯x f(¯x) = ¯z ⇒ ψ[¯x]. Comme ψ est sansquanticateurs, on a donc K G ⊧ ∀¯x f(¯x) = ¯z ⇒ ψ[¯x]. Mais comme (K alg ) G ⊧ ACVF G ,et que K G ⊆ (K alg ) G , on a aussi K G ⊧ ∀¯x 1¯x 2 , f(¯x 1 ) = f(¯x 2 ) ⇒ ψ[¯x 1 ] ⇐⇒ ψ[¯x 2 ] etdonc K G ⊧ (∀¯x f(¯x) = ¯z ⇒ ψ[¯x]) ⇐⇒ (∃¯x f(¯x) = ¯z ∧ ψ[¯x]). Comme cette dernièreformule est existentielle, si K G ⊧ ∃¯x f(¯x) = ¯z ∧ ψ[¯x], on a aussi (K alg ) G ⊧ ∃¯x f(¯x) =¯z ∧ ψ[¯x], d'où (K alg ) G ⊧ ϕ ⋆ [¯z] et donc K G ⊧ ϕ ⋆ [¯z]. On a donc bien démontré quetout corps valué vérie en fait la formule (1) et donc qu'on a bien déni une extensiondénissables du langage dans tout corps valué.Pour nir, énonçons le théorème qui a motivé toutes ces dénitions.Théorème 5.7 :Pour tout (m, n), la théorie ACVF G m,n élimine les quanticateurs et les imaginaires.Ce sont les principaux résultats de [HHM06]. L'élimination des quanticateurs estprouvée au théorème 3.1.2 et celle des imaginaires au théorème 3.4.10.33

Deuxième partieLe corps des nombres p-adiques etsa théorie34

6. LES CORPS P -ADIQUEMENT CLOS6 Les corps p-adiquement closCette section est particulièrement dénitionnelle. On y introduit toutes les notionsnécessaires pour étudier les corps p-adiquement clos.Dénition 6.1 (Groupes Archimédien) :Soit Γ un groupe abélien totalement ordonné, on dit que Γ est Archimédien si pourtout a et b ∈ Γ tels que a > 0 il existe n ∈ Z tel que na ⩾ b.Remarque 6.2 :Un théorème classique que l'on peut trouver dans [Rib64, Proposition 1, p.9] dit queles groupes Archimédien sont exactement les sous-groupes de (R, +) à isomorphismeprès.Dénition 6.3 (Norme) :Soient (K, v) un corps valué dont le groupe de valeur est inclus dans (R, +) et V unK-espace vectoriel. Une norme (ultramétrique) sur V est une application ν ∶ V → R ∪∞qui vérie les propriétés suivantes :(i) Pour tout x ∈ V , ν(x) = ∞ ⇐⇒ x = 0.(ii) Pour tous x ∈ V et λ ∈ K, ν(λx) = v(λ) + ν(x).(iii) Pour tous x, y ∈ V , ν(x + y) ⩾ min(ν(x), ν(y)).Avec les conventions habituelles que pour tout γ ∈ Γ, γ < ∞ et γ + ∞ = ∞ + γ = ∞.Deux normes sur V , ν 1 et ν 2 , sont dites équivalentes si il existe α et β ∈ R tel quepour tout x ∈ V , ν 1 (x) + α ⩾ ν 2 (x) ⩾ ν 1 (x) + β.Il est évident qu'une valuation sur un corps L de K qui étend v est une norme surL en tant que K-espace vectoriel.Lemme 6.4 :Soient (K, v) un corps valué et K ⩽ L un extension nie. Deux valuations w 1 et w 2sur L qui étendent v sont équivalentes en temps que normes si et seulement si ellessont égales.Démonstration. Si w 1 et w 2 sont équivalentes en tant que normes alors il existe α etβ dans R tels que pour tout x ∈ L, w 1 (x) + α ⩽ w 2 (x) ⩽ w 1 (x) + β. En appliquantcette inégalité à x n on a alors pour tout n, nw 1 (x) + α ⩽ nw 2 (x) ⩽ nw 1 (x) + β et doncw 1 (x) + α/n ⩽ w 2 (x) ⩽ w 1 (x) + β/n. Il s'en suit donc que pour tout x, w 1 (x) = w 2 (x).La réciproque est évidente.◻Dénition 6.5 :Soient (K, v) un corps valué de groupe de valeur Archimédien et (V, ν) un K-espacevectoriel normé. Une suite (a n ) n∈N d'éléments de V est dite convergente s'il existe a ∈ V35

6. LES CORPS P -ADIQUEMENT CLOStel que pour tout A ∈ Γ, il existe N ∈ N tel que pour tout n supérieur à N, on aitν(a n − a) ⩾ A. Elle est dite de Cauchy si pour tout A ∈ Γ, il existe N ∈ N tel que pourtout n et m supérieurs à N, on ait ν(a n − a m ) ⩾ A.Enn, on dit que V est complet si toute suite de Cauchy converge.L'existence d'un complété (qui est aussi un corps) pour tout corps valué est unrésultat classique. On peut trouver dans [Lan02, Proposition XII.2.1]. De plus, il estfacile de voir que le complété d'un corps valué à le même groupe de valeur et le mêmecorps résiduel.Dénition 6.6 (Valuation p-adique) :On peut munir Q de la valuation suivante : tout rationnel s'écrit d'une façon uniquesous la forme p n a/b où a, b et n ∈ Z et a et b ne sont pas divisibles par p. On pose alorsv p (p n a/b) = n. On dénit le corps Q p comme le complété de Q pour cette valuation.Lemme 6.7 :Soient (K, v) un corps valué complet et V un K-espace vectoriel normé, alors toutesles normes sur V sont équivalentes et V est complet pour toutes ces normes.Démonstration. Voir [Lan02, Proposition XII.2.2]Corollaire 6.8 :Soient (K, v) un corps complet et K ⩽ L une extension nie, alors L ne peut êtremunie que d'une seule valuation (et pas seulement à équivalence près) qui étend v et,muni de cette valuation, c'est un corps complet.Démonstration. L est alors un K-espace vectoriel de dimension nie, toutes les valuationssur L qui étendent v sont donc équivalentes en tant que normes par le lemme(6.7) et par le corollaire (6.4), elles sont donc égales. De plus le lemme (6.7) préciseaussi que L est alors complet pour n'importe quelle norme et donc a fortiori son uniquevaluation.◻Corollaire 6.9 :Soit (K, v) un corps valué complet alors il est Hensélien.Démonstration. D'après le corollaire (6.8), toute extension nie de K ne peut êtremunie que d'une seule valuation qui étend v. Par la proposition (1.11), on a alors bienque K est hensélien.◻Dénition 6.10 :Soit (K, v) un corps valué. On dit qu'il est à valuation discrète si v(K) a un pluspetit élément strictement positif. Une uniformisante d'un tel corps est π tel que v(π)est le plus petit élément strictement positif.36◻

6. LES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSRemarque 6.11 :Il est facile de voir que le groupe de valeur d'un corps valué de valuation discrète etArchimédienne est monogène.Lemme 6.12 :Soit (K, v) un corps valué de valuation discrète, d'uniformisante π et dont le corpsrésiduel est ni alors toute boule de rayon γ est recouverte par un nombre ni de boulesde rayon γ + v(π).Démonstration. Soit b une boule de centre a et de rayon γ. Supposons que le corpsrésiduel soit de cardinal q et qu'il existe q + 1 boules disjointes de rayon γ + v(π)incluses dans b. Soient alors x 0 , . . . , x q des points dans chacune de ces q + 1 boules. Ona alors pour tous i ≠ j, v(x i − x j ) ⩽ γ, sinon ils seraient dans la même boule de rayonγ + v(π). Mais d'un autre côté on a v(x i − x j ) = v(x i − a − (x j − a)) ⩾ γ car x i et x j sonttous les deux dans b. On a donc pour tous i ≠ j, v(x i − x j ) = γ. Posons ˆx i = (x i − a)y oùv(y) = −γ. On a alors v(ˆx i ) = 0 et pour tous i ≠ j, res(ˆx i − ˆx j ) ≠ 0, i.e. res(ˆx i ) ≠ res(ˆx j ).On a donc q +1 éléments de résidus distincts, ce qui est absurde. Il ne peut donc existerau plus que q boules disjointes de rayon γ + v(π) incluses dans b. Comme deux boulesde même rayon sont soit égales soit disjointes, on a bien le résultat recherché. ◻Lemme 6.13 :Soient (K, v) un corps valué complet à valuation discrète, R un ensemble de représentantsde k = O /M et π i une suite d'éléments de K tels que v(π i ) = v(π) i où π estune uniformisante de K. Alors tout élément x ∈ K se développe de façon unique commeune série convergente ∑ ∞ i=N r iπ i où N ∈ Z et pour tout i, r i ∈ R.Démonstration. Voir [Lan02, p. 488].Remarque 6.14 :On peut alors remarquer que tout élément de Q p s'écrit de façon unique comme unesérie convergente ∑ i⩾N a i p i où a i ∈ ⟦0 . . . p − 1⟧. Il s'en suit aussi immédiatement quetout élément de Z p s'écrit de façon unique comme une série convergente ∑ i⩾0 a i p i etest donc limite d'éléments de Z, i.e. Z est dense dans Z p .Dénition 6.15 :On dénit L Qp = L div ∪{P n ∶ n ∈ N ⋆ }. La théorie pCF des corps p-adiquement closdans le langage L Qp est donnée par les axiomes suivants :(i) K est un corps valué Hensélien.(ii) P n dénit l'ensembles des puissances n-ièmes.(iii) Le groupe de valuation est un Z-groupe dont le plus petit élément strictementpositif est v(p).37◻

6. LES CORPS P -ADIQUEMENT CLOS(iv) Le corps résiduel est F p .Remarque 6.16 :Il n'est pas totalement évident que cette théorie soit axiomatisable, montrons doncque toutes ces propriétés peuvent être traduites au premier ordre dans L Qp .(i) Le seul problème est d'exprimer qu'il est Hensélien, mais il sut d'énoncer quele corps vérie le lemme de Hensel : pour tout a 1 . . . a n et a, si 1 div a i , 1 div a,¬(∑ i a i a i div 1) et ∑ i a i ia i−1 div 1, alors il existe b tel que 1 div b, ∑ i a i b i = 0 et¬(a − b div 1).(ii) ∀x(P n x ⇐⇒ ∃y x = y n ).(iii) Les axiomes précédent impliquent déjà que le groupe de valuation est un groupeabélien totalement ordonné. Il reste à dire qu'il a un plus petit élément strictementpositif (qui est v(p)) : ¬(p div 1) et pour tout x, x div p implique x div 1 ;et que pour tout n ∈ N ⋆ , [Γ ∶ nΓ] = n : pour tout x, il existe y tel que⋁ i=0...n−1 x div p i y k ∧ p i y k div x.(iv) On a déjà dit dans les axiomes que v(p) > 0 et donc res(p) = 0. Il s'en suitque la caractéristique résiduelle est forcément p et donc il sut de dire que lecorps résiduel à au plus p éléments : ∀x 0 . . . x p ⋁ i≠j ¬(x 1 − x j div 1).Proposition 6.17 :Le corps Q p est un modèle de pCF. De plus cette théorie admet l'élimination desquanticateurs dans L Qp et est complète. On a donc Th(Q p ) = pCF.Démonstration. La seule chose à vérier pour montrer que Q p ⊧ pCF est que Q p estHensélien mais c'est une conséquence immédiate du lemme (6.9). L'élimination desquanticateurs a été montrée par Macintyre dans [Mac76], on en trouve aussi une preuvedans [Cha08, Théorème 5.1 p. 50]. La complétude de la théorie suit immédiatement dufait que tous les modèles contiennent Q muni de la valuation p-adique.◻Comme pour ACVF, on peut démontrer un résultat d'élimination des quanticateursdans une extension du langage tri-sorté qui permet de montrer que Γ stablementplongé au sens que tout ensemble dénissable de Γ, l'est avec seulement des paramètresde Γ.On dénit aussi le langage L G Q pen rajoutant les prédicats P n au langage L G div eten les interprétants toujours par l'ensemble des puissances n-ièmes. La théorie pCF Gest alors la théorie de Th(Q G p ). C'est l'extension dénissables de pCF eq donnée par lesconsidérations qui suivent la dénition (5.6). Il suit aussi de ces considérations que larestriction à L G div de tout modèle de pCFG se plonge dans un modèle de ACVF G 0,p .38

6. LES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSLemme 6.18 :Soient K ⊧ pCF, x ∈ K et k ∈ N ⋆ alors x ∈ (K ⋆ ) k si et seulement si (K ⋆ ) k ∩B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ≠ ∅.Démonstration. Soient y ∈ (K ⋆ ) k ∩ B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) et P (X) = X k − x/y. On av(P (1)) = v(1 − y/x) = v(x − y) − v(x) ⩾ 1 + 2v(k) et v(P ′ (1)) = v(k). On a donc bienv(P (1)) > 2v(P ′ (1)) et donc par le lemme de Hensel-Rychlik (voir (1.11.iv)) il existeb ∈ O tel que P (b) = 0, i.e. b k = y/x. Comme y ∈ (K ⋆ ) k , il s'en suit directement que xaussi. La réciproque est évidente.◻Une conséquence immédiate de ceci est que (K ⋆ ) k est ouvert et fermé. Cela ades conséquences sur le cardinal des ensembles dénissables dans pCF. La preuve estsimilaire à celle pour ACVF dans la proposition (3.8).Proposition 6.19 :Soit (K, v) ⊧ pCF, alors tout sous-ensemble dénissable de K est soit ni soit ducardinal de K.Démonstration. Soit X un ensemble dénissable, par élimination des quanticateurs etpar le même argument que dans la preuve de la proposition (3.8), on peut supposerque la formule que l'on considère est en une seule variable et que c'est une conjonctiond'atomes et de négations d'atomes. Elle est donc de la forme ϕ[x] ∧ ⋀ i P ki (R i (x)) ∧⋀ j ¬P kj (R j (x)), où ϕ ∈ L div et les R k sont des polynômes à coecients dans K. Le casoù X est vide étant très peu intéressant, on peut supposer qu'on a un m ∈ X.Comme ϕ est sans quanticateurs, on a ϕ[K] = ϕ[K alg ] ∩ K. Or, on a montré dansla preuve de la proposition (3.8) que si m ∈ ϕ[K alg ] alors cet ensemble contient uneboule ouverte centrée en m. Quitte à augmenter son rayon, comme Γ Kalg = div(Γ K ), onpeut supposer qu'il est dans Γ K . On a donc m + y M alg ⊆ ϕ[K alg ] Koù y ∈ K et donc,comme tous ces ensembles sont dénis sans quanticateurs, m + yM K ⊆ ϕ[K]. Il s'ensuit que ϕ[K] est ouvert.Montrons à présent que les P k dénissent des ensembles ouverts-fermés. Si K ⊧P k (x) alors tout la boule ouverte B >v(x)+2v(k) (x) est aussi dans P k (K). En eet, soity ∈ B >v(x)+2v(k) (x) alors v(y) = v(y − x + x) = v(x) car v(y − x) > v(x) + 2v(k) ⩾ v(x) etx ∈ (K ⋆ ) k ∩B ⩾(1+v(y)+2v(k)) (y), d'où, par le lemme (6.18), y ∈ P k (K). Réciproquement,si x ∉ P k (K) alors si on avait P k (K) ∩ B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ≠ ∅, on aurait x ∈ P K (K) cequi est absurde, donc B ⩾(1+v(x)+2v(k)) (x) ⊆ ¬P k (K).Comme les polynômes dénissent des fonctions continues, R −1i(P ki ) et R −1j (¬P k j)sont ouverts et donc X est une intersection nie d'ouverts. C'est donc lui même unouvert qui contient un sous-ensemble de la forme m+yM K . Par les même considérationsque dans la preuve de la proposition (3.8), on montre que M K à le même cardinal queK. C'est donc aussi le cas de X. ◻39

6. LES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSLemme 6.20 :Soient K ⊧ pCF, x ∈ K tel que v(x) = 0 et k ∈ N ⋆ , il existe alors n ∈ N ⋆ avecn < p 1+2v(k) tel que x/n ∈ (K ⋆ ) k et v(n) = 0.Démonstration. Cet énoncé peut s'exprimer au premier ordre par∀x v(x) = 0 ⇒⋁ ∃y x = ny k .0

7. CLÔTURE ALGÉBRIQUE ET DÉFINISSABLE DANS PCFLemme 6.23 :On a ⋂ k⩾1 (Q p ) k = {1}.Démonstration. Soit x ∈ ⋂ k⩾1 (Q p ) k , quitte à le remplacer par x −1 , on peut supposer quex ∈ Z p et on a alors x ∈ ⋂ k⩾1 (Z p ) k . Pour tout k il existe donc y tel que y pk−1 = x, maisy peut s'écrire comme ∑ i y i p i , où a i ∈ ⟦0 . . . p − 1⟧ et donc en posant y ′ = ∑ k−1i=0 a ip i ∈ Zet y ′′ = ∑ i⩾k a i p i−k , on a y = y ′ + p k y ′′ . D'après le petit théorème de Fermat, on ay ′pk−1 ≡ 1 mod p k et donc, en appliquant un binôme de Newton, il existe z ∈ Z p tel quey pk−1 = 1 + p k z. Il s'en suit donc que pour tout k ∈ N, il existe z tel que x = 1 + p k z. Parunicité du développement en série p-adique de x, on a donc x = 1.◻7 Clôture algébrique et dénissable dans pCFCette section se propose de démontrer quelles sont les clôtures algébriques et dénissablesdans pCF, comme on l'a fait à la remarque (3.3) pour ACVF.Proposition 7.1 :Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K, on a alors A alg ∩ K ⊧ pCF.Démonstration. D'après le corollaire (6.22), il sut de montrer que K ′ = A alg ∩ K etK ′ ⊧ ∀x P n x ⇒ ∃y x = y n . Soient alors P ∈ O K ′[X] et a tel que res(P (a)) = 0 etres(P ′ (a)) ≠ 0. Ces même conditions sont vériées dans K qui est hensélien, il existedonc b ∈ O K tel que P (b) = 0 et res(b) = res(a). Mais ce b est alors algébrique sur K ′qui est relativement algébriquement clos dans K, donc b ∈ K ′ . Le corps K ′ est doncbien Hensélien.De plus la dénition des P n est préservée, en eet si on a K ′ ⊧ P n (x), c'est aussivrai dans K car K ′ est muni de la structure induite et donc il existe y ∈ K tel quey n = x, mais ce y est algébrique sur K ′ et donc appartient à K ′ .◻Corollaire 7.2 :Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K, on a alors acl(A) = A alg ∩ K.Démonstration. On a montré au lemme (7.1) que A alg ∩K est une sous-structure de Kqui est un modèle de pCF. Comme pCF est modèle complète, A alg ∩K est sous-structureélémentaire qui contient A et donc acl(A). Mais comme L Qp contient le langage desanneaux, on a aussi A alg ∩ K ⊆ acl(A). Ils sont donc égaux.◻Lemme 7.3 :Soit T une théorie modèle complète, telle que pour tout modèle M et tout A ⊆ M,acl(A) ⊧ T, alors T a un modèle premier et minimal au dessus de tout ensemble deparamètres, qui est justement acl(A).41

7. CLÔTURE ALGÉBRIQUE ET DÉFINISSABLE DANS PCFDémonstration. Montrons tout d'abord que acl(A) ne dépend pas de M. Soient doncM 1 et M 2 deux modèles de D el (A), le diagramme élémentaire de A. Par la propriétédu plongement commun, ils se plongent tous deux élémentairement dans un modèleM ⊧ D el (A). Mais alors acl M1 (A) = acl M (A) = acl M2 (A). De plus tout modèle deD el (A) contient acl(A) qui par modèle complétude est une sous-structure élémentaire.Enn, si on a A ⊆ M ⪯ acl(A) où M ⊧ D el (A), alors acl(A) ⊆ M et donc ils sont égaux.◻Corollaire 7.4 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors A alg ∩ K est un modèle premier et minimal au dessus de A.Démonstration. C'est une conséquence immédiate du lemme (7.3), du corollaire (7.2)et de la proposition (7.1).◻Proposition 7.5 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors K ′ = A alg ∩ K est rigide au dessus de A.Démonstration. Soit σ ∈ Aut(K ′ /A) et soit B la sous-structure xée par σ. Montronsalors que B ⊧ pCF. D'après le corollaire (6.22), il sut de montrer que B est hensélienet que B ⊧ ∀x P n (x) ⇒ ∃y x = y n . Tout d'abord, comme K ′ est hensélien, il contientC h = Frac(< A >) h et comme C = Frac(< A >) ⊆ dcl(A), il est xé par σ. On a donc lediagramme commutatif suivant :C h i 1 i 4 C C h σ σ(C h ) i 3K ′i 2où les injections vérient toutes i(x) = x. Par la propriété universelle de l'Hensélianisation(voir (1.13)) on a i 3 ○ σ = i 4 et donc pour tout x ∈ C h , σ(x) = x, i.e. C h ⩽ B. Maiscette extension est algébrique donc par le corollaire (1.12), B est Hensélien.Soit maintenant x tel que B ⊧ P n (x). Si x = 0 alors c'est évident, sinon il a doncune racine n-ième dans K, notée y. Soit k ∈ N ⋆ , par le corollaire (6.21), il existe q ∈ Q ⋆tel que qy ∈ (K ⋆ ) k . Mais on a alors σ(qy)/qy = qσ(y)/qy = σ(y)/y ∈ (K ⋆ ) k . De plusσ(y)/y est une racine n-ième de a/a = 1. Il s'en suit que σ(y)/y ∈ dcl(∅) ⊆ Q p . Par lelemme (6.23), on a alors σ(y)/y = 1 et donc y ∈ B, i.e. B ⊧ ∃y x = y n .◻Corollaire 7.6 :Soit A ⊆ K ⊧ pCF alors dcl(A) = acl(A) = A alg ∩ K.Démonstration. Quitte à en prendre une extension élémentaire, on peut supposer queK est assez saturé. Il sut alors de montrer que tout σ ∈ Aut(K/A) xe A alg ∩K. Mais42

8. LES TYPES DANS PCFcomme σ xe A alors σ xe (globalement) acl(A) = A alg ∩ K. Mais on a montré dans lelemme (7.5) que A alg ∩ K est rigide au dessus de A, il est donc xé point par point. ◻On peut alors en déduire, comme le fait van den Dries dans [Dri84] que pCF admetdes fonctions de Skolem dénissables. Pour cela on fait appel au critère suivant.Lemme 7.7 (Critère pour les fonctions de Skolem) :Soit T une théorie qui élimine les quanticateurs, alors T admet des fonctions deSkolem dénissables si et seulement si tout A ⊧ T ∀ se plonge dans un modèle A ⊧ Tqui est algébrique et rigide au dessus de A.Démonstration. Voir [Dri84, Théorème 2.1]Corollaire 7.8 :La théorie pCF admet des fonctions de Skolem dénissables.Démonstration. Soient (K, v) ⊧ pCF et A ⊆ K. D'après le lemme (7.1), A alg ∩ K estun modèle de pCF, algébrique au dessus de A. Mais par le lemme (7.5), il est rigideau dessus de A. On peut donc conclure par le lemme (7.7).◻Remarque 7.9 :Ces résultats seront utilisés dans la dernière section, mais il faut faire attentionqu'on sera alors dans une extension dénissable d'une partie de L eq . Les résultats qu'ona démontré restent vrais dans ce langage, à condition de considérer des ensembles deparamètres et des variables du corps seulement.◻8 Les types dans pCFLa section qui suit est une reprise des résultats de la section 4 de [HM08], dans lecas particulier de la théorie pCF. Dans ce qui suit, on notera B l'ensemble des boules.En particulier, si K est un corps valué et A ⊆ K, on note B(A) l'ensemble des boulesA-dénissables. Si b ∈ B(A), on notera x ∈ b pour ϕ[x], où ϕ est une L A -formule quidénit b. De plus, si M eq ⊧ pCF eq , on notera K(M) la sorte du corps.Dénition 8.1 (Généricité) :Soient (K, v) un corps valué, A ⊆ K, (b i ) i∈I une famille de boules A-dénissableset P = ⋂ i b i . On dit que x ∈ K est générique dans P au dessus de A si x ∈ P et xn'appartient à aucune sous-boule stricte A-dénissable de P.On note α P ∣A le A-type partiel suivant :α P = {x ∈ b i ∶ i ∈ I} ∪ {¬x ∈ b ∶ b ∈ B(A) et b ⊊ P }43

8. LES TYPES DANS PCFComme on l'a déjà fait remarquer précédemment, la notion de boule se comportemal vis à vis des extensions de corps. Il faut donc faire attention qu'un point génériquedans une intersection de boules dans un corps ne le sera pas forcément dans uneextension. Mais pour les corps p-adiquement clos, cela cas ne peut pas se produire :Lemme 8.2 :Soient (K, v) ⊧ P CF, (K, v) ⩽(L, w) une extension de corps valués, γ ∈ Γ L et a ∈ K,si B ⩾γ (a) ∩ K et B >γ (a) ∩ K sont dénissables sur K, sont alors des boule de K.Démonstration. Considérons d'abord b = B ⩾γ (a). Comme b est dénissable sur K, sonrayon (qui est la valuation maximal de la diérence de deux points dans b) est aussidénissable sur K, il s'en suit qu'il est dans Γ alg = div Γ K K . Il existe donc n ∈ N tel quenγ ∈ Γ K . Comme K est un corps p-adiquement clos, Γ K est un Z −groupe et donc ilexiste k ∈ ⟦0 . . . n − 1⟧ tel que nγ + k ∈ nΓ K , i.e. γ + k n ∈ Γ K. En d'autres termes, il existeδ ∈ Γ K tel que δ − v(p)γ ⩽ δ et b ∩ M est donc la boule de centre de a est de rayon δdans M.De plus B >γ (a) ∩ M = B ⩾γ+v(p) (a) ∩ M qui est bien une boule de M par ce qu'onvient de démontrer.◻Il s'en suit donc que si (K, v) ⊧ pCF et (K, v) ⩽(L, w) est une extension de corpsvalués (comme cela ne change rien aux boules dénissables, on considérera les deuxcorps munis de leur L div -structure), P est une intersection de boules de K, A ⊆ K, xest un point générique de P au dessus de A (dans K) et b une boule de L, A-dénissablealors b ∩ K est une boule de K. Soit σ ∈ Aut(K/A), on peut (quitte à supposer L assezsaturé) l'étendre en ˜σ ∈ Aut(L/A) qui xe globalement K. Comme b est A-dénissabledans L, il est xé par ˜σ et donc σ xe b ∩ K qui est donc bien A-dénissable. Commecette dernière boule contient x, elle ne peut être strictement incluse dans P et donc bnon plus.On dira que P est une intersection stricte si ce n'est pas lui même une boule (quiserait alors immédiatement A-dénissable) et que P est non vide.D'après [HHM06, lemme 2.3.3], le type générique sur une boule ou une intersectionstricte de boules est complet dans le cas où l'ensemble de paramètres est algébriquementclos. De plus tous les types d'éléments du corps sont d'une de ces deux formes. Dansle cas de pCF, la situation est un peu plus compliquée.Lemme 8.3 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et x ∈ K(M) alors x estgénérique dans une intersection stricte de boules A-dénissables au-dessus de A.Démonstration. Soit P = ⋂{b ∈ B(A) ∶ x ∈ b}, il est alors évident que x est génériquedans P au dessus de A. Supposons alors que l'intersection ne soit pas stricte, P est doncune boule A-dénissable. Soit γ son rayon, d'après le lemme (6.12), la boule de centrex et de rayon γ + 1 est algébrique sur A. Elle est donc dans acl( ) eq(A) ∩ B ⊆ dcl( ) eq(A)44

8. LES TYPES DANS PCFet est donc dénissable sur A. De plus elle contient x et est strictement contenue dansP, ce qui est absurde. ◻Dénition 8.4 (f ⋆ p) :Soient M une L-structure, A ⊆ M, p un type sur A et f = (f i ∶ i ∈ I) une famillede fonctions A-dénissables telle que pour tout i f i est déni sur les réalisations de p.Soit ϕ i [¯x, ȳ, ā i ] qui dénit f i , on peut alors considérer le typef ⋆ p = {ψ[ȳ i1 , . . . , ȳ in , ā ′ ] ∶ ∀ȳ i1 . . . ȳ inn⋀ ϕ ij [¯x, ȳ ij , ā ij ] ∧ ψ[ȳ i1 . . . ȳ in , ā ′ ] ∈ p}.j=1Dénition 8.5 (Relative complétude) :Soient M une L-structure, A ⊆ M et (f i ) i∈I une famille de fonctions A-dénissables.Un A-type partiel p est complet au dessus de A relativement aux f i si la fonction q ↦ f ⋆ qest injective de {q ∈ S(A) ∶ p ⊆ q} dans S(A).En particulier, pour vérier qu'un type est complet au dessus de A relativement àf, il sut de de vérier que, dans un modèle assez saturé, pour tous c et c ′ qui réalisentce type, si f(c) ≡ A f(c ′ ) alors c ≡ A c ′ .Lemme 8.6 :Soient M une L-structure, A ⊆ M et (f i ) i∈I une famille de fonctions A-dénissables.Un A-type partiel p[¯x] est complet au dessus de A relativement aux f i si et seulement sipour toute L A -formule ϕ[¯x], il existe une L A -formule θ[ȳ] telle que p[¯x] ⇒ (ϕ[¯x] ⇐⇒θ[f(¯x)]), où f(¯x) représente le uplet des f i (¯x).Démonstration. Supposons que p soit complet au dessus de A relativement à f. L'ensemblede formules p[¯x] ∪ p[¯x ′ ] ∪ {θ[f(¯x)] ⇐⇒ θ[f(¯x ′ ) ∶ θ ∈ L A ]} ∪ {¬(ϕ[¯x] ⇐⇒ϕ[¯x ′ ])} n'est pas satisfaisable (dans un extension N assez saturée de M) sinon onaurait f(¯x) ≡ A f(¯x ′ ) mais pas ¯x ≡ A ¯x ′ , ce qui contredit notre hypothèse. Il existedonc (θ i ) i=1...n des A-formules telles que pour tout ¯x et ¯x ′ réalisations de p, on ait⋀ i (θ i [f(¯x)] ⇐⇒ θ i [f(¯x ′ )]) ⇒ (ϕ[¯x] ⇐⇒ ϕ[¯x ′ ]).Pour tout σ ∶ ⟦1 . . . n⟧ → {0, 1}, on pose θ σ [ȳ] = ⋀ σ(i)=1 θ i [ȳ] ∧ ⋀ σ(i)=0 ¬θ i [ȳ] et ondénit X = {σ ∶ ∃¯c ∈ N ¯c ⊧ p et N ⊧ ϕ[¯c] ∧ θ σ [f(¯c)]} et θ[ȳ] = ⋁ σ∈X θ σ [ȳ]. Soit alors¯c ⊧ p dans N , si N ⊧ ϕ[¯c] alors, comme N ⊧ θ σ [f(¯c)] pour σ tel que σ(i) = 1 siet seulement si N ⊧ θ i [f(¯c)], on a bien σ ∈ X et N ⊧ θ[f(¯c)]. Réciproquement, siN ⊧ θ[f(¯c)], il existe σ ∈ X tel que N ⊧ θ σ [f(¯c)], et donc il existe ¯c ′ ⊧ p tel queN ⊧ θ σ [f(¯c ′ )] ∧ ϕ[¯c ′ ]. On a alors, pour tout i, θ i [f(¯c)] ⇐⇒ θ i [f(¯c ′ )] et donc, commeN ⊧ ϕ[¯c ′ ], on a aussi N ⊧ ϕ[¯c]. Comme N est assez saturé, on a exactement montréque p[¯x] ⇒ (ϕ[¯x] ⇐⇒ θ[f(¯x)]).Réciproquement, soient ¯c et ¯c ′ deux réalisations de p dans N telles que f(¯c) ≡ Af(¯c ′ ) et ϕ[¯x] ∈ L A . Soit alors θ[ȳ] la formule qui existe par hypothèse. On a alors45

8. LES TYPES DANS PCFN ⊧ ϕ[¯c] ⇐⇒ θ[f(¯c)] ⇐⇒ θ[f(¯c ′ )] ⇐⇒ ϕ[¯c ′ ] car f(¯c) et f(¯c ′ ) ont le même type.Il s'en suit donc que ¯c ≡ A ¯c ′ .◻On a montré dans le lemme (6.21) que pour tout corps p-adiquement clos K,K ⋆ /(K ⋆ ) n est ni et a un système de représentants dans Q. Soit alors (qi n ) un tel systèmede représentants. La surjection canonique K ⋆ → K ⋆ /(K ⋆ ) n est alors dénissablepar la formule r n [x, y] = ⋁ i y = qi n ∧ P n((qi n)−1 x). On peut d'ailleurs remarquer que lelemme (6.18) implique que pour tout n, 1 + p 1+2v(n) O ⊆ ker(r n ). Il s'en suit donc quesi v(x − y) + 1 + 2v(n) ⩽ v(x − z) alors r n (y − x) = r n (y − z), en eet y−zy−x = 1 + z−x et y−xv(x − z) − v(x − y) ⩾ 1 + 2v(n) et donc y−zy−x ∈ ker r n.Pour x et y ∈ Γ, on notera aussi dans la suite x ≪ y si pour tout n ∈ N, x + n ⩽ y.Comme on vient de le remarquer, on a alors que v(x − y) ≪ v(x − z) implique que pourtout n, r n (y − x) = r n (y − z). De plus soit b une boule, si x ∉ b, alors pour tout y ∈ b,v(x − y) est constant (c'est une conséquence immédiate du caractère ultramétrique), lanotation v(x − b) a donc un sens. De même, si v(x − b) ≪ ρ(b) (où ρ(b) est le rayonde la boule) alors on vient de montrer que la notation r n (x − b) à un sens. Cela dit, ilsut d'avoir v(x − b) + 1 + 2v(n) ⩽ ρ(b), comme on l'a montré un peu plus haut. Enndans ce qui suit, on notera r(x − b) pour le uplet des r n (x − b), sous réserve qu'il soitbien déni.Rappelons enn que si M ⊧ pCF eq , v est ∅-dénissable (c'est même un symbole deL eq ). En eet, le groupe de valeur n'est autre que K ⋆ /(O / M) qui est bien un quotientdénissable, et v est la projection canonique.Lemme 8.7 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ K(M), (b i ) i∈I une famille de boules A-dénissables d'intersectionstricte P et a ∈ P (A), alors le typen(α P ∣A)[x] est complet relativement àv(x − a) et aux r n (x − a).Démonstration. Soit L = K alg muni d'une valuation qui étend v (et qu'on notera aussiv). Dans un premier temps nous allons montrer que l'on peut étendre les r n à L ⋆ . SoitH = (K ⋆ ) n ∩ (1 + p 1+2v(n) O L ) un sous-groupe de L ⋆ . Si ab ∈ H ∩ K ⋆ avec a ∈ (K ⋆ ) n etb ∈ (1 + p 1+2v(n) O L ), on a alors b ∈ K ⋆ , or b = 1 + p 1+2v(n) c où v(c) ⩽ 0. Mais on a alorsc ∈ K et donc b ∈ (1 + p 1+2v(n) O K ) ⊆ (K ⋆ ) n . Il s'en suit que ab ∈ (K ⋆ ) n . On a doncmontré que H ∩ K ⋆ = (K ⋆ ) n et donc K ⋆ /P n s'identie avec un sous groupe de L ⋆ /H,et la projection sur ce quotient étend r n . De plus on a étendu r n de façon à ce qu'ilsoit toujours vrai que si v(x − y) ≪ v(x − z) alors r n (x − z) = r n (y − z).Soient maintenant c et c ′ ∈ K génériques dans P au dessus de A tels que v(c −a) ≡ A v(c ′ − a) et pour tout n, r n (c − a) ≡ A r n (c ′ − a), i.e. il existe σ Aut(M/A)tel que v(c − a) = σ(v(c ′ − a)) = v(σ(c ′ ) − a) (quitte à supposer M assez saturé) etr n (c − a) = r n (c ′ − a) (car les images des r n sont dans dcl(∅)). Comme σ(c ′ ) ≡ A c ′ , ilsut de démontrer que σ(c ′ ) ≡ A c. On peut donc supposer v(c − a) = v(c ′ − a).46

8. LES TYPES DANS PCFConsidérons maintenant d ∈ A alg . Si d ∉ P, soit i tel que d ∉ b i . Pour tout m ∈ N,il existe j ∈ I tel que ρ(b j ) ⩾ ρ(b i ) + m sinon X = {ρ(b j ) ∶ j ∈ I} aurait un minimum,(parmi ρ(b i ), ρ(b i )+1, . . . , ρ(b i )+m) or comme les boules de même rayon sont soit égalessoit disjointes et que P ≠ ∅, l'ensemble des b j aurait un minimum pour l'inclusion ce quicontredirait le fait que P soit une intersection stricte. Comme d ∉ b i , on a v(d−a) < ρ(b i )et donc, comme a, c ∈ b j , v(c−a) ⩾ ρ(b j ) ⩾ ρ(b i )+m > v(d−a)+m. On a donc montré quev(d−a) ≪ v(c−a). Le même résultat tient pour c ′ et donc v(c−d) = v(d−a) = v(c ′ −d)et pour tout n, r n (c − d) = r n (d − a) = r n (c ′ − d).Supposons maintenant que d ∈ P, comme v(a − d) ∈ Γ Aalg = div(Γ A ), il existe m ∈ Ntel que mv(a − d) = γ ∈ Γ A . Pour tout l ∈ N, la boule B ⩾γ/m−l (a) est une boule A-dénissable incluse dans P (par le même raisonnement que précédemment mais enutilisant maintenant que d ∈ P) et donc c ne peut y appartenir, i.e. v(c − a) < γ/m − l =v(d − a) − l et donc v(c − a) ≪ v(d − a). Par le même raisonnement, v(c ′ − a) ≪ v(d − a)et donc v(c − d) = v(c − a) = v(c ′ − a) = v(c ′ − d) et pour tout n, r n (c − d) = r n (c − a) =r n (c ′ − a) = r n (c − a).Comme tout polynôme à coecients dans A est scindé sur A alg , et que v et lesr n sont des morphismes pour la multiplication, on a démontré que pour tout Q ∈A[X], v(Q(c)) = v(Q(c ′ )) et pour tout n, r n (Q(c)) = r n (Q(c ′ )) i.e. P n (Q(c)) ⇐⇒P n (Q(c ′ )). Or comme A ⊆ K(M) et que toute L eqQ p-formule à paramètres et variablesdans le corps est équivalente à une L Qp -formule (c'est un propriété de T eq pour toutethéorie T), le type de c sur A est entièrement déterminé par son type dans la L Qp -structure. Comme il y a élimination des quanticateurs et qu'on vient de démontrerque c et c ′ réalisent les même atomes, on a bien c ≡ A c ′ .◻Proposition 8.8 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M, (b i ) i∈I une famille de boules A-dénissables d'intersectionstricte P et x une variable de corps, alors pour toute L eqQ p-formule à paramètreseqdans A, ϕ[x], on a soit α P ⇒ ϕ ou α P ⇒ ¬ϕ, ou il existe une L Qp -formule θ(y, z)Aet e ⊆ e ′ ⊆ P dans B(A), tels que x ∈ P ∧ x ∉ e ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − e), r(x − e)]) etque tous les r n (x − e) qui apparaissent dans θ soient bien dénis en dehors de e ′ .Démonstration. Quitte à supposer M assez saturé, on peut supposer que P (a) ≠ ∅.Soit alors a ∈ P (A). D'après les lemmes (8.7) appliqué à K(M) (ce qui est possible caron a bien A ⊆ M = dcl(K(M))) et (8.6), il existe une L eqQ p-formule θ[y, ¯z] à paramètresdans M telle que α P ∣M[x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]).Montrons maintenant que θ peut être choisie A-dénissable. Soient N une extensionélémentaire de M assez saturée et homogène et σ(θ) un conjugué de θ au dessusde A (dans M, i.e. σ ∈ Aut(M /A)). Alors, pour tout x ∈ N tel que x ⊧ α P ∣M,on a alors v(x − a) ≪ v(a − σ(a)) car pour tout m ∈ N, B v(a−σ(a))−m (a) est unesous-boule M-dénissable de P. On a donc v(x − a) = v(x − σ(a)) et pour tout n,47

8. LES TYPES DANS PCFr n (x − a) = r n (x − σ(a)). Il s'en suit donc que θ[v(x − a), r(x − a)] ⇐⇒ ϕ[x] ⇐⇒σ(ϕ[x]) ⇐⇒ σ(θ)[v(x − σ(a)), r(x − σ(a))] car ϕ est A-dénissable, mais la dernièreformule est équivalente à σ(θ[v(x−a), r(x−a)]) par les égalités qu'on vient de montrer.De plus supposons que seuls r 1 , . . . r N apparaissent dans θ. Si qi n est le système de représentantsrationnelles de K ⋆ /(K ⋆ ) n utilisés pour dénir r n , pour tout J = (qj i i) i=1...N ,si on note θ J [y] = ∀z 1 . . . z N , ⋀ i z i = qj i i∧ θ[y, ¯z]. On a σ(θ J ) = (σ(θ)) J car les qj i isont∅-dénissables, et donc θ J vérie la même propriété que θ à savoir que pour tout conjuguéσ(θ J ) au dessus de A (dans M), α P ∣M[x] ⇒ (θ J [v(x − a)] ⇐⇒ σ(θ J )[v(x − a)]).Comme θ[x, y] = ⋁ J (θ J [x] ∧ ⋀ y i = qj i i), il sut de montrer que tous les theta J sontA-dénissables (ou du moins qu'on peut les remplacer par une formule à paramètresdans A).Considérons l'ensemble de formules suivant :Σ[x, x ′ ] = (α P ∣M)[x] ∪ {θ J [x], ¬θ J [x ′ ]} ∪ {ψ[x, ā] ⇐⇒ ψ[x ′ ā] ∶ ψ ∈ L eqQ p, ā ∈ A}.Supposons qu'il soit satisfait par c et c ′ . Ils ont alors le même type au dessus de A et doncil existe un automorphisme σ ∈ Aut(M /A) tel que σ(c ′ ) = c. Mais comme c ⊧ α P ∣M,et que M ⊧ θ J [c], on a aussi M ⊧ σ(θ J )[x], mais donc aussi M ⊧ θ J [σ −1 (x)], i.e. M ⊧θ j [c ′ ] ce qui est absurde. Cet ensemble ne peut donc pas être satisfaisable et il existe(ψ i ) i=1...m des L eqQ p-formules à paramètres dans A, telles que α P ∣M[x] ⇒ (⋀ i ψ i [x] ⇐⇒ψ i [x ′ ]) ⇒ (θ J [x] ⇐⇒ θ J [x ′ ]). Pour tout τ ∈ 2 m , soit ψ τ = ⋀ τ(i)=1 ψ i ∧ ⋀ τ(i)=0 ¬ψ i .Notons E = {τ ∈ 2 m ∶ ∃x ∈ N, x ⊧ α P ∣M, N ⊧ θ J [x] et N ⊧ ψ τ [x]} et ψ E = ⋁ τ∈E ψ τ . Ilest alors facile de voir que α P ∣M[x] ⇒ (θ J [x] ⇐⇒ ψ E ) et cette dernière formule estbien à paramètres dans A. On peut donc supposer que les θ J , et donc aussi θ, sont àparamètres dans A.Par compacité, il sut d'être dans un nombre ni de b i et d'éviter un nombre nide sous-boules de P dans M pour avoir ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]. Mais cessous-boules sont toutes incluse dans la plus petite boule qui les contient toutes (et a).On a donc I 0 ⊆ I ni et une boule b de M tels que b ⊆ P, a ∈ b et ⋀ i∈I0 x ∈ b i ∧ x ∉ b ⇒(ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]). Soit b ′ la boule autour de b de rayon ρ(b) − m telque m ∈ N est susant pour qu'en dehors de b ′ , r n (x − b) soit bien déni pour tous lesr n qui apparaissent dans θ (en reprenant les notation de ci- dessus, il sut de prendrem = max(1 + 2v(n) ∶ 1 ⩽ n ⩽ N)). On a alors⋀ x ∈ b i ∧ x ∉ b ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − b), r(x − b)]). (2)i∈I 0Il sut alors de montrer qu'on peut choisir b et b ′ A-dénissables. Si α P ∣A ⇒ ϕ ouα P ∣A ⇒ ¬ϕ alors c'est ni. On peut donc supposer qu'on a a 1 et a 2 ∈ M qui réalisentα P ∣A tels que M ⊧ ϕ[a 1 ] et M ⊧ ¬ϕ[a 2 ]. Soient alors e = B ⩾v(a1 −a 2 )(a 1 ) et e ′ laboule autour de e de rayon ρ(e) − m, alors aucune paire (b, b ′ ) qui satisfait (2) ne peut48

8. LES TYPES DANS PCFvérier que b ′ et e ′ sont disjoints. En eet, si c'était le cas, comme b est disjoint de e ′ ,on aurait ρ(e ′ ) = v(a 1 − a 2 ) − m > v(a 1 − b) et donc v(a 1 − b) = v(a 2 − b) et pour toutn tel que r n apparaît dans θ, r n (a 1 − b) = r n (a 2 − b). De plus, comme a 1 , a 2 ∉ b ′ , on aϕ[a 1 ] ⇐⇒ θ[v(a 1 − b), r(a 1 − n)] ⇐⇒ θ[v(a 2 − b), r(a 2 − n)] ⇐⇒ ϕ[a 2 ] ce qui estabsurde. Quitte à agrandir b pour que son rayon soit supérieur à v(a 1 − a 2 ) ∈ Γ M , onpeut supposer que ρ(b ′ ) ⩾ ρ(e ′ ), on a donc forcément e ′ ⊆ b ′ . Comme tous les conjuguésde (b, b ′ ) au dessus de A vérient (2), un conjugué de b ′ au dessus de A ne pas êtredisjoints de e ′ et donc de b ′ . Cela implique aussi, quitte a appliquer un automorphisme,que deux conjugués de b ne peuvent pas être disjoints.Soit ψ[x, ¯d] une L eqQ p-formule qui déni b ′ . Soit p = tp( ¯d/Aρ(b ′ )). Si l'ensemble deformulesp[y] ∪ {¬(∀x ψ[x, ¯d] ⇐⇒ ψ[x, ȳ])}était satisfaisable, on aurait σ ∈ Aut(M/Aρ(b ′ )) tel que ψ[x, ¯d] et ψ[x, σ( ¯d)] ne dénissentpas le même ensemble, i.e. b ′ ≠ σ(b ′ ). D'après ce qu'on vient de démontrer, on asoit b ′ ⊆ σ(b ′ ), soit σ(b ′ ) ⊆ b ′ . Mais comme σ xe ρ(b ′ ), on a ρ(σ(b ′ )) = σ(ρ(b ′ )) = ρ(b ′ )et donc b ′ = σ(b ′ ), ce qui est absurde. Il s'en suit donc qu'il existe (χ[ȳ, z]) uneL eqQ p-formule à paramètres dans A, telle que M ⊧ ∀ ¯d ′ χ[ ¯d ′ , ρ(b ′ )] ⇒ (∀xψ[x, ¯d] ⇐⇒ψ[x, ¯d ′ ]) et on peut supposer que χ[y, ¯z] implique que ψ[x, ȳ] est une boule de rayonz (car c'est exprimable par une formule qui est dans le type de ¯d). De plus, si on noteq = tp( ¯d/A) et δ[x 1 , x 2 , ȳ 1 , ȳ 2 ] = ψ[x 1 , ȳ 1 ]∧¬ψ[x 2 , ȳ 1 ]∧¬ψ[x 1 , ȳ 2 ]∧ψ[x 2 , ȳ 2 ], l'ensemblede formulesq[ ¯d 1 ] ∪ q[ ¯d 2 ] ∪ δ[x 1 , x 2 , ¯d 1 , ¯d 2 ]n'est pas satisfaisable. En eet, il y aurait alors deux conjugués de b au dessus de Aqui ne sont pas inclus l'un dans l'autre, i.e. sont disjoints, ce qui contredit ce que l'ona vu précédemment. Il s'en suit donc qu'il existe χ 1 et χ 2 deux formules de q tellesque M ⊧ ∀ ¯d 1 ¯d2 χ 1 [ ¯d 1 ] ∧ χ 2 [ ¯d 2 ] ⇒ (∀x 1 x 2 ¬δ[x 1 , x 2 , ¯d 1 , ¯d 2 ]). Posons alors ζ[x, z] =∃ ¯d ′ χ[ ¯d ′ , z]∧χ 1 [ ¯d ′ ]∧χ 2 [ ¯d ′ ]∧ψ[x, ¯d ′ ] qui est à paramètres dans A. Cette formule permetalors de dénir une fonction f A-dénissable qui a un rayon γ associe une boule de rayonγ telle que f(ρ(b ′ )) = b ′ . De plus les images par f forment une chaîne. En eet, si l'on aγ 1 et γ 2 tels que f(γ 1 ) et f(γ 2 ) ne sont pas inclus l'un dans l'autre, i.e. sont disjoints,alors il existe x 1 , x 2 , ¯d 1 et ¯d 2 dans M tels que M ⊧ δ[x 1 , x 2 , ¯d 1 , ¯d 2 ] ∧ χ 1 [ ¯d 1 ] ∧ χ 2 [ ¯d 2 ],ce qui est absurde.On note alors f ′ la fonction qui à γ associe la boule de rayon m de moins autour def(γ). L'ensemble G des γ ∈ Γ M tels que (f(γ), f ′ (γ)) vérie (2) est donc A-dénissableet non vide car il contient ρ(b ′ ) (en eet comme (b, b ′ ) vérie (2) et que f ′ (ρ(b ′ ))contient b ′ qui contient b, (b ′ , f ′ (ρ(b ′ ))) vérie aussi (2)).Si cet ensemble est majoré, comme le groupe de valeur de Q p est Z, tout sousensembledénissable de Γ qui admet un majorant, admet un maximum (cette propriété49

8. LES TYPES DANS PCFest vraie dans Z et s'exprime au premier ordre). Soit donc γ 0 un majorant de G, il estdonc A-dénissable et (f(γ 0 ), f ′ (γ 0 )) est une paire de boules A-dénissables vériant(2). Si f(γ 0 ) ⊆ P alors ce sont les boules recherchées, sinon f ′ (γ 0 ) et P sont disjointset donc comme a 1 et a 2 sont dans P, v(a 1 − f(γ 0 )) ≪ v(a 1 − a 2 ). Il s'en suit alors queϕ[a 1 ] ⇐⇒ θ[v(a 1 − f(γ 0 )), r(a 1 − f(γ 0 ))] ⇐⇒ θ[v(a 2 − f(γ 0 )), r(a 2 − f(γ 0 ))] ⇐⇒ϕ[a 2 ] ce qui est absurde.S'il n'est pas majoré, considérons l'ensemble X = ⋂ γ∈G f(γ) qui est A-dénissable etne peut contenir au plus qu'un point. De plus, comme la propriété que les intersectionsde chaînes dénissables de boules sont non vides est vraie dans Q p et s'exprime aupremier ordre, il s'en suit que X est non vide et est donc réduit à un point a, qui estdonc nécessairement A-dénissable. Soient alors x ∈ P distinct de a et γ ∈ G tel queγ −m > v(x−a), on a alors ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x−f(γ)), r(x−f(γ))] mais comme a ∈ f(γ),on a bien ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − a), r(x − a)]. On peut alors choisir pour e et e ′ la boulede rayon ∞ autour de a.◻Corollaire 8.9 :Avec les même notations que dans le lemme précédent, s'il existe b ∈ B(A) tel queb ⊆ P alors α P est complet relativement à v(x − b) et aux r n (x − b). Si, par contre, iln'existe pas de tel b alors α P est complet.Démonstration. Supposons qu'il existe b ∈ B(A) tel que b ⊆ P. Soit ϕ[x] une L A -formule,si α P [x] ⇒ ϕ[x], on a α P [x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ v(x) = v(x)) et si α P [x] ⇒ ¬ϕ[x], on aα P [x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ ¬v(x) = v(x)). Dans les autres cas, d'après la proposition (8.8),il existe une formule θ et e ⊆ e ′ ⊆ P dans B(A) tels que x ∈ P ∧ x ∉ e ′ ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒θ[v(x − e), r(x − e)]). Soit c la plus petite boule qui contient b et e, elle est bien A-dénissable et donc toute réalisation x de α P est à l'extérieure de cette boule (et mêmeloin de cette boule). Il s'en suit donc que v(x − b) = v(x − c) = v(x − e) et de même pourr. On a donc α P [x] ⇒ (ϕ[x] ⇐⇒ θ[v(x − b), r(x − b)]). Il suit alors du lemme (8.6),que α P est complet au dessus de A relativement à v et r.Par contre, si un tel b n'existe pas, si on n'a pas α P ⇒ ϕ où α P ⇒ ¬ϕ alors ondevrait avoir un e ∈ B(A) qui sont inclus dans P, par la proposition (8.8), ce qui estabsurde.◻Corollaire 8.10 :Soient M eq ⊧ pCF eq , A ⊆ M eq tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl( ) eq(A) et B = B(A) alorspour tout c ∈ K(M), tp(c/B) ⇒ tp(c/A).Démonstration. Soient c et c ′ qui ont le même type au dessus de B et montrons qu'ilsont aussi le même type au dessus de A. Tout d'abord, d'après le lemme (8.3), commeA est algébriquement clos, c est générique dans une intersection stricte P de boules A-dénissables. Comme α p ⊆ tp(c/B), c ′ est aussi générique sur P. D'après le corollaire50

8. LES TYPES DANS PCF(8.9), si P ne contient pas de boule de B alors α P est complet et comme c et c ′ ensont deux réalisations, on a bien c ≡ A c ′ . Par contre s'il existe une boule b ∈ B inclusedans P, toujours par ce corollaire, il sut de vérier que v(c − b), r(c − b) a le mêmetype au dessus de A que v(c ′ − b), r(c ′ − b).Tout d'abord comme les valeurs des diérents r i sont dans Q ⊆ dcl(∅) et que c ≡ B c ′et donc en particulier que c − b ≡ Q c ′ − b, r(c − b) et r(c ′ − b) ont bien le même type (ilssont en fait égaux). De plus comme Γ est plongé stablement et que tous ses points sontcodés par une boule, le type de v(c − b) sur B implique celui sur Γ(A) et donc sur A.On a donc bien que v(c − b) ≡ A v(c ′ − b).◻La proposition qui suit est une forme de réciproque à la proposition (8.8). On y avaitdémontré que pour rendre complet un α P , il faut spécier le type de (v(x−a), r(x−a))pour un certain a. La proposition qui suit montre que réciproquement, quelque soit letype qu'on choisisse pour (v(x−a), r(x−a)), s'il est raisonnable alors il sera consistantavec α P .Dans ce qui suit, si P = ⋃ b∈B b est une intersection de boules, on notera P Γ = {γ ∈Γ ∶ ∀b ∈ B, γ ⩾ ρ(b)}. On notera aussi P Γ l'ensemble de formules qui dénit ce typepartiel.Proposition 8.11 :Soient M ⊧ pCF eq , A ⊆ M, P = ⋂ b∈B b intersection stricte de boules A-dénissableset q[y, z] le type d'un certain (v(c), r(c)) au dessus de A tel que q[y, z] implique P Γ [y]et y < γ pour tout γ ∈ P γ (A). Alors (α P ∣M)[x] ∪ ⋃ a∈P (M) q[v(x − a), r(x − a)] estconsistant.Démonstration. On peut supposer M assez saturé pour que P (M) soit non vide. Soitalors a ∈ P (M). Montrons que q[y, z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)} est consistant. En eet,s'il ne l'était pas, par compacité, il existerait γ ∈ P Γ (M) et ψ ∈ q une L A -formuletels que ψ[y, ¯z] ⇒ y ⩾ γ. Comme ¯z n'apparaît pas à droite de l'implication, quitte àremplacer ψ pas ∃¯zψ[y, ¯z], on peut supposer que sa seule variable est y. Comme ψ[M]a un minorant, elle admet une borne inférieure γ ′ (cette propriété est vraie dans Z ets'exprime au premier ordre). Comme ψ[M] a un minorant dans P Γ , γ ′ est dans P Γ (A)et on a q[y] ⇒ y ⩾ γ ′ , ce qui est absurde.Soit alors (γ, s) ⊧ q[y, ¯z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)} (dans une extension élémentaire deM). Par hypothèse, la formule ∃x, v(x) = y ∧ r(x) = z est dans q (à vrai dire commer est un uplet inni, tout bout ni de cette formule est dans q). Par compacité, existedonc c tel que (v(c), r(c)) ⊧ q[y, z] ∪ {y < γ ∶ γ ∈ P Γ (M)}. On pose alors d = a + c. Toutd'abord, comme v(d−a) = v(c) ∈ P Γ , et que a ∈ P, il s'en suit immédiatement que d ∈ P.De plus si d était dans une boule b M-dénissable incluse dans P, quitte à la remplacerpar la plus petite boule qui contient a et b, on pourrait supposer que b contient a. Maisalors ρ(b) ∈ P Γ (M) et v(c) = v(d − a) ⩾ ρ(b), ce qui contredit la dénition de c. On a51

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSdonc bien d ⊧ α P ∣M. De plus, soit a ′ ∈ P (M), comme d est générique dans P au dessusde M, on a v(d − a) ≪ v(a − a ′ ). Il s'en suit donc qu'on a v(d − a ′ ) = v(d − a) = v(c) etr(d−a ′ ) = r(d−a) = r(c) et, comme c ⊧ q[v(c), r(c)], on a bien (v(d−a ′ ), r(d−a ′ )) ⊧ q.◻Pour nir montrons l'existence d'extensions invariantes dans pCF. Avant de commencerrappelons cependant que dans un Z-groupe, il existe des extension invariantes.Toute type p sur un ensemble de paramètres A est déterminé par l'ensemble desn k ∈ ⟦0 . . . k − 1⟧ tels que x − n k est un multiple de k et par la coupure réalisée parx dans A. Comme les n k sont dénissables sur le vide, une extension de p est justeune extension de la coupure, et elle peut être choisie de façon à être A-invariante (parexemple en mettant à gauche tout les nouveaux points qui réalisent la coupure sur A).Proposition 8.12 :Soient M eq ⊧ pCF eq , A ⊆ M eq tel que acl eq (A) ∩ B ⊆ dcl eq (A) et c ∈ K(M),p = tp(c/A) a alors une extension Aut(M eq /A)-invariante.Démonstration. D'après le lemme (8.3), c est générique sur une intersection stricte Pde boules A-dénissables. Supposons qu'il existe une boule a A-dénissable incluse dansP, on note alors q = tp(v(c − a), r(c − a)/A). D'après la proposition (8.8), on a alorsα P ∣A∪q[v(x−a), r(x−a)] ⇒ p[x]. On pose alors s i = r i (x−a) ∈ Q et soit q ′ une extensionAut(Γ(M)/Γ(A))-invariante de tp(v(c − a)/Γ(A)). Comme Γ est stablement plongé,q ′ est un type complet sur M eq et il est bien Aut(M eq /A)-invariant. De même le typet[y, z] = q ′ [y] ∪ {z = s i } est un type complet sur M eq qui est Aut(M eq /A)-invariant(il est consistant car comme précédemment toute sous formule nie de ∃x v(x) = y ∧v(x) = ȳ est dans q dont q ′ est une extension). Par le lemme (8.11), p ⋆ = α P ∣M eq ∪⋃ m∈P (M eq ) t[v(x − m), r(x − m)] est consistant. Il est évident qu'il est complet par lecorollaire (8.9) et qu'il étend p. De plus, α P ∣M eq est clairement Aut(M eq /A)-invariantet si σ ∈ Aut(M eq /A) et m ∈ P (M eq ) alors σ(m) ∈ P (M eq ) et σ(t[v(x−m), r(x−m)]) =t[v(x−σ(m)), r(x−σ(m))] est aussi inclus dans p ⋆ , d'où p ⋆ est Aut(M eq /A)-invariant.◻Remarque 8.13 :Comme pour les résultats de la section précédente, les résultats de cette sectionne seront pas utilisés exactement dans le cadre où on les a démontrés. Mais ici, ons'est déjà placé dans un modèle de pCF eq . Le passage à une extension dénissable nechangeant rien aux types, on pourra les appliquer sans soucis.9 Extensions algébriques des corps p-adiquement closOn va commencer dans cette partie par étudier les extensions nies de Q p , pourétendre ensuite cette étude aux corps p-adiquement clos. La partie algébrique de ce qui52

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSsuit est inspiré de [Lan94, ch. II], [Lan02, ch. XII], [Nar74, ch. V Ÿ2] et [Ser68, ch. IIIŸ6].Dénition 9.1 (indice de ramication et d'inertie) :Soit (L, w) ⩾(K, v) une extension nie de corps valué. On note le degré de ramicatione(w∣v) = [Γ w ∶ Γ v ] (ou plus simplement e(L∣K) si les valuations sont évidentes)et l'indice d'inertie f(w∣v) = [k w ∣k v ].Lemme 9.2 :Soit (L, w) ⩾(K, v) une extension nie, on a alors e(w∣v)f(w∣v) ⩽ [L ∶ K] (enparticulier e(w∣v) et f(w∣v) sont nis).Démonstration. Soient w(x 1 ), . . . , w(x r ) des éléments de classes distinctes de Γ L /Γ K(où x i ∈ L ⋆ ) et y 1 , . . . , y s une famille k K -libre de k L . Montrons alors que la famille(x i y j ) i,j est libre sur K. Considérons donc a i,j ∈ K tels que ∑ i,j a i,j x i y j = 0. Quitteà retirer des termes, on peut supposer que pour tout i il existe j tel que a i,j est nonnul. Fixons alors un i et soit j i tel que v(a i,ji ) est minimal. ∑ j a i,j /a i,ji y j est alorsune combinaison des y j à coecients dans O dont un des coecients est de valuationnulle. Son résidu est une combinaison des y j dont un des coecients est non nul, ellene peut donc pas être nulle et donc v(∑ j a i,j /a i,ji y j ) = 0, i.e. v(∑ j a i,j y j ) = v(a i,ji ),il s'en suit que ∞ = v(∑ i,j a i,j x i y j ) = ∑ i v(a i,ji )v(x i ). Il existe donc i 1 et i 2 tel quev(a i1 ,j i1)v(x i1 ) = v(a i2 ,j i2)v(x i2 ). Mais alors v(x i1 ) − v(x i2 ) = v(a i2 ,j i2/a i1 ,j i1) ∈ Γ K cequi est absurde. Comme cette famille est libre, on doit donc avoir rs ⩽ [L ∶ K].Supposons maintenant que e(w∣v) sont inni, on particulier on peut trouver unefamille x 1 , . . . , x r telle que précédemment avec r > [L ∶ K]. Mais on a alors [L ∶ K]

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSminimal, on a alors n ⩽ e, et (iw(Π)) i=0...n−1 sont dans des classes diérentes moduloΓ K (car leurs diérences sont plus petites que π). De plus, soit γ ∈ Γ L , il existe m telque γ = mw(Π) = (qn + r)w(Π) = qv(π) + rw(Π) où 0 ⩽ r < n et donc e = [Γ L ∶ Γ K ] = n,i.e. ew(Π) = v(π).Soit de plus (a i ) i=0...f−1 une base de k L ⩾ k K . Si R est un système de représentantsde k K alors {∑ f−1i=0 r ia i ∶ r i ∈ R} est un système de représentants de k L . Comme lafamille des (Π i π j ) i=0...e−1,j∈Z vérie que w(Π i π j ) = i + ejw(Π), par le lemme (6.13),tout x ∈ L s'écrit∞∑j=Ne−1⎛∑ ∑⎝i=0f−1l=0r i,j,l a l⎞⎠ Πi π j =e−1∑i=0f−1∑l=0⎛∞∑ r i,j,l π j⎞ ⎝ ⎠ a lΠ ior ∑ ∞ j=N r i,j,lπ j ∈ K et donc la famille à ef éléments (a l Π i ) est une famille génératricede L au dessus de K et donc [L ∶ K] ⩽ ef. Le lemme (9.2) permet alors de conclurequ'on a bien [L ∶ K] = ef.Supposons maintenant que k L ⩾ k K est séparable. Soit alors α un élément primitifde cette extension et P ∈ k K [X] son polynôme minimal (que l'on choisit unitaire) quiest séparable. Soit Q ∈ O K [X] unitaire tel que res(Q) = P, comme K est complet etdonc Hensélien (voir (6.9)), il existe a ∈ O L tel que Q(a) = 0 et res(a) = α. On peutalors prendre a i = a i dans la preuve précédente et on a alors bien L = K[a, Π]. De plus,on a x ∈ O L si et seulement si N ⩾ 0 mais alors ∑ ∞ j=N r i,j,lπ j ∈ O K et on a donc bienO L = O K [a, b].Enn, comme w(Π) > 0, on a res(Π) = 0 et donc res(K[Π]) = res(K) = k K et doncl'extension est purement ramiée. De plus [K[a] ∶ K] ⩽ deg(Q) = deg(P ) = [k L ∶ k K ] ⩽[K[a] ∶ K] car (res(a) i ) i=0...f−1 est une famille génératrice de k L au dessus de k K . Ils'en suit que [K[a] ∶ K] = [k L ∶ k K ] et comme res(K[a]) = k L c'est bien une extensionpurement inertielle. Pour nir, on peut remarquer que [K[a, Π] ∶ K[a]] = e = [Γ L ∶Γ K ] et comme v(K[a]) = Γ K car l'extension est purement inertielle, on a bien queK[a, Π] ⩾ K[a] est purement inertielle.◻Remarque 9.4 :On remarque que dans la preuve précédente on a démontré que si (K, v) est un corpsvalué complet de valuation discrète, (L, w) une extension nie, Π une uniformisante deL et a tel que res(a) soit primitif de k L au dessus de k K , alors la famille (a i Π j ) pour0 ⩽ i < f(w∣v) et 0 ⩽ j < e(w∣v) est une base du K-espace vectoriel L (et une base du O K -module O L ). En eet, on démontré dans la preuve du lemme (9.2) qu'une telle familleest K-libre (et donc O K -libre) et on vient de démontrer qu'elle est aussi génératrice (deL si on prend les coecients dans K et de O L si on prends les coecients dans O K ).La proposition précédente permet donc de se ramener à l'étude des extensions purementinertielles et purement ramiées.54j=N

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSLemme 9.5 :Soient (K, v) un corps Hensélien et k ⩾ k K une extension nie séparable du corpsrésiduel. Il existe alors une unique extension purement ramiée (L, w) à isomorphismeprès telle que k L ≅ kK k. Si de plus l'extension k ⩾ k K est normale alors L ⩾ K est aussinormale et elle est unique (pas seulement à isomorphisme près).Démonstration. Soient α un élément primitif de k ⩾ k K et P ∈ k K [X] son polynômeminimal (unitaire). Soit Q ∈ O K [X] unitaire tel que res(Q) = P et soit a ∈ K alg tel queQ(a) = 0. On pose L = K[a] et on muni L de la restriction de la valuation de K alg .Comme P (res(a)) = res(Q(a)) = 0, on a k L ⊇ k (ou du moins k s'injecte dans k L audessus de k K ), de plus k L est engendré par les res(a i ) i=1...[L∶K] au dessus de k K et donc[L ∶ K] ⩽ deg(Q) = deg(P ) = [k ∶ k K ] ⩽ [k L ∶ k K ] ⩽ [L ∶ K], i.e. L ⩾ K est purementramié et k L ≅ kK k K . On a donc montré l'existence.Montrons maintenant l'unicité. Soit L ′ ⩾ K purement ramiée telle que k L ′ ≅ kK k.Comme L ′ est Hensélien (c'est une extension nie d'un corps Hensélien), il existe a ′ ∈ L ′tel que Q(a ′ ) = 0. On a alors K[a ′ ] ≅ K K[a] (et ils sont isomorphe en temps que corpsvalués par unicité de l'extension de la valuation au dessus d'un corps Hensélien). Maispar les même considérations que précédemment, le corps résiduel de K[a ′ ] est k L ′ etcomme L ′ ⩾ K est purement ramiée, il s'en suit que L ′ = K[a ′ ].Supposons maintenant que k ⩾ k K soit normale. Le polynôme P est donc scindédans k L et par le lemme d'Hensel appliqué à chaque racine, Q est scindé sur L. CommeQ ⩾ K est engendré par une des racines de Q, c'est le corps de décomposition de Q etil est donc normal et unique.◻Corollaire 9.6 :Soit (K, v) un corps hensélien de corps résiduel ni, alors K n'a qu'une extensionpurement inertielle de degré donné.Démonstration. Le lemme (9.5) implique que les extensions purement inertielles d'uncorps hensélien dont le corps résiduel est parfait sont entièrement déterminées par l'extensiondu corps résiduel, or un corps ni est parfait et n'a qu'une seule extension niede degré donné, de plus cette extension est le corps de décomposition d'un polynômede la forme X q − X, elle est donc normale.◻Dénition 9.7 (Polynôme d'Eisenstein) :Soient (K, v) un corps valué à valuation discrète d'uniformisante π, P ∈ O[X]unitiare et (a i ) tels que P = ∑ n i=0 a iX i , on dit que P est un polynôme d'Eisenstein siv(a n ) = 0, pour tout i ≠ n a i ∈ M et v(a 0 ) = v(π).Lemme 9.8 :Tout polynôme d'Eisenstein est irréductible.55

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSDémonstration. Soit P un polynôme d'Eisenstein, supposons que P = QR où Q etR ∈ K[X]. Soient (q i ) (respectivement (r j )) les coecients de Q (respectivement R)et q i0 (respectivement R j0 ) le premier coecient dont la valuation est minimale. Ona alors (q i0 r j0 ) −1 P = qi −10Qrj −10R et le polynôme à droite de l'égalité est dans O[X].Le coecient dominant de ce polynome (q i0 r j0 ) −1 est dans O et donc v((q i0 r j0 ) −1 ) ⩾0, i.e. v(q i0 ) + v(r i0 ) ⩽ 0. Mais si on considère le i 0 + j 0 -ième coecient de P, ona v(∑ i+j=i0 +j 0q i r j ) ⩾ 0. Si i < i 0 alors v(q i r j ) < v(q i0 r j0 ) et de même si j < j 0 etdonc v(q i0 r j0 ) = v(∑ i+j=i0 +j 0q i r j ) ⩾ 0. On a donc montré que v(q i0 ) = −v(r i0 ) et doncq i0 R ∈ O[X]. Comme P = qi −10Qq i0 R, on peut supposer que Q et R sont dans O[X].Mais comme res(P ) = cX n pour un certain c ∈ k ⋆ , res(Q) et res(R) qui le divisentsont aussi de cette forme et donc res(q 0 ) = res(Q)(0) = 0 et de même res(r 0 ) = 0, ils'en suit donc que le coecient constant de P qui est q 0 r 0 a une valuation d'au moins2v(π) ce qui est absurde.◻Lemme 9.9 :Soient (K, v) un corps complet de valuation discrète et (L, w) une extension nie.L'extension L ⩾ K est purement ramiée si et seulement s'il existe un polynôme d'EisensteinP dont une racine engendre L ⩾ K, i.e. comme les polynômes d'Eisenstein sontirréductibles, si L est le corps de rupture d'un polynôme d'Eisenstein.Démonstration. Comme dans la preuve du lemme (9.3), on montre que L est à valuationdiscrète et que si Π est une uniformisante de L et π une uniformisante de K et que[L ∶ K] = e alors ew(Π) = v(π) et L = K[Π]. Soit alors P ∈ K[X] le polynômeminimal unitaire de Π. Montrons qu'il est d'Eisenstein. Tout d'abord, remarquons quesi σ ∈ Aut(K alg /K), σ(Π) engendre une extension isomorphe à L et donc par unicité del'extension de v (car K est hensélien), l'anneau de valuation de K[σ(Π)] muni d'uneextension w ′ de w à K alg est σ(O L ) et son idéal maximal est σ(Π O L ) = σ(Π)σ(O L ).Il s'en suit donc que σ(Π) est une uniformisante de K[σ(Π)] muni de w ′ et donc queew ′ (σ(Π)) = v(π) = ew(Π). Comme un groupe abélien totalement ordonné est sanstorsion, on doit avoir w ′ (σ(Π)) = w(Π).Comme tous les coecients de P peuvent s'exprimer comme des polynômes symétriquesdes racines dont les seuls coecients sont des 1, il s'en suit tous les coecientsde P sauf le coecient dominant sont dans M L or M L ∩ K = M K et donc tous lescoecients de P sauf le coecient dominant, sont dans M K . De plus a 0 est le produitdes e conjugués de Π et donc v(a 0 ) = ew(Π) = v(π). On a donc bien montré que P estun polynôme d'Eisenstein.Supposons maintenant que L soit engendré par une racine b d'un polynôme d'EisensteinP de degré n. Comme les polynômes d'Eisenstein sont irréductibles (voirlemme (9.8)), [L ∶ K] = n. De plus par le même argument que précédemment, lesconjugués de b ont la même valuation et si a 0 est le coecient constant de P, alors56

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSnw(b) = v(a 0 ) = v(π) et donc [Γ L ∶ Γ K ] ⩾ n or c'est aussi au plus n et donc l'extensionest purement ramiée.◻Lemme 9.10 (Lemme de Krasner) :Soient (K, v) un corps complet et a et b ∈ K alg (muni d'une valuation w qui étendv) tel que a soit séparable au dessus de K[b]. Supposons que pour tout a ′ conjugué dea au dessus de K, on ait w(b − a) > w(a ′ − a), alors K[a] ⊆ K[b].Démonstration. Soit L une extension normale de K contenant a et b. Si a ∉ K[b],il a un conjugué au dessus de K[b] et donc comme l'extension est normale il existeσ ∈ Aut(L/K[b]) qui ne xe pas a. Par unicité de l'extension de la valuation, on av(σ(a) − b) = v(σ(a − b)) = v(a − b) et donc v(b − a) > v(σ(a) − a) = v(σ(a) − b + b − a) ⩾v(b − a), ce qui est absurde. On a donc a ∈ K[b].◻Soit (K, v) un corps valué, on munit K[X] de la norme ∣ ∑ a i X i ∣ = max i (v(a i )).Corollaire 9.11 :Soient (K, v) un corps complet et P ∈ K[X] un polynôme unitaire irréductibleet séparable. Si G ∈ K[X] est un polynôme unitaire de même degré tel que ∣P − Q∣ estassez grand, alors G est aussi irréductible et pour toute racine α de P (dans une clôturealgébrique xée de K) il existe une racine β de Q tel que K[α] = K[β].Démonstration. Montrons tout d'abord que pour tout M ≠ ∞ il existe N ≠ ∞ tel quesi ∣P − Q∣ > N alors pour toute racine α de P il existe une racine β de Q telle quev(α − β) > M. Soient β i les racines de Q, supposons que pour tout i, v(α − β i ) ⩽ M.On a alors v(P (α) − Q(α)) = v(Q(α)) = v(∏ i α − β i ) ⩽ nM où n est le degré deP. Mais on a aussi, si on note a j les coecients de P et b j ceux de Q, v(P (α) −Q(α)) = v(∑ j (a j − b j )α j ) ⩾ min j (v(a j − b j )jv(α)) ⩾ ∣P − Q∣ + min j (jv(α)). On a donc∣P − Q∣ ⩽ nM − min j (jv(α)) ce qui est absurde si on pose N = nM − min j (jv(α)).Notons alors α i les racines de P et posons M = max i≠j (v(α i − α j )) qui est biendiérent de ∞ car P est séparable. Soit alors N tel que dans le paragraphe précédent,si ∣Q − P ∣ > N, pour tout i, il existe β ji tel que v(α i − β ji ) > M ⩾ v(α i − α k ) pourtout k ≠ i. Par le lemme de Krasner (9.10), on a alors K[α i ] ⊆ K[β ji ], mais comme[K[β ji ] ∶ K] ⩽ deg(Q) = n = [K[α i ] ∶ K], on a K[α i ] = K[β ji ] et donc Q est lepolynôme minimal annulateur de β ji , i.e. il est irréductible.◻Lemme 9.12 :Soit (K, v) un corps complet de valuation discrète et de corps résiduel ni, alors Oest compact.Démonstration. Soient π une uniformisante de K et (a n ) n∈N une suite d'éléments deO = B ⩾0 (0), il sut de montrer qu'on peut en extraire une suite convergente. Onconstruit b i par récurrence de telle façon que la boule B ⩾iv(π) (b i ) contienne une innité57

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSd'éléments de la suite (a n ) et que ces boules forment une suite décroissante. On peutposer b 0 = a 0 . Supposons que b i soit construit, par le lemme (6.12), la boule B ⩾iv(π) (b i )est recouverte par une union nie des boules de rayon i+1. Comme B ⩾iv(π) (b i ) contientune innité d'éléments de (a n ) c'est aussi le cas d'un de ces sous-boules. On pose b i+1le premier élément de la suite après b i à être dans cette sous-boule.Cette suite vérie que pour tout N, si i et j sont supérieurs à N alors b i et b j sonttous les deux dans la boule B ⩾Nv(π) (b N ) et donc v(b i −b j ) ⩽ N. C'est donc une suite deCauchy car le groupe de valeurs de K est Archimédien. Comme le corps est complet,elle converge.◻Lemme 9.13 :Soit (K, v) un corps complet de valuation discrète et de corps résiduel ni, alors Ka un nombre ni d'extension purement ramiées d'un degré donné.Démonstration. Soit E d l'ensemble des polynômes d'Eisenstein de degré d, par dénitiondes polynômes d'Eisenstein, on a E d = O ⋆ ×M d−1 × (M/M 2 ). Comme la valuationest discrète toutes les boules sont ouvertes et fermées et donc tous les ensembles quiapparaissent dans ce produit sont fermés, inclus dans O, or par le lemme (9.12) O estcompact, donc ils le sont tous. Il s'en suit que E d est compact pour la topologie produit.Soit L ⩾ K une extension purement ramiée de degré d, on pose U L = {P ∈ E ∶ L est uncorps de rupture pour P }. D'après le lemme (9.9), et comme les polynômes d'Eisensteinsont irréductibles, les U L recouvrent E d . Mais par le lemme (9.11) ces ensemblessont ouverts pour la topologie produit. Comme E d est compact, il est recouvert par unnombre ni de U L , i.e. il existe n extensions L 1 , . . . L n telles que tout polynôme d'Eisensteinsur K de degré d admet l'un des L i comme corps de rupture. Quitte à agrandirun peu n on peut supposer que tous les conjugués (qui sont en nombre nis) des L iau dessus de K sont parmi les L i . Soit alors L ⩾ K une extension purement ramiée dedegré d, par le lemme (9.9), c'est le corps de rupture d'un polynôme d'Eisenstein quiadmet donc un des L i comme corps de rupture. Il s'en suit que L est conjugué à ce L iau dessus de K et donc est lui même l'un des L i .◻Proposition 9.14 :Soit (K, v) un corps complet de corps résiduel ni et à valuation discrète, alors Ka un nombre ni d'extensions de degré donné.Démonstration. Comme on l'a montré dans le lemme (9.3), toute extension nie deK est la composée d'une extension purement inertielle et d'une extension purementramiée. Soit alors n ∈ N ⋆ . Il existe un nombre ni de façon d'écrire n sous la formeef avec e et f ∈ N ⋆ . D'après le lemme (9.6), il existe une unique extension purementinertielle de K de degré f. Cette extension nie est aussi complète par le lemme (6.8)et, comme le groupe de valeur ne change pas, évidemment aussi à valuation discrète.58

9. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES DES CORPS P -ADIQUEMENT CLOSPar le lemme (9.13), ce corps a donc un nombre ni d'extensions purement ramiéesde degré e.◻Proposition 9.15 :Soit (Q p , v p ) ⩽(K, v) une extension nie, il existe alors α ∈ Q alg tel que K = Q p [α],que O K = Z p [α] et que le polynôme minimal annulateur de α au dessus de Q p soit dansQ.Démonstration. Soient a et Π tels que K = Q p [a, Π], O K = Z p [a, Π], Q p ⩽ Q p [a] estpurement inertielle, le polynôme minimal de a est dans Z p [X] et Q p ⩽ Q p [Π] est purementramiée (cette décomposition est donnée à la proposition (9.3)). Comme Q estdense dans Q p est que Z est dense dans Z p , quitte à remplacer a et Π par des racinesde polynômes assez proches de leurs polynômes minimaux, on peut supposer que lepolynôme minimal de Π est dans Q[X] et que celui de a est dans Z[X]. Il est alorsfacile de vérier que Π est alors toujours une uniformisante.Posons alors α = a+Π. On sait alors qu'il existe un polynôme P dans Q[X] de degrén qui annule α. Soit Q le polynôme minimal de a, d'après la formule de Taylor, Q(α) =Q(a)+ΠQ ′ Q(a)+∑ (i) (a)i i!Π i = Q(a)+ΠQ ′ (a)+Π 2 b où b ∈ O K . Comme res(a) engendrek K au dessus de F p , que [k K ∶ F p ] = deg(Q) = deg(res(Q)) et que res(Q)(res(a)) =res(Q(a)) = 0, il s'en suit que Q est res(Q) est irréductible et donc, comme F p estparfait, que res(Q ′ (a)) ≠ 0, i.e. v(Q ′ (a)) = 0. Il s'en suit donc que v(Q(α)) = v(Π),i.e. Q(α) est une uniformisante. Comme res(α) = res(a) est un élément primitif dek K ⩽ F p , d'après la remarque (9.4), la famille α i Q(α) j , et donc la famille (α i ), génèreK au dessus de Q p et O K au dessus de Z p . Le polynôme P est donc bein irréductibleet est donc bien le polynôme minimal annulateur de α.◻Théorème 9.16 :Soit (K, v) ⊧ pCF, alors K a un nombre ni d'extensions d'un degré donné etelles sont toutes engendrées par un élément algébrique sur Q qui engendre aussil'anneau de valuation et dont le polynôme minimal annulateur au dessus de K estdans Q.Démonstration. On a montré aux propositions (9.14) et (9.15) que ces propriétés sontvraies pour Q p , il sut donc de montrer qu'elles sont exprimables au premier ordre.Fixons alors un degré n et P 1 , . . . P k des polynômes de degré n à coecients dans Qtels que leurs corps de rupture sont les extensions de degré n de Q p et qu'une de leurracine dans un corps de rupture engendre l'anneau de valuation.Mais les extensions nies de degré n d'un corps sont dénissables de façon uniformeavec pour paramètres les coecients du polynôme minimal d'un élément primitif. Onpeut donc exprimer au premier ordre que dans toute extension L de degré donné ily a un élément α qui annule un des P i . De plus on peut exprimer au premier ordre59

10. ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS PCFque l'anneau engendré par α au dessus de O K est un anneau de valuation. Comme Kest hensélien, c'est donc l'unique anneau de valuation au dessus de O K et c'est doncforcément O L .◻10 Élimination des imaginaires dans pCFDans cette section, on reprendra les notations de la proposition (4.16) avec L = L G Q p,T = pCF G , ̃L = ̃L G et ̃T = ACVF G 0,p . On rappelle que M est un modèle de pCFG assezsaturé et que ̃M est un modèle de ACVF G 0,pqui contient M et qui est lui même assezsaturé.Lemme 10.1 ((i) dans pCF) :Soient M ′ ⪯ M deux modèles de T et c ∈ dom(M), on a alors dcl L (M ′ c) ∩ M ⊆acl ̃L(M ′ c).Démonstration. Comme acl ̃L(dom(M ′ )c) = dom(M ′ )c alg d'après la remarque (3.3.i),on a montré au lemme (7.1) que acl ̃L(M ′ c) ∩ dom(M) = acl ̃L(dom(M ′ )c) ∩ dom(M)est un modèle de pCF. Par modèle complétude, on a acl ̃L(M ′ c)∩dom(M) ⪯ dom(M) etdonc acl ̃L(M ′ c)∩M eq = (acl ̃L(M ′ c)∩dom(M)) eq ⪯ M eq . Comme L G Q pest une extensiondénissable de L eqQ p, on a donc aussi acl ̃L(M ′ c) ∩ M ⪯ M. Enn, comme la clôturedénissable ne dépend pas du modèle dans une extension élémentaire, on a bien quedcl L (M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c) ∩ M ⊆ acl ̃L(M ′ c).◻Lemme 10.2 ((ii) dans pCF) :Pour tout A = acl L (A) ∩ M et c ∈ dom(M), on a acl L (Ac) = dcl L (Ac).Démonstration. D'après le corollaire (7.6), on a, pour tout A ⊆ K(M), acl L (Ac) ∩K(M) = dcl L (Ac) ∩ K(M). Or cet ensemble est un modèle de pCF et on a doncacl L (Ac) ⊆ (acl L (Ac) ∩ K(M)) eq = dcl L ((acl L (Ac) ∩ K(M))) = dcl L ((dcl L (Ac) ∩K(M))) = dcl L (Ac). Il faut cependant étendre ce résultat à des ensembles de paramètresimaginaires (et pas uniquement dans la sorte du corps).Soit A = {a i ∶ i ∈ κ} une énumération de A. Pour tout i, soit c i ∈ dom(M) tel que a i ∈dcl L (c i ) (qui existe par dénition des sortes dominantes) et p i ∈ S L (M) une extensionAut L (M /A)-invariante de tp L (c i /A) (qui existe par le lemme (8.12)). On construitalors (A i ) i∈κ par induction. On pose A 0 = A, A i+1 = A i ∪ {b i } où b i ⊧ p i ∣ acl L (A i c)et A λ = ⋃ i

10. ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS PCFque ϕ[a, c, z] ∈ p i+1 ∣ acl L (A i c) et comme p i+1 est Aut L (M /A)-invariant et que σ(a) ∈acl L (Ac), on a aussi ϕ[σ(a), c, z] ∈ p i+1 ∣ acl L (A i c) et donc M ⊧ ϕ[σ(a), c, b i+1 ]. Il s'ensuit donc que σ(a) = a et donc que a ∈ dcl L (A i c). On a donc acl L (Ac) ∩ dcl L (A i+1 c) ⊆acl L (Ac) ∩ dcl L (A i c) ⊆ dcl L (Ac).Pour tout i, a i ∈ dcl L (b i ) et donc, comme b i ∈ dom(M), A ⊆ dcl(A k ∩ dom(M)). Ona alors acl L (Ac) ⊆ acl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ ∩ dom(M)c) ⊆ dcl L (A κ c). Il s'ensuit donc que acl L (Ac) = acl L (Ac) ∩ dcl L (A κ c) ⊆ dcl L (Ac).◻Lemme 10.3 ((iii) dans pCF) :Soit e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ ̃M, il existe alors e ′ ∈ M tel que tout automorphisme de ̃M quilaisse M globalement xe, xe e si et seulement si il xe e ′ .Démonstration.Supposons pour commencer que e ∈ K(̃M). D'après la remarque (3.3), commeK(M) est Hensélien et qu'on est en caractéristique nulle, K(M) est dcl ̃L-clos. On adonc e ∈ K(M).Si maintenant, e ∈ K(̃M), comme e ∈ dcl ̃L(M) ⊆ acl ̃L(M) et que acl ̃L(M) ⊧ACVF G 0,p (la preuve est similaire à celle du lemme (10.1) dans le cas de pCFG ), il s'ensuit que e a une base dans acl ̃L(M). Il existe donc une extension nie K(M) ⩽ L, telleque e ait une base dans L. Soit m = [L ∶ K(M)]. On sait par le théorème (9.16),qu'il y a un nombre ni d'extensions de degré m au dessus de K(M). Soit alors L ′l'union de toutes ces extensions. L'extension K(M) ⩽ L ′ est toujours nie et si σ estun automorphisme de K(̃M) qui xe globalement K(M) alors il xe globalement L.En eet, si a est algébrique de degré m au dessus de K(M), alors σ(a) aussi et doncσ(a) ∈ L ′ . On a donc σ(L ′ ) ⊆ L ′ et comme ces deux extensions sont de même degré,elles sont égales. Quitte à remplacer L par L ′ , on peut donc supposer que L vériecette même propriété que tout automorphisme de K( ˜M) qui xe globalement M xeglobalement L.Soit alors a ∈ Q alg tel que L = K[a], que O L = O K [a] et dont le polynôme minimalannulateur est dans Q. On connaît l'existence d'un tel a par le théorème (9.16). Ce apermet donc de dénir une bijection f a ∶ L → K m qui induit une bijection fa n ∶ L n →K mn . On pose alors e ′ = fa n (e). Comme O L est un O K -module libre de rang m (lafamille des a i en est une base), s est un O K module libre de rang mn. Il est facile devoir que fan est un isomorphisme de O K -modules et il s'en suit donc que e ′ est biendans S mn (M).Si a ′ est un conjugué de A au dessus de Q, comme le polynôme minimal annulateurde a au dessus de K(M) est dans Q, c'est aussi le polynôme minimal annulateurau dessus de Q et donc a et a ′ sont conjugués au dessus de K. Il existe donc σ ∈Aut(L/K(M)) un automorphisme de corps, qui envoie a sur a ′ . De plus, comme e ete ′ ∈ dcl ̃L(M) (à vrai dire on a même e ′ ∈ M), ces deux points sont xés par σ et donc61

10. ÉLIMINATION DES IMAGINAIRES DANS PCFfσ(a) n (e) = e′ . Il s'en suit donc que tout automorphisme de ̃M qui xe globalement Mxe globalement f a et donc xe e si et seulement s'il xe e ′ .Pour ce qui est des e ∈ T n (̃M), on peut procéder de la même manière ou remarquerque si L est un extension nie de K(M) telle que s = τ n (e) a une base dans L alorscomme la valuation de K(M) est discrète, celle de L aussi et donc, si Π est uneuniformisante de L, M L s = Πs est toujours un réseau de L. Par le lemme (5.2), sestranslatés (dont e) codés dans S n+1 (L). Soit alors s ′ ∈ S n+1 (L) qui code e. Comme ona déjà traité le cas des réseaux, on peut trouver e ′ tel que tout automorphisme de ̃Mqui xe globalement M xe s ′ si et seulement si il xe e ′ . Mais comme il xe s ′ si etseulement si il xe e, on a bien le résultat voulu.◻Lemme 10.4 ((iv) dans pCF) :Tout sous-ensemble X M-dénissable inclus dans dom(M) a un code dans M.Démonstration. Soit x un code de X dans M eq . On pose A = acl L (x) et B = B(A).D'après le corollaire (8.10), pour tout c ∈ dom(M), on a tp(c/B) ⇒ tp(c/A), enparticulier, tous les types sur B impliquent soit X soit ¬X. Il s'ensuit que X est laisséinvariant par les automorphismes de M eq qui xent B et donc, par compacité, X est B-dénissable. On a donc montré que X a un code faible, mais on sait que les ensemblesnis sont codés par le lemme (4.17) (et le lemme (10.3)) et donc le lemme (4.10)permet de conclure.◻Théorème 10.5 :La théorie pCF G élimine les imaginaires.Démonstration. Le théorème suit (presque) de la proposition (4.16) et des lemmes(10.1) à (10.4). Il reste encore à démontrer que le (v) est vrai dans Q p . ◻Enn on peut remarquer que les torseurs ne sont pas nécessaires. Comme on a vudans la preuve du lemme (10.3), pour tout s ∈ S n (M), M s est en fait un réseau et sestranslatés sont donc codés par des éléments de S n+1 (M), par le lemme (5.2).62

BibliographieAlgèbre[EP05][GSS88]A.J. Engler et A. Prestel. Valued Fields. Springer Monographs in Mathematics.Springer-Verlag, 2005.F. J. Grunewald, D. Segal et G. C. Smith. Subgroups of Finite Indexin Nilpotents Groups . Dans : Inventiones Mathematicae 93.1 (1988),p. 185223.[Lan02] Serge Lang. Algebra. revised 3 rd edition. Graduate Texts in Mathematics211. Springer-Verlag, 2002.[Lan94] Serge Lang. Algebraic Number Theory. 2 nd edition. Graduate texts in Mathematics.Springer-Verlag, 1994.[Nar74][Rib64][Rib99]Wladislaw Narkiewicz. Elementary and Analytic Theory of Alebraic Numbers.PWN - Polish Scientic Publishers, 1974.Paulo Ribenboim. Théorie des valuations. Les presse de l'université deMontréal, 1964.Paulo Ribenboim. The Theory of Classical Valuations. Springer Monographsin Mathematics. Springer-Verlag, 1999.[Ser68] Jean-Pierre Serre. Corps locaux. Hermann, 1968.Théorie des modèles[AK65]James Ax et Simon Kochen. Diophantine Problems Over Local FieldsI . Dans : American Journal of Mathematics 87.3 (1965), p. 605630.[Cha08] Zoé Chatzidakis. Théorie des modèles des corps valués . cours de M2.2008.[Den84][Dri84]Jan Denef. The rationality of the Poincaré series associated to the p-adicpoints on a variety . Dans : Inventiones Mathematicae 77 (1984), p. 123.Lou van den Dries. Algebraic Theories with Denable Skolem Functions. Dans : The Journal of Symbolic Logic 49.2 (1984), p. 625629.63

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Table des matièresIntroduction 1I Les corps valués algébriquement clos 41 Les langages des corps valués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Les extensions des valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Élimination des quanticateurs dans ACVF . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 L'élimination des imaginaires dans un cadre abstrait . . . . . . . . . . . . 205 Les sortes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II Le corps des nombres p-adiques et sa théorie 346 Les corps p-adiquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Clôture algébrique et dénissable dans pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Les types dans pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Extensions algébriques des corps p-adiquement clos . . . . . . . . . . . . 5210 Élimination des imaginaires dans pCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Bibliographie 63Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Théorie des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6365

Quatrième partieMini-mémoire écrit pour le cours Géométries non-archimédiennes à Paris IV84

Silvain Rideau 29 juin 2011École Normale SupérieureL.M.F.I., Paris 7Types stablement dominés,génériquement stablesetorthogonaux à Γ

Dans tout ce texte, on se place dans un modèle monstre U de la théorie des corpsvalués algébriquement clos, du moins dans sa version qui admet l'élimination desimaginaires (voir [HHM06]). Comme toujours quand on considère un modèle monstre,tous les ensembles considérés (que ce soient des paramètres ou des modèles)sont de cardinal plus petit que κ tel que U soit κ-saturé et κ-fortement homogène.On notera K la sorte du corps valué, R celle du l'anneau de valuation, M son idéalmaximal, Γ la sorte du groupe de valuation et k la sorte du corps résiduel.Les types considérés ici sont a priori innitaires. Il est possible cela m'aitéchappé dans certaines preuves, mais en général en utilisant un peu de compacitéou le fait que les formules sont nies, les preuves sur les types nitaires segénéralisent facilement aux types innitaires. De plus quand on considère un typeA-dénissable, on le considérera toujours canoniquement étendu à U, et on noteradans tout ce qui suit B ≡ A B ′ si tp(B/A) = tp(B ′ /A).Un certain nombre de résultats présentés ici ne sont pas propres à ACVF maispour plus de simplicité de présentation, on ne distinguera pas les résultats de théoriedes modèles purs de ceux qui sont appliqués aux corps valués algébriquement clos.À vrai dire, la première partie concerne, principalement, toutes les théories, ladeuxième les théories NIP et la troisième est spécique à ACVF.Enn, on a choisit de ne pas rentrer dans les détails pour tout ce qui touche à lastabilité. Les résultats utiles seront cités. De même un certain nombre de résultatsdont la preuve nécessiterais encore un long développement sont admis.1 Types stablement dominésCommençons par rappeler la dénition de la stabilité pour une théorie T quelconquequi admet l'élimination des imaginaires.Dénition 1.1 (Stabilité) :Une théorie T est dite λ-stable si pour tout M ⊧ T et tout C ⊆ M tel que∣C∣ = λ, ∣ S(C)∣ = λ. Elle est dite stable s'il existe λ telle qu'elle soit λ-stable.On utilisera un peu plus loin une autre caractérisation de la stabilité.Proposition 1.2 :Une théorie est stable si pour toute formule ϕ[x, y] à paramètres dans un modèleM, il n'existe pas de a i , b i ∈ M pour i < ω telle que pour tout i, j < ω, U ⊧ ϕ[a i , b j ]si et seulement si i < j.Une formule qui aurait une telle propriété est dite instable.Dénition 1.3 (Plongement stable) :Soit X un ensemble A-dénissable dans U, il est plongé stablement si pour toutensemble dénissable Y et tout r > 0, Y ∩ X r est A ∪ X(U)-dénissable.1

Dans le cas des corps valués algébriquement clos, l'élimination des quanticateursimplique que la sorte du corps résiduel k est plongée stablement et que c'estdonc un pur corps algébriquement clos.Dénition 1.4 (Ensembles stables) :Soit X un ensemble A-dénissable, il est dit stable si la structure X(U) muniede toutes les relations A-dénissables est stable (i.e. sa théorie est stable).La proposition suivante donne une caractérisation des ensembles stables etplongés stablement qui sera utile pour montrer que St A est stable. Elle est énoncéedans [HHM08] mais je n'ai pas trouvé d'article où elle soit démontrée.Proposition 1.5 :Soit B un ensemble A-dénissable alors B est stable et plongé stablement si etseulement si pour tout λ > ∣T ∣ + ∣A∣ tel que λ = λ ℵ 0et C ⊇ A tel que ∣C∣ = λ alors ily a au plus λ 1-types au dessus de C réalisés dans B.On peut maintenant dénir la structure St A qui est en quelque sorte la composantestable de U au dessus de A.Dénition 1.6 (St A ) :Soit A un petit ensemble de paramètres. On note St A la structure multi-sortedont les sortes sont les ensembles A-dénissables stables et plongés stablement deU. On la muni de toutes les relations A-dénissables sur un produit ni de telsensembles.Pour tout ensemble B, on note St A (B) = dcl(B) ∩ St A .On remarque que pour tout a ∈ acl(A), l'orbite de a est A-dénissable, stableet plongée stablement (car ni), il s'en suit que acl(A) ⊆ St A .Proposition 1.7 :Soit A un ensemble de paramètres, alors St A est une structure stable.Démonstration. Par la proposition (1.2), il sut de montrer qu'il n'y a pas deformules instables. Or les formules ont un nombre ni de variables et de paramètres,il sut donc de montrer que pour tout n et tout B 1 , . . . , B n sortes de St A , B 1 ∪. . .∪B n est stable. Par la proposition (1.5) il sut de montrer que pour tout λ > ∣T ∣+∣A∣tel que λ = λ ℵ 0et C ⊇ A tel que ∣C∣ = λ alors il y a un plus λ 1-types au dessusde C réalisés dans B 1 ∪ . . . ∪ B n . Mais comme chacun des B i est stable et plongéstablement, cette propriété y est vériée et comme ⋃ n i=1 λ = λ, on a bien ce que l'onveut.◻Un grand nombre d'outils ont été développés pour étudier les théories stbables,en particulier celui de déviation et celui d'indépendance. On notera C ⫝ A B pour Cest indépendant de B a dessus de A. Voici une liste rapide des propriétés de cetteindépendance qui sont utilisées ici :2

Si C ⫝ A B alors B ⫝ A C. Si C ⫝ A B alors pour tout B ′ ⊆ B on a C ⫝ A B ′ (de même à gauche). Si C ⫝ A B alors C ⫝ A acl(B) (de même à gauche). Si f est un automorphisme de U et C ⫝ A B alors f(C) ⫝ f(A) f(B).Proposition 1.8 :Soit T une théorie stable et p ∈ S(U), alors p ne dévie pas au dessus de A si etseulement si p est acl(A)-dénissable 1 .Un corollaire immédait de cette proposition est que tout type sur acl(A) a uneunique extension non déviante.Une suite de Morley d'un type stationnaire p ∈ S(A) au dessus de A sens desthéories stables est un ensemble indépendant de réalisations de p.Proposition 1.9 :Soit T est théorie stable. Une suite de Morley de p au dessus de B est unensemble indiscernable 2 .On peut maintenant introduire la première des notions centrales à ce texte.Dénition 1.10 (Types stablement dominés) :Un type p = tp(a/A) est stablement dominé si pour tout B, on aSt A (a) ⫝ A St A (B) ⇒ tp(B/A St A (a)) ⊢ tp(B/Aa)Le lemme suivant montre, ce qui est relativement raisonnable, que tout type deSt A est stablement dominé.Lemme 1.11 :Soit A, B et C des ensembles de paramètres, alorstp(St A (B)/A St A (C)) ⊢ tp(St A (B)/AC)Démonstration. Soit B ′ tel que St A (B) ≡ A StA (C) St A (B ′ ) et ϕ[x, y, z] tel que U ⊧ϕ[St A (B), A, C]. On peut supposer que ϕ[x, A, C] implique une formule stablementdominée ψ quitte à la rajouter. Comme ψ est stablement dominée, l'ensemble dénipar ϕ[x, A, C] est St A -dénissable, i.e. il existe θ[x, d] avec d ∈ St A tel que U ⊧∀xθ[x, d] ↔ ϕ[x, A, C]. De plus l'ensemble des d qui vérient cette propriété, dénipar la formule ∀x∀xθ[x, y] ↔ ϕ[x, A, C] est AC-dénissable. Quitte à remplacerd par le paramètre canonique (i.e. le représentant dans U eq = U de l'ensemble que1. Voir théorème 5.1.1 de [Bue96, p. 218].2. Voir lemme 5.1.14 de [Bue96, p. 231].3

l'on vient de dénir), l'ensemble ϕ[x, A, C] est A St A (C) dénissable. Comme ilcontient St A (B), il doit contenir St A (B ′ ), i.e. U ⊧ ϕ[St A (B ′ ), A, C].◻Lemme 1.12 :Soit A, B et C des ensembles de paramètres tels que B ⊆ St A . Si pour tout Dtel que B ⫝ A St A (D), on a tp(D/AB) ⊢ tp(D/AC), alors tp(C/A) est stablementdominé.Démonstration. Soit D tel que St A (D) ⫝ A St A (C) et D ′ ≡ A StA (C) D (on a alorsaussi St A (D ′ ) ⫝ A St A (C)), on veut montrer que D ≡ AC D ′ . Montrons qu'on peutsupposer que D ′ ≡ acl(A) D. En eet, soit une formule ϕ[x, a] avec a ∈ acl(A) telque U ⊧ ϕ[D ′ , a], soit a 1 , . . . , a n les conjugués de a au-dessus de A et X = {a i ∶∃D ′′ ≡ AC D∧U ⊧ ϕ[D ′′ , a i ]}. Par compacité, il existe une formule de tp(D/AC) quidénit X. De plus, X est un sous ensemble de acl(A) ⊆ St A et donc X est A St A (C)-dénissable. En particulier (∀yϕ[x, y] ⇐⇒ y ∈ X) ∈ tp(D/A St A (C)) et est doncaussi vériée par D ′ . On a alors a ∈ X et il existe D ′′ ≡ AC D tel que ϕ[D ′′ , a].L'ensemble de formules tp(D ′ / acl(A))∪tp(D/AC) est niment satisfaisable donc,par compacité, satisfaisable. Soit D ′′ qui le satisfait, on a alors bien D ′′ ≡ A StA (C) Det St A (D ′′ ) ⫝ A St A (C), et si on montre que D ′′ ≡ AC D ′ , on aura bien D ≡ AC D ′ . Onpeut donc supposer D = D ′′ .Soit alors B ′ une réalisation d'une extension non déviante de tp(B/A St A (C)) àA St A (C) St A (D) St A (D ′ ). On a alors B ′ ≡ A StA (C) B et donc par le lemme (1.11),B ′ ≡ AC B. L'hypothèse du lemme est donc aussi vériée pour B ′ , en eet, soit σ ∈Aut(U /AC) tel que σ(B ′ ) = B et D tel que St A (D) ⫝ A B ′ alors St A (σ(D)) ⫝ A B etdonc tp(σ(D)/AB) ⊢ tp(σ(D)/AC), on a donc, en appliquant σ −1 , tp(D/AB ′ ) ⊢tp(D/AC). On peut donc supposer B = B ′ et en particulier B ⫝ A StA (C) St A (D) St A (D ′ ).On a alors par transitivité B ⫝ A StA (C) St A (D), et comme par hypothèse St A (C) ⫝ A St A (D),on a donc St A (D) ⫝ A B. De même, on a St A (D) ⫝ A B. Comme St A (D) et St A (D ′ )ont le même type au-dessus de acl(A) et que ce type a une unique extension non déviante,on a St D (A) ≡ AB St A (D ′ ). Soit alors σ ∈ Aut(U /A) tel que σ(D) = σ(D ′ ).On a alors tp(σ(B)/A St A (D ′ )) = tp(B/A St A (D)) = tp(B/A St A (D ′ )). Par lelemme (1.11), on a donc tp(B/AD ′ ) = tp(σ(B)/AD ′ ) = tp(B/AD), i.e. D ≡ AB D ′ .Par hypothèse on a bien D ≡ AC D ′ .◻Pour nit cette partie, rappelons le théorème 4.9 de [HHM08] qui permet dediminuer la base d'un type tout en conservant la stable domination. Il sera utilepour montrer la proposition (3.24).Proposition 1.13 :Soit p et q deux types Aut(U /A)-invariants tels que pour tout b ⊧ q∣A, le typep∣Ab est stablement dominé, alors p∣A est stablement dominé.4

2 Types génériquement stablesDans cette partie, on se place dans le cadre d'un théorie NIP (c'est bien le casdes corps valués algébriquement clos). On commencera par rappeler ce qu'est unethéorie NIP et montrer un résultat important sur les suites indiscernables dans unethéorie NIP qui sera utile par la suite. Le début de cette partie est très fortementinspiré de [HP].Dénition 2.1 :Une formule ϕ[x, y] a la propriété d'indépendance si pour tout entier n, il existea 0 . . . a n et pour tout I ⊆ {0, . . . , n}, b I tel que U ⊧ ϕ[a i , b I ] si et seulement si i ∈ I.Une théorie T satisfait NIP si aucune formule n'a la propriété de l'indépendance.Lemme 2.2 :Soit T une théorie NIP. Pour toute formule ϕ[x, y], il existe N < ω, tel que si(a i ∶ i < ω) est une suite indiscernable, alors il n'existe pas de b tel que ¬ϕ[a i , b] ↔ϕ[a i+1 , b], pour i ⩽ N.De plus, si (a i ∶ i < ω) est un ensemble indiscernable, alors pour tout b, ∣{i ∶ U ⊧ϕ[a i , b]}∣ ⩽ N ou ∣{i ∶ U ⊧ ¬ϕ[a i , b]}∣ ⩽ N.Démonstration. Supposons qu'il existe b tel que pour tout i < ω, ¬ϕ[a i , b] ↔ϕ[a i+1 , b]. Soit alors n < ω et I ⊆ {0, . . . , n}. Il est alors facile de construiref ∶ {0, . . . , n} → ω strictement croissante telle que f(i) pair si et seulement sii ∈ I. Procédons par récurrence. Supposons que f soit déjà construit sur {0, . . . k}.Soit p le plus petit entier pair strictement supérieur à f(k). Si k + 1 ∈ I, on posef(k + 1) = p sinon on pose f(k + 1) = p + 1. On a alors U ⊧ ϕ[a f(i) , b] si et seulementsi i ∈ I. Mais comme (a i ∶ i < ω) est une suite indiscernable, soit σ ∈ Aut(U) tel queσ(a f(i) ) = a i . On pose alors b I = σ(b) qui vérie alors bien que U ⊧ ϕ[a i , b I ] si etseulement i ∈ I.L'ensemble de formulesΣ[x, y i ∶ i < ω] = {¬ϕ[y i , x] ↔ ϕ[y i+1 , x]}∪ {ψ[y i1 , . . . , y in ] ↔ ψ[y j1 , . . . , y jn ] ∶ i 1 < . . . < i n ∧ j 1 < . . . j n ]}n'est donc pas satisfaisable et par compacité, il n'est donc pas niment satisfaisable.Il existe donc N tel qu'il n'existe pas de suite indiscernable (a i ∶ i < ω) et de b telque ¬ϕ[a i , b] ↔ ϕ[a i+1 , b] pour tout i ⩽ N.Si la suite indiscernable est un ensemble indiscernable et qu'il existe b tel que∣{i ∶ U ⊧ ϕ[a i , b]}∣ > N et ∣{i ∶ U ⊧ ¬ϕ[a i , b]}∣ > N. On peut alors construire uneinjection f ∶ {0, . . . 2N + 1} tel que U ⊧ ϕ[a f(i) , b] si et seulement si i est pair.Comme (a i ∶ i < ω) est un ensemble indiscernable, il existe σ ∈ Aut(U) tel que5

σ(a f(i) ) = a i . Si on pose b ′ = σ(b), on a alors ¬ϕ[a i , b ′ ] ↔ ϕ[a i+1 , b ′ ] pour touti ⩽ 2N + 1 ce qui contredit ce qu'on a montré précédemment.◻Dénition 2.3 (Types niment satisfaisables et héritiers) :Soit p ∈ S(B) et M ⊆ B un modèle. On dit que p est niment satisfaisable dansM si pour toute formule ϕ[x, b] ∈ p où b ∈ B il existe m ∈ M tel que U ⊧ ϕ[m, b].On dit que p est un héritier de p∣M si pour toute formule ϕ[x, m, b] où m ∈ Met b ∈ B, il existe b ′ ∈ M tel que ϕ[x, m, b ′ ] ∈ p∣M.Lemme 2.4 :Soient M un modèle, p ∈ S(M) et B ⊇ M. Il existe alors une extension nimentsatisfaisable de p à B.Démonstration. Considérons l'ensemble de formuleΣ[x] = p[x] ∪ {¬ϕ(x, b) ∶ ϕ[M, b] = ∅}Une partie nie de Σ[x] est de la forme θ[x, m] ∧ ⋀ n i=1 ¬ϕ i[x, b i ]. Comme p est untype il est niment satisfaisable dans M. Soit alors a ∈ M tel que M ⊧ θ[a, m].Pour tout i, on a alors U /⊧ ϕ[a, b i ] par dénition de Σ et donc U ⊧ ¬ϕ[a, b i ].L'ensemble Σ est donc niment satisfaisable, et par compacité, satisfaisable. Soitalors a ⊧ Σ et q = tp(a/B). On a alors bien q∣M = p. Soit ϕ[x, b] ∈ q, si ϕ[M, b] = ∅,on aurait alors ¬ϕ[x, b] ∈ Σ ⊆ q ce qui est absurde. Il existe donc m ∈ M tel queU ⊧ ϕ[m, b], i.e. q est une extension de p à B niment satisfaisable dans M. ◻Lemme 2.5 :Soient M ⊆ N des modèles et p un type Aut(U /M)-invariant tel que p soitniment satisfaisable dans N , alors p est niment satisfaisable dans M.Démonstration. Soit ϕ[x, c] ∈ p et q = tp(N/M). Par le lemme (2.4), il existe r uneextension niment satisfaisable de q à Mc. Soit N ′ ⊧ r, il existe alors σ ∈ Aut(U /M)tel que σ(N) = N ′ . Comme p est Aut(U /M)-invariant, ϕ[x, σ −1 (c)] ∈ p et doncil existe a ∈ N tel que U ⊧ ϕ[a, σ −1 (c)]. On a alors U ⊧ ϕ[σ(a), c] où σ(a) ∈ N ′ .Comme tp(N ′ /Mc) = r est niment satisfaisable dans M, il existe b ∈ M tel queU ⊧ ϕ[b, c].◻Dénition 2.6 (Types génériquement stables) :Soit p un type Aut(U /A)-invariant. On dit que p est génériquement stable s'ilest A-dénissable et niment satisfaisable dans tout modèle contenant A.On va maintenant dénir une suite de Morley pour certains types sans avoirrecours à la notion d'indépendance, pour donner une dénition alternative des typesgénériquement stables.6

Dénition 2.7 (p ⊗ q) :Soient p et q deux types Aut(U /A)-invariants, on pose ϕ[x, y, m] ∈ p(x) ⊗ q(y)si, pour b ⊧ q∣Am, ϕ[x, b, m] ∈ p.Cette dénition a un sens car si b et b ′ sont deux réalisations de q∣Am alorsil existe σ ∈ Aut(U /Am) tel que σ(b) = σ(b ′ ). Comme p est Aut(U /A) invariantet que ϕ[x, b, m] ∈ p, on a aussi ϕ[x, b ′ , m] ∈ p. La dénition ne dépend donc pasdu b choisi. Il est alors facile de voir que p ⊗ q est clos par ∧ et est donc nimentconsistant. De plus comme p est complet p ⊗ q l'est aussi car pour tout ϕ, ϕ[x, b, m]ou ¬ϕ[x, b, m] est dans p. Donc p ⊗ q est bien un type.Lemme 2.8 :Soient p est q deux types Aut(U /A)-invariants alors p ⊗ q est aussi Aut(U /A)-invariant.Démonstration. Soit σ ∈ Aut(U /A) et ϕ[x, y, m] ∈ p ⊗ q. Il existe alors b ⊧ q∣Amtel que ϕ[x, b, m] ∈ p. Montrons que σ(b) ⊧ q∣Aσ(M). En eet, soit ψ[y, a, σ(m)] ∈q∣Aσ(m) où a ∈ A. Comme q est Aut(U /A)-invariant, ϕ[y, a, m] ∈ q∣Am et doncU ⊧ ϕ[b, a, m]. Il s'ensuit que U ⊧ ϕ[σ(b), a, σ(m)]. De plus, comme ϕ[x, b, m] ∈ pon a ϕ[x, σ(b), σ(m)] ∈ p et donc ϕ[x, y, σ(m)] ∈ p ⊗ q.◻Lemme 2.9 :Soit p et q des types Aut(U /A)-invariants, B ⊇ A et (a 1 , a 2 ) ⊧ p ⊗ q si etseulement si a 2 ⊧ q∣B et a 1 ⊧ p∣Ba 2 .Démonstration. Soit ϕ telle que U ⊧ ϕ[a 2 , B], alors ϕ[x 2 , B] ∈ p(x 1 ) ⊗ q(x 2 )∣Bet donc, par dénition, ϕ[b 2 , B] ∈ p(x 1 ) pour un certain b 2 ⊧ q∣AB. Comme x 1n'apparaît pas dans cette formule, on a donc U ⊧ ϕ[b 2 , B] et donc ϕ[x 2 , B] ∈q∣B. On en déduit que a 2 ⊧ q∣B. Soit maintenant ϕ tel que U ⊧ ϕ[a 1 , a 2 , B], i.e.ϕ[x 1 , x 2 , B] ∈ p ⊗ q∣B. Mais alors, par dénition ϕ[x 1 , a 2 , B] ∈ p(x 1 )∣Ba 2 et donca 1 ⊧ p∣Ba 2 .Réciproquement, soit ϕ[x, y, B] ∈ p ⊗ q∣B, alors ϕ[x, a 2 , B] ∈ p∣Ba 2 et doncU ⊧ ϕ[a 1 , a 2 , B].◻Dénition 2.10 (Suite de Morley) :Soit p un type Aut(U /A)-invariant, on note p (1) (x 1 ) = p(x 1 ) et pour tout n < ω,p (n+1) (x 1 , . . . , x n+1 ) = p(x n ) ⊗ p (n) (x 1 , . . . , x n ). On pose p (ω) = ⋃ n

Démonstration. Soit (a i ∶ i < ω) une suite de Morley de p au-dessus de A etsoient i 1 < . . . < i n , montrons par récurrence sur n que tp(a i1 . . . a in /A) = p (n) ∣A.Si n = 0 c'est évident (avec la convention que p (0) est l'unique 0-type). Sinonsupposons que c'est vrai pour n − 1. Comme (a i ∶ i < ω) est une suite de Morley(a i ∶ i ⩽ i n ) ⊧ p (in) ∣A. Par le lemme (2.9) on sait donc que a in ⊧ p∣Aa 1 a 2 . . . a in−1et donc a in ⊧ p∣Aa i1 . . . a in−1 et par récurrence on sait que a i1 . . . a in−1 ⊧ p (n−1) ∣A.Par le lemme (2.9), on a bien que tp(a i1 . . . a in /A) = p (n) ∣A.◻On peut maintenant énoncer des dénitions équivalentes à la notion de génériquementstable.Proposition 2.12 :Soit p un type Aut(U /A)-invariant, les conditions suivantes sont équivalentes(i) p est génériquement stable.(ii) Toute suite de Morley (a i ∶ i < ω) de p au-dessus de A est un ensembleindiscernable au-dessus de A.(iii) Pour toute formule ϕ[x, y] il existe un N tel que pour toute suite de Morley(a i ∶ i < ω) de p au-dessus de A et tout c, ϕ[x, c] ∈ p si et seulement siU ⊧ ⋁ 0⩽i1

ϕ[x, m, b ′ ] ∧ ¬(d p xϕ)[m, b ′ ] ∈ q, ce qui contredit l'observation précédente.On a donc bien U ⊧ (d p xϕ)[m, b] et q = p∣B.(ii) Soit ϕ[x, y, m, t], où m ∈ M, telle que U ⊧ ϕ[a, b, m, c], or tp(a/Mbc)est niment satisfaisable dans M, il existe donc a ′ ∈ M tel que U ⊧ϕ[a ′ , b, m, c]. Mais comme tp(c/Mb) est M-dénissable, on a U ⊧ ∃y(d p tϕ)[a ′ , y, m]et donc il existe b ′ ∈ M tel que M ⊧ (d p tϕ)[a ′ , b ′ , m], i.e. ϕ[a ′ , b ′ , m, t] ∈tp(c/M) et donc U ⊧ ϕ[a ′ , b ′ , m, c].(iii) tp(a/Mb) est niment satisfaisable si et seulement si pour tout ϕ[x, y, z]tel que ϕ[x, b, m] ∈ tp(a/Mb), il existe a ′ ∈ M tel que U ⊧ ϕ[a ′ , b, m], i.e.ϕ[a ′ , y, m] ∈ tp(b/M). Comme ϕ[x, b, m] ∈ tp(a/Mb) équivaut à ϕ[a, y, m] ∈tp(b/Ma), cela est bien équivalent au fait que tp(b/Ma) est un héritierde tp(b/M).◻Démonstration (Proposition (2.12)).(i) ⇒ (ii) Soit M un modèle au-dessus duquel p est déni et niment satisfaisable.Il sut de montrer que toute suite de Morley de p au-dessus de M estun ensemble indiscernable. En eet, si ϕ[x 1 , . . . , x n ] ∈ p (n) ∣A ⊆ p (n) ∣M, pourtout σ ∈ S n on a alors ϕ[x σ(1) , . . . , x σ(n) ] ∈ p (n) ∣M ⊢ p (n) ∣A et donc toutesuite de Morley au-dessus de A est un ensemble indiscernable.Soit donc (a i ∶ i < ω) une suite de Morley de p sur M. Montrons alors quepour tous a i1 . . . a in distincts extraits de la suite, tp(a i1 . . . a in /M) = p (n) ∣M.Pour n = 0, c'est évident, supposons maintenant que c'est vrai pour n − 1.Comme (a i ∶ i < ω) est une suite indiscernable par le lemme (2.11), il sutde le montrer pour a σ(1) . . . a σ(n) où σ ∈ S n . Par le lemme (2.9) et comme,par récurrence, le type de a σ(1) . . . a σ(n−1) est p (n−1) , il sut de montrer quea σ(n) réalise p∣M(a i ∶ i ≠ σ(n)).Comme p est niment satisfaisable dans M, tp(a σ(n)+1 . . . a n /Ma 1 . . . a σ(n) )l'est aussi. En eet, soit ϕ telle que U ⊧ ϕ[a 1 , . . . , a n , m]. Comme a n réalisep∣Ma 1 . . . a n−1 il existe a ′ n ∈ M tel que U ⊧ ϕ[a 1 , . . . , a n−1 , a ′ n, m]. Supposonsalors que a ′ n . . . a ′ j soient construits tels que U ⊧ ϕ[a 1, . . . , a j−1 , a ′ j , . . . , a′ n, m],on a alors ϕ[a 1 , . . . , a j−2 , x j−1 , a ′ j , . . . , a′ n, m] ∈ tp(a j−1 /Ma 1 . . . a j−2 ) et doncil existe a ′ j−1 qui convient.De plus tp(a σ(n) /Ma 1 . . . a σ(n)−1 ) = p∣Ma 1 . . . a σ(n)−1 est M-dénissable doncpar le lemme (2.13).(ii), tp(a 1 . . . a σ(n)−1 a σ(n)+1 . . . a n /Ma σ(n) ) est nimentsatisfaisable. Par le lemme (2.13).(iii), tp(a σ(n) /Ma i ∶ i ≠ σ(n)) est unhériter de tp(a σ(n) /M) = p∣M qui est M-dénissable. Par le lemme (2.13).(i),a σ(n) réalise p∣M(a i ∶ i ≠ σ(n)).(ii) ⇒ (iii) C'est exactement la deuxième partie du lemme (2.2).(iii) ⇒ (i) p est alors clairement dénissable, i.e. pour tout ϕ[x, y], l'ensembleX ϕ = {b ∶ ϕ[x, b] ∈ p} est dénissable, mais comme p est Aut(U /A)-invariant,9

X ϕ l'est aussi et il est donc A-dénissable, c'est à dire que p est A-dénissable.De plus, soit M un modèle qui contient A et (a i ∶ i < ω) une suite de Morleyde p. au dessus de A Soit alors N qui contient M et (a i ∶ i < ω). Alors pourtout ϕ[x, c] ∈ p, il existe i 1 < . . . < i n tels que U ⊧ ϕ[a ij , c] pour tout j et doncen particulier pour j = 1. Donc p est niment satisfaisable dans N , mais parle lemme (2.5) il est niment satisfaisable dans M.◻Introduisons la notion de pushforward d'un type qui sera utile pour la suite.Dénition 2.14 (f ∗ p) :Soit p un type et f = (f i ∶ i ∈ I) une famille de fonctions dénie sur lesparamètres du type telle que pour tout i dom(f i ) ∈ p. Soit ϕ i [x, y, m i ] qui dénitf i , on peut alors considérer le typef ∗ p = {ψ[y i1 , . . . , y in , m ′ ] ∶ ∀ȳ n ⋀ ϕ ij [x, y ij , m ij ] ∧ ψ[ȳ, n] ∈ p}j=1On remarque que si p et f sont A-dénissable alors f ∗ p est A-dénissable.Lemme 2.15 :Soit p un type A-dénissable génériquement stable, et f une famille de fonctionsdénissables dont le domaine contient p, alors f ∗ p est génériquement stable.Démonstration. Par la proposition (2.12), il sut de montrer que toute suite deMorley de f ∗ p est un ensemble indiscernable. De plus, comme le fait que c'est unensemble indiscernable se voit dans le type de la suite, il sut de le montrer pourune seule d'entre elles.Soit alors (a i ∶ i < ω) une suite de Morley de p. La suite des f(a i ) est alorsune suite de Morley de f ∗ p. Par la proposition (2.12), comme p est génériquementstable, {b i ∶ i < ω} est un ensemble indiscernable. Mais alors {f(b i ) ∶ i < ω} = {a i ∶i < ω} est aussi un ensemble indiscernable.◻Montrons maintenant qu'un type stablement dominé est génériquement stable.Proposition 2.16 :Soit p un type Aut(U /A)-invariant tel que p∣A stablement dominé, alors p estgénériquement stable.Démonstration. Par le lemme (2.12), il sut de montrer que toute suite de Morley(a i ∶ i < ω) de p au-dessus de A est un ensemble indiscernable au-dessus deA. On pose a ′ i = St A(a i ), c'est un uplet indexé uniformément en i, par exemple,par la formule qui dénit chaque point. En fait on peut considérer St A (_)comme une famille de fonctions ∅-dénissables. Une formule ϕ[x, a ′ 1 , . . . , a′ i , a], oùa ∈ A, appartient au type tp(a ′ i+1 /Aa′ 1 . . . a′ i ) si ϕ[St A(x), St A (a 1 ), . . . , St A (a i ), a]10

appartient au type tp(a i+1 /Aa 1 . . . a n ) = p∣Aa 1 . . . a n qui est A-dénissable. Donctp(a ′ i+1 /Aa′ 1 . . . a′ i ) est aussi A-dénissable et est donc, par la proposition (1.8), nedévie pas au-dessus de A. La suite (a ′ i ∶ i < ω) est donc une suite de Morley (au sensdes structures stables), et en particulier {a i ∶ i < ω} est un ensemble indépendant.De plus comme St A est stable, par la proposition (1.9), {a ′ i ∶ i < ω} est un ensembleindiscernable.Soient i, j, i 1 , . . . , i n < ω tous distincts. Pour montrer que l'ensemble {a i ∶ i < ω}est indiscernable, il sut de montrer que tp(a i /Aa i1 . . . a in ) = tp(a j /Aa i1 . . . a in )(voir la preuve de (i) ⇒ (ii) dans la proposition (2.12)).Comme {a ′ i ∶ i < ω} est un ensemble A-indiscernable, on a a′ i ≡ Aa ′ i ...a ′ a′ 1 in j c'està dire a ′ i ≡ A St A (a i1 ...a in ) a ′ j . Soit alors σ ∈ Aut(U /A) tel que σ(a i) = a j . Notonsb ik = σ(a ik ). On a alors tp(b i1 . . . b in /Aa j ) = tp(a i1 . . . a in /Aa i ). En particulier on atp(St A (b i1 . . . b in )/Aa ′ j) = tp(St A (a i1 . . . a in )/Aa ′ i) = tp(St A (a i1 . . . a in )/Aa ′ j)Par le lemme (1.11) on a alors tp(St A (a i1 . . . a in )/Aa j ) = tp(St A (b i1 . . . b in )/Aa j )or ce dernier type est égal à tp(St A (a i1 . . . a in )/Aa i ), on a donc montré que a i ≡ A StA (a i1 ...a in ) a jmais alors, comme p est stablement dominé et que les a i forment un ensemble indépendant,par dénition de la stable domination, on a bien que a i ≡ Aai1 ...a ina j .◻3 Types orthogonaux à ΓJ'ai choisi de prendre la dénition d'orthogonalité à Γ donnée dans [HL] car elleest conceptuellement plus simple. Certes elle ne s'applique qu'aux types dénissablesmais la proposition 3.13.(i) de [HHM08] montre que ce n'est pas vraimentune restriction (quitte à remplacer A par acl(A)).Dénition 3.1 (Types orthogonaux à Γ) :Soit p un type Aut(U /A)-invariant. Il est orthogonal à Γ si pour tout modèleM ⊇ A, et tout a ⊧ p∣M, on a Γ(M) = Γ(Ma) où Γ(X) = Γ(U) ∩ dcl(X).Lemme 3.2 :Soit A un ensemble de paramètres et p un type A-dénissable, alors p ⊥ Γ si etseulement si pour toute fonction f dénissable vers Γ telle que dom f ∈ p, f ∗ p estconcentré en un point, i.e. d f∗px(x = y) est réalisable.Démonstration. Soit f une fonction B dénissable et M ⊇ A ∪ B un modèle. Soita ⊧ p∣M. On a alors f(a) ⊧ f ∗ (p∣A). Mais f(a) ∈ Γ(Ma) = Γ(M) ⊆ M et doncM ⊧ d f∗px(x = f(a)). Réciproquement, soit M ⊇ A un modèle et a ⊧ p∣M, commeΓ(M) ⊆ Γ(Ma), il sut de montrer que Γ(Ma) ⊆ Γ(M). Soit γ ∈ Γ(Ma), il11

existe ϕ[x, y, M] telle que U ⊧ ϕ[a, γ, M] et telle que U ⊧ ∃ =1 yϕ[a, y, M]. Soit f lafonction dénie par ϕ[x, y, M] (de domaine ∃ =1 yϕ[x, y, M]). Par hypothèse, on aalors U ∃y ⊧ d f∗px(x = y), mais un tel y est forcément unique sinon f ∗ p ne pourraitêtre satisfaisable et comme γ ⊧ f ∗ p, ce y doit être γ, i.e. U ⊧ (d f∗px(x = y))[γ],d'où γ ∈ dcl(M).◻Nous pouvons maintenant montrer l'une des implications.Proposition 3.3 :Soit p un type A-dénissable génériquement stable, alors p ⊥ Γ.Démonstration. D'après le lemme (3.2), il sut de montrer que pour toute fonctiondénissable f vers Γ dont le domaine contient p, f ∗ p est concentré en un point.Mais comme p est génériquement stable, par le lemme (2.15), f ∗ p l'est aussi. Maisalors si p n'est pas concentré en un point, une suite de Morley (a i ∶ i < ω) de pau-dessus de A contient des éléments tous distincts. En particulier a 1 ≠ a 2 . Maiscomme Γ est totalement ordonné, on doit avoir a 1 < a 2 ou a 2 < a 1 . Cette suite nepeut pas être un ensemble indiscernable, ce qui contredit par (2.12) que f ∗ p soitstablement dominé.◻La preuve de la dernière implication nécessite la mise en place d'un certainnombre de concept, en particulier celui d'indépendance séquentielle.Dénition 3.4 (Ensemble unaires) :Soit A un ensemble de paramètres, un 1-module est un R-module qui est dénissablementisomorphe au quotient d'un sous-R-module dénissable de K par un autre.Un 1-torseur dénissable est un translaté dénissable d'un 1-module. Un 1-torseur∞-dénissable est l'intersection d'un chaîne de 1-torseurs dénissables. Enn unA-1-torseur est un 1-torseur dénissable (ou ∞-dénissable) à partir de paramètresdans A.Une ensemble A-unaire est un A-1-torseur ou un sous ensemble A-dénissablede Γ de la forme [0, α) où α ∈ Γ ou α = ∞.Soit T un torseur d'un R-module U, un sous-torseur de T est un torseur inclusdans T d'un sous-module de U. Un sous-ensemble unaire est un sous 1-torseur ouun sous-segment.Une conséquence immédiate de l'élimination des quanticateurs est la descriptiondes sous ensembles dénissables des 1-torseurs.Dénition 3.5 (Fromage suisse) :Soit U un A-1-torseur, un fromage suisse de U est un ensemble de la formet/(t 1 ∪ . . . ∪ t n ) où t et les t i sont des sous-torseurs dénissables de U.12

Proposition 3.6 :Soit U un A-1-torseur et X un sous-ensemble dénissable de U alors X est uneunion de fromages suisses qui ne sont pas trivialement imbriqués et cette décompositionest unique.Dénition 3.7 (Élément générique) :Soit A un ensemble de paramètres, U un ensemble acl(A)-unaire et a ∈ U. Ondit que a est générique dans U au-dessus de A si a n'appartient à aucun sousensembleacl(A)-unaire propre de U.Comme M n'est pas d'indice ni dans R, il s'ensuit qu'un 1-torseur n'est pasl'union de nie de sous torseurs stricts. Par compacité on en déduit l'existence d'unélément générique pour tout 1-torseur et donc pour tout ensemble unaire vu qu'unélément générique d'un ensemble de la forme [0, a) est juste un élément plus grandque tout élément dénissable.Corollaire 3.8 :Soit U un ensemble A-unaire, si a et b sont génériques dans U au-dessus de Aalors a ≡ A b.Démonstration. Soit X un ensemble A-dénissable qui contient a mais pas b.Par la proposition (3.6), X est une union nie de fromages suisses, i.e. X =⋃ n i=1 (t i/(⋃ m ij=1 tj i). Comme cette décomposition est unique, que l'image d'un fromagesuisse par un automorphisme est un fromage suisse et que tout automorphisme quixe A xe globalement X, tous les t i et les t j iont une orbite nie au-dessus de A etdonc sont acl(A)-dénissables. Une étude des diérents cas possibles montre qu'undes t i et t j ine contient qu'un des deux points a ou b, ce qui contredit la généricité.◻On peut alors parler du type générique de U au-dessus de A.Dénition 3.9 :Soit U un ensemble A-unaire, le type générique de U au-dessus de A est le typede n'importe quel élément générique dans U au-dessus de A.On peut aussi introduire une notion d'indépendance dans les corps valués quiremplacera celle de la stabilité.Dénition 3.10 (Indépendance séquentielle) :Soient B et A des ensembles, a = (a i ) i

On notera a ⫝ g A B pour il existe U tel que a ⫝g AB via U. Enn on dira queB ⫝ g A C via b, U si b acl()-génère B au-dessus de A (i.e. B = acl(Ab)) et b ⫝g A C.Cette relation d'indépendance vérie un certain nombre des caractéristiaquesd'une bonne relation d'indépendance.Lemme 3.11 :(i) Soient A ⊆ B ⊆ C, on a alors a ⫝ g A D via U si et seulement si a ⫝g A B viaU et a ⫝ g BC via U.(ii) Soient a = a 1 a 2 et U = U 1 U 2 , alors a ⫝ g A B via U si et seulement si a 1 ⫝ g A Bvia U 1 et a 2 ⫝ g Aa 1B via U 2 .(iii) Soit f un automorphisme de U, si a ⫝ g A B alors f(a) ⫝g f(A) f(B).Démonstration. Les deux premiers sont des conséquences immédiates de la dénition,le troisième provient du fait que les ensembles unaires et la généricité sontpréservés par automorphisme.◻Je donne maintenant une série de lemmes sur l'indépendance séquentielle quiseront admis. Je donne pour chacun une référence à [HHM08] où l'on peut entrouver les preuves.Lemme 3.12 :Soit A ⊆ B tel que A = acl(A) et soient a et a ′ tels que tp(a/A) = tp(a ′ /A),a ⫝ g A B et a′ ⫝ g A B alors tp(a/B) = tp(a′ /B).Démonstration. Voir théorème 8.12◻Lemme 3.13 :Soit A ⊆ B et a un uplet tels que a ⫝ g A B, alors St A(acl(Aa)) ⫝ A St A (B).Démonstration. Voir proposition 8.19◻Lemme 3.14 :Soit C ⩽ A, B des corps valués algébriquement clos tels que Γ(C) = Γ(A),trdeg(B/C) = 1 et il n'y a pas de plongement de B dans A au-dessus de C alors(i) tp(A/C) ∪ tp(B/C) ⊢ tp(AB/C).(ii) Si B = acl(Mb) alors b ⫝ g C A.Démonstration. Voir la preuve de la proposition 8.22.(i) et la remarque 8.23L'indépendance séquentielle permet aussi de construire des extension invariantes.◻14

Proposition 3.15 (Existence d'une extension Aut(U /A) invariante) :Soit A = acl(A) et un modèle M ⊇ A, alors tout p ∈ S(A) a une extensionAut(M/A)-invariante.Démonstration. Voir le corollaire 8.16. Cela dit ce corollaire ne donne que le casd'un type nitaire. Pour le cas innitaire, on peut procéder par une récurrencetransnie qui est possible car le corollaire ne donne pas simplement une extensiondu type d'un uplet mais de sa clôture algébrique, ce qui permet de conserver unensemble de paramètres algébriquement clos au cours de la récurrence. ◻On peut remarquer que quitte à changer de modèle monstre et en prendre untel que U soit un "petit" modèle, on a montré que tout type sur un ensemblealgébriquement clos A à un extension Aut(U /A)-invariante.On va aussi avoir besoin des notions de base générique et de résolution. Maispour montrer que la première dénition a un sens, on va avoir besoin du lemmesuivant. On en trouve une version pour un 1-torseur clos quelconque dans klaremarque 2.3.5.(ii) de [HHM08].Lemme 3.16 :Soit a un élément générique de k au-dessus de A, alors tous les b ∈ R tels queres(b) = a ont le même type.Démonstration. Soit b et c tels que res(b) = a = res(c), i.e. en se rappelant que a estun translaté de M, b et c sont dans a. S'ils n'ont pas le même type sur A, il existeun ense ;ble A-dénissable X ⊆ R tel que b ∈ X et c ∉ X. Mais alors pour tout a ′générique dans k au-dessus de A (on peut en construire une innité en prenant unélément générique au-dessus de ceux qu'on a déjà construits), il existe b ′ et c ′ dansa ′ tels que b ′ ∈ X et c ′ ∉ X. Mais cela contredit le fait que X soit A-dénissable.En eet on aurait alors X = ⋃ n i=1 (t i/(⋃ m ij=1 tj i ) où les t i et t j isont des translatés desous-R-modules de R, i.e. des idéaux. Si t i est un translaté d'un idéal strict de R,il est contenu dans un translaté de M et donc ne peut contenir qu'un seul des b ′ .On doit donc avoir i = 1 et t 1 = R. Mais pour la même raison on ne peut alors paséviter tous les c' sans avoir t j 1= R et donc X = ∅, ce qui est absurde.◻Dénition 3.17 (Base générique) :Soit s un réseau, tel que s ∈ dcl(A). Si on note res(s) = s/Ms, res(s) n est unsous-ensemble dénissable de St A qui est dénissablement isomorphe à k n2 . Commek est une pur corps algébriquement clos, cet ensemble est de degré 1 et a donc untype générique q res(s) n ∈ S(U) qui est l'unique type de rang maximal de l'ensemble.Soit alors q s tel que pour tout a 1 . . . a n , on a a 1 . . . a n ⊧ q s si res(a 1 ) . . . res(a n ) ⊧q res(s) n où res(a i ) = a i + Ms.Soit B ⊆ A, une base générique de s au-dessus de B est une réalisation de q s ∣B.15

Cette dénition a un sens car pour tout i, res(a i ) est générique au-dessus deAa 1 . . . a i−1 et donc, par le lemme (3.16), tous les choix possibles de a i ont le mêmetype au-dessus de ces paramètres. De plus comme q res(s) n est Aut(U /A)-invariant,q s l'est aussi.Lemme 3.18 :Soit s un réseau A-dénissable. Alors q s ⊥ Γ.Démonstration. Voir la remarque 3.1.1 de [HHM06].Dénition 3.19 (résolution générique fermée) :Soit A un ensemble de paramètres. Une résolution générique fermée de A estun ensemble B = acl(Ab i ∶ i < λ) ou pour chaque i < λ, b i est une base génériqueau-dessus de acl(Ab j ∶ j < i) d'un réseau acl(Ab j ∶ j < i)-dénissable et tel que toutréseau de B à une base dans B.Lemme 3.20 :Tout A a une résolution générique fermée.Démonstration. Soit {s i ∶ i < λ} l'ensemble des réseaux A-dénissables. On pose b iune base générique de s i au-dessus de acl(Ab j

Soit alors c tel que res(c) est une base de transcendance de k(acl(Mab))au-dessus de res acl(Mab), i.e. acl(Mabc) est une résolution canonique ouvertede acl(Mab). Soit r une extension Aut(U /M)-invariante de tp(abc/M) qui soitégale à q pour les variables correspondant à ab. Montrons que r ⊥ Γ. Soit M ′ ⊇M et a ′ b ′ c ′ ⊧ r∣M ′ . Alors tp(res(c ′ a ′ b ′ )/M ′ ) est Aut(M ′ /M)-invariant et donctp(res(c ′ )/k(M ′ a ′ b ′ )) est Aut(k(M ′ )/k(Ma ′ b ′ ))-invariant. Comme k est un purcorps algébriquement clos, donc stable, tp(res(c ′ )/k(M ′ a ′ b ′ )) est acl(Ma ′ b ′ )-dénissableet donc ne dévie pas au-dessus de acl(M ′ a ′ b ′ ), en particulier res(c ′ ) est indépendantde k(M ′ ) au-dessus de k(acl(Ma ′ b ′ )) et donc c ′ est une base de transcendancede k(acl(M ′ a ′ b ′ )) au-dessus de res(acl(()M ′ a ′ b ′ )).On pose c ′ = (c ′ i ∶ i < κ), montrons par récurrence sur i que Γ(M ′ a ′ b ′ c ′ j

Le lemme suivant qui sera fondamental pour la preuve de la dernière implicationest juste le constat quand dans le cas d'un unique élément de corps, le fait que sontype soit perpendiculaire à Γ nous informe déjà beaucoup sur la nature de ce point.Lemme 3.23 :Soit p un type Aut(U /A)-invariant orthogonal à Γ d'un unique élément decorps, alors p∣ acl(A) est le type générique d'une boule fermée A-dénie.Démonstration. Soient un modèle M ⊇ A et a ⊧ p (on pourrait se contenter dea ⊧ p∣M ′ pour M ′ assez saturé et fortement homogène, mais cela ne coûte rien deprendre a ⊧ p∣ U bien que jusqu'ici on ait évité d'en sortir), on pose V l'intersectionde toutes les boules M-dénissables contenant a, alors V est une boule et a estgénérique dans V au-dessus de M.Montrons alors que tout boule B qui contient a est A-dénissable. En eet sielle ne l'est pas (comme toutes les boules sont dénissables) il existe σ ∈ Aut(U /A)tel que σ(B) ≠ B mais cela implique σ(B) ∩ B = ∅. Or comme p est Aut(U /A)-invariant, on doit avoir a ∈ σ(B), ce qui est absurde. En particulier a est génériquedans V au-dessus de U et V est A-dénissable.Montrons nalement que V est fermée. Soit d ∈ V (U) (qui existe car V est nonvide dans une extension élémentaire de U) et soit M ′ qui contient A et d. On aalors bien a ⊧ p∣M ′ et comme p ⊥ Γ, il s'en suit que γ = ∣a − d∣ ∈ Γ(M ′ a) ⊆ Γ(M ′ ).Donc a ∈ B ⩽γ (d) ⊆ V qui est M ′ -dénissable, et donc V = B ⩽γ (d).◻Pour nir, montrons enn la dernière implication.Proposition 3.24 :Soit p un type A-dénissable tel que p ⊥ Γ alors p∣A est stablement dominé.Démonstration. Remarquons tout d'abord qu'il sut de montrer que p∣M est stablementdominé pour tout modèle M ⊇ A. En eet, soit M un modèle qui contientA et soit q une extension Aut(U /A)-invariante qui existe d'après la proposition(3.15). Pour tout M ′ ⊧ q∣A, M ′ est la base d'un modèle contenant A et donc p∣M ′est stablement dominé. Donc par la proposition (1.13) p∣A est stablement dominé.De plus, comme p∣A ⊥ Γ implique p∣M ⊥ Γ pour tout M ⊇ A, on peut supposer queA = M.Soit alors a ⊧ p∣M, p ∗ et a ∗ tels que dans le lemme (3.22), il sut alors demontrer que p ∗ ∣M est stablement dominé, i.e. on peut supposer que a est un upletd'élément du corps tel que a = acl(Ma) (i.e. que c'est un corps algébriquementclos). En eet, soit D tel que St M (a ∗ ) ⫝ M St M (D), on a alors tp(D/M St A (a ∗ )) ⊢tp(D/Ma ∗ ) ⊢ tp(D/Ma) car a ∈ dcl(Ma ∗ ), et donc par le lemme (1.12), p∣M eststablement dominé.Soit alors B tel que St M (a) ⫝ M St M (B). Supposons qu'on ait montré que pourtout B 0 ⊆ B ni, on ait tp(B 0 /M St M (a)) ⊢ tp(B 0 /Ma). Soit alors B ′ tel que18

B ′ ≡ M StM (a) B et ϕ[x, M, a] tel que U ⊧ ϕ[B, M, a]. Comme ϕ est une formulenie, elle ne concerne qu'un certain B 0 ⊆ B. Soit B 0 ′ la partie nie de B ′ quicorrespond à B 0 . Comme B 0 ′ ≡ Ma B 0 par hypothèse, on a U ⊧ ϕ[B ′ , m, a] et doncB ≡ Ma B ′ , i.e. tp(B/M St M (a)) ⊢ tp(B/Ma). Mais comme pour tout B 0 ⊆ B ni,on a St M (a) ⫝ M St M (B 0 ) par monotonie de la relation d'indépendance, on peutsupposer B ni.Soit alors N = acl(MB) (c'est un corps algébriquement clos). Comme St M (a) ⫝ M St M (B),on a St M (a) ⫝ M acl(M St M (B)) et comme acl(dcl(X)) = acl(X) = dcl(acl(X)), ona St M (a) ⫝ M St M (N) et en particulier comme k est stablement plongé et stable,k(X) ⊆ St M (X) et donc, par monotonie, k(a) ⫝ M k(N), de plus comme k est stablementplongé, tous les ensembles dont on pourrait avoir besoin pour montrer lanon déviante (qui sont dans k) sont k(M)-dénissables et donc k(a) ⫝ k(M) k(N).De plus, il existe B ′ ⊆ K tel que B ∈ dcl(MB ′ ) (par le lemme (3.22) ou mêmepar un raisonnement plus simple car on ne veut pas contrôler la croissance de Γ).Comme B est ni, on peut prendre B ′ ni et on a donc N ⊆ acl(MB ′ ) donc N estde degré de transcendance nie sur M.Montrons alors que si N est un corps de degré de transcendance nie au-dessusde M et que k(a) ⫝ k(M) k(N) alors N ⫝ g Ma. Procédons par récurrence sur n, ledegré de transcendance de N au-dessus de M. Si n = 1, on a N = acl(Mb) oùb ∈ K/M. Par le lemme (3.14), si N ne se plonge pas dans acl(Ma) au-dessusde M alors b ⫝ g Macl(Ma) et on a ni. Sinon b se plonge dans acl(Ma) ∩ K = aau-dessus de M et donc si q est la restriction de p à la variable correspondant àb, on a bien b ⊧ q∣M et q ⊥ Γ. Par le lemme (3.23), b est générique au-dessusde M dans une boule fermée M-dénissable. Cette boule fermée est en bijectionM-dénissable avec R(U). Il sut de le montrer dans le cas où b est génériquedans R(U) au-dessus de M (quitte à utiliser la bijection pour transporter les sousmodules Ma-dénissables). S'il n'était pas générique au-dessus de Ma, il serait dansun translaté de M dénissable sur a, i.e. res b ∈ k(a), mais res(b) /∈ k(M) car b estgénérique dans R au-dessus de M et cela contredirait le fait que k(N) ⫝ k(M) k(A).On a donc montré que b ⫝ g M a.Si n > 0, soit M ′ tel que M ⊆ M ′ ⊆ N et trdeg(N/M ′ ) = 1. Par récurrence,M ′ ⫝ g M a et donc par le lemme (3.13) on a St M(M ′ ) ⫝ M St M (acl(Ma)). Commeon a montré précédemment, cela implique que k(M ′ ) ⫝ k(M) k(a). Comme k estun pur corps algébriquement clos, l'indépendance est donnée par l'appartenanceà la clôture algébrique et comme k(a) ⫝ k(M) k(N) on a trdeg(k(M ′ a)/k(M ′ )) =trdeg(k(Ma)/k(M)) = trdeg(k(Na)/k(N)) et donc k(a) ⫝ k(M ′ ) k(N). Par le casn = 1, on a donc N ⫝ g M ′ a et donc par transitivité de ⫝ g , on a N ⫝ g M a.On en déduit alors que tp(N/Mk(a)) ⊢ tp(N/Ma). En eet, soit N ′ tel queN ≡ Mk(a) N ′ , il s'ensuit que N ′ est un corps de degré de transcendance nie audessusde M tel que k(a) ⫝ k(M) k(N ′ ). On a alors N ⫝ g M a et N ′ ⫝ g Ma et donc par le19

lemme (3.12), N ≡ Ma N ′ . Comme k(a) ⊆ St M (a), on a bien que tp(N/M St M (a)) ⊢tp(N/Ma). On en déduit que tp(B/M St M (a)) ⊢ tp(B/Ma). En eet, soit σ ∈Aut(U /M St M (a)), on a N ≡ M StA (a) σ(N) et donc N ≡ Ma σ(N), d'où B ≡ Ma σ(B).◻ConclusionRécapitulons donc tout ce qu'on a démontré.Théorème 3.25 :Soit p un type A-dénissable, sont équivalents :(i) p est stablement dominé.(ii) p est génériquement stable.(iii) p ⊥ Γ.Démonstration. (i) implique (ii) est démontré en (2.16)(ii) implique (iii) est démontré en (3.3).(iii) implique (i) est démontré en (3.24).◻20

Bibliographie[Bue96][HHM06][HHM08][HL][HP]Steven Buechler. Essential Stability Theory. Perspective in MathematicalLogic. Springer-Verlag, 1996.Deirdre Haskell, Ehud Hrushovski et Dugald Macpherson. De-nable sets in algebraically closed valued elds : elimination of imaginaries. Dans : Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 597(2006), p. 175236.Deirdre Haskell, Ehud Hrushovski et Dugald Macpherson. Stabledomination and independance in algebraically closed valued elds.Association for Symbolic Logic. Lecture Notes in Logic 30. CambridgeUniversity Press, 2008.Ehud Hrushovski et François Loeser. Non-archimedean tametopology and stably dominated types . arXiv : 1009.0252.Ehud Hrushovski et Anand Pillay. On NIP and invariant measures. arXiv : 0710.2330.Table des matières1 Types stablement dominés 12 Types génériquement stables 53 Types orthogonaux à Γ 11Bibliographie 2121

Cinquième partieRapport de stage à Cambridge endeuxième année107

Games and spansSilvain Rideausupervised byProfessor Glynn WinskelUniversity of Cambridge

IntroductionGame semantics has been a very active domain in the last twenty years, achieving major results like providingfully abstract models, i.e. models in which denotational equivalence is the same as operational equivalence,of a certain number of languages including PCF (a form of simply-typed lambda-calculus with a xed-pointoperator and case denition), see for example [HO00].The fundamental idea behind game semantics is that the execution of a program is an interaction betweenthe program and its environment, and thus can be seen as a game between those two entities, each answeringto the other's moves. A little example may clarify that. Let us consider the function successor. Its semanticsin game terms may be seen as• The environment asks what is the output.• To answer this question, the program needs the input, in answer to the environment move, it askswhat is the input.• The environment answers n.• The player can now answer the rst question by saying n + 1.Thus the semantic of a program can be given by its strategy, i.e. how it answers to each possible environmentmove.Lately, game semantics have taken a great many dierent forms, some trying to dene a notion of concurrentgames, like [AM99], or trying to get rid of alternation, as in [MM07], or to dene a more linear notion ofgames to model linear logic, see [FP09]. Moreover, they can also be related to previous notions like anesequential algorithms, see [Cur94]. But these are but some examples... and each new denition comes withits particularities and complications.There is therefore a great need to propose a common theoretical ground on which to work, thus to unifyand better comprehend all that has already been done. This has already been attempted in [CM10], and ina certain way in [HHM07].One could argue that this is but one other presentation of game semantics among all that already exist,but we hope that the category of games that we dene here is larger than what has been explored at thusencompasses all previous denitions, providing in particular a sense of concurrent games.We will will proceed in ve parts, the rst is an introduction of the computation model used throughout this report, event structures, as well as two alternating ways to describe them, and some lemmas onthe constructions we will need. Then we will go on to describe a tool we will need later, and then givethe principal example of its use, that is to construct the category of relations. Thirdly we will dene thecategory that is the goal of all this, the category Span Inn . Fourthly, we will desribe some monadic constructthat were encountered during my internship and nally, we will show how the games of [HHM07], can beembedded in our category.To nish this introduction, I would like to thank Glynn Winskel for oering me this internship, for the greattime I had in Cambridge, for his help, always there when needed, and for his patience with my mistakesand silly ideas. I would also like to thank Pierre-Louis Curien and Sam Staton for their answers and ourdiscussions.1

Chapter 1Event structures, prime algebraic domains and stable familiesMost of what follows can be found in [Win07].1.1 Event structuresDenition 1.1.1 (Event structure) :An event structure is (E, C, ) where E is a set, C ⊆ P f (E) and is a partial order on E such that(i) For all e ∈ E, ⌈e⌉ := {e ′ | e ′ e} is nite.(ii) For all e ∈ E, {e} ∈ C.(iii) For all Y ⊆ X, X ∈ C implies Y ∈ C.(iv) For all e ∈ X ∈ C and e ′ e, X ∪ {e ′ } ∈ C.An event structure therefore describes a computation process where certain events need that certain otherevents have occurred to be able to occur (this causal dependency relation by the order) and certain eventscannot occur if others have occurred (this is described by the consistence relation).In certain cases the C relation will determined solely by a conict relation, i.e. a subset of E will be consistentif and only if it does not contain a pair in conict. Moreover, for all e ∈ E, let us write ⌊e⌋ := {e ′ | e ′ < e}.We will write x y for x is direct predecessor to y.Denition 1.1.2 (Congurations) :Let (E, C, ) be an event structure, X ⊆ E such that(i) It is down-closed, i.e. e ′ e ∈ X implies e ′ ∈ X.(ii) It is nitely consistent, i.e. for all Y ⊆ f X, Y ∈ C.is a E-conguration.We write C(E) for the set of E-congurations and C o (E) for the set of nite E-congurations.Denition 1.1.3 (Partial maps of event structures) :A partial rigid map of event structures f : E ⇀ E ′ is a partial map from E to E ′ such that(i) For all X ∈ C o (E), f(X) ∈ C o (E ′ ).(ii) The map f is locally injective on congurations, i.e. for all X ∈ C o (E), f X is injective.We say that it is rigid if for all e 1 , e 2 ∈ E, if f(e 1 ) ↓ and f(e 2 ) ↓, then e 1 e 2 implies f(e 1 ) f(e 2 ).Event structures and partial maps form a category E p . Its subcategory consisting of all the rigid maps iscalled E pr .The three following lemmas state some very basic, but useful properties of the maps of event structure.2

CHAPTER 1. EVENT STRUCTURES, ... 3Lemma 1.1.4 :Let f : E ⇀ F be a partial map of event structures and x, y ∈ E consistent such that f(x) f(y) (andboth dened). Then x y.∆. First, as f(⌈y⌉) is down-closed, there exists x ′ ∈ E such that x ′ y and f(x ′ ) = f(x). But as x ′ is apredecessor to y and x and y are consistent, x ′ and x are consistent too and therefore must be equal. Thusx y.□Lemma 1.1.5 :Let f : E ⇀ F be a partial map of event structures and x, y ∈ E such that x y and f(x) f(y), thenf(x) f(y).∆. If there exist z ∈ F such that f(x) z f(y) then there exist t y such that f(t) = z and x ′ t suchthat f(x ′ ) = f(x). But, as x and x ′ are both in the history of y, they must be consistent and thus equal.Therefore x t y and t must be either x or y, which implies that z is either f(x) or f(y).□Lemma 1.1.6 :Let f : E ⇀ F be a rigid partial map of event structures and x ∈ E such that f(x) ↓. Then ⌈f(x)⌉ =f(⌈x⌉) and ⌊f(x)⌋ = f(⌊x⌋).∆. f(⌈x⌉) ∈ C o (F ) and thus is down-closed. As f(x) ∈ f(⌈x⌉), ⌈f(x)⌉ ⊆ f(⌈x⌉). Now let us consider y ∈f(⌈x⌉). There exists z ∈ ⌈x⌉ such that f(z) = y. But then, as z x, f(z) f(x) and y ∈ ⌈f(x)⌉. Moreoveras f ⌈x⌉ is injective, x is the then only element in ⌈x⌉ to have f(x) as an image and thus f(⌊x⌋) = ⌊f(x)⌋.□1.2 An equivalent presentation, prime algebraic domainsLet E be an event structure, the ordered set (C(E), subs) is in fact a domain with certain specicities thatwe describe here.Denition 1.2.1 (Prime algebraic domains) :Let (D, ) be a partial order. Let X ⊆ D, we say that it is compatible if and only if it is bounded in D. Wesay that D is consistent complete if all X nitely compatible (i.e. all nite subsets are compatible) has aleast upper bound ∐ X.An element of D is a complete prime if and only if for all X nitely compatible, if p ∐ X, then p x forsome x ∈ X.The partial order D is a prime algebraic domain if it is consistent complete and for all d ∈ D, d = ∐ {p d | p is a complete prime}.It is nitary if all complete primes are superior to only a nite number of elements in D.The following theorem, shows that this two presentations are indeed equivalent, it is proved in [NPW81].Theorem 1.2.2 :Let E be an event structure, then (C(E), ⊆) is a nitary prime algebraic domain, whose prime are thehistories.Let (D, ) be a nitary prime algebraic domain. Let P be the set of its prime, P be and X ⊆ f Pbe in C P if and only if X is compatible. Then (P, C P , P ) is an event structure.These two transformations are reciprocal, up to isomorphism.

CHAPTER 1. EVENT STRUCTURES, ... 41.3 Event structures as a co-reective subcategory of stable familiesFor any event structure E, the set C o (E) also has interesting properties, it is a stable family.Denition 1.3.1 (Stable family) :A stable family is a family of nite sets F such that(i) It is complete, if Z ⊆ f F and Z is compatible, then ⋃ Z ∈ F.(ii) It is coincidence-free, for all x ∈ F, e, e ′ ∈ x such that e ≠ e ′ , there exists y ∈ F such that y ⊆ xand e ∈ y if and only if e ∉ y.(iii) It is stable, for all Z ⊆ F compatible, ⋂ Z ∈ F.where compatibility is with respect to the inclusion order.We call ⋃ F the set of events underlying the stable family.Denition 1.3.2 (Partial maps of stable families) :A partial map of stable family f : E ⇀ F is a partial map of sets ⋃ E ⇀ ⋃ F, such that the image of anelement of E is in F and that is injective on all elements of E.Stable families and partial maps form a category F p . Let us now show how we can go from an event structureto a stable family and vice versa.Denition 1.3.3 (C o ()) :Let E be an event structure, then C o (E) is a stable family. Let f : E ⇀ F be a partial map of eventstructures, then there is a partial map of stable families C o (f) : C o (E) ⇀ C o (F ) that sends X ∈ C o (E) tof(X). Moreover, this makes C o () a functor.Denition 1.3.4 (Pr) :Let F be a stable family. Let x ∈ F and e ∈ x. Let ⌈e⌉ x := ⋂ {y ∈ F | e ∈ y ⊆ x}. Let P := {⌈e⌉ x | e ∈x ∈ F}, it is ordered by inclusion, and let X ∈ C P if and only if X ⊆ f P and ⋃ X. Then (P, C P , P ) is anevent structure.Let f : E ⇀ F be a partial map of stable families, then Pr(f) : Pr(E) ⇀ Pr(mathcalF ) that sends ⌈e⌉ x to⌈f(e)⌉ f(x) ), when f(e) ↓ is a partial map of event structures. Moreover this makes Pr a functor.Theorem 1.3.5 :The functor C o () is left adjoint to the functor Pr. The unit is an isomorphism, thus E p is a co-reectivesubcategory of F p .1.4 Limits of event structuresThe rst utility we have of stable families is to dene the limits of event structures (using the co-reection),in particular the product. For that we rst have to dene the product of set with partial functions.Denition 1.4.1 (Partial product) :Let X and Y be two sets, the setis called the partial product of X and Y .X × ⋆ Y := ((X ⊔ {⋆}) × (Y ⊔ {⋆})) \{(⋆, ⋆)}

CHAPTER 1. EVENT STRUCTURES, ... 5Let us also dene the two following partial functionsX × ⋆ Y πX → X(x, _) ↦→ x if x ≠ ⋆They are called the projections.π YX × ⋆ Y → Y(_, y) ↦→ y if y ≠ ⋆Denition 1.4.2 (Product of stable families) :Let E and F be two stable families. Let us write ⋃ E × ⋆⋃ F for the partial product of the underlying sets,with projections π 1 and π 2 . Then x ∈ E × F if and only if(i) x ⊆ f⋃ E ×⋆⋃ F.(ii) π 1 (x) ∈ E and π 2 (x) ∈ F.(iii) For all e, e ′ ∈ x, if π i (e) = π i (e ′ ) for i = 1 or 2, then e = e ′ .(iv) For all e, e ′ ∈ x such that e ≠ e ′ , there exists y ⊆ x such that π 1 (y) ∈ E, π 2 (y) ∈ F and e ∈ y ifand only if e ′ ∉ y.Moreover, let p 1 : E × F ⇀ E the extension to subsets of π 1 and p 2 that of π 2 .The stable family E × F and the maps p 1 , p 2 form the product in F p .Theorem 1.4.3 (Product of event structures) :Let E and F be two event structures then their product E × F in E p is Pr(C o (E) × C o (F )). The leftprojection is the map that send an element of the form ⌈(e, _)⌉ x to e and the right, the map that sends⌈(_, e)⌉ x to e.Let us now prove some lemma about the product, that we will use extensively latter on. This rst lemmasimply states that in the product we cannot have events not related to any member of the product thatappear.Lemma 1.4.4 :Let E and F be event structures, and let x ∈ E × F , then at least one of p E (x) and p F (x) is dened.∆. Let x in E × F , then there exists y ∈ C o (E) × fconfF and e ∈ y such that x = ⌈e⌉ y . As p E = η −1 ◦ π E ,p E (x) . = π E (e), and identically for F . But e ∈ E × ⋆ F and thus at least one of π E (e) and π F (e) is dened.□Then, this lemma states that order can only arise locally as inherited from one or the other member of theproduct.Lemma 1.4.5 :Let E and F be two event structures and let x, y ∈ E × F such that x y then there exist G amongE and F such that p G (x) ↓, and p G (y) ↓ and p G (x) p G (y).∆. Let us suppose that x y but that p G (x) ↓, and p G (y) ↓ and p G (x) p G (y) is false in both cases.By construction there exist s, t ∈ C o (E) × C o (F ), e ∈ s and f ∈ t such that x = ⌈e⌉ s and y = ⌈f⌉ t . Butthen, as x y, ⌈e⌉ s ⊆⌈f⌉ t and thus e ∈ ⌈e⌉ s ⊆⌈f⌉ t ⊆ t ans therefore ⌈e⌉ t ⊆⌈e⌉ s . But that implies that∈ ⌈e⌉ t ⊆⌈e⌉ s ⊆ s and thus that ⌈e⌉ s ⊆⌈e⌉ t . We can therefore consider that s = t.Let z = y \ e. Let us show that t ∈ C o (E) × C o (F ). As f ∈ z ⊆ t, that would imply that e ∉ ⌈f⌉ t , but thatis absurd.

CHAPTER 1. EVENT STRUCTURES, ... 6Let us rst show that π S (z) ∈ C o (S). By denition, π S (z) = π S (⌈f⌉ t ) \ π S (e). If π S (e) ↑, then it is done.Let us now suppose that π S (e) ↓. As π S (z) ⊆ π S (⌈f⌉ t ), it is consistent. We therefore only need to show itis down-closed. A problem only arises if we have π S (e) π S (a) for some a ∈ ⌈f⌉ t . But then as π S (⌈a⌉ t )is down-closed, there exists an e ′ ∈ ⌈a⌉ t ⊆ t such that π S (e ′ ) = π S (e). But, as e, e ′ ∈ t and have the sameimage by π S , they must be equal. Thus ⌈e⌉ t ⊆⌈a⌉ t ⊆⌈f⌉ t . But as ⌈e⌉ t ⌈f⌉ t , that implies that ⌈a⌉ t = ⌈e⌉ tor ⌈a⌉ t = ⌈f⌉ t . Because stable family are coincidence free, that implies that a = e or a = f.If a = f then we have π S (e) π S (f). As we can't have π S (e) π S (f), it implies there is a b ∈ ⌈f⌉ t suchthat π S (e) < π S (b) < π S (f), but then there must be a e ′ ∈ ⌈b⌉ t such that π S (e) = π S (e ′ ), but by localinjectivity of π S , e = e ′ and thus ⌈e⌉ t ⊂ ⌈b⌉ t ⊂ ⌈f⌉ f . But that contradicts ⌈e⌉ t ⌈f⌉ t .Thus a = e, and therefore π S (z) is down-closed. The same proof shows that π T (z) ∈ C o (T ).As z ⊂ t, it is clear that both π S and π T are injective on it.Finally, let e ′ , e ′′ ∈ z ⊆⌈f⌉ t . Then by denition of the product, there exists z ′ ⊆⌈f⌉ t such that its projectionsare congurations and e ′ ∈ z ′ ⇐⇒ e ′′ ∉ z ′ . As e ′ and e ′′ are dierent from e, z ′ \ e has the same separatingproperty. Moreover z ′ \ e ⊆ z. Only remains to show that π S (z ′ \ e) is a conguration.As π S (z ′ \ e) ⊆ π S (z ′ ) it is consistent. The only problem if we try to show that it is down-closed is when wehave π S (e) π S (a) for some a in z ′ . But as z ′ ⊆⌈f⌉ t , we have already shown that that implies a = e andthus π S (z ′ ) is down-closed. The same proof holds to show that π T (z ′ ) ∈ C o (T ). Thus z is indeed an elementof C o (E) × C o (F ).□

Chapter 2Transforming bicategories2.1 The extremity of a bicategoryThe construction explained in this chapter allows to take a bicategory and modify it following the action ofan endofunctor on hom-categories. In fact what we do is dene the composition to be the old compositionfollowed by the endofunctor. This will be useful when dening a category of games transform the parallelcomposition to parallel composition plus hiding (the hiding being the endofunctor part).Let us consider a bicategory B (with composition ⊙ and identities ı) and for all A, B 0-cells of B, anendofunctor E A,B . We will suppose that we have a natural transformation e A,B : Id ˙→ E A,B such thatE(id ⊙ e) (and symmetrically E(e ⊙ id)) and e E are isomorphisms.Theorem 2.1.1 :There is a bicategory E B whose 0-cells are those of B and homcats are E(B(A, B)). The compositionof a and b composable is a ⊖ b := E(a ⊙ b), and the identities are j A := E(ı A ).∆. We have rst to construct the associator. Let α be the associator in B, and let s, t and u be composable1-cells in E B. Then we haveE((s ⊙ t) ⊙ u)EαE(s ⊙(t ⊙ u))E(e s ⊙ t ⊙ id u)(s ⊖ t) ⊖ u s ⊖(t ⊖ u)α ′E(id s ⊙ e t ⊙ u )But all these arrows are natural isomorphism, and so let us dened α ′ to be their composition.As for the left unitor, let λ be the left unitor in B, and s : A → B be a 1-cell in E B. Then we haveE(e ı ⊙ id s)E(ı ⊙ s)j ⊖ s Eλλ ′ E(s)se Etwhere s is of the form Et. Once more these three arrows are natural isomorphism and so let us dene λ ′ tobe their composition.The construction of the right unitor, from the right unitor ρ of B follows symmetrically from this diagramE(id s ⊙ e ı)E(s ⊙ ı)s ⊖ j Eρρ ′ E(s)se EtThe proof that the triangle and the pentagon commute can be found in gures (A.1) and (A.2) in theannexes.□7

CHAPTER 2. TRANSFORMING BICATEGORIES 82.2 RelationsLet us now use this construction to construct the bicategory of relations from the bicategory of spans. Itis given here mainly because it is this construction that inspired the "visible part" construction in the nextchapter.First of all, let us dene the notion of image of a map. In SET , this denes what we usual understand asthe image.Denition 2.2.1 (Image of a map) :et A, B be objects of a category C and f ∈ C(A, B) a map. The image of f is the smallest subobject of Bthrough which f composes. In other terms, it is an object If of C, a monomorphism m : If → B and amap e : E → If such that f = m ◦ e and whenever we haveEf eIfθ JF where m ′ is a monomorphism, there is a map θ (necessarily unique) such that the triangles commute.Let us now introduce the notions of strong and extremal maps, that characterise the map from the domainto the image of a map, and prove some lemmas about them.Denition 2.2.2 (Extremal map) :An extremal map is a map such that whenever it factorises through a monomorphism then the monomorphismis an isomorphism.Lemma 2.2.3 :In a category with equalisers, an extremal map is an epimorphism.∆. Let us consider e : A → B an extremal map and f, g : B → X such that f ◦ e = g ◦ e. The universalproperty of the equaliser e ′ of f and g is such that e must factorise through e ′ . But all equalisers aremonomorphism and so e ′ must be an isomorphism, as e is extremal. As f ◦ e ′ = g ◦ e ′ , we have indeed f = g.□Lemma 2.2.4 :A monomorphism that is extremal is an isomorphism.∆. Let us consider e : A → B to be both a monomorphism and an extremal map. Then as e = id ◦e, itfactorises through the monomorphism e that must therefore be an isomorphism.□Lemma 2.2.5 :Let C be a category and f : A → B an arrow of C that has an image (e, If, m), then e is an extremalmap.∆. Let us consider the following diagramfmm ′eA If m Bng C θ

CHAPTER 2. TRANSFORMING BICATEGORIES 9where n is a monomorphism. Then n ◦ m is a monomorphism, through which f factorises. Thus, by theproperty of the image, there is map θ : If → C such that m ◦ n ◦ θ = m and θ ◦ e = g. But then, as m is amonomorphism, n ◦ θ = id. Thus n is a monomorphism with a right inverse, thus an isomorphism. □Denition 2.2.6 (Strong map) :In a category C, a map e : A → B is strong if and only if whenever there exists a commutative squareAC em B Dwhere m is a monomorphism, there exists a map B → C that cuts the square into two commutative triangles.Lemma 2.2.7 :In a category with pullbacks, a map is extremal if and only if it is strong.∆. It is always he fact that a strong map is extremal. Indeed, let e : A → B be a strong map. If thereexists a monomorphism m onto the codomain of e through which e factorises then we have the commutativesquare and thus the diagonalA e BC Thus m ◦ f = id, and therefore m is a monomorphism and a split epimorphism, i.e. an isomorphism.Let now e be an extremal map and let us consider the following commutative squaremf BidA e BC m Dfwhere m is a monomorphism. Then by taking the pullback P of m and f and by considering the map fromA to P that exists by universal property, we obtain the following digram (bearing in mind that the pullbackof a monomorphism is a monomorphism)eA P p Bq fC m DAs e is an extremal map that factors through a monomorphism p, p must be an isomorphism, and the mapq ◦ p −1 cuts the square into two commutative triangles.□We now will now dene the other central notion of this report, spans.Denition 2.2.8 (Span) :A span is a pair of maps with a common domain.Spans are very useful in describing interaction between the co-domains of their two maps. In particular,they are the way we will represent strategies later on.Let us now describe rapidly the categorical structure this spans have.

CHAPTER 2. TRANSFORMING BICATEGORIES 10pP pTS fS g1T 1 f g22 A B CFigure 2.1: Span compositionDenition 2.2.9 (Span morphism) :Let s and t be two spans in E p with the same event structures at the feet. We say that a partial map θ : S ⇀ Tis a morphism of spans θ : s ⇒ t ifS A θ B Tcommutes.Span morphisms compose like partial maps. Let A and B be two event structures, then the spans betweenA and B and the span morphisms form a category Span(A, B).Until the end of this section, let C be a category with all pullbacks, binary products and images and such thatthe pullback of a strong map is still one. Then the spans in C form a bicategory Span Cwhere composition isdone according to gure (2.1) where P is the pullback. One may notice that the homcat Span C(A, B) whereA and B are objets of C is in fact the category C ↓ (A × B).Denition 2.2.10 (Relation) :A relation is a span that is jointly monic.In SET a relation therefore correspond to an injection into the product of the two co-domains. That isexactly the usual understanding that we have of what is a relation.Let us now dened the endofunctor on the hom-categories that will allow us to transform the category ofspans into the category of relations.Lemma 2.2.11 (The E functor) :Let C be a category with all images (and thus a choice of canonical images). Let A be an object ofC There is a unique way to make E into a endofunctor on C ↓ A, that sends each object of the slicecategory (B, f : B → A) to its image (If, m f ), such that e is a natural transformation from Id ˙→ E.∆. Let us consider f : (B, g) → (C, h) in C ↓ A and thus the following diagramB fCe hge gIg Ef Ihh A m h m gwhere g factorises through m h a monomorphism and thus there exist a unique map (that we can call Ef)such that the diagram commutes.□

CHAPTER 2. TRANSFORMING BICATEGORIES 11Xx SQ x Pq S θ ⊙ idq US P p T p U T U θ f Tg Tg U f UA B CFigure 2.2: Preservation of strong mapsWe now have to prove the two hypothesis that are used in the extremity construction. To prove the rst weproceed in two stages. First we prove that e ⊙ id is strong and then that E of a strong map is an isomorphism.Lemma 2.2.12 :Let ⊙ denote the composition in Span Cand let θ be a span morphism that is also an extremal map inC. Then id ⊙ θ and θ ⊙ id are strong.∆. Let us thus show that id ⊙ θ is strong (in C). Let us consider the commutative diagram of gure (2.2).The maps p U ◦ x P and x S form a cone over (g ◦ θ, f U ), and thus there exists a map ϕ : X → Q such thatq U ◦ ϕ = p U ◦ x P and q S ◦ ϕ = x S . Then the following diagrams (where the maps are the only maps betweenthose objects that we have considered so far) commuteX Q P S P T UX PS P T Uand thus by unicity of the mediating map, (θ ⊙ id) ◦ ϕ = x P . Therefore the squareQθ ⊙ id Pq SSθ Tp Tis a pullback. As extremal pas are strong according to lemma (2.2.7) and strong maps are preserved bypullback in C, θ ⊙ id is strong too.□Lemma 2.2.13 :Let f : (B, g) → (C, h) in C ↓ A such that it is a strong map in C.isomorphism.Then Ef : Ig → Ih is an

CHAPTER 2. TRANSFORMING BICATEGORIES 12∆. Let us consider the following diagram (that we will show to be commutative).Be gX k lIgϕfEfθm g Ce hIhm hAhLet us rst show that Ef is a monomorphism. Let us suppose that (Ef) ◦ h = (Ef) ◦ k. Thus the lower leftpart of the diagram commutes and, as m g is a monomorphism, k = l.As f is a strong map, ϕ exists and cuts the square in two commutative triangles, thus h factorises throughthe monomorphism m g . and therefore, by property of the image, θ exists and makes the two surroundingtriangle commute.But then m h ◦ (Ef) ◦ θ = m g ◦ θ = m h . As m h is a monomorphism, θ is right inverse to Ef that is amonomorphism and thus an isomorphism.□And now the second hypothesis.Lemma 2.2.14 :Let f : B → A be a monomorphism in C, then e f is an isomorphism.∆. Let us consider the following commutative diagram.m fA fm ff If θ e BfidBe fe f IfAs f is a monomorphism, and as it factorises through itself, we have the existence of θ. But then we haveθ ◦ e f = id. Moreover, e f ◦ θ veries the same property with respect to the image of f than the identity andthus e f ◦ θ = id.□We can now dene the bicategory of relations.Theorem 2.2.15 (Rel C ) :The relations in C form a bicategory with composition I(_ ⊙ _) and identities the identity span.∆. It is a consequence of theorem (2.1.1). All necessary hypothesis are shown to hold in the precedinglemmas. Indeed, lemma (2.2.11) denes the necessary endofunctor on homcats. As e is extremal, lemma(2.2.12) implies that e ⊙ id is strong and lemma (2.2.13) that E(e ⊙ id) is an isomorphism (and symmetricallywith e on the right). Finally, lemma (2.2.14) implies that for all g : C → A, e E(C,g) = e mg is anisomorphism.To be sure that all relations are present in the homcats and that the identity is indeed the identity span, weonly have to x the canonical image of a monomorphism to be the monomorphism itself.□

Chapter 3Polarized spansThe basis of these results were inspired by [FP09], in particular the notion of innocence we use here is theirs.3.1 Unsynchronised spansIn all that follows, we will work in E p (but the same story can be told in E pr ).What we are aiming at is rst to dene a category of spans where the two maps have disjoint domains.Such spans would not only represent a map into the product, but also a map into the co-product, which isthe object they study in [FP09]. But the usual composition of spans do not preserve the disjoint domainproperty, and so we have to dene a "pullback" a little smaller.Denition 3.1.1 (Pullback without undened synchronisation) :Let f : A ⇀ C and g : B ⇀ C be two spans with a same co-domain and letPp A Ap B f B g Cbe their pullback. Let P ′ be the sub event structure of P that consists of all events e such that for all e ′ ∈ ⌈e⌉,if p A (e ′ ) ↓ and p B (e ′ ) ↓ then f ◦ p A (e ′ ) ↓ (or equivalently g ◦ p B (e ′ ) ↓). As P ′ is down-closed, p A and p Brestrict to partial maps of event structures on P ′ .P ′ is called the pullback of f and g without undened synchronisation.13

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 14Theorem 3.1.2 :The pullback without undened synchronisation veries the following "universal" property.Let us consider the commutative squareQq A Aq B f B g Cwhere for all e ∈ Q, if q A (e) ↓ and q B (e) ↓ then f ◦ q A (e) ↓ (or equivalently g ◦ q B (e) ↓).Then there exists a unique map h such thatQq BhP ′q Ap A Ap B f B g Ccommutes.∆. By universal property of the pullback there exists a unique map h : Q ⇀ P such that the diagramcommutes. It suces to show that Ih ⊆ P ′ to have what we want.Let e ′ e ∈ Ih. Then there exists q ∈ Q such that h(q) = e. But as h(⌈q⌉) is down-closed there existsq ′ ∈ Q such that h(q ′ ) = e ′ . If p A (e ′ ) ↓ and p B (e ′ ) ↓ then as the diagram commutes, q A (q ′ ) ↓ and q B (q ′ ) ↓and thus f ◦ p A (e ′ ) = f ◦ q A (q ′ ) ↓.□Let us now prove two technical lemmas that will be useful later on.Lemma 3.1.3 :Let P be the pullback without undened synchronisation of f : A ⇀ C and g : B ⇀ C and let x ∈ P .Let (a, _) and (_, b) be maximal elements of these forms in x (we call a a maximal left element of xand b a maximal right). Then it is impossible that f(a) ↑ and g(b) ↑.∆. First of all, one of (a, _) and (_, b) must be the top element of x. If both are, then (a, b) is the topelement of x and thus, as P is without undened synchronisation, f(a) ↓ and g(b) ↓.Let us now suppose that the top element of x is (a, ⋆). Then (b, _) (a, ⋆) and thus there exists c such that(_, b) (c, ⋆) (a, star) as (_, b) is maximal of this form. But then lemma (1.4.5), implies that p A (_, b) ↓,and thus as P is without undened synchronisation, g(b) ↓.The proof is symmetric if the top element of x is (⋆, b).□Lemma 3.1.4 :The pullback without undened synchronisation of a rigid map is rigid.∆. Let us consider the following undened pullback where g is rigid.Pp A Ap B f B g C

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 15and let x, y ∈ P such that x y, p A (x) ↓ and p A (y) ↓. Let us prove by induction on the number of eventsbetween x and y that p A (x) p A (y).If x = y the result is trivial.If x y, then lemma (1.4.5) implies that p A (x) p A (y) (and we have nished) or p B (x) p B (y). But thenas g is rigid and the diagram commutative, f ◦ p A (x) f ◦ p A (y) and thus because of lemma (1.1.4),p A (x) p A (y).If there exists z ∈ P such that x < z < y such that p A (z) ↓ then by induction p A (x) p A (z) p A (y).Finally, if we are in none of the above cases, let x ′ and y ′ ∈ P such that x x ′ y ′ y. Then lemma (1.4.5)implies that p B (x) p B (x ′ ) and p B (y ′ ) p B (y).Let us show by induction that p B (x ′ ) p B (y ′ ). If they are equal, then it is clear. Else, let x ′′ ∈ P suchthat x ′ x ′′ , then as only p B (x ′′ ) can be dened, lemma (1.4.5) implies that p B (x ′ ) p B (x ′′ ) and, as byinduction p B (x ′′ ) p B (y ′ ) we have what we want.This implies that p B (x) p B (y). As P is without undened synchronisation, we must have g ◦ p B (x) ↓ andg ◦ p B (y) ↓. As g is rigid, g ◦ p B (x) g ◦ p B (y) and thus by commutativity, f ◦ p A (x) f ◦ p A (y). Therefore,as lemma (1.1.4) states that f must reect order on congurations, p A (x) p A (y).□Now that we have dened a modied "pullback" with the right properties, we can dene the compositionthat interests us, the one that will preserve the disjoint domain property. And of course show that it denesa new bicategory of spans.Denition 3.1.5 (Unsynchronised composition) :Let s 1 : A ⇆ B and s 2 : B ⇆ C be two spans, their unsynchronised composition s 2 ɵ s 1 : A ⇆ C is builtaccording to gure (2.1) where P is the pullback without undened synchronisation.Denition 3.1.6 (Span ɵ) :Let Span ɵbe the bicategory where 0-cells are event structures, 1-cells are spans, 2-cells are span morphism.The span compose according to ɵ and the identity are the identity spans.∆. First let us consider θ : s ⇒ s ′ and ϕ : t ⇒ t ′ and thus the following diagrampP pTS S f gT A θ B ϕ C T ′S ′ f ′ P ′Let us suppose we have x ∈ P such that θ ◦ p S (x) ↓ and ϕ ◦ p T (x) ↓. Then as P is without undenedsynchronisation f ◦ p S (x) ↓ and g ◦ p T (x) ↓. As the diagram commutes f ′ ◦ θ ◦ p S (x) ↓ and g ′ ◦ ϕ ◦ p T (x) ↓and thus there is a span morphism from t ɵ s to t ′ ɵ s ′ , let us call it ϕ ɵ θ. The proof that ɵ is a functor isthe same that when one considers a normal pullback.Let us now consider s 1 , s 2 and s 3 that are composable and let us consider the diagramS 1Tt 1P g ′ R r2 r 1 Q q 1 p 2S 2 S 3 g 2 f 3A B C Dq 2t 2

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 16Let x ∈ R such that r 1 (x) ↓ and q 2 ◦ r 2 (x) ↓. Then, as R is without undened synchronisation, q 1 ◦ r 2 (x) ↓and thus f 3 ◦ q 2 ◦ r 2 (x) ↓. Thus there is a unique map from R to T such that the right triangles commutes(and thus it is a span morphism).Let now x ∈ T such that p 2 ◦t 1 (x) ↓ and t 2 (x) ↓. Then, as T is without undened synchronisation, f 3 ◦t 2 (x) ↓.Thus there is a unique map h from T to Q such that the right triangles commutes. In particular q 1 ◦h = p 2 ◦t 1 .Let x ∈ T such that h(x) ↓ and t 1 (x) ↓. Because of lemma (1.4.4), q 1 ◦ h(x) ↓ or q 2 ◦ h(x) ↓. Let us supposeq 2 ◦ h(x) ↓, then as q 2 ◦ h = t 2 and T is without undened synchronisation, g 2 ◦ p 2 ◦ t 1 (x) ↓ and thus for thediagram to commute g 1 ◦ h(x) ↓. Thus in all cases g 1 ◦ h(x) ↓ and thus there is a unique map from T to Rsuch that the right triangles commute (and thus it is a span morphism).The proof that those two span morphism are inverse and that the isomorphism is natural is the same aswhen one considers a normal pullback. As the situation is symmetric we deduce a natural isomorphismbetween s 3 ɵ(s 2 ɵ s 1 ) and (s 3 ɵ s 2 ) ɵ s 1 . The fact that the pentagon commutes is also given by the usualproof.Let us now considerS p P id S 1p 2fS B idBg id BA B BLet x ∈ S such that g(x) ↓, then g ◦ id S (x) ↓ and thus there is a unique map from S to P such that theright triangles commutes. The proof that its inverse is p 1 and that they form a natural isomorphism is thesame as when P is the usual pullback. The existence of the isomorphism with the identity on the left issymmetrical. Finally the commutativity of the triangle is proved as if we were using usual pullbacks. □Disjoint domain spans now make sense, as will show the following lemma.Denition 3.1.7 (Disjoint domain spans) :Let s := (f, S, g) be a span in E p . It is said to be a disjoint domain span if D f ∩ D g = ∅.Lemma 3.1.8 :Let s 1 and s 2 be two composable spans such that s 1 (or s 2 ) is a disjoint domain span, then s 2 ɵ s 1 is adisjoint domain span.∆. Let x ∈ D f1 ◦p S∩ D f2 ◦p T, then it implies a fortiori that p S (x) ↓ and p T (x) ↓ and thus that g 1 ◦ p S (x) ↓.But that implies that p S (x) ∈ D f1 ∩ D g1 and thus that s 1 is not a disjoint domain span. Moreover thesymmetric proof shows that s 2 is not either.□We will now dene, and prove the composition of, the notion of determinacy in a span. It states that in adeterministic span, no consistent output can come from an inconsistent input.Denition 3.1.9 (Deterministic span) :A span s := (f, S, g) is deterministic, if for all X ⊆ f S down-closed, such that f(X) is a conguration, thenX is a conguration.Theorem 3.1.10 :Let s 1 and s 2 be two composable deterministic spans, then s 2 ɵ s 1 is a deterministic span.∆. Let us consider the diagram of gure (2.1).Let X ⊆ f P down-closed, such that f 1 ◦ p S (X) ∈ C o (A). Let us rst prove that p S (X) is down-closed. Letp S (x) ∈ p S (X) and y S x then as p S (⌈x⌉) is a conguration it contains ⌈p S (x)⌉ and thus y ∈ p S (⌈x⌉), butthat implies that there exists z ∈ ⌈x⌉ ⊆ X such that y = p S (z). Thus y ∈ p S (X). Symmetrically, p T (X) isdown-closed.g

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 17Moreover, f 1 (p S (X)) ∈ C o (A) and thus, as s 1 is deterministic, p S (X) ∈ C o (S). But that implies thatf 2 (p T (X)) = g 1 (p S (X)) ∈ C o (B) and thus, as s 2 is deterministic, p T (X) ∈ C o (T ).To show that X is consistent (and thus a conguration), we have to show that ⋃ X ∈ C o (S) × C o (T ). AsP is a sub event structure of the pullback, that is itself a sub event structure of the product, that will thenimply that X ∈ C o (P ).First π S ( ⋃ X) = ⋃ x∈X π S(x). Let us show that it is equal to p S (X). Let x ∈ X, then it is of the form ⌈e⌉ yfor some e and y. Then p S (x) = . η −1 (⌈π S (e)⌉ πS (y)) = . π S (e) ∈ π S (⌈e⌉ y ) = π S (x). Thus p S (X) ⊆ ⋃ x∈X π S(x).Let now x ∈ X and e ∈ x, then ⌈e⌉ x ⊆ x and as X is down-closed, ⌈e⌉ x ∈ X. Moreover, π S (e) = . p S (⌈e⌉ x )and thus ⋃ x∈X π S(x) ⊆ p S (X).As we have show earlier, π S (X)C o (S) and thus π S ( ⋃ X) ∈ C o (S). Symmetrically, π T ( ⋃ X) ∈ C o (T ).Let us now consider e 1 , e 2 ∈ ⋃ X. Then there exists x 1 , x 2 ∈ X such that e 1 ∈ x 1 and e 2 ∈ X 2 . If e 2 ∉ x 1then x 1 is such e 1 ∈ x 1 ⇐⇒ e 2 ∉ x 1 . Moreover, as x 1 is a conguration of the product, by denition,π S (x 1 ) ∈ C o (S) and π T (x 1 ) ∈ C o (T ). If e 2 and e 1 ∈ x 1 , then by denition of x 1 there exists y ⊆ x 1 ⊆ ⋃ Xsuch that π S (y) ∈ C o (S), π T (y) ∈ C o (T ) and e 1 ∈ y ⇐⇒ e 2 ∉ y.Finally, let us suppose π S (e 1 ) = π S (e 2 ) (and both dened), then if e 1 is of the form (s 1 , t 1 ) because X ⊆ P ,it implies that g 1 (s 1 ) ↓. But then g 1 (p S (e 2 )) ↓ too and thus f 2 (p T (e 2 )) ↓. In particular, p T (e 2 ) ↓. But thenwe have f 2 (p T (e 2 )) = g 1 (p S (e 2 )) = g 1 (s 1 ) = f 2 (t 1 ) and thus, as f 2 is locally injective, p T (e 2 ) = t 2 . If e 1 isof the form (s 1 , ⋆) then, because the previous proof is symmetric, e 2 must be of the form (s 2 , ⋆). And thusin both cases e 1 = e 2 .As S and T play symmetric roles, p T is injective too and ⋃ X is a conguration of the product. □3.2 PolarisationAs we have stated in our introduction, the games we consider are between two opponents, that have theirown moves in the game. To mark to whom belongs each move, will use a polarisation function. Positivemoves will be program (player) moves and negative will be environment (opponent) moves. There is also aneutral polarisation to mark internal calculations (in particular those that appear during composition).Denition 3.2.1 (Polarised event structure) :A polarised event structure (E, θ E ) is an event structure E along with a total map θ E : E → {−, ⋄, +}. It issaid to be strictly polarised when for all e ∈ E, θ E (e) ≠ ⋄.A partial map f : (E, θ E ) ⇀(F, θ F ) of polarized event structure is a partial map of event structures such thatfor all e ∈ E such that f(e) ↓ and θ E (e) ≠ ⋄, θ F (f(e)) = θ E (e).It is said to be strict if the equality also holds if θ E (e) = ⋄.Polarised event structures and partial maps form a category E ± p . Let us describe the product in this category.Denition 3.2.2 (Product in E ± p ) :Let (E, θ E ) and (F, θ F ) be two polarised event structures, let x ∈ E × F and let θ E×F (x) be given accordingto θ E (p E (x)) and θ F (p F (x)) and the following table+ − ⋄ ↑+ + ⋄ ⋄ +− ⋄ − ⋄ −⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄↑ + − ⋄Theorem 3.2.3 :The polarised event structure (E × F, θ E×F ) is the product of E and F in E ± p .

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 18∆. First, the table has been built such that p S and p T are maps of polarised event structures.Second let us consider two maps f : X ⇀ E and g : X ⇀ F in E ± p . Then, as E × F is a product in E p , wehave a unique mediating map h such thatfX g hE E × F p EpFFcommutes. We only need to show that this map h respects polarisation.Let x ∈ X such that θ X (x) = +, then if f(x) ↓ and g(x) ↓ then θ E (f(x)) = + and θ F (g(x)) = + andthus, because the diagram commutes θ E (p E (h(x))) = θ F (p F (h(x))) = + and thus θ E×F (h(x)) = +. Now,if one of them is undened, let us say g(x) ↑ and f(x) ↓, then because of commutativity p F (h(x)) ↑ andθ E (p E (h(x))) = + and thus θ E×F (h(x)) = +. Finally, if both are undened, then p E (h(x)) ↑ and p F (h(x)) ↑but as, according to lemma (1.4.4), E × F does not contain elements where both projections are undened,h(x) ↑.The same holds if θ X (x) = −.□This product allows us to dene pullbacks without undened synchronisation in E p± as previously, and thusSpan ± ɵ , the category of unsynchronised spans in E± p .As one could guess, adding polarity leads us naturally to dening a dual. It will allow us in particular todene maps that reverse parity.Denition 3.2.4 (_ ⊥ ) :Let (A, θ A ) be a polarized event structure. Let + ⊥ := −, − ⊥ := + and ⋄ ⊥ := ⋄, nally let A ⊥ be the polarisedevent structure (A, θ ⊥ A ).Moreover, let f : A ⇀ B be a partial map of polarised event structure, then f is also a map of polarised eventstructure from A ⊥ to B ⊥ , noted f ⊥ .It is evident that _ ⊥ is a functor. Furthermore, it is an involution.Let us now dene polarised spans. They are our rst step toward strategies.Denition 3.2.5 (Polarised spans) :Let A and B be two strictly polarised event structures. A polarized span from A to B is a disjoint domainspan (f, S, g) : A ⊥ ⇆ B such that f and g are strict and such that if x ∉ D f ∪ D g then θ S (x) = ⋄.Denition 3.2.6 (Composition of polarised spans) :Let (A, θ A ) be a polarised event structure, and let A ⋄ be (A, θ ⋄ ) where for all a ∈ A, θ ⋄ (a) = ⋄. Then theidentity is a polarised map from A ⋄ to A (or to A ⊥ ). Let us write s A : A ⇆ A ⊥ for the spanAA ⋄ idid A ⊥Let now s 1 : A ⊥ ⇆ B and s 2 : B ⊥ ⇆ C be two spans in E ± p . Then s 2 ◫ s 1 := s 2 ɵ s B ɵ s 1 (one may choosewhich ever way to put the parenthesis, it is the same up to span isomorphism).One may notice that this composition can also be seen as1. Compose the two spans in E ± p forgetting about polarity (thus the left event structure of s 1 and theright of s 2 are indeed the same)

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 19Sf 1 g 11 Rr 1 Pp 1 p 2r 2 Q q 2 S r 2B f g 22 B ⋄l B A ⊥ B B ⊥ CFigure 3.1: Composition of polarised spansq 12. Put the polarity back on the pullback without undened synchronisation using the table given beforeWe need, of course, to show that polarised spans are stable under the composition we just dened.Lemma 3.2.7 :Let s 1 and s 2 be two composable polarised spans. Then s 1 ◫ s 2 is polarised.∆. By lemma (3.1.8), s 1 ◫ s 2 is a disjoint domain span. We only have to show that the two arrows of thespan are strict. Let us consider the diagram of gure (3.1).Let x ∈ R, if r 1 (x) ↓ and r 2 (x) ↓, then p 2 ◦r 1 (x) ↓ and q 1 ◦r 2 (x) ↓ and are equal. And thus as in B ⋄ everythinghas polarity ⋄, θ P (r 1 (x)) = ⋄ and θ Q (r 2 (x)) = ⋄. Thus θ R (x) = ⋄. Moreover, as l B is total and the squarescommute, g 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↓ and thus as s 1 is a disjoint domain span f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↑. For symmetric reasong 2 ◦ q 2 ◦ r 2 (x) ↑.Now if r 2 (x) ↑, then because of lemma (1.4.4), we have r 1 (x) ↓. If p 2 ◦ r 1 (x) ↓, then for the square tocommutes, we must have r 2 (x) ↓ which contradicts the hypothesis, thus p 2 ◦ r 1 (x) ↑. But then, once morebecause of lemma (1.4.4), p 1 ◦ r 1 (x) ↓. Now, if θ S (p 1 ◦ r 1 (x)) = ⋄, then θ R (x) = ⋄, and, as s 1 is a polarisedspan, f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↑, or else it would have polarity ⋄, but there is no ⋄ in A.If θ S (p 1 ◦ r 1 (x)) = + then θ R (x) = +. If g 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↓, then for the square to commute, we would havep 2 ◦ r 1 (x) ↓, but we have already shown this impossible. Thus g 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↑, but because s 1 is polarised,we must have f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↓. As the case is symmetric when θ S (p 1 ◦ r 1 (x)) = −, and symmetric if r 1 (x) ↑,we have proved that s 2 ◫ s 1 is polarised.□Let us now dene a number of properties that can have the polarised spans, and show that each composes.The rst of them, innocence is the most important, because it will be central in dening the category Span Inn .The other will only be needed to characterise the spans that represent simple games in chapter 5.Denition 3.2.8 (Innocence) :A polarised span s := (f, S, g) is innocent if for all x, y ∈ S such that x y and θ(x) = + or θ(y) = −, thenthere exists h among f and g such that h(x) ↓, h(y) ↓ and h(x) h(y).Lemma 3.2.9 :Let s 1 and s 2 be two composable innocent spans, then s 2 ◫ s 1 is an innocent span.∆. Let us consider the diagram of gure (3.1) and let x, y ∈ R such that x y and θ R (y) = −, the proofof lemma (3.2.7) has shown that f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (y) ↓ and that r 2 (y) ↑, p 2 ◦ r 1 (y) ↑, and g 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (y) ↑ (orsymmetrically on the right).Lemma (1.4.5) applied to R and P implies that p 1 ◦ r 1 (x) p 1 ◦ r 1 (y). But as θ S (p 1 ◦ r 1 (y)) = −, innocenceof s 1 implies that f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (y).The proof is identical (reversing the role of x and y) if θ R (x) = +.□Denition 3.2.10 (Filiform event structures) :An event structure E is said to be liform if for all e ∈ E, ⌈e⌉ is totally ordered.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 20pP 1 p2S 1 Sf g 2 11 f g 22 A B CFigure 3.2: The othe way to see the compositionA span (f, S, g) is said to be liform if S is.One may notice that an event structure is liform, if and only if each event has at the most one directpredecessor. The full subcategory of liform event structure in E p is called Fil p and that of E pr is called Fil pr .Lemma 3.2.11 :let s 1 and s 2 be two innocent and liform spans. Then s 1 ◫ s 2 is liform.∆. Let us consider the diagram of gure (3.2) and let x, y and z in P such that x and y are both directpredecessors of z. Then lemma (1.4.5) implies the projection of x must be directly before that of z on oneside (and similarly for y).Let us suppose rst that p 1 (x) p 1 (z) and p 1 (y) p 1 (z) (or symmetrically on the right). Then as s is liform,we must have p 1 (x) = p 1 (y) and as x and y are consistent, local injectivity implies that x = y.Now if p 1 (x) p 1 (z) but p 2 (y) p 2 (z), then g 1 ◦ p 1 (z) and f 2 ◦ p 2 (z) are both dened and equal, and as f 2reverses parity (it goes into the dual) and B is strictly polarised, one of p 1 (z) and p 2 (z) is negative. Let ussuppose p 2 (z) is. Then, as s 2 is innocent f 2 ◦p 2 (x) is dened and thus, for the square to commute, g 1 ◦p 1 (x) ↓and g 1 ◦ p 1 (x) g 1 ◦ p 1 (z). But then lemma (1.1.4) implies that p 1 (x) p 1 (z) and lemma (1.1.5) impliesthat p 1 (x) p 1 (z). Thus we are back in the rst case.□Denition 3.2.12 (Alternation) :A polarised event structure E is said to be alternating if for all non neutral x, y ∈ E such that all eventsbetween them are neutral, then θ E (x) = θ E (y) ⊥ .A polarised span (f, S, g) is said to be alternating if S is.Lemma 3.2.13 :Let A and B be two alternating strictly polarised event structure and let (f, S, g) be an innocent spanfrom A to B. Then S is alternating.∆. Let us suppose we have x and y ∈ S be both positive such that x y and there are only neutral betweenthem. Then let z ∈ E such that x z y. Then as the span is innocent, we can suppose g(x) g(z) (theother case is identical). As g(x) is positive and B is strict and alternating, h(z) is negative. But then zmust be negative too. This contradicts the fact that z is neutral or positive.The case when x and y are both negative is treated in the same manner.□Denition 3.2.14 (Concreteness) :A polarised event structure is said to be concrete if all pairs of positive events with a common direct predecessorare in conict.A polarised span (f, S, g) is said to be concrete if S is.Lemma 3.2.15 :Let s 1 and s 2 be two innocent and concrete spans, then s 2 ◫ s 1 is concrete.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 21∆. Let us consider the diagram of gure (3.1). Let x, y ∈ R both positive, such that they have a commondirect predecessor z. The proof of lemma (3.2.7) has shown that r 1 (x) and r 2 (x) cannot be both dened(and identically for y).Let us rst suppose that r 1 (x) ↓ and r 1 (y) ↓. Then lemma (1.4.5) implies that p 1 ◦ r 1 (z) p 1 ◦ r 1 (x) andp 1 ◦r 1 (z) p 1 ◦r 1 (y). Moreover p 1 ◦r 1 (x) and p 1 ◦r 1 (y) are both positive and thus, as s 1 is concrete, p 1 ◦r 1 (x)and p 1 ◦ r 1 (y) are in conict. Therefore x and y are in conict.The case on the right is identical, let us now consider the case when r 1 (x) ↓ and r 2 (y) ↓ (or symmetrically).Lemma (1.4.5) implies that p 1 ◦ r 1 (z) p 1 ◦ r 1 (x) and q 2 ◦ r 2 (z) q 2 ◦ r 2 (y). But then p 2 ◦ r 1 (x) ↓ and thusl B ◦ p 2 ◦ r 1 (x) and r B ◦ p 2 ◦ r 1 (x) must have dierent polarities, thus one of them must be positive. We cansuppose without loss of generality that l B ◦ p 2 ◦ r 1 (x) is, then as g 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (z) = l B ◦ p 2 ◦ r 1 (z), p 1 ◦ r 1 (z)is positive too. But as s 1 is innocent, we must have g 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↓. But the proof of lemma (3.2.7) showsthat, as x is positive and r 1 (x) ↓, then f 1 ◦ p 1 ◦ r 1 (x) ↓, this contradicts the fact that s 1 is a disjoint domainspan.□Denition 3.2.16 (Rigid span) :A polarised span (f, S, g) is said to be rigid if f and g are.Lemma 3.2.17 :Let s 1 and s 2 be two rigid spans, then s 2 ◫ s 1 is rigid.∆. This result is an immediate consequence of lemma (3.1.4), i.e. that rigid map are preserved by pullbackwithout undened synchronisation, and the fact that rigid maps compose.□3.3 The identity problem, or why restrict to visible parts onlyDisjoint domain spans cannot be seen as a sub bicategory of Span ɵ, indeed the identity span has not disjointdomains. Moreover, there is no identity for disjoint domain spans in general, we have to restrict to innocentones. But then remains the problem that ɵ produces internal synchronisation events that we have to getrid of to have identities, thus we need to change a little the composition we use.Denition 3.3.1 (Visibility and the V functor) :Let s := (f, S, g) be a span in E p . We say that an event e ∈ S is visible if either f(e) ↓ or g(e) ↓. The spans is said to be fully visible if all the elements of S are visible.Let S ′ be the sub event structure of S that contains all the visible events and let us write Vs := (f S ′, S ′ , g S ′)for the visible part of s. It is indeed a span in E p , it is called the visible part of s.Moreover, let θ : s ⇒ t and let e ∈ S be visible. Then θ(e) must be dened for the diagram to commute andit must be visible. Thus θ restricts to a span morphism Vθ : Vs ⇒ Vt.Finally, the map from S to S ′ that is the identity on visible objects is a span morphism, that we call ℘, froms to s ′ that is obviously natural in s.One may remark that we have proved that for all span morphism θ, Vθ is total. This endofunctor V will beused in a extremity construction, thus we have to prove the two hypothesis.Lemma 3.3.2 :Let s be a span, then ℘ Vs is an isomorphism.∆. Indeed, Vs as only visible events and thus restricting to visible events does not change the span, thus℘ Vs is the identity.□The second one needs a little more work. The following lemmas are technical results that help show it. Weshall admit them, as they need detailed, and rather uninteresting, proofs.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 22Lemma 3.3.3 :Let e ∈ E ± p (A, B). It is an extremal map if and only if it is rigid, strictly polarised and surjective onnite congurations.Lemma 3.3.4 :Let e ∈ E ± p (A, B). It is a monomorphism if and only if it is injective on congurations.Lemma 3.3.5 :Extremal maps are preserved under pullback without undened synchronisation.Lemma 3.3.6 :Let θ be span morphism that is extremal, then Vθ is extremal too.Lemma 3.3.7 :The pullback without undened synchronisation of an injection is an injection.Lemma 3.3.8 :Let θ be span morphism that is injective, then Vθ is injective too, and thus a monomorphism.We can now show the second hypothesis of the extremity construction.Lemma 3.3.9 :Let s and t be two spans, then V(℘ s ɵ id t ) and V(id t ɵ ℘ s ) are isomorphisms.∆. Let us consider the diagram of gure (2.2) where θ = ℘. Let us suppose that for all y ∈ X, if x S (y) ↓and x P (y) ↓ then p T ◦ x P (y) ↓. Then let us suppose that we have y ∈ X such that x S (y) ↓ and p U ◦ x P (y) ↓,then p T ◦ x P (y) ↓ and thus, as P is without undened synchronisation, f U ◦ p U ◦ x P (y) ↓. Thus there existsa map ϕ : X → Q such that q U ◦ ϕ = p U ◦ x P and q S ◦ ϕ = x S . The rest of the proof proceeds like in lemma(2.2.12) to show that this square is a pullbackQ ℘ ɵ id Pq S p T S ℘ TAs it is clear that ℘ is injective and an extremal map (see characterisation of lemma (3.3.3)) and thus,according to the list of preservation lemmas (from (3.3.5) to (3.3.8)), V(℘ ɵ id) is a monomorphism andan extremal map. It is therefore an isomorphism.□We can now dene the composition (and the bicategory that goes with it) that correspond in game semanticsliterature to parallel composition (here, taking the pullback without undened synchronisation) and hiding(here, forgetting the invisible events).Denition 3.3.10 (VSpan ± ɵ ) :Let VSpan ± ɵbe the bicategory where 0-cells are polarised event structures, 1-cells are fully visible spans and2-cells are span morphisms. The composition is s t := V(s ɵ t) and the identities are the identity spans.∆. The existence of this bicategory follows from theorem (2.1.1). The necessary hypothesis are proven inlemmas (3.3.9) and (3.3.2).□In this category of fully visible spans, we have a composition of polarised spans, that we write ⧆.Even with hiding, innocence will not be enough to have an identity for polarised spans and the ⧆ composition.We need to introduce two new span properties, and as usual show that they compose.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 23Denition 3.3.11 (Negative saturation) :Let s := (f, S, g) be a span of polarised event structures from A to B, we say that s is negatively saturatedwhen, for all X ∈ C o (S), if f(X) has a negative extension, i.e. there exists Y ∈ C o (A ⊥ ) such that X ⊆ Yand θ A ⊥(Y \ f(X)) = {−}, then there exists X ′ ∈ C o (S) such that X ⊆ X ′ and f(X ′ ) = Y ; and identicallyfor g.Lemma 3.3.12 :Let s 1 and s 2 be two composable innocent negatively saturated spans, then s 2 ◫ s 1 is negatively saturated.∆. Let us consider the composition diagram of gure (3.2). Let X ∈ C o (P ) such that f 1 ◦ p 1 (X) has anegative extension Z in A ⊥ (the case on the right is symmetric, if not a little simpler because their is nodual to account for). But then p 1 (X) ∈ C o (S 1 ) and thus as s 1 is negatively saturated, there exists Y ∈ C o (S)such that p 1 (X) ⊆ Y and f 1 (Y ) = Z. Let us suppose that Y is a minimal such conguration.Let y ∈ Y \ p 1 (X). Then there is no y ′ ∈ y such that y y ′ and f 1 (y ′ ) ↓, then Y would not be minimal,Y ′ = Y \{y ′ ∈ Y | y y ′ } would also be a conguration such that f 1 (Y ′ ) = Z. Thus there is a y ′ ∈ Y suchthat y y ′ and f 1 (y ′ ) ↓. If f 1 (y) ↑, then there exists z, z ′ ∈ Y such that y z z ′ y ′ , f 1 (z) ↑ and f 1 (z ′ ) ↓.But then as y ∈ Y \ p 1 (X), f 1 (z ′ ) ∈ Z \ f 1 ◦ p 1 (X) and thus it is negative. as f 1 preserves polarity (into thedual), z ′ is also negative. Thus the innocence of s 1 is contradicted. Therefore f 1 (y) ↓.Let X ′ := X∪{(y, ⋆) | y ∈ Y \ p 1 (X)}, it is a conguration of the pullback without undened synchronisationthat veries X ⊆ X ′ and f 1 ◦ p 1 (X ′ ) = f 1 (Y ) = Z.□Denition 3.3.13 (Negative coincidence) :Let s := (f, S, g) be a span of polarised event structures and let x, y ∈ S. We say that x and y are coincidentif ⌊x⌋ = ⌊y⌋, f(x) . = f(y) and g(x) . = g(y).We therefore say that a span is negative coincidence free if there are no distinct events that are both negativeand coincident.Lemma 3.3.14 :Let s 1 and s 2 be two composable innocent negative coincidence free spans, then s 2 ◫ s 1 is negativecoincidence free.∆. Let us consider the composition diagram of gure (3.2). Let x, y ∈ P negative with the same stricthistory, such that f 1 ◦ p 1 (x) and f 1 ◦ p 1 (y) both dened and equal (once more the case on the right is thesame).Then, let us show that p 1 (x) and p 1 (y) have the same strict history. Let z p 1 (x), then as p 1 (x) is negative,innocence implies that f 1 (z) ↓ and that f 1 (z) f 1 ◦ p 1 (x) = f 1 ◦ p 1 (y). Thus there is a z ′ p 1 (y) such thatf 1 (z ′ ) = f 1 (z).But then there are t, t ′ ∈ ⌊x⌋ = ⌊y⌋ such that p 1 (t) = z and p 1 (t ′ ) = z ′ . These two events have the sameimage by f 1 ◦ p 1 and are consistent, thus they are equal. Therefore z = z ′ and z p 1 (y). We have thereforeproved that ⌊p 1 (x)⌋ ⊆⌊p 1 (y)⌋. As the problem is symmetric, we have indeed that ⌊p 1 (x)⌋ = ⌊p 1 (y)⌋. Thusthey are negative and coincident, they must be equal.By hypothesis, we knew that x and y were composed of the same elements except for their top one (let usremember that x and y are prime of the product of stable families, thus sets). We have proved that theirtop element is (p 1 (x), ⋆) = (p 1 (y), ⋆), and therefore x = y.□We have not shown so far that taking the visible part of a span preserved all the properties that span canhave. Let us do this now.Lemma 3.3.15 :Let s be a polarised span then its visible part is a polarised span. Moreover, all the following propertiesare preserved when going from a span to its visible part : innocent, negatively saturated, negativecoincidence free, deterministic, liform, concrete.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 24∆. All these properties concern the events on which the span is dened. Forgetting the internal events thusdo not change a thing.□As the identity span is not a polarised span, we have not dened yet what may be the identity for polarisedspans. It is the copycat span that we dene now.Denition 3.3.16 (Copycat span) :Let (A, θ A ) be a strictly polarised event structure. Let e in A, we will note e ⊥ the element e of A ⊥ andsymmetrically for e ∈ A ⊥ .Let C A := A ⊥ ⊔ A, let l A : C A ⇀ A ⊥ be the map that is the identity on A ⊥ and undened on A andr A : C A ⇀ A be the map that is the identity on A and undened on A ⊥ .Let CA be the transitive closure of A , A ⊥ and a − CA a + for all a ∈ C A . Let X ⊆ C A , then X = Y ⊔ Zwhere Y ⊆ A ⊥ and Z ⊆ A. If we forget the polarities, Y and Z are both subsets of A. We say that X isconsistent if Y ∪ Z ∈ C A . This denes an event structure on C A .Then cc A := (l A , C A , r A ) is a fully visible polarised span, innocent, negatively saturated and negative coincidencefree.Let us now show what is probably the most technical lemma of this report, but at the same time a fundamentalone. It characterises the spans that are interesting, that is those for which copycat is the identity.Lemma 3.3.17 :Let s be a fully visible polarised span. Then vis(s ⧆ cc) and V(cc ⧆ s) are isomorphic to s if and onlyif s is innocent, negatively saturated and negative coincidence free.∆. Let us consider the following composition diagram (we consider the composition as in the remark followingdenition (3.2.6), for the sake of simplicity).Sf Pp 1 p 2 gC Bl r A B BThe proof of lemma (3.2.7) has shown that the elements in P are of four types : ⌈(e, b)⌉ X , ⌈(e, ⋆)⌉ X ,⌈(⋆, b + )⌉ X and ⌈(⋆, b − )⌉ X . We will dene a map θ : P → S considering those four cases.First, θ(⌈(e, b)⌉ X ) ↑. Secondly, θ(⌈(e, ⋆)⌉ X ) = e.Thirdly, let us consider an element of the form ⌈(⋆, b + )⌉ X . Then, as p 2 (X) is a conguration that containsb + , by denition of copycat (and as the projections must be locally injective), there is a unique element ofthe form (e, b − ) in X. Let us dene θ(⌈(⋆, b + )⌉ X ) = e. Let us show that this is well dened. If we have Ysuch that ⌈(⋆, b + )⌉ X = ⌈(⋆, b + )⌉ Y , then we have a unique element of the form (e ′ , b − ) in Y . But that impliesthat (e ′ , b − ) ∈ ⌈(⋆, b + )⌉ Y = ⌈(⋆, b + )⌉ X , thus e = e ′ .Fourthly, let us consider an element of the form ⌈(⋆, b − )⌉ X .Lemma 3.3.18 :There exists Y ∈ C o (P ) such that X ⊆ Y and ⌈b − ⌉ ⊆ g ◦ p 1 (Y ).∆. Let us suppose that a ∈ ⌈b − ⌉ is minimal such we have not constructed a Y ∈ C o (P ) with X ⊆ Y and⌈a⌉ ⊆ g ◦ p 1 (Y ). As we have taken a to be minimal and as ⌈[⌉a] X is nite, we can consider that we have Y ′such that X ⊆ Y ′ and ⌊a − ⌋ ⊆ g ◦ p 1 (Y ′ ).If a is positive, then in C B we have a − a + b − b + where a − and b + are in the dual (and thus sent tothe left to a + and b − respectively). But then a − ∈ p 2 (X) and thus a + ∈ g ◦ p 1 (X). Thus Y := Y ′ veriesthe required property.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 25If a is negative. Then, if a − ∈ g◦p 1 (Y ′ ), let Y := Y ′ . Else g◦p 1 (Y ′ )∪{a} is a negative extension of g◦p 1 (Y ′ )and thus, as s is negatively saturated, there exists Z ∈ C o (S) such that p 1 (Y ′ ) ⊆ Z and g(Z) = g◦p 1 (Y ′ )∪{a}.Let us take this Z to be minimal. As shown in the proof of lemma (3.3.12) Z := p 1 (Y ′ )∪{e} where g(e) = a.And thus Y := Y ′ ∪ {(e, b + )} is a conguration.□Let Y be the extension of X given by lemma (3.3.18). We know that there is an element of the form (e, b + )in it and thus we dene θ(⌈(⋆, b − )⌉ X ) = e. ThisTo show that this e is unique, let us consider two congurations X 1 and Y 1 such that ⌈(⋆, b − )⌉ X1 =⌈(⋆, b − )⌉ X2 , then let X = ⌈(⋆, b − )⌉ X1 , it is also a conguration and it is clear that ⌈(⋆, b − )⌉ X = ⌈(⋆, b − )⌉ X1 .Let us now consider two congurations Y 1 and Y 2 that verify the lemma with respect to X 1 and X 2 respectively.Then let us show that Y 3 = Y 1 ∩ Y 2 veries the lemma with respect to X. First of all, it is clear that Y 3 is aconguration that contains X. Let us now suppose that we have a ∈ ⌈b − ⌉ minimal such that a ∉ g ◦ p 1 (Y 3 ).If a is positive, we have shown that there is an element (e, a − ) in X and thus in Y 3 . Therefore a must benegative. But we know that there exists e i ∈ p 1 (Y i ) such that g(e i ) = a for i = 1, 2.Let e ′ be a direct predecessor of e 1 , then as s is innocent, g(e ′ ) ↓ and g(e ′ ) a. But then, as a is minimal,we have e ′ ∈ Y 3 ⊆ Y 2 . Moreover, there exists e ′′ e 2 such that g(e ′′ ) = g(e ′ ), but as g is injective on Y 2 , wemust have e ′ = e ′′ e 2 . We symmetrically that all direct predecessors of e 2 are predecessors of e 1 and thuswe know that e 1 and e 2 have the same strict history. Thus they are coincident. As s is negative coincidencefree, e 1 = e 2 . Therefore a ∈ g ◦ p 1 (Y 3 ), but that is absurd. Thus Y 3 veries the required property.Let us now suppose that we have constructed θ(⌈(⋆, b − )⌉ X ) = e 1 using Y 1 and θ(⌈(⋆, b − )⌉ X ) = e 2 using Y 2 .Then we can use Y 1 ∩ Y 2 to construct yet another possible image e 3 . But e 1 and e 3 are both in Y 1 and havethe same image by p 2 thus there are equal. Symmetrically, e 2 = e 3 , and thus θ is well dened.Let us now show that θ is a map of event structures. Let X ∈ C o (P ), then by iterating lemma (3.3.18), onall elements of the form ⌈(⋆, b − )⌉ X we obtain a conguration X ′ such that{⌈(θ(z), b + )⌉ X | (⋆, b − ) ∈ X ∧ z = ⌈(⋆, b − )⌉ X } ⊆ X ′We can consider this X ′ to be minimal. Let X ′′ be X ′ \{(e, b − ) ∈ X ′ | (⋆, b + ) ∉ X ′ }. Then X ′′ is aconguration. Indeed, it is consistent as the subset of a consistent one. Let us show it is down-closed. Letz ∈ X ′′ and y X ′ z. Then, as z ∈ X ′ and X ′ down-closed, we y ∈ X ′ . If it is not of the form (e, b − ) it isstill in X ′′ . Let us now suppose it is of this form, and that it is maximal such that it is not in X ′′ .Let z ′ be such that (e, b − ) z ′ z. Lemma (1.4.5) implies that there exists i such that p i (e, b − ) p i (z ′ ).First let us suppose i = 1. As e must be positive and s is innocent, g(e) g ◦ p 1 (z ′ ). Moreover, for thesquare to commute, we must have l ◦ p 2 (z ′ ) ↓ and thus p 2 (z ′ ) ↓. Therefore b − and p 2 (z ′ ) are both in B ⊥ andsuch that l(b − ) l ◦ p 2 (z ′ ). By the denition of copycat, we must have b − p 2 (z ′ ). If p 2 (z ′ ) is positive,then b + p 2 (z ′ ) − p 2 (z ′ ) + and thus X ′ must contain (⋆, b + ). If p 2 (z ′ ) is negative, then as we have chosen(e, b − ) maximal such that it is in X ′ but not in X ′′ , z ′ must be in X ′′ and thus (⋆, p 2 (z ′ ) + ) ∈ X ′ . Thus(⋆, b + ) ∈ X ′ .Let us now suppose that i = 2. Then we have b − p 2 (z ′ ). If p 2 (z) ∈ B, the denition of copycat impliesthat p 2 (z) = b + and thus (⋆, b − ) ∈ X. If p 2 (z) ∈ B ⊥ we are back in a case we have considered before, andthus (⋆, b + ) ∈ X ′ . In all cases X ′′ contains (e, b − ), and so that is absurd.Thus we have shown that X ′′ is a conguration. Moreover θ(X) = p 1 (X ′′ ). As p 1 is a map of eventstructures, p 1 (X ′′ ) ∈ C o (S), and thus θ(X) ∈ C o (S).A rapid look at its construction shows that θ is strictly polarised. Moreover let us show it is rigid. First,let us remark that l is an extremal epimorphism and thus according to lemma (3.3.5), its pullback p 1 isextremal too. In particular, lemma (3.3.3) implies it is rigid. Let x 1 and x 2 ∈ P such that x 1 x 2and x i ↓ for i = 1, 2 (and thus they contain a ⋆). Let us show by induction on the number of eventsbetween x 1 and x 2 that θ(x 1 ) θ(x 2 ). If we have x 3 such that x 1 < x 3 < x 2 and θ(x 3 ) ↓ we can conclude

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 26immediately by induction. One other simple case is if x i = (e i , ⋆) for i = 1, 2, but then, as p 1 is rigid, wehave θ(x 1 ) = p 1 (x 1 ) p 2 (x 1 ) = θ(x 2 ).Now, if we have x 1 = (⋆, b 1 ) (⋆, b 2 ) = x 2 , lemma (1.4.5) implies that b 1 b 2 in C B , but, as the squarecommutes, they must both be in D r = B, we can conclude that b 1 b 2 in B. And thus g ◦ θ(x 1 ) g ◦ θ(x 2 ).Therefore there exists e θ(x 2 ) such that g(e) = g ◦ θ(x 1 ). But then, as theta⌈x 2 ⌉ is a conguration thatcontains θ(x 1 ) and θ(x 2 ) (and thus e), local injectivity implies that e = θ(x 1 ) and thus that θ(x 1 ) θ(x 2 ).One may remark that lemma 1.4.5 implies that we cannot have x 1 = (⋆, b 1 ) (e 2 , ⋆) = x 2 (or vice versa).Thus the last case is when x 1 is not direct predecessor to x 2 and they are only separated by elements not inD θ (and thus of the form (e, b)). We will only consider the case where x i = (⋆, b i ), as the two other cases aretreated in a similar manner. Then, there exists y 1 = (e 1 , b ′ 1 ), y 2 = (s 2 , b ′ 2 ) ∈ P such that x 1 y 1 y 2 x 2 .But then lemma (1.4.5) implies that b 1 b ′ 1 and b′ 2 b 2. Moreover, for the square to commute, for i = 1, 2,we must have r(b i ) ↓ and l(b ′ i ) ↓ and thus the denition of copycat implies that b′ i = b⊥ i . Thus θx i = e i andas p 1 is rigid, θ(x 1 ) θ(x 2 ).Let us now show that it is surjective on congurations. Let X ∈ C o (S) be a conguration. As p 1 is extremal,lemma (3.3.3) implies that it is surjective on congurations. Let Y ∈ C o (P ) such that p 1 (Y ) = X. LetY ′ = Y ∪ {(⋆, b + ) | (e, b − ) ∈ Y }. Then it is straightforward to check that Y ′ ∈ C o (P ). Moreover, letY ′′ = Y ′ \{(⋆, b − ) | (e, b + ) ∉ Y ′ }. Then Y ′′ ∈ C o (P ). Indeed, it is consistent. Now let us considerz ∈ Y ′′ and (⋆, b − ) Y ′ z and let us show by induction on the number of events between (⋆, b − ) and z, that(⋆, b − ) ∈ Y ′′ . Let z ′′ ∈ P such that (⋆, b − ) z ′ z ′′ . If z ′ = (e, b ′ ), lemma (1.4.5) implies that b − b ′ andas r(b − ) ↓ and l(b ′ ) ↓ for the square to commute, we must have b ′ = b + and thus (e, b + ) = z ′ ∈ Y ′′ , therefore(⋆, b − ) ∈ Y ′′ . If z ′ = (⋆, b ′ ), then b − b ′ and r(b ′ ) ↓ thus the denition of copycat implies that b ′ is negative.Thus by induction z ′ ∈ Y ′′ and thus (e ′ , b ′+ ) ∈ Y ′ , thus (e, b + ) ∈ Y ′ . Therefore (⋆, b − ) ∈ Y ′′ .Thus we have proved that Y ′′ ∈ C o (P ), and as θ(Y ′′ ) = p 1 (Y ) = X, θ is indeed surjective on congurations.Therefore according to lemma (3.3.3), it is a strong epimorphism.Furthermore θ is injective on nite congurations of P that only have elements of D θ as their top elements,i.e. congurations of visible events. Let X and Y be two such congurations such that θ(X) = θ(Y ). Let usshow that X ⊂ Y . Let x ∈ X. If θ(x) ↓, then an analysis of all four cases shows that a given e ∈ S can onlybe the image by θ of a specic pair (notwithstanding the conguration), and thus x ∈ Y . There remainsthe case x = (e, b). But as X has all top elements in D θ , there exists y ∈ D theta such that y ∈ X (and thusin Y , as we have seen previously) and x y.If y = (e ′ , ⋆), then as p 1 is rigid, e e ′ and thus there exists an element of the form (e, b ′ ) ∈ Y , but thenb ′⊥ = p 2 ◦ l(e, b ′ ) = p 1 ◦ r(e) = p 2 ◦ l(e, b) = b ⊥ thus b = b ′ and x ∈ Y . Now, if y = (⋆, b ′ ), let us suppose it isminimal such that x y and θ(y) ↓. Then there exists (e ′′ , b ′′ ) such that (e, b (e ′′ , b ′′ ) (⋆, b ′ )). As shownearlier, we must thus have b ′ positive and b ′′ = b ′− . Therefore there is an element of the form (e ′ , b ′− ) ∈ Y .But then e ′ = θ(⌈(⋆, b ′ )⌉ Y ) and e ′′ = θ(⌈(⋆, b ′ )⌉ X ) are both in θ(X) = θ(Y ). But as we have already seen, agiven image can come only from one pair, and thus we must have e ′ = e ′′ . We can then conclude as in theprevious case to show that x ∈ Y . The symmetry of the problem allows us to say that we have Y ⊂ X too,and thus they are equal.Thus, lemma (3.3.4) implies that Vθ is a monomorphism. Moreover lemma (3.3.6) implies that it is alsoa extremal map, thus, according to lemma (2.2.4), it is an isomorphism between V(s ⧆ cc) and Vs. But wehave showed in the proof of lemma (3.3.2), that the visible part of a fully visible span is itself and thus wehave the required isomorphism.To prove the reciprocal one just has to consider counter-examples that are relatively easy to nd but whosedescription can be long...□Moreover, I believe that when they exist, the isomorphisms are natural and make the triangle of the bicatericalaxioms commute. The proofs are terribly tedious... Nevertheless, if we admit this little bit, we canat last dene the category of spans that we have been looking for.

CHAPTER 3. POLARIZED SPANS 27Denition 3.3.19 (Span Inn ) :Negatively saturated, negative coincidence free, innocent and fully visible polarised spans form a bicategorySpan Inn whose composition is ⧆ and whose identities are copycat spans.∆. Associativity is inherited from VSpan ± ɵ. The unitors are given by lemma (3.3.17) □

Chapter 4Some monads and adjunctions4.1 An adjunction for rigidityThe rst construction, we are to consider is how to represent non rigid maps out of rigid maps. To do thiswe dene the augmentations of an event structure and show that a partial rigid map into the augmentationsis exactly a partial map into the event structure.Denition 4.1.1 (Augmentations) :Let A be an event structure. We dene an A-augmentation to be a pair (X, α) where X ∈ C(A) and α is anitary order on X that renes A , i.e. for all a, b ∈ X such that a A b then aαb.A-Augmentations can be ordered by taking (X, α) (Y, β) if and only if X ⊆ Y and the inclusion from (X, α)to (Y, β), viewed as elementary event structures, is a rigid map of event structures.Lemma 4.1.2 :Let A be an event structure. The augmentations of A form a nitary prime algebraic domain whoseprimes are the nite augmentations with a top element.∆. The A-augmentations are consistent complete, indeed, let X be a set of A-augmentations, then its leastupper bound is the A-augmentation ⋃ X with the order inherited by the A-augmentations in X. This orderis well dened because let (Y 1 , α 1 ) and (Y 2 , α 2 ) be two elements of X, and a, b ∈ Y 1 ∩ Y 2 such that aα 1 b.Then as X is nitely bounded, there exists (Z, β) such that the inclusion of (Y i , α i ) into (Z, β) is rigid, fori = 1, 2. Thus as aα 1 b we also have aβb and thus aα 2 b.Moreover ⋃ ⋃X is down-closed as it is the union of down-closed sets and it is consistent as, if there is Y ⊆ f Xthen there is a covering of Y with a nite number of x ∈ X which are bounded as X is consistent completeand thus Y is a subset of the bound (that is itself a conguration). It is also clear that the order we havedened renes the order of A. Thus it is a A-augmentation.Moreover, let p := (P, θ) be a A-augmentation with a top element e, and X a set of A-augmentations suchthat p ∐ X := (Z, β). Then there is a (Y, alpha) ∈ X such that e ∈ Y . But then yθe implies yβe andthus y must be in Y too and we haveyαe. Therefore p (Y, alpha) and p is indeed a complete prime.Finally, let x = (X, α) be a A-augmentation, then x = ∐ {⌈e⌉ a lpha | e ∈ X}.□Let A be an event structure, we dene Aug(A) to be the event structure associated with the nitary primealgebraic domain of the A-augmentations.Theorem 4.1.3 :The inclusion functor from E pr to E p has a right adjoint whose object function is Aug.∆. Let us rst show that the map ε A from Aug(A) to A that takes an augmentation with a top to its topis a map of E p .Let X ∈ C o (Aug A), As X is a conguration, it is bounded in the A-augmentations, thus there exists(Y, α) such that all element of X are included rigidly into (Y, α). Thus X = {⌈x⌉ α | x ∈ ⋃ X}. Thenε A (X) = ⋃ X ⊆ Y is a conguration. Moreover, ε A is clearly injective on X.Let us now show that it is universal from Incl to A. Let f : B ⇀ A in E p . Let b ∈ B, such that f(b) ↓.Then the conguration f(⌈b⌉) inherits an order from B by taking f(x) f f(y) if and only if x B y (asf is injective on conguration, this order is well-dened). Lemma (1.1.4) states that f reects order on28

CHAPTER 4. SOME MONADS AND ADJUNCTIONS 29congurations and thus this order renes the order in A. Therefore (f(⌈b⌉), f ) is an A-augmentation.Moreover, f(b) is its top element, and thus it is an event of Aug(A).We can therefore consider the map f from B to Aug(A) that takes a b, when f(b) ↓, to (f(⌈b⌉) f ) and thatis undened elsewhere. Let us show that this map is a map of E pr . Let X ∈ C o (B) then for all x ∈ X, f(x)(if dened) can be injected rigidly into (f(X), f ) and thus f(X) is consistent. Moreover, let y ∈ f(X) andx y. Then there exists y ′ ∈ X such that y = ⌈f(y ′ )⌉ f . But then, as x has a top element and can beinjected rigidly into y, there exist x ′ ∈ ⌈f(y ′ )⌉ ⊆⌈f(X)⌉ ⊆ f(⌈X⌉) = f(X) such that x = ⌈x ′ ⌉ f . But thenthere exist x ′′ ∈ X such that x ′ = f(x ′′ ) and thus x = f(x ′′ ).It remains to show that f is locally injective. But if f(x 1 ) = f(x 2 ), they must have the same top elementand thus f(x 1 ) = f(x 2 ). As f is injective on congurations we can conclude.It is evident that ε A (f(b)) = f(b). Moreover, let h : B ⇀ Aug(A) be a map in E pr that veries this equality.Let b ∈ B, if f(b) ↑, then as ε A is total, we must have h(b) ↑ and f(b) ↑.Let us now suppose that f(b) ↓, and let h(b) = (X, α). Let us rst show that ⌈h(b)⌉ = {⌈x⌉ α | x ∈ X}.Lety ∈ ⌈h(b)⌉, then as y h(b), it is a down-closed subset of X inheriting its order from α. Moreover as it isin Aug(A), it has a top and thus is of the form ⌈x⌉ α for some x ∈ X. Conversely, it is evident that ⌈x⌉ α canbe injected rigidly into (X, α).Let us now show that X = f(⌈b⌉). Let x ∈ X, as shown before this is equivalent to ⌈x⌉ α ∈ ⌈h(b)⌉. But ash is rigid, according to lemma (1.1.6), ⌈h(b)⌉ = h(⌈b⌉). Thus this is equivalent to the existence of y ∈ ⌈b⌉such that h(y) = ⌈x⌉ α . But then f(y) = ε A (h(y)) = x and thus x ∈ f⌈b⌉.Let us nally show that α = f . Let x, y ∈ X. As shown before, there exist x ′ and y ′ ∈ ⌈b⌉ such thatf(x ′ ) = x, f(y ′ ) = y, h(x ′ ) = ⌈x⌉ α and h(y ′ ) = ⌈y⌉ α . But then xαy is equivalent to the fact that ⌈x⌉ α canbe injected rigidly into ⌈y⌉ α and thus to h(x ′ ) h(y ′ ). As h is rigid, that is equivalent to x ′ B y ′ and thuswe have proved that f(x ′ )αf(y ′ ) is equivalent to x ′ B y ′ .Therefore, if f(b) ↓ then h(b) = f(b). As we have shown that f(b) ↑ implies both f(b) ↑ and h(b) ↑, we haveindeed proven that h = f.□This process can be copied to obtain a right adjoint to the inclusion functor from Fil pr into Fil p .Denition 4.1.4 (Filiform augmentations) :Let A be a liform event structure. We dene an liform A-augmentation to be a pair (X, α) where X ∈ C(A)and α is a liform nitary order on X that renes A , i.e. for all a, b ∈ X such that a A b then aαb.Filiform A-augmentations can be ordered by saying that (X, α) (Y, β) if and only if X ⊆ Y and the inclusionfrom (X, α) to (Y, β) viewed as elementary event structures is a rigid map of event structures.Lemma 4.1.5 :Let A be an event structure. The liform augmentations of A form a nitary prime algebraic domainwhose primes are the nite augmentations with a top element.∆. The one dierence with the preceding proof is to show that the least upper bound we have dened is aliform augmentation. Indeed, let X be a set of liform A-augmentation and let ( ⋃ X, β) be the least upperbound we have already dened. Let us show it is liform.Let y, z 1 , z 2 ∈ ⋃ X such that z 1 , z 2 βy. Then there is a (Y, alpha) ∈ X such that y ∈ Y . But then(Y, alpha) ( ⋃ X, β) and thus we must also have z 1 , z 2 ∈ Y and z 1 , z 2 αy. As (Y, alpha) is liform thisimplies that z 1 αz 2 or z 2 αz 1 and therefore z 1 βz 2 or z 2 βz 1 .□Let A be a liform event structure, we dene Filaug(A) to be the event structure associated with the nitaryprime algebraic domain of the liform A-augmentations.Lemma 4.1.6 :Let A be a liform event structure, then Filaug(A) is liform.

CHAPTER 4. SOME MONADS AND ADJUNCTIONS 30∆. Let (X, α), Y , Z be three liform A-augmentations with a top element such that Y , Z (X, α). Thenthere exists y, z ∈ X such that Y = ⌈y⌉ α and Z = ⌈z⌉ α . But then y and z are both smaller that the topelement of (X, α) which is a liform order and thus we can suppose yαz. But then that implies that ⌈y⌉ αis included rigidly into ⌈z⌉ α and thus that Y Z.□Theorem 4.1.7 :The inclusion functor from Fil pr to Fil p has a right adjoint whose object function is Filaug.∆. The proof is essentially the same that the one of theorem (4.1.3). The only addition is to show that(f(⌈b⌉), f ) is liform. So let f(x), f(y) and f(z) ∈ f(⌈b⌉), such that f(y), f(z) f f(x). Then y, z xand thus we can suppose y z. But then that implies that f(y) f f(z).□4.2 Filiform event structures and rigidityLet us now consider a rapid result, that in itself will not be useful but is worth noticing.Lemma 4.2.1 :Let A be a liform event structure, B an event structure and f : A ⇀ B rigid. Then the image of f inB is a liform event structure.∆. Let y 1 , y 2 and f(z) in If such that y 1 , y 2 f(z). Then there exists x 1 , x 2 z such that f(x 1 ) = y 1and f(x 2 ) = y 2 . As A is liform, we can suppose x 1 x 2 and thus as f is rigid, y 1 = f(x 1 ) f(x 2 ) = y 2 .□Lemma 4.2.2 :Let A be an event structure and let (F i ) i∈I be a family of liform down-closed sub event structures.Then ⋃ i∈I F i is liform and down-closed.∆. let x ∈ ⋃ i∈I F i and y 1 , y 2 x. Let i ∈ I such that x ∈ F i , then as F i is down-closed, y 1 , y 2 ∈ F i and, asit is liform, y 1 and y 2 are comparable. Thus ⋃ i∈I F i is liform.Moreover y 1 ∈ F i ⊆ ⋃ i∈I F i, thus it is down-closed.□Denition 4.2.3 (Filiform component) :Let A be an event structure and let Mfil(A) be its maximal down-closed liform subset. It exists in virtue oflemma (4.2.2) as the union of all the down-closed liform subsets of A.Theorem 4.2.4 :The inclusion functor from E pr to Fil pr has a right adjoint of which Mfil is the object function. As theinclusion functor is full and faithfull, it is a coreection.∆. It suces to show that the inclusion map ε A from Incl ◦ Mfil(A) to A is a universal arrow from Incl toA. Let B be a liform event structure and let f : Incl(B) ⇀ A. Then lemma (4.2.1) implies that If isliform and included in A, thus it is in Mfil(A). Thus f can be seen as a map from B to Mfil(A) such thatε A ◦ Incl(f) = f.Moreover if there is a another map h : B ⇀ Mfil(A) such that ε A ◦ Incl(h) = f, then as ε A is monic,Incl(h) = Incl(f) and thus f = h.□4.3 A copying mechanismTo give the notion of copying in an event structure a good enough sense, we have to consider a notion ofsymmetry to be able to, in a way, identify the copies of a given element. We will dene it here without thesymmetry, but then cannot show it is a monad.

CHAPTER 4. SOME MONADS AND ADJUNCTIONS 31The copying we consider here is quite complicated as it recursively copies events from the bottom to thetop, and does not simply copy the event structure itself.Denition 4.3.1 (!E) :Let E be an event structure and let us dene !E to be the smallest set such that (P, i, e) ∈ !E if and only ifP ⊆ !E, i ∈ N, e ∈ E, ε E is a bijection from P to ⌊e⌋, where ε E (P ′ , i ′ , e ′ ) = e ′ , and P is transitive, i.e. if(P 1 , i 1 , e 1 ) ∈ P and (P 2 , i 2 , e 2 ) ∈ P 1 then (P 2 , i 2 , e 2 ) ∈ P .Let X ∈ C !E if and only if X ⊆ f !E and for all Y ⊆ X such that ε E Y is injective, ε E (Y ) ∈ C E . And let(P ′ , i ′ , e ′ ) < !E (P, i, e) of and only if (P ′ , i ′ , e ′ ) ∈ P .Lemma 4.3.2 :!E is an event structure. Moreover, if E is liform, !E is liform too.∆. Let us rst check that it is a event structure.Firstly, let us check that we have indeed dened a strict order. We cannot have (P, i, e) < !E (P, i, e) becausethat would imply that (P, i, e) ∈ P and thus that e = ε E (P, i, e) ∈ ε E (P ) = ⌊e⌋, which is absurd. Moreover,let (P 1 , i 1 , e 1 ) < !E (P 2 , i 2 , e 2 ) < !E (P 3 , i 3 , e 3 ). Then (P 1 , i 1 , e 1 ) ∈ P 2 and (P 2 , i 2 , e 2 ) ∈ P 1 , as P 1 is transitive,we have (P 1 , i 1 , e 1 ) ∈ P 3 and thus (P 1 , i 1 , e 1 ) < !E (P 3 , i 3 , e 3 ).Secondly, let (P, i, e) ∈ !E, then #(⌈(P, i, e)⌉) = #(P ) + 1, and as P is injected into ⌊e⌋ that is nite, P isnite. Thus the order is nitary.Thirdly, ε E ({(P, i, e)}) = {e} ∈ C E . Thus singletons are consistent.Fourthly, if Y ⊆ X then for all Z ⊆ Y such that ε E Z is injective, we also have Z ⊆ Y and thus if X isconsistent, ε E (Z) ∈ C o (E) and therefore Y is consistent.Finally, let (P, i, e) ∈ X ∈ C !E and let (P ′ , i ′ , e ′ ) < !E (P, i, e). Then (P ′ , i ′ , e ′ ) ∈ P and thus e ′ =ε E (P ′ , i ′ , e ′ ) ∈ ε E (P ) = ⌊e⌋. Let Z ⊆ X ∪ {(P ′ , i ′ , e ′ )} such that ε E Z is injective. If Z ⊆ X then weknow that ε E (Z) ∈ C o (E), else Y = ε E (Y \{(P ′ , i ′ , e ′ )}) ∈ C o (E) and ε E (Z) = Y ∪ e ′ . Moreover e ∈ Y andthus Y ∪ e ′ ∈ C o (E). Therefore X ∪ {(P ′ , i ′ , e ′ ) ∈ C o (!E).Furthermore, let us show that if E is liform then !E is liform.Let (P 1 , i 1 , e 1 ), (P 2 , i 2 , e 2 ) !E (P, i, e), the case when there is at least one equality is evident, thus we cansuppose that they are strictly inferior, i.e. (P 1 , i 1 , e 1 ), (P 2 , i 2 , e 2 ) ∈ P , and dierent. But then ε E (P j , i j , e j ) =e j ∈ ⌊e⌋ for j = 1, 2 and thus as E is liform, e 1 and e 2 are comparable. Let us suppose that e 1 E e 2 .But as (P 1 , i 1 , e 1 ) and (P 2 , i 2 , e 2 ) are distinct and that ε E is injective on P 2 , it follows that e 1 < e 2 and thusthat there exists (P 1 ′, i′ 1 , e 1) ∈ P 2 . But, as P is transitive, that implies that (P 1 ′, i′ 1 , e 1) ∈ P and, as ε E P3 isinjective, it implies that P 1 ′ = P 1 and i ′ 1 = i 1. And thus (P 1 , i 1 , e 1 ) < !E (P 2 , i 2 , e 2 ).□Let E be an event structure and x, y ∈ !E. If ε E (x) = ε E (y) they are said to be copies of one another.

Chapter 5GamesThere are many presentations of simple games, for example [Hyl97] and [HHM07], or disguised as anesequential algorithms in [Cur94]. In my opinion, it is [HHM07], that gives the clearest, and most formaldenition of all, thus I'll work with this one.The goal in this chapter is to show that our category Span Inn is rich enough to represent already existinggames.5.1 Schedules and simple gamesThis section gives a somewhat dierent account of the denitions in [HHM07], the main dierence is thatschedules are dened in a way that I nd simpler to work with.First let us dene those schedules. They are objects that allow to mix two orders. They will be used toconstruct the arena later on.Denition 5.1.1 (Schedules) :For all n ∈ N, let (n) := 1; n with the convention that (0) = ∅.For all p ∈ N, q ∈ N, σ a schedule σ : p ⇾ q is a relation from (p) to (q) such that(i) For all x, y ∈ (p) and z, t ∈ (q), x yσz t implies xσt.(ii) If x ∈ (p) is odd, then, for all y ∈ (q), xσy implies (x + 1)σy.(iii) If y ∈ (q) is even, then, for all x ∈ (p), yσ ∗ x implies (y + 1)σ ∗ x.(iv) For all x ∈ (p), 1σ ∗ x.where σ ∗ , the symmetric relation, is the relation dened on q × p by yσ ∗ x := ¬(xσy).We say that σ : p ⇾ q is a right schedule if pσq and that it is a left schedule if qσ ⊥ p (with the obviousconventions that schedules from 0 are all right schedules).As pσq and qσ ⊥ p are mutually exclusive, a schedule cannot be both right and left.If we take the convention that one may only write xσy (be it true or false) if x p and y q, then the lastcondition implies that q 1, the second condition that if the schedule is right then p is event and the thirdthat if the schedule is left then q is odd.We also dene σ − to be the schedule σ without its top element (i.e. σ p×(q−1) if it is right and σ (p−1)×q ifit left).Let us now show that the rst requirement of a schedule also holds for its symmetric.Lemma 5.1.2 :Let σ : p ⇾ q be a schedule and let x, y ∈ (q) and z, t ∈ (p). Then x yσ ∗ z t implies xσ ∗ t.∆. Let us suppose that tσx, then z tσx y, and thus zσy, but that is absurd. □In fact, a schedule only needs to order even elements, the following denition and lemma make that clear.Denition 5.1.3 (Alternative denition of schedules) :Let (p) e := {x ∈ (p) | x is even}.32

CHAPTER 5. GAMES 33Let p ∈ N and q ∈ N ∗ , an even schedule σ : p ⇾ q is a relation from (p) e to (q) e such that for all x, y ∈ (p) eand z, t ∈ (q) e , x yσz t implies xσt, and such that if q is even, then p is even and pσq.Lemma 5.1.4 :There is a bijective correspondence between schedules and even schedules.∆. If one has a schedule, one can obtain an even schedule σ e by restricting it to even numbers. We havealready noted that q 1 for any schedule, and that if σ is left, then q is odd, and thus if q is even, theschedule must be right and thus the last condition holds.If one has an even schedule σ : p ⇾ q, for all x ∈ (p) and y ∈ (q), let xσy if and only if there exists z ∈ (p) eand t ∈ (q) e such that x zσt y. Let us check that σ is a schedule.(i) The rst condition is implied by the denition.(ii) Let x ∈ (p) be odd and y ∈ (q) such that xσy. Then there exists z ∈ (p) e and t ∈ (q) e such thatx zσt y. But as x is odd (x + 1) z and thus (x + 1)σy.(iii) Let y ∈ (q) be even and x ∈ (p) such that xσ(y + 1). Then there exists z ∈ (p) e and t ∈ (q) e suchthat x zσt (y +1). But then, as t is even and y too, t y and thus xσy. Moreover, if y +1 > qthen, that implies that y = q is even and thus p is even and pσq. Thus x pσq = y.(iv) First of all, it is indeed the case that 1 q. Furthermore, let x ∈ (p) such that xσ1 then thereexists y ∈ (p) e and z ∈ (q) e such that x yσz 1. But that is impossible since there are no evennumbers smaller that 1 and strictly bigger than 0.Let us now show that these two transformations are mutually reciprocal. First, let σ : p ⇾ q be an evenschedule.Let x ∈ (p) e and y ∈ (q) e such that xσ e y, then there exists z ∈ (p) e and t ∈ (q) e such that x zσt y andthus xσy.Let us now suppose that xσy, then as x xσy y, we do have xσ e y.Secondly, let σ be a schedule, and let x ∈ (p) and y ∈ (q) such that xσ e y. Then there exists z ∈ (p) e andt ∈ (q) e such that x zσ e t y and thus xσy.Now, let us suppose that xσy. If x is even, let x ′ = x and if it is odd, let x ′ = x + 1. If y is even, let y ′ = yand if it is odd, let y ′ = y − 1. In both cases x x ′ σ e y ′ y and thus xσy.□Schedules form a category, whose identity and composition we are about to present.Denition 5.1.5 (Copy-cat) :For all p ∈ N ∗ , copy-cat is the even schedule c : p ⇾ p such that x c y if and only if x y.Denition 5.1.6 (Composition of schedules) :Let σ : p ⇾ q and τ : q ⇾ r be two schedules. We dene τ ◦ σ : p ⇾ r be the relational composition of the twoschedules.∆. Let us check that τ ◦ σ is a schedule.(i) Let x, y ∈ (p) and z, t ∈ (r) such that x y(τ ◦ σ)z t. Then there exists w ∈ (q) such thatyσwτz. And thus as σ and τ are schedules, xσw and wτt and thus x(τ ◦ σ)t.(ii) Let x(p) be odd and such that x < p and let y ∈ (r) such that x(τ ◦ σ)y. Then there exists z ∈ (q)such that xσzτy. Therefore (x + 1)σz and thus (x + 1)(τ ◦ σ)y.(iii) Let y ∈ (r) be even such that y < r. Then let x ∈ (p) and z ∈ (q) such that xσzτ(y + 1). Thenzτy and thus x(τ ◦ σ)y. Thus x(τ ◦ σ) ∗ y implies x(τ ◦ σ) ∗ (y + 1).

CHAPTER 5. GAMES 34(iv) let x ∈ (p), z ∈ (q) such that xσzτ1. But that contradicts the fact that for all z ∈ (q), 1σ ∗ z. Thus1(τ ◦ σ) ∗ x. □Even schedules compose like relations. This composition correspond to the composition of schedules. Thisis due to the fact that if we have xτyσz with y odd, then xτ(y − 1)σz also holds.Denition 5.1.7 (Υ) :Let Υ be the category where objects are all (n) for n ∈ N and the arrows are schedules.according to the composition just dened and the identities are the copy-cat schedules.They compose∆. The composition is inherited from the relations and thus is associative. We just need to show that thecopy-cat schedules are the identities. But this is clear using the even schedule denition.□Let us now dene an order on schedules.Denition 5.1.8 (Schedule restriction) :Let σ : p ⇾ q be a schedule and let x ∈ (p) and y := max{z ∈ (q) | zσ ⊥ x}. Then σ x : x ⇾ y is the restrictionof σ to (x) × (y).Let y ∈ (q) and x := max{z ∈ (p) | zσy}. Then σ y : x ⇾ y is the restriction of σ to (x) × (y).We write σ ≺ τ if there exists x such that σ = τ x or σ = τ x .Let us now move on to dening simple games and their strategies.Denition 5.1.9 (Games) :A game A is given by family of sets (A(n)) n∈N ∗and functions π n : A(n + 1) → A(n).We will hereafter take the convention that A(0) is the singleton {⋆} and thus that π 0 is the constant functionfrom A(1) to {⋆}.The move in A(2n) are said to be player moves, whereas those in A(2n + 1) are said to be opponent moves.Denition 5.1.10 (Strategies) :Let A be a game, a strategy s in A is a family of sets s(n) ⊆ A(n) such that(i) if x ∈ s(n + 1) then π(x) ∈ s(n).(ii) if x, y ∈ s(2n) with π(x) = π(y) then x = y.(iii) if x ∈ A(2n + 1) such that π(x) ∈ s(2n) then x ∈ s(2n + 1).A strategy therefore is a down-closed collection of moves that verify that the player only answers one wayto a certain opponent move. The last requirement is just there for technical reasons, it just states that allopponent moves that are accessible have to be present in the strategy.To dene a category of games, we need to dene a function space that will be a game mixing the domainand the co-domain. Then a morphism will be a strategy on this function space.Denition 5.1.11 (A ⊸ B) :Let A and B be games. A ⊸ B is the game such that (A ⊸ B)(n) is the set of triplets (σ, a, b) such thatσ : p ⇾ q is a schedule with p + q = n, a ∈ A(p) and b ∈ B(q) and π is dened by{ (σπ(σ, a, b) =− , π(a), b) if σ is left(σ − , a, π(b)) if σ is rightLet us now dene the composition and the identity of our simple games.

CHAPTER 5. GAMES 35Denition 5.1.12 (Composition of strategies) :Let A, B and C be games, s be a strategy on A ⊸ B and r a strategy on B ⊸ C. Let r ◦ s be the strategy onA ⊸ C such that (σ ◦ τ, a, c) ∈ (r ◦ s) if and only if it exists b ∈ B such that (τ, a, b) ∈ s and (σ, b, c) ∈ r.Denition 5.1.13 (Copycat strategies) :Let A be a game, the copycat strategy on A, c A , is the strategy on A ⊸ A comprising all elements (c, a, a)and π(c, a, a) where c is a copy-cat schedule.Denition 5.1.14 (G) :Let G be the category of simple games, whose objects are games, and the maps in G(A, B) are the strategiesin A ⊸ B. They compose according to the previous denition, and identities are the copycat strategies.The inclusion of strategies makes G a category enriched in order, and thus a 2-category.5.2 From sequential spans to strategiesFor technical reasons, we will supposing from now on that all event structures are countable.Denition 5.2.1 (Coincidence up to copying) :Let s = (f, S, g) be a span. Let x, y ∈ S, they are said to be coincident up to symmetry if they have thesame strict history and such that f(x) and f(y) are either both undened or both dened and copies of oneanother (and of course the same holds for g)Lemma 5.2.2 :Let s 1 and s 2 be two liform spans free of negative coincidence up to copying that can be composed,then s 2 ◫ s 1 and Vs 1 are free of negative coincidence up to copying.The proof is rather similar to that without copying, we shall therefore omit it.Denition 5.2.3 (Sequential span) :Let A and B be two alternating, liform, elementary event structures, such that all minimal events arenegatively polarised. A sequential span from A to B is a span (f, S, g) in Span Inn (!A, !B) that is liform,concrete, deterministic, alternating and rigid, free of negative coincidence up to copying and such that allminimal events in S are negative.One can remark that in alternating event structures with negative minimal events, positive events are ofevent height and negative ones are of odd height. Moreover minimal elements of S must be in the domainof g, as their images are minimal thus negative too.Let Span seq be the subcategory of Span Inn containing the sequential spans.Let us now state some fact about these sequential spans that will be useful in the coming proofs. They willbe admitted.Lemma 5.2.4 :Let s = (f, S, g) be a sequential. If s 1 , s 2 ∈ S have a common direct predecessor, then they are both inD f or both in D g .Moreover if s 1 and s 2 are not equal, they are negative.Lemma 5.2.5 :Let s = (f, S, g) be a sequential span and x, y ∈ S such that they have the same strict history andtheir images are copies, then they are equal.Sequential spans represent simple games in Span Inn , thus we will rst show that we can transform a sequentialspan into a strategy, in a functorial way.

CHAPTER 5. GAMES 36Denition 5.2.6 (G) :First, let E be a liform, elementary event structure such that all minimal events are negatively polarisedand let G(E) be the game such that G(E)(n) is the set of events of height n, i.e. such that # ⌈e⌉ = n, andsuch that for all non minimal event e, π(e) is its direct predecessor.Let us now consider a sequential span sfSg !A !BFor all e ∈ S, let p e := #(f(⌈e⌉)), q e := #(g(⌈e⌉)) and σ e : p e ⇾ q e the schedule dened by xσy if and onlyif f −1 (ϕ in (x)) < g −1 (ϕ out (y)) where ϕ f (respectively ϕ g ) is the order isomorphism between (p e ) and f(⌈e⌉)(respectively (q e ) and g(⌈e⌉)). As, by denition, f and g are injective on ⌈e⌉, this all makes sense. Moreoverlet us write (_, _, a e ) for the top element of f(⌈e⌉) if any (if the set is empty, a e = ⋆) and (_, _, b e ) for thetop element of g(⌈e⌉).Let us now deneθS → A ⊸ Be ↦→ (σ e , a e , b e )and nally, for all n ∈ N ∗ , G(s)(n) := {θ(e) | e ∈ S of height n}.Theorem 5.2.7 :G is a pseudo-functor from Span seq to G.The denition of a pseudo-functor can be found in [CHP04].number of technical lemmas that we prove now.Lemma 5.2.8 :σ e is a schedule.∆. Let us check that all the conditions are lled.To prove this theorem, we need a certain(i) Let x, y ∈ (p e ) and z, t ∈ (q e ) such that x yσ e z t. As ϕ f and ϕ g are order isomorphisms andthat f and g reect order,and thus xσ e t.f −1 (ϕ f (x)) f −1 (ϕ f (y))< g −1 (ϕ g (z))g −1 (ϕ g (t))(ii) Let x p be odd, then ϕ f (x) is of odd height too, thus negative and f −1 (ϕ f (x)) is positive. If wehave y such that xσ e y, then f −1 (ϕ f (x)) g −1 (ϕ g (y)), thus there is a z such that f −1 (ϕ f (x)) z g −1 (ϕ g (y)). But as s is innocent, f(z) ↓ and thus, as f is rigid, lemma (1.1.5) implies thatz = f −1 (ϕ f (x + 1)). Therefore (x + 1)σy.(iii) Let x q be even, then g −1 (ϕ g (x)) is positive. Thus, as previously, if xσ e y then x + 1σ e y.(iv) As minimal elements are in D g , g −1 (ϕ g (1)) is minimal. Thus, for all x ∈ (p), f −1 (ϕ f (x)) must besuperior.□

CHAPTER 5. GAMES 37Lemma 5.2.9 :Let s be an extremal sequential span, e ∈ D g if and only if σ e is right.∆. Let e ∈ D g then let t be the top element of ⌈e⌉ ∩ D f . Then t = f −1 (ϕ f (p e )) and e = g −1 (ϕ g (p e )) andthus p e σ e q e and therefore σ e is right. The same proof shows that if e ∈ D f then σ e is left.□Lemma 5.2.10 :Let e ∈ S not minimal, then θ(π(e)) = π(θ(e)).∆. Let us suppose that e ∈ D g and thus, according to lemma (5.2.9), that σ e is right. Then π(θ(e)) =(a e , π(b e ), σ − e ). Because e ∈ D g , f(⌈e⌉) = f(⌈π(e)⌉) and thus a e = a π(e) . Moreover, g(⌈π(e)⌉) = ⌊g(e)⌋ andthus b π(e) = π(b e ).Let us now show that σ − e = σ π(e) . Moreover, as ⌊e⌋ = ⌈π(e)⌉, σ πe = σ e pe×(q e−1) = σ − e . □Lemma 5.2.11 :The function θ is injective.∆. Let e 1 , e 2 ∈ S such that θ(e 1 ) = θ(e 2 ). Let us show by induction that ⌈e 1 ⌉ = ⌈e 2 ⌉.Let t 1 ∈ ⌈e 1 ⌉ and t 2 ∈ ⌈e 2 ⌉ at the same height, and let us suppose that any two elements lower than them,at the same height, are equal.Let us rst show that t 1 and t 2 are in the same domain. If they are minimal, then they are both in D g . Ifthey are not minimal they have, by induction hypothesis, a common direct predecessor, and thus, becauseof lemma (5.2.4) they must be in the same domain.If they are in the same domain and, as they have the same strict history, their images are at the same height.Moreover their images are copies of elements in ⌈a e1 ⌉ = ⌈a e2 ⌉, if t 1 and t 2 are in D f , or in ⌈b e1 ⌉ = ⌈b e2 ⌉, ifthey are in D g . Therefore their images must be copies. But then, because of lemma (5.2.5), we must havet 1 = t 2 .□Lemma 5.2.12 :G(s) is a strategy on G(A) ⊸ G(B).∆. Let us rst check that for all e ∈ S of height n, θ(e) ∈ (A ⊸ B)(n). Lemma (5.2.8) already armsthat σ e is a schedule, moreover, as e is of height n then as their are no internal events and that D fand D g are disjoint, p e + q e = n. Moreover, f(⌈e⌉) is a history and thus its top element (_, _, a e ), andtherefore a e , is of height #(f(⌈e⌉)) = p e . It is the same with b e and thus θ(e) ∈ (A ⊸ B)(n). Therefore,G(s) = {θ(e) | e ∈ S of height n} ⊆(A ⊸ B)(n).According to lemma (5.2.10), for all e ∈ S, π(θ(e)) = θ(π(e)) and thus, π(θ(e)) ∈ G(s).Furthermore, if we have x, y ∈ S even such that π(θ(x)) = π(θ(y)), then by lemma (5.2.10), we haveθ(π(x)) = θ(π(y)). But as θ is injective (lemma (5.2.11)), we have π(x) = π(y). And thus x and y share adirect predecessor. But then f(⌈x⌉ ∪ {y}) is down-closed in A and thus a conguration. Therefore, as s isdeterministic, ⌈x⌉ ∪ {y} is a conguration. Therefore, as x and y are even with a common predecessor ands is concrete, if x ≠ y, they are in conict, thus they must be equal. We have therefore that θ(x) = θ(y).Finally, let x ∈ (A ⊸ B)(2n + 1) such that π(x) ∈ G(s)(2n). Then there exists e ∈ S such that π(x) = θ(e).Let us suppose that x := (σ, a, b) where σ is left. Then q is odd and thus a is even (i.e. negative in A ⊥ ).But then ⌈a⌉ is a negative extension of f(⌈e⌉) and thus there exists X ∈ C o (S) such that f(X) = ⌈a⌉. Aswe have done previously, we can show that X = ⌈e⌉ ∪ {e ′ }, where e e ′ and f(e ′ ) = a.Then π(θ(e ′ )) = θ(π(e ′ )) = θ(e). Thus θ(a) and x have the same direct predecessor. Moreover they areboth left, thus they are equal and we have indeed x ∈ G(s)(2n + 1).□Lemma 5.2.13 :Let s 1 = (f 1 , S 1 , g 1 ) and s 2 = (f 2 , S 2 , g 2 ) be sequential relations from A to B and let ψ : s 1 ⇒ s 2be a span morphism, then G(s 1 ) ⊆ G(s 2 ). Moreover this makes G a functor from Span seq (A, B) toG(G(A), G(B)).

CHAPTER 5. GAMES 38∆. Let x ∈ S 1 . Let us show that σ x ⊆ σ ψ(x) .First of all f 1 (⌈x⌉) = f 2 (⌈ψ(x)⌉) and thus the order isomorphism with (p) is the same (we will call it ϕ f ).It is the same with ϕ g .Let us now suppose that we have sσ x t, i.e.f −11 (ϕ f (s)) < g −11 (ϕ g(t))Then as f 1 = f 2 ◦ ψ, f1 −1 = ψ −1 ◦ f2 −1 (and similarly for the right side) where ψ −1 makes sense as ψ is locallyinjective. Thusψ −1 (f2 −1 (ϕ f (s))) < ψ −1 (g2 −1 (ϕ g(t)))but as ψ preserves the order, we havef −12 (ϕ f (s)) < g −12 (ϕ g(t))And thus sσ ψ(x) t.As ψ is locally injective it induces a bijection between ⌈x⌉ and ⌈ψ(x)⌉. We therefore have, symmetrically,that σ ψx ⊆ σ x and thus that σ x = σ ψ(x) . Moreover, as we have already seen, f 1 (⌈x⌉) = f 2 (⌈ψ(x)⌉) and thusa x = a ψ(x) and similarly, b x = b ψ(x) and thus θ(x) = θ(ψ(x)).As s 1 has no internal events, ψ must be total for it to be a span morphism and thus G(s 1 ) ⊆ G(s 2 ).Moreover, as G(G(A), G(A)) is a poset, it is evident that G respects composition.□Lemma 5.2.14 :Let s 1 and s 2 be two sequential relations that can be composed. Then G(s 2 ⧆ s 1 ) = G(s 1 ) ◦ G(s 2 ).∆. We have the following diagramS 3 f 3g 3 ℘S 1 VS 3 S 2f 1 g 1 f gf 2 2g A B CLet (σ ◦ τ, a, c) ∈ G(s 2 ) ◦ G(s 1 ). Then there exists b ∈ B such that (τ, a, b) ∈ G(s 1 ) and (σ, b, c) ∈ G(s 2 ) andthus e 1 ∈ S 1 and e 2 ∈ S 2 such that θ(e 1 ) = (τ, a, b) and θ(e 2 ) = (σ, b, c).Lete 3 := {(e, ⋆) | e ∈ ⌈e 1 ⌉, f 1 (e) ↓} ∪{(⋆, e ′ ) | e ′ ∈ ⌈e 2 ⌉, g 2 (e ′ ) ↓}∪{(e, e ′ ) | e ∈ ⌈e 1 ⌉, e ′ ∈ ⌈e 2 ⌉, g 1 (e) = f 2 (e ′ )}Let us rst show that f 3 (e 3 ) = ⌈e 1 ⌉. It is clear that f 3 (e 3 ) ⊆⌈e 1 ⌉. Now, if e ∈ ⌈e 1 ⌉ such that f 1 (e) ↓, then(e, ⋆) ∈ e 3 . But if g 1 (e) ↓, then g 1 (e) ∈ ⌈b⌉ = f 2 (⌈e 2 ⌉) and thus there exists e ′ ∈ ⌈e 2 ⌉ such that f 2 (e ′ ) = g 1 (e)and therefore (e, e ′ ) ∈ e 3 .The symmetric proof shows that g 3 (e 3 ) = ⌈e 2 ⌉. Let us now show that f 3 e3is injective. Let x, y ∈ e 3 suchthat f 3 (x) = f 3 (y) (and both dened). Then if f 1 ◦ f 3 (x) ↓, both x and y are equal to (f 3 (x), ⋆) = (f 3 (y), ⋆).If g 1 ◦ f 3 (x) ↓, then x := (f 3 (x), e) and x := (f 3 (y), e ′ ). But f 2 (e) = g 1 ◦ f 3 (x) = g 1 ◦ f 3 (y) = f 2 (e ′ ). As theyare both in ⌈e 2 ⌉, they are consistent, and thus equal.Finally if we have x, y ∈ e 3 , let us suppose we have x = (e, ⋆) and y = (⋆, e ′ ). Then because of innocenceboth ⌈e⌉ ∩ D g1 and ⌈e ′ ⌉ ∩ D f2 must end on an odd event. Thus g 1 (⌈e⌉) ends on a odd event whereas f 2 (⌈e ′ ⌉)ends on an even event. Thus they cannot be equal and, as they are both initial segments of a total order,

CHAPTER 5. GAMES 39one must be smaller than the other. Let us suppose g 1 (⌈e⌉) ⊆ f 2 (⌈e ′ ⌉). Then there exists e ′′ e ′ such thatg 1 (⌈e⌉) = f 2 (⌈e ′′ ⌉) and if we reproduce the construction of e 3 with e and e ′′ , we obtain a subset of e 3 whoseprojections are conguration, that contain x but not y.All the other cases are similar (and simpler to treat as we do not have to go look for a pair in between, wealready have all the necessary events), and thus we have shown that e 3 is an element of S 3 .Let e ′ 3 be the top non internal event of ⌈e 3⌉, then it is an element of VS 3 . Let us show that θ(e ′ 3 ) = (σ◦τ, a, c).First, as e ′ 3 is the top non internal, we have f(⌈e′ 3 ⌉) = f 1 ◦ f 3 (⌈e 3 ⌉) = f 1 (⌈e 1 ⌉) = ⌈a⌉ and similarlyg(⌈e ′ −13⌉) = ⌈c⌉. Moreover, if we have x, y, z such that xτyσz, then we have f1 (ϕ f 1(x)) < g1 −1 (ϕ g 1(y)) andf2 −1 (ϕ f 2(y)) < g2 −1 (ϕ g 2(z)) and thus, in e 3 ,(f −11 (ϕ f 1(x)), ⋆) < (g −11 (ϕ g 1(y)), f −12 (ϕ f 2(y))) < (⋆, g −12 (ϕ g 2(z)))Thus, we have xσ e3 z.Let us now suppose that we have xσ e3 z, ie (f1 −1 (ϕ f 1(x)), ⋆) < (⋆, g2 −1 (ϕ g 2(z))). But then lemma (3.1.3)implies that there is an element of the form (e, e ′ ) between the two. If y is the height of g 1 (e) = f 2 (e ′ ), thenwe have xτyσz.We have proved that G(s 2 ) ◦ G(s 1 ) ⊆ G(s 2 ⧆ s 1 ).Let us now consider (σ, a, c) ∈ G(s 2 ⧆ s 1 ). Then there exists e ∈ ES 3 , and thus in S 3 , of even height suchthat θ(e) = (σ, a, c). Let e 1 be the top left element of e and e 2 be the top right.The top element of f 1 (⌈e 1 ⌉) is a and the top element of g 2 (⌈e 2 ⌉) is c and, if b is the top element of g 1 (⌈e 1 ⌉)then there exists t 1 e 1 such that g 1 (t 1 ) = b. But then there exists t 2 e 2 such that (t 1 , t 2 ) appears in eand thus in 2 (t 2 ) = b.If t 2 was not the top element in ⌈e 2 ⌉ ∩ D f2 then there would exist t ′ 2 ∈ D in 2such that t 2 < t ′ 2 e 2 and thust ′ 1 ∈ D g 1such that t 1 < t ′ 1 e 1. But that contradicts the fact that b is the top element of g 1 (⌈s 1 ⌉). Thus bis the top element in f 2 (⌈e 2 ⌉) and we have θ(e 1 ) = (σ e1 , a, b) and θ(e 2 ) = (σ e2 , b, c).Let us now show that σ = σ e2 ◦ σ e1 . First of all, both of these schedules have the same domain, p and thesame co-domain, q.Let x 1 and x 2 such that x 1 σx 2 . Then there exists y 1 , y 2 e such that f(y 1 ) is of height x 1 , g(y 2 ) is ofheight x 2 and y 1 y 2 .But, because of lemma (3.1.3), f 3 (y 1 ) cannot be the top left element of y 2 and thus there exists a pair(t 1 , t 2 ) in y 2 such that y 1 (t 1 , t 2 ). Let x 3 be the height of g 1 (t 1 ) = f 2 (t 2 ). Then x 1 σ e1 x 3 σ e2 x 2 . And thusx 1 (σ e2 ◦ σ e1 )x 2 .Let us now suppose that we have x 1 , x 2 and x 3 such that x 1 σ e1 x 3 σ e2 x 2 . Then there exists t 1 t 2 e 2 andt 3 t 4 e 2 such that f 1 (t 1 ) is of height x 1 , g 1 (t 2 ) and f 2 (t 3 ) are of height x 3 and g 2 (t 4 ) is of height x 2 .But, as g 1 (⌈e 1 ⌉) = f 2 (⌈e 2 ⌉), we must have g 1 (t 2 ) = f 2 (t 3 ). Moreover, t 2 and t 3 must appear in the samepair or else g 1 and f 2 would not be injective on a history, and thus in e we nd the pairs (t 1 , ⋆), (t 2 , t 3 ) and(⋆, t 4 ), in this order. Thus x 1 σx 2 .Therefore (σ, a, c) ∈ G(s 2 ) ◦ G(s 1 ).□Lemma 5.2.15 :Let A be a liform concrete event structure, G(cc A ) is the copy-cat strategy c G(A) .∆. A look at copycat schedules show that they have the same structure (right, left, left, right, right, ...)that the copycat span in the alternating case.□∆(Theorem (5.2.7)). We have proved in lemma (5.2.13) that G is a functor on hom categories, in lemma(5.2.14) we have proved the existence of an invertible 2-cell between the image of a composition and thecomposition of the limits and nally in lemma (5.2.15) we have proved that there was an invertible 2-cellbetween c G(A) and G(cc A ). The naturality of those 2-cells, and the coherence diagram all trivially hold asfor all A and B, G(A, B) is a poset.□

CHAPTER 5. GAMES 405.3 From strategies to spansIn all that follow, let us suppose that all games are countable, and thus for all A a game, we have an injectionχ A : A → N.Let us now show that we have a functor the other way round and that these two functors are, nearly,reciprocal. To do so, we will rst dene the functor, then show how it composes with G and nally use thisknowledge to prove quite simply that it is a functor.Denition 5.3.1 (E) :First, let A be a game and let us dene E(A) to be the elementary event structure on ⊔ ∗ n∈NA(n) orderedby x π y if and only if it exists n ∈ N such that π n (y) = x.Let us now consider A and B two games and s a strategy on A ⊸ B, let us deneS s := ⊔s(n)n∈N ∗Let x π y if and only if it exists n ∈ N such that π n (y) = x. This denes on order on S s and thus we canconsider S s as an elementary event structure.For all left schedules σ let us dene f(σ, a, b) = (f(⌊(σ, a, b)⌋), χ A (a), a) and for all right schedule let usdene g(σ, a, b) = (g(⌊(σ, a, b)⌋), χ B (b), b).Finally, let E(s) be the spanS s ,f g!E(A) !E(B)Lemma 5.3.2 :E(A) is a liform event structure∆. Let us show that the order is liform and nitary. Then E(A) will indeed be an liform event structure.First of all, let x ∈ A(n) and y such that y π x. By denition, there exists m ∈ N such that y = π m (x)and thus y ∈ A(n − m). Moreover, if there is z ∈ A(n − m) such that z π x then z = π m (x) = y. Andthus ⌈x⌉ contains at most n elements, i.e. the order is nitary.Secondly, let y, z π x. Then there exists n and m ∈ N such that y = π n (x) and z = π m (x). Let us supposethat n m then z = π m−n (y) and thus z y. Thus the order is liform.□Let us now characterise the order π on E s . As many other technical lemmas before, we will admit them,their proof is just rather tedious case study.Lemma 5.3.3 :Let σ and τ be two schedules. (σ, a, b) π (τ, a ′ , b ′ ) if and only if σ ≺ τ, a ′ π a and b ′ π b.Lemma 5.3.4 :Let (τ, a ′ , b ′ ) ∈ A ⊸ B. For all a π a ′ (respectively b π b ′ ) there exists a left schedule σ (respectivelya right schedule) and b π b ′ (respectively a π a ′ ) such that (σ, a, b) π (τ, a ′ , b ′ ). Furthermore, if a(respectively b) is in A(n) then σ = τ n (respectively σ = τ n ).

CHAPTER 5. GAMES 41Lemma 5.3.5 :If (σ, a, b) and (τ, a ′ , b ′ ) π (υ, a ′′ , b ′′ ) then the following are equivalent(i) (σ, a, b) π (τ, a ′ , b ′ )(ii) σ ≺ τ(iii) a π a ′ and b π b ′We shall also need the two following results.Lemma 5.3.6 :Let σ : p ⇾ q be a schedule, if σ is right (respectively left) and σ − is left (respectively right) then p + qis even. Moreover p and q are odd (respectively even).∆. let us suppose that σ : p ⇾ q is left and that σ − : (p − 1) ⇾ q is right, the proof is similar in the othercase. Then (p − 1) must be even and q must be odd and thus p + q is even.□Lemma 5.3.7 :Let σ and τ be schedules such that σ − = τ − . Then they must be both left or both right.∆. let p and q be such that σ − : p → q and let us suppose that σ is right and τ is left. Then p must be evenand q must be odd. But, according to lemma (5.3.6), p + q must be even. That is absurd.□Lemma 5.3.8 :E(s) is a sequential span.∆. E s is a liform event structure for the same reasons than E(A).Let us now show that f is well dened. We will show by induction that f is well dened on ⌈(σ, a, b)⌉ andthat f(⌈(σ, a, b)⌉) is injected by ε A unto ⌈a⌉.Let us suppose this is true for (σ−, a ′ , b ′ ) = π(σ, a, b) (if a is minimal the proof is evident). If σ is right,then a ′ = a, f is undened on (σ, a, b) and f(⌈(σ, a, b)⌉) = f(⌈(σ − , a, b ′ )⌉) that is injected by ε A unto ⌈a⌉.If σ is left then a ′ = π(a). As ⌊(σ, a, b)⌋ = ⌈σ − , π(a), b ′ ⌉, f(⌊(σ, a, b)⌋) is injected by ε A unto ⌈π(a)⌉ = ⌊a⌋.Thus f is well dened on (σ, a, b) too. Furthermore, f(⌈(σ, a, b)⌉) = f(⌈(σ − , π(a), b ′ )⌉) ∪ {f(σ, a, b)}, it isinjected by ε A unto ⌈a⌉.The same proof shows that g is well dened.Now, as a schedule cannot be both right and left D f and D g are disjoint but as it must be either right orleft, there are no internal events. Let us now prove by induction that f reverses parity while g preservesit. If (σ, a, b) is minimal, then it is odd and in (A ⊸ B)(1) and thus σ : 0 ⇾ 1. Therefore σ is right and(σ, a, b) ∈ D g . But then g(σ, a, b) is a copy of b ∈ B(1) and thus is odd.Let us now suppose it is not minimal. If it is in the same domain as its direct predecessor, the proof isstraight-forward, if it is not, because of lemma (5.3.6), the height of (σ, a, b), p + q, is even and if σ is left pis odd. Therefore a is odd and f indeed reverses the parity of (σ, a, b). If σ is right then q is even and thusb is even and g indeed preserves the parity of (σ, a, b).Let us now show that f is a partial rigid map of event structures. As A is elementary, it is evident thatit preserves consistency. Let us show that it also preserves down-closure. Let X ⊆ E s be a down-closed setand let (σ, a, b) ∈ X be left, and (P ′ , i ′ , a ′ ) f(σ, a, b) = (P, i, a). If they are equal, the proof is nished,if not, (P ′ , i ′ , a ′ ) ∈ P = f(⌊(σ, a, b)⌋) and thus there is x < (σ, a, b) such that f(x) = (P ′ , i ′ , a ′ ). As X isdown-closed, x ∈ X and thus f(X) is down-closed.It is evident that f is injective as χ A is. There remains to show that f is rigid. Let x y such that f(x)and f(y) both dened. Then if x = y, it is nished, else f(y) = (f(⌊y⌋), i, e) and thus, as f(x) ∈ f(⌊y⌋),f(x) < f(y).

CHAPTER 5. GAMES 42The fact that g is a partial rigid map of event structures is proved the same way.We have shown so far that E(s) is an alternating, rigid, polarised span. Let us now show it is innocent andnegatively saturated.Let (σ, a, b) ∈ s be right and odd (the case left and odd is the same), where σ : p ⇾ q. Then p is evenand thus q is odd. Furthermore, its direct predecessor is (σ − , a, π(b)). If σ − was left that would mean thatq − 1σ ∗ p where q − 1 is even. Then that would imply that qσ ∗ p but that contradicts that σ is right. Thusσ − is right too. Thus f(π(σ, a, b)) = π(b) = π(f(σ, a, b)). As the span is alternating we have indeed provedthat it is innocent.The fact that is is negatively saturated is a direct consequence of the fact that all attainable odd move in astrategy are present in the strategy.Moreover, because s is a strategy there cannot be two events sharing a common odd predecessor, thus allsuch are in conict, and we have proved that E(s) is concrete.As S is elementary, the span is trivially deterministic, as all down-closed subset of S are congurations(without any consideration about their image by f).It is free of negative coincidence up to copying. Indeed, if we have π(σ, a, b) = π(τ, a ′ , b ′ ) and f(σ, a, b)and f(τ, a ′ , b ′ ) are both dened and copies of one another, then σ and τ are both left with the same directpredecessor, thus are equal, and as the schedules are left, b = b ′ . Finally, as the images by f are copies,a = a ′ . The proof in the case where g is dened is the same.□For what follows to work we have to allow span morphism that commute only up to copying, but that doesnot fundamentally change the bicategory.Lemma 5.3.9 :Let s and s ′ be two strategies on A ⊸ B such that there is an inclusion i : s ⊆ s ′ . Then there exists aspan morphism E(i) : E(s) ⇒ E(s ′ ).Moreover this makes E a functor on the hom-categories.∆. The inclusion is exactly the span morphism we are looking for, it is then quite easy to see that it isfunctorial.□Theorem 5.3.10 :G ◦ E is the identity pseudo-functor on G (seem as an enriched category). E ◦ G is the identity on eventstructures and transforms a sequential span into an isomorphic one.∆. Let A be a game, n ∈ N ∗ and a ∈ A(n). Then ⌈a⌉ := {π m (a) | 0 m < n} and thus a is of heightn in E(A). Therefore G ◦ E(A)(n) = A(n). Moreover, as π m (a) π π(a) for all m > 0, the immediatepredecessor of a in E(a) is π(a) and thus G ◦ E(A) = A.Let s be a strategy on A ⊸ B, and x := (σ, a, b) ∈ s (seen as a element of E s ). Let us prove that θ(x) = x.First, f(⌈x⌉) = ⌈a⌉ and g(⌈x⌉) = ⌈b⌉ and thus a x = a and b x = b.Moreover, let us show that yσz ⇐⇒ yσ x z. Let suppose that yσz, then σ y ≺ σ z (in fact (σ z ) y= σ y ).And thus, as f −1 (ϕ f (y)) has for schedule σ y , and g −1 (ϕ g (z)) has for schedule σ z , according to lemma(5.3.4), and that they are both smaller than x, lemma (5.3.5) implies that f −1 (ϕ f (y)) π g −1 (ϕ g (z)) andthus yσ x z.Let us now suppose that yσ x z. It implies in particular that σ y ≺ σ z and thus that the domain of σ zcontains y which implies that yσz.Therefore G ◦ E(s) = θ(E s ) = s.Let A be a liform and concrete event structure, then as all events have a unique height, A = ⊔ n∈N ⋆ G(A)(n).Moreover, as π n (y) A π n−1 (y) A · A y, x π y implies x A y. Reciprocally, if x < A y then x A π(y)and thus, if we suppose by induction on A that x π π(y), then, as π(y) π y, x π y.Thus A and E(G(A)) have the same elements, the same order and are both elementary. They are thereforeequal.

CHAPTER 5. GAMES 43Let us now consider s := (f, S, g) a sequential span from A to B. Then E(G(s)) is the spanθ(S)f′ g ′ !A !Bwhere the order on θ(S) is determined by π on A ⊸ B and the consistency is elementary.Because of lemma (5.2.9) the following diagramfSθ(S)f ′ g ′ !A !Bcommutes up to copying. Indeed, let s ∈ D f , the σ s is left and θ(s) = (σ s , in(s), _) and thus f ′ (θ(s)) is acopy of f(s) and if s ∉ D f then s ∈ D g and thus σ s is right and therefore f ′ (θ(s)) ↑. The commutativity ofthe other triangle is symmetric.Let us show that θ is an isomorphism of event structures. First, let us consider x S y. Then x = π n (y) forsome n ∈ N and thus, according to lemma (5.2.10), θ(x) = θ(π n (y)) = π n (θ(y)). Therefore θ(x) p iθ(y).Moreover as θ is injective, according to lemma (5.2.11),θgx S y ⇐⇒ θ(x) p iθ(y) (5.1)Let X ∈ C o (S), let us show that θ(X) is down-closed. Let x ∈ X and s π θ(x). Then, because θis surjective on θ(S), s = θ(y) for some y ∈ S. But then y S y and as X is down-closed, y ∈ X, thuss ∈ θ(X). Moreover as θ(S) is elementary, it is evident that θ preserves consistency. Finally, as θ is injective,it is injective on congurations. Thus θ is a partial map of event structures.Moreover, as θ is total and injective, it is injective on congurations and thus a monomorphism. Therefore,it suces to show it is rigid (which is already done) and surjective on congurations, to show it is a extremalmap (equivalent of lemma (3.3.3) in E p ) and thus an isomorphism.Let X be conguration in θ(S). As θ is injective and surjective there exist a unique Y ⊆ S such thatθ(Y ) = X. But then Y is down-closed because of the equivalence (5.1). Furthermore, Y is consistent. □Theorem 5.3.11 :E is a pseudo-functor from G to Span seq .∆. The fact that E is a functor on the hom-cats is shown in lemma (5.3.9)Let us now show that E respects the composition of strategies up to isomorphism. Let A, B and C begames, s 1 be a strategy on A ⊸ B and s 2 be a strategy on B ⊸ C. From the previous theorem, it followsthatG ◦ E(s 2 ◦ s 1 ) = (G ◦ E)(s 2 ) ◦ (G ◦ E)(s 1 )and thusIt follows thatand thus thatG(E(s 2 ◦ s 1 )) = G(E(s 2 ) ◦ E(s 1 ))(E ◦ G)(E(s 2 ◦ s 1 )) = (E ◦ G)(E(s 2 ) ◦ E(s 1 ))E(s 2 ◦ s 1 ) ≃ E(s 2 ) ◦ E(s 1 )

CHAPTER 5. GAMES 44Furthermore,Therefore E is a pseudo-functor.E(c A ) = E(c G◦E(A) ) = E(G(cc E(A) )) ≃ cc E(A)□5.4 Innocent gamesIn [HHM07] an other kind of games are described, they are simple games with a monad and a co-monad atthe feet based on heaps. But it is quite straight forward to see that a liform augmentation on an eventstructure with enough copies, is nothing else than a heap.The idea is therefore that in we take sequential spans and relax the rigidity condition, we should obtain thesecond kind of games.It is true that they restrict the kind of heaps you can have on the left and on the right, but it also happensthat innocence as we understand it in our spans, i.e. asking that a negative move in a strategy is alwaysdirect successor to the previous positive move, insures that on the right only the player can backtrack, andon the left (because of the dual), only the opponent can backtrack.It therefore seems that sequential spans without rigidity correspond to the [HHM07] innocent strategies.Moreover, It seems that our composition coincides with the composition of those innocent strategies. But,because of the Kliesli and co-Kliesli constructions, a formal proof would be very technical and thus has notbeen attempted.It is true that these are only claims, but they seem true enough and indicate, along with the proof for thesimple games, that we have here constructed a very powerful and general notion of strategy.

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Appendix ATwo big diagramsα ′(s ⊖ j) ⊖ t (s ⊙ j) ⊖ ts ⊖(j ⊙ t) e ⊖ ts ⊖ es ⊖(j ⊖ t) (s ⊙ e) ⊖ ts ⊖(e ⊙ t) (s ⊖ e) ⊖ ts ⊖(e ⊖ t) Eα(s ⊖ ı) ⊖ t (s ⊙ ı) ⊖ ts ⊖(ı ⊙ t) e ⊖ t s ⊖(ı ⊖ t)s ⊖ eλ ⊖ t s ⊖ ρEλ ⊖ t s ⊖ Eρ Es ⊖ t s ⊖ t s ⊖ Etλ ′ ⊖ te ⊖ tEαs ⊖ e s ⊖ ρ ′Figure A.1: The triangle46

APPENDIX A. TWO BIG DIAGRAMS 47α ′ ⊖ v α ′ ((s ⊖ t) ⊖ u) ⊖ v (e ⊖ u) ⊖ v e ⊖v ((s ⊙ t) ⊖ u) ⊖ v((s ⊖ t) ⊙ u) ⊖ v (Eα) ⊙ v e ⊖ v (e ⊙ u) ⊖ vEα (s ⊖(t ⊙ u)) ⊖ v((s ⊙ t) ⊙ u) ⊖ v(s ⊖ t) ⊖(u ⊙ v) (s ⊖ e) ⊖ vα ⊖ v e ⊖ v Eαe ⊖(u ⊙ v) (s ⊖ t) ⊖ e (s ⊖(t ⊖ u)) ⊖ v(s ⊙(t ⊙ u)) ⊖ v(s ⊙ t) ⊙(u ⊙ v)(s ⊖ t) ⊖(u ⊖ v) (s ⊙ e) ⊖ vEα Eα e ⊖ v (s ⊙ t) ⊖ e e ⊖(u ⊖ v) s ⊖ α (s ⊙(t ⊖ u)) ⊖ vs ⊖((t ⊙ u) ⊙ v)s ⊖(t ⊙(u ⊙ v))(s ⊙ t) ⊖(u ⊖ v) Eα s ⊖(e ⊙ v)s ⊖(t ⊙ e) Eα s ⊖((t ⊖ u) ⊙ v) s ⊖ es ⊖ e s ⊖(t ⊙(u ⊖ v))α ′ s ⊖(Eα)s ⊖ e s ⊖((t ⊙ u) ⊖ v)s ⊖(t ⊖(u ⊙ v)) s ⊖ e s ⊖(e ⊖ v)s ⊖(t ⊖ e) s ⊖((t ⊖ u) ⊖ v) s ⊖(t ⊖(u ⊖ v))s ⊖ α ′α ′Figure A.2: The pentagon

Sixième partieArticle publié à Logic in ComputerScience 2011156

Concurrent StrategiesSilvain RideauEcole Normale Supérieure de Paris, FranceGlynn WinskelComputer Laboratory, University of Cambridge, UKAbstract—A bicategory of very general nondeterministic concurrentgames and strategies is presented. The intention is toformalize distributed games in which both Player (or a team ofplayers) and Opponent (or a team of opponents) can interact inhighly distributed fashion, without, for instance, enforcing thattheir moves alternate.I. INTRODUCTIONThis paper characterizes nondeterministic concurrent strategiesin concurrent games within a very general model ofconcurrent/distributed computation.More precisely, games and strategies are represented asevent structures with polarities to distinguish the moves ofPlayer and Opponent (more accurately thought of as teamsof players and opponents)—cf. [1]. A total map σ ∶ S → Aof event structures with polarity can be understood as apre-strategy in a game A—the map ensures that Player andOpponent respect the constraints of the game. FollowingJoyal’s exposition of Conway games [2], a pre-strategy froma game A to a game B is understood as a pre-strategy ina composite game A ⊥ ∥B, got by setting the dual game ofA, reversing the roles of Player and Opponent, in parallelwith B. Within this general scheme, concurrent strategies—pre-strategies for which copy-cat strategies behave as identitiesw.r.t. composition of pre-strategies—are characterized as thosepre-strategies which satisfy the two conditions of receptivityand innocence.It is sketched how (bi)categories of stable spans, certainprofunctors, Berry’s stable functions, and simple games ariseas sub(bi)categories of concurrent games. The important specialcase of deterministic concurrent strategies coincides withthe receptive ingenuous strategies of Melliès and Mimram [3].Deterministic strategies find direct expression as closure operators,an elegant formulation of deterministic concurrentstrategies in early work of Abramsky and Melliès [4]. Therelation with other work is ongoing and unfinished. There areclear expressions of innocence as “saturation” conditions inearly concurrent games of Laird [5], Ghica and Murawski [6].We have been inspired by the paper of Faggian and Piccolo [7],which in part communicates an idea of Hyland on extendingthe copy-cat strategy to partial orders of moves, a precursorto the distributed copy-cat here and in [7]. 1Not surprisingly, the proofs here are reminiscent of certainproofs in distributed algorithms (we are most familiarwith similar dependency-chasing proofs in security protocols).1 We adopt the term innocence from [7]—it is not directly related toinnocence in Hyland-Ong games [8].More intriguing is the prospect that proofs of distributedalgorithms could embed into the general conceptual frameworkof concurrent games proposed here.II. EVENT STRUCTURES AND STABLE FAMILIESWe quickly review event structures and the broader modelof stable families, their properties and constructions.An event structure comprises (E, Con, ≤), consisting of aset E, of events which are partially ordered by ≤, the causaldependency relation, and a nonempty consistency relation Conconsisting of finite subsets of E, which satisfy{e ′ ∣ e ′ ≤ e} is finite for all e ∈ E,{e} ∈ Con for all e ∈ E,Y ⊆ X ∈ Con ⇒ Y ∈ Con,andX ∈ Con & e ≤ e ′ ∈ X ⇒ X ∪ {e} ∈ Con.The (finite) configurations, C(E), of an event structure Econsist of those finite subsets x ⊆ E which areConsistent: x ∈ Con, andDown-closed: ∀e, e ′ . e ′ ≤ e ∈ x ⇒ e ′ ∈ x.Two events which are both consistent and incomparablew.r.t. causal dependency in an event structure are regardedas concurrent. In games the relation of immediate dependencye ⇾ e ′ , meaning e and e ′ are distinct with e ≤ e ′ and no eventin between, will play a very important role.Operations such as synchronized parallel composition areawkward to define directly on the simple event structuresabove. It is useful to broaden event structures to stable families,where operations are often carried out more easily, andthen turned into event structures by the operation Pr below.A stable family comprises F, a nonempty family of finitesubsets, called configurations, satisfying:Completeness: ∀Z ⊆ F. Z ↑ ⇒ ⋃ Z ∈ F ;Coincidence-freeness: For all x ∈ F, e, e ′ ∈ x with e /= e ′ ,∃y ∈ F. y ⊆ x & (e ∈ y ⇐⇒ e ′ ∉ y) ;Stability: ∀Z ⊆ F. Z /= ∅ & Z ↑ ⇒ ⋂ Z ∈ F.(Z ↑ means ∃x ∈ F∀z ∈ Z. z ⊆ x, and expresses thecompatibility of Z.) We call elements of ⋃ F events of F.Proposition 1. Let x be a configuration of a stable family F.For e, e ′ ∈ x definee ′ ≤ x e iff ∀y ∈ F. y ⊆ x & e ∈ y ⇒ e ′ ∈ y.When e ∈ x define the prime configuration[e] x = ⋂ {y ∈ F ∣ y ⊆ x & e ∈ y} .

Then ≤ x is a partial order and [e] x is a configuration suchthat[e] x = {e ′ ∈ x ∣ e ′ ≤ x e}.Moreover the configurations y ⊆ x are exactly the downclosedsubsets of ≤ x .Proposition 2. Let F be a stable family. Then, Pr(F) = def(P, Con, ≤) is an event structure where:P = {[e] x ∣ e ∈ x & x ∈ F} ,Z ∈ Con iff Z ⊆ P & ⋃ Z ∈ Fp ≤ p ′ iff p, p ′ ∈ P & p ⊆ p ′ .and,A (partial) map of stable families f ∶ F → G is a partialfunction f from the events of F to the events of G such thatfor all configurations x ∈ F,fx ∈ G & (∀e 1 , e 2 ∈ x. f(e 1 ) = f(e 2 ) ⇒ e 1 = e 2 ) .Maps of event structures are maps of their stable families ofconfigurations. Maps compose as functions. We say a map istotal when it is total as a function. Say a total map of eventstructures is rigid when it preserves causal dependency.Pr is the right adjoint of the “inclusion” functor, takingan event structure E to the stable family C(E). The unitof the adjunction E → Pr(C(E)) takes and event e to theprime configuration [e] = def {e ′ ∈ E ∣ e ′ ≤ e}. The counitmax ∶ C(Pr(F)) → F takes prime configuration [e] x to e.Proposition 3. Let E and E ′ be event structures. Supposeθ x ∶ x ≅ θ x x, indexed by x ∈ C(E),is a family of bijections such that whenever θ y ∶ y ≅ θ y y is inthe family then its restriction θ z ∶ z ≅ θ z z is also in the family,whenever z ∈ C(E) and z ⊆ y. Then, θ = def ⋃ x∈C(E) θ x is theunique total map of event structures from E to E ′ such thatθ x = θ x x for all x ∈ C(E).Proposition 4. Let f ∶ F → G be a map of stable families. Lete, e ′ ∈ x, a configuration of F. If f(e) and f(e ′ ) are definedand f(e) ≤ fx f(e ′ ) then e ≤ x e ′ .Definition 5. Let F be a stable family. We use x−⊂y to meany covers x in F, i.e. x ⊂ y in F with nothing in between,and x−⊂y eto mean x ∪ {e} = y for x, y ∈ F and event e ∉ x.We sometimes use x−⊂, eexpressing that event e is enabledat configuration x, when x−⊂y efor some y. W.r.t. x ∈ F,write [e) x = def {e ′ ∈ E ∣ e ′ ≤ x e & e ′ /= e}, so, for example,e[e) x −⊂[e] x . The relation of immediate dependence of eventstructures generalizes: with respect to x ∈ F, the relation e ⇾ xe ′ means e ≤ x e ′ with e /= e ′ and no event in between.A. ProductsIII. PROCESS OPERATIONSLet A and B be stable families with events A and B,respectively. Their product, the stable family A × B, hasevents comprising pairs in A × ∗ B = def {(a, ∗) ∣ a ∈ A} ∪{(a, b) ∣ a ∈ A & b ∈ B}∪{(∗, b) ∣ b ∈ B}, the product of setswith partial functions, with (partial) projections π 1 and π 2 —treating ∗ as ‘undefined’—with configurationsx ∈ A × B iffx is a finite subset of A × ∗ B s.t. π 1 x ∈ A & π 2 x ∈ B,∀e, e ′ ∈ x. π 1 (e) = π 1 (e ′ ) or π 2 (e) = π 2 (e ′ ) ⇒ e = e ′ , &∀e, e ′ ∈ x. e /= e ′ ⇒ ∃y ⊆ x. π 1 y ∈ A & π 2 y ∈ B &(e ∈ y ⇐⇒ e ′ ∉ y) .Right adjoints preserve products. Consequently we obtain aproduct of event structures A and B by first regarding them asstable families C(A) and C(B), forming their product C(A) ×C(B), π 1 , π 2 , and then constructing the event structureA × B = def Pr(C(A) × C(B))and its projections as Π 1 = def π 1 max and Π 2 = def π 2 max.Lemma 6. Suppose e ⇾ x e ′ in a product of stable familiesA × B, π 1 , π 2 .(i) If e = (a, ∗) then e ′ = (a ′ , b) or e ′ = (a ′ , ∗) with a ⇾ π1x a ′in A.(ii) If e ′ = (a ′ , ∗) then e = (a, b) or e = (a, ∗) with a ⇾ π1x a ′in A.(iii) If e = (a, b) and e ′ = (a ′ , b ′ ) then a ⇾ π1x a ′ in A orb ⇾ π2x b ′ in B.B. RestrictionThe restriction of F to a subset of events R is the stablefamily F ↾ R = def {x ∈ F ∣ x ⊆ R} . Defining E ↾ R, therestriction of an event structure E to a subset of events R,to have events E ′ = {e ∈ E ∣ [e] ⊆ R} with causal dependencyand consistency induced by E, we obtain C(E↾R) = C(E)↾R .Proposition 7. Let F be a stable family and R a subset ofits events. Then, Pr(F ↾ R) = Pr(F)↾max −1 R .C. Synchronized compositionsSynchronized parallel compositions are obtained as restrictionsof products to those events which are allowed to synchronizeor occur asynchronously. For example, the synchronizedcomposition of Milner’s CCS on stable families A and B (withlabelled events) is defined as A × B ↾ R where R comprisesevents which are pairs (a, ∗), (∗, b) and (a, b), where inthe latter case the events a of A and b of B carry complementarylabels. Similarly, synchronized compositions of eventstructures A and B are obtained as restrictions A × B ↾ R.By Proposition 7, we can equivalently form a synchronizedcomposition of event structures by forming the synchronizedcomposition of their stable families of configurations, and thenobtaining the resulting event structure—this has the advantageof eliminating superfluous events earlier.D. ProjectionEvent structures support a simple form of hiding. Let (E, ≤, Con) be an event structure. Let V ⊆ E be a subset of ‘visible’events. Define the projection of E on V , to be E↓V = def(V, ≤ V , Con V ), where v ≤ V v ′ iff v ≤ v ′ & v, v ′ ∈ V andX ∈ Con V iff X ∈ Con & X ⊆ V .

IV. EVENT STRUCTURES WITH POLARITIESWe shall represent both a game and a strategy in a game asan event structure with polarity, comprising an event structuretogether with a polarity function pol ∶ E → {+, −} ascribinga polarity + or − to its events E. The events correspondto (occurrences of) moves. The two polarities +/− expressthe dichotomy: Player/Opponent; Process/Environment; orAlly/Enemy. Maps of event structures with polarity are mapsof event structures which preserve polarity.A. Operations1) Dual: The dual, E ⊥ , of an event structure with polarityE comprises a copy of the event structure E but with a reversalof polarities. It obviously extends to a functor. Write e ∈ E ⊥for the event complementary to e ∈ E and vice versa.2) Simple parallel composition: This operation simplyjuxtaposes two event structures with polarity. Let (A, ≤ A, Con A , pol A ) and (B, ≤ B , Con B , pol B ) be event structureswith polarity. The events of A∥B are ({1} × A) ∪ ({2} × B),their polarities unchanged, with: the only relations of causaldependency given by (1, a) ≤ (1, a ′ ) iff a ≤ A a ′ and (2, b) ≤(2, b ′ ) iff b ≤ B b ′ ; a subset of events C is consistent in A∥Biff {a ∣ (1, a) ∈ C} ∈ Con A and {b ∣ (2, b) ∈ C} ∈ Con B . Theoperation extends to a functor—put the two maps in parallel.B. Categories for gamesWe remark that event structures with polarity appear toprovide a rich environment in which to explore structuralproperties of games and strategies. There are adjunctionsPA r ⊢PA # r ⊺⊺PF r ⊢PF # r⊺PE r ⊺PE trelating PE t , the category of event structures with polarity withtotal maps, to subcategories PE r , with rigid maps, PF r offorest-like (or filiform) event structures with rigid maps, andPA r , its full subcategory where polarities alternate along abranch; in PF # r and PA # r distinct branches are inconsistent.We shall mainly be considering games in PE t . Lamarchegames and those of sequential algorithms belong to PA r [9].Conway games inhabit PF # r , in fact a coreflective subcategoryof PE t as the inclusion is now full; Conway’s ‘sum’ isobtained by applying the right adjoint to the ∥-composition ofConway games in PE t . Further refinements are possible. The‘simple games’ of [10], [11] belong to PA −# r , the coreflectivesubcategory of PA # r comprising “polarized” games, startingwith moves of Opponent. The ‘tensor’ of simple games isrecovered by applying the right adjoint of PA −#r ↪ PE tto their ∥-composition in PE t . Generally, the right adjoints,got by composition, from PE t to the other categories fail toconserve immediate causal dependency. Such facts led Mellièset al. to the insight that uses of pointers in game semanticscan be an artifact of working with models of games which donot take account of the independence of moves [1], [3].V. PRE-STRATEGIESLet A be an event structure with polarity, thought of asa game (sometimes called an “arena” in game semantics);its events stand for the possible occurrences of moves ofPlayer (+) and Opponent (−) and its causal dependency andconsistency relations the constraints imposed by the game.A pre-strategy in A is a total map σ ∶ S → A from anevent structure with polarity S. The +-events of S stand forthe moves of Player, generally in answer to the moves ofOpponent, the −-events of S.We shall later refine the definition of pre-strategy to that ofstrategy. For example, in a strategy we expect that it shouldnot be possible for Player to affect the moves of Opponentbeyond the dictates of the game. This and other concerns arenot reflected adequately in the definition of pre-strategy as itstands. What is captured by taking a pre-strategy to be a totalmap σ ∶ S → A is that the behaviour of Player and Opponentas narrated by S respects the constraints of game A; everymove of Player and Opponent is a move allowed by the game.Note that pre-strategies (and strategies) are nondeterministic inthat Player moves may be inconsistent, and are not necessarilydetermined by the preceding Player and Opponent moves. Apre-strategy represents a nondeterministic play of the game.Let A and B be event structures with polarity. FollowingJoyal [2], a pre-strategy from A to B is a pre-strategy in A ⊥ ∥B,so a total map σ ∶ S → A ⊥ ∥B. It thus determines a spanS σ 1σ 2 A ⊥ B ,of event structures with polarity where σ 1 , σ 2 are partial maps.In fact, a pre-strategy from A to B corresponds to such spanswhere for all s ∈ S either, but not both, σ 1 (s) or σ 2 (s) isdefined. Two pre-strategies will be essentially the same whenthey are isomorphic as spans. We write σ ≅ τ, for pre-strategiesσ and τ from A to B when their spans are isomorphic. Wewrite σ ∶ A + B to express that σ is a pre-strategy from Ato B. The notation raises the question of how pre-strategiescompose and the nature of identities.A. Concurrent copy-catIdentities on games are given by copy-cat strategies—strategies for Player based on copying the latest moves madeby Opponent.Let A be an event structure with polarity. The copy-catstrategy from A to A is an instance of a pre-strategy, so atotal map γ A ∶ CC A → A ⊥ ∥A. It describes a concurrent, ordistributed, strategy based on the idea that Player moves, of+ve polarity, always copy previous corresponding moves ofOpponent, of −ve polarity.For c ∈ A ⊥ ∥A we use c to mean the corresponding copy ofc, of opposite polarity, in the alternative component, i.e.(1, a) = (2, a) and (2, a) = (1, a) .

Proposition 8. Let A be an event structure with polarity.There is an event structure with polarity CC A having thesame events, consistency and polarity as A ⊥ ∥A but with causaldependency ≤ CCA given as the transitive closure of the relation≤ A⊥ ∥A ∪ {(c, c) ∣ c ∈ A ⊥ ∥A & pol A⊥ ∥A(c) = +} .Moreover,(i) c ⇾ c ′ in CC A iffc ⇾ c ′ in A ⊥ ∥A or pol A⊥ ∥A(c ′ ) = + & c = c ′ ;(ii) x ∈ C(CC A ) iffx ∈ C(A ⊥ ∥A) & ∀c ∈ x. pol A⊥ ∥A(c) = + ⇒ c ∈ x .Proof. It can first be checked that definingc ≤ CCA c ′ iff (i) c ≤ A⊥ ∥A c ′ or(ii) ∃c 0 ∈ A ⊥ ∥A. pol A⊥ ∥A(c 0 ) = + &yields a partial order. Note thatc ≤ A⊥ ∥A d iff c ≤ A⊥ ∥A d ,c ≤ A⊥ ∥A c 0 & c 0 ≤ A⊥ ∥A c ′ ,used in verifying transitivity and antisymmetry. The relation≤ CCA is clearly the transitive closure of ≤ A⊥ ∥A together with allextra causal dependencies (c, c) where pol A⊥ ∥A(c) = +. Theremaining properties required for CC A to be an event structurefollow routinely.(i) From the above characterization of ≤ CCA .(ii) From CC A and A ⊥ ∥A sharing the same consistency relationand the extra causal dependency adjoined to CC A .Based on Proposition 8, define the copy-cat pre-strategyfrom A to A to be the pre-strategy γ A ∶ CC A → A ⊥ ∥Awhere CC A comprises the event structure with polarity A ⊥ ∥Atogether with extra causal dependencies c ≤ CCA c for all eventsc with pol A⊥ ∥A(c) = +, and γ A is the identity on the set ofevents common to both CC A and A ⊥ ∥A.B. Composing pre-strategiesConsider two pre-strategies σ ∶ A + B and τ ∶ B + C asspans:A ⊥σ 1 S σ 2BT τ 1τ 2 B ⊥ C .We show how to define their composition τ⊙σ ∶ A + C. Ifwe ignore polarities the partial maps of event structures σ 2 andτ 1 have a common codomain, the underlying event structureof B and B ⊥ . The composition τ⊙σ will be constructed asa synchronized composition of S and T , in which outputevents of S synchronize with input events of T , followed byan operation of hiding ‘internal’ synchronization events. Onlythose events s from S and t from T for which σ 2 (s) = τ 1 (t)synchronize; note that then s and t must have oppositepolarities as this is so for their images σ 2 (s) in B and τ 1 (t)in B ⊥ . The event resulting from the synchronization of sand t has indeterminate polarity and will be hidden in thecomposition τ⊙σ.Formally, we use the construction of synchronized compositionand projection of Section III-C. Via projection we hideall those events with undefined polarity.We first define the composition of the families of configurationsof S and T as a synchronized composition of stablefamilies. We form the product of stable families C(S) × C(T )with projections π 1 and π 2 , and then form a restriction:whereC(T )⊙C(S) = def C(S) × C(T ) ↾ RR = {(s, ∗) ∣ s ∈ S & σ 1 (s) is defined} ∪{(s, t) ∣ s ∈ S & t ∈ T & σ 2 (s) = τ 1 (t) with both defined}∪{(∗, t) ∣ t ∈ T & τ 2 (t) is defined} .The stable familyC(T )⊙C(S) is the synchronized compositionof the stable familiesC(S) andC(T ) in which synchronizationsare between events of S and T which project, under σ 2 and τ 1respectively, to complementary events in B and B ⊥ . The stablefamily C(T )⊙C(S) represents all the configurations of thecomposition of pre-strategies, including internal events arisingfrom synchronizations. We obtain the synchronized compositionas an event structure by forming Pr( C(T )⊙ C(S)), inwhich events are the primes ofC(T )⊙C(S). This synchronizedcomposition still has internal events.To obtain the composition of pre-strategies we hide theinternal events due to synchronizations. The event structureof the composition of pre-strategies is defined to beT ⊙S = def Pr(C(T )⊙C(S)) ↓ V ,the projection onto “visible” events,V = {p ∈ Pr(C(T )⊙C(S)) ∣ ∃s ∈ S. max(p) = (s, ∗)} ∪{p ∈ Pr(C(T )⊙C(S)) ∣ ∃t ∈ T. max(p) = (∗, t)} .Finally, the composition τ⊙σ is defined by the spanA ⊥υ 1T ⊙S υ 2 Cwhere υ 1 and υ 2 are maps of event structures, which on eventsp of T ⊙S act so υ 1 (p) = σ 1 (s) when max(p) = (s, ∗)and υ 2 (p) = τ 2 (t) when max(p) = (∗, t), and are undefinedelsewhere.Proposition 9. Above, υ 1 and υ 2 are partial maps of eventstructures with polarity, which together define a pre-strategyυ ∶ A + C. For x ∈ C(T ⊙S),υ 1 x = σ 1 π 1 ⋃ x and υ 2 x = τ 2 π 2 ⋃ x .Proof. Consider the two maps of event structuresu 1 ∶ Pr(C(T )⊙C(S)) →S Π1→A σ1 ⊥ ,u 2 ∶ Pr(C(T )⊙C(S)) →T Π2→C τ2,

where Π 1 , Π 2 are (restrictions of) projections of the productof event structures. E.g. for p ∈ Pr(C(T )⊙C(S)), Π 1 (p) = sprecisely when max(p) = (s, ∗), so σ 1 (s) is defined, or whenmax(p) = (s, t), so σ 1 (s) is undefined. The partial functionsυ 1 and υ 2 are restrictions of the two maps u 1 and u 2 to theprojection set V . But V consists exactly of those events inPr(C(T )⊙ C(S)) where u 1 or u 2 is defined. It follows thatυ 1 and υ 2 are maps of event structures.Clearly one and only one of υ 1 , υ 2 are defined on anyevent in T ⊙S so they form a pre-strategy. Their effect onx ∈ C(T ⊙S) follows directly from their definition.Proposition 10. Let σ ∶ A + B, τ ∶ B + C and υ ∶C + D be pre-strategies. The two compositions υ⊙(τ⊙σ)and (υ⊙τ)⊙σ are isomorphic.Proof. The natural isomorphism S × (T × U) ≅ (S × T ) × U,associated with the product of event structures S, T, U, restrictsto the required isomorphism of spans as the synchronizationsinvolved in successive compositions are disjoint.Remark. We have chosen to project away from internal events,rather than treat them as events of neutral polarity, to obviatethe extra bicategorical complications internal events involve.C. DualityA pre-strategy σ ∶ A + B corresponds to a dual prestrategyσ ⊥ ∶ B ⊥ + A ⊥ . This duality arises from the correspondenceA ⊥σ 1 S σ 2B←→S σ 2σ 1 (B ⊥ ) ⊥ A ⊥ .It is easy to check that the dual of copy-cat, γA ⊥ , is isomorphic,as a span, to the copy-cat of the dual, γ A ⊥, for A an eventstructure with polarity. It is also straightforward, though moreinvolved, to show that the dual of a composition of prestrategies(τ⊙σ) ⊥ is isomorphic as a span to the compositionσ ⊥ ⊙τ ⊥ . Duality, as usual, will save us work.VI. STRATEGIESThis section is devoted to the main result of this paper: thattwo conditions on pre-strategies, receptivity and innocence,are necessary and sufficient in order for copy-cat to behaveas identity w.r.t. the composition of pre-strategies. It becomescompelling to define a (nondeterministic) concurrent strategy,in general, as a pre-strategy which is receptive and innocent.A. Necessity of receptivity and innocenceThe properties of receptivity and innocence of a pre-strategy,described below, will play a central role.Receptivity. Say a pre-strategy σ ∶ S → A is receptive whenσx−⊂ a& pol A (a) = − ⇒ ∃!s ∈ S. x−⊂ s& σ(s) = a , for allx ∈ C(S), a ∈ A. Receptivity ensures that no Opponent movewhich is possible is disallowed.Innocence. Say a pre-strategy σ is innocent when it is both+-innocent and −-innocent:+-Innocence: If s ⇾ s ′ & pol(s) = + then σ(s) ⇾ σ(s ′ ).−-Innocence: If s ⇾ s ′ & pol(s ′ ) = − then σ(s) ⇾ σ(s ′ ).The definition of a pre-strategy σ ∶ S → A ensures that themoves of Player and Opponent respect the causal constraints ofthe game A. Innocence restricts Player further. Locally, withina configuration, Player may only introduce new relations ofimmediate causality of the form ⊖ ⇾ ⊕ . Thus innocencegives Player the freedom to await Opponent moves beforemaking their move, but prevents Player having any influenceon the moves of Opponent beyond those stipulated in the gameA; more surprisingly, innocence also disallows any immediatecausality of the form ⊕ ⇾ ⊕, purely between Player moves,not already stipulated in the game A.Two important consequences of −-innocence:Lemma 11. Let σ ∶ S → A be a pre-strategy. Suppose, fors, s ′ ∈ S, that[s) ↑ [s ′ ) & pol S (s) = pol S (s ′ ) = − & σ(s) = σ(s ′ ) .(i) If σ is −-innocent, then [s) = [s ′ ).(ii) If σ is receptive and −-innocent, then s = s ′ .[x ↑ y expresses the compatibility of x, y ∈ C(S).]Proof. (i) Assume the property above holds of s, s ′ ∈ S.Assume σ is −-innocent. Suppose s 1 ⇾ s. Then by −-innocence, σ(s 1 ) ⇾ σ(s). As σ(s ′ ) = σ(s) and σ is a map ofevent structures there is s 2 < s ′ s.t. σ(s 2 ) = σ(s 1 ). But s 1 , s 2both belong to the configuration [s) ∪ [s ′ ) so s 1 = s 2 , as σ isa map, and s 1 < s ′ . Symmetrically, if s 1 ⇾ s ′ then s 1 < s. Itfollows that [s) = [s ′ ). (ii) Now both [s) −⊂ sand [s) −⊂ s′withσ(s) = σ(s ′ ) where both s, s ′ have −ve polarity. If, further, σis receptive, s = s ′ .Let x and x ′ be configurations of an event structure withpolarity. Write x ⊆ − x ′ to mean x ⊆ x ′ and pol(x ′ ∖ x) ⊆{−}, i.e. the configuration x ′ extends the configuration x solelyby events of −ve polarity. In the presence of −-innocence,receptivity strengthens to the following useful property:Lemma 12. Let σ ∶ S → A be a −-innocent pre-strategy. Thepre-strategy σ is receptive iff whenever σx ⊆ − y there is aunique x ′ ∈ C(S) so that x ⊆ x ′ & σx ′ = y . Diagrammatically,σx ⊆ x ′σσx ⊆ − y .[It will necessarily be the case that x ⊆ − x ′ .]Proof. “if”: Clear. “Only if”: Assuming σx ⊆ − y we canform a covering chainσx−⊂y a11 ⋯−⊂y ann = y .By repeated use of receptivity we obtain the existence of x ′where x ⊆ x ′ and σx ′ = y. To show the uniqueness of x ′suppose x ⊆ z, z ′ and σz = σz ′ = y. Suppose that z /= z ′ .Then, without loss of generality, suppose there is a ≤ S -minimal

s ′ ∈ z ′ with s ′ ∉ z. Then [s ′ ) ⊆ z. Now σ(s ′ ) ∈ y so thereis s ∈ z for which σ(s) = σ(s ′ ). We have [s), [s ′ ) ⊆ z so[s) ↑ [s ′ ). By Lemma 11(ii) we deduce s = s ′ so s ′ ∈ z, acontradiction. Hence, z = z ′ .It is useful to define innocence and receptivity on partialmaps of event structures with polarity.Definition 13. Let f ∶ S → A be a partial map of eventstructures with polarity. Say f is receptive whenf(x) a−⊂ & pol A (a) = − ⇒ ∃!s ∈ S. x s−⊂ & f(s) = afor all x ∈ C(S), a ∈ A.Say f is innocent when it is both +-innocent and −-innocent,i.e.s ⇾ s ′ & pol(s) = + & f(s) is defineds ⇾ s ′ & pol(s ′ ) = − & f(s ′ ) is defined⇒f(s ′ ) is defined & f(s) ⇾ f(s ′ ) ,⇒f(s) is defined & f(s) ⇾ f(s ′ ) .Proposition 14. A pre-strategy σ ∶ A + B is receptive,respectively +/−-innocent, iff both the partial maps σ 1 andσ 2 of its span are receptive, respectively +/−-innocent.Proposition 15. For σ ∶ A + B a pre-strategy, σ 1 isreceptive, respectively +/−-innocent, iff (σ ⊥ ) 2 is receptive,respectively +/−-innocent; σ is receptive and innocent iff σ ⊥is receptive and innocent.The next lemma will play a major role in importing receptivityand innocence to compositions of pre-strategies.Lemma 16. For pre-strategies σ ∶ A + B and τ ∶ B + C,if σ 1 is receptive, respectively +/−-innocent, then (τ⊙σ) 1 isreceptive, respectively +/−-innocent.Proof. Abbreviate τ⊙σ to υ.Receptivity: We show the receptivity of υ 1 assuming that σ 1is receptive. Let x ∈ C(T ⊙S) such that υ 1 x−⊂ ain C(A ⊥ ) withpol A ⊥(a) = −. By Proposition 9, σ 1 π 1 ⋃ x−⊂ awith π 1 ⋃ x ∈C(S). As σ 1 is receptive there is a unique s ∈ S such thatπ 1 ⋃ x−⊂ sin S and σ 1 (s) = a. It follows that ⋃ x (s,∗)−⊂z, forsome z, in C(T )⊙C(S). Defining p = def [(s, ∗)] z we obtainx−⊂ pand υ 1 (p) = a, with p the unique such event.Innocence: Assume that σ 1 is innocent. To show the +-innocence of υ 1 we first establish a property of the ⇾-relationin the event structure Pr( C(T )⊙ C(S)), the synchronizedcomposition of event structures S and T , before projectionto V :If e ⇾ e ′ in Pr(C(T )⊙C(S)) with e ∈ V , pol(e) = +and υ 1 (e) defined, then e ′ ∈ V and υ 1 (e ′ ) is defined.Assume e ⇾ e ′ in Pr(C(T )⊙ C(S)), e ∈ V , pol(e) = + andυ 1 (e) is defined. From the definition of Pr(C(T )⊙C(S)), theevent e is a prime configuration of C(T )⊙C(S) where max(e)must have the form (s, ∗), for some event s of S where σ 1 (s)is defined. By Lemma 6, max(e ′ ) has the form (s ′ , ∗) or(s ′ , t) with s ⇾ s ′ in S. Now, as s ⇾ s ′ and pol(s) = +,from the +-innocence of σ 1 , we obtain σ 1 (s) ⇾ σ 1 (s ′ ) inA ⊥ ∥A. Whence σ 1 (s ′ ) is defined ensuring max(e ′ ) = (s ′ , ∗).It follows that e ′ ∈ V and υ 1 (e ′ ) is defined.Now suppose e ⇾ e ′ in T ⊙S. Then either(i) e ⇾ e ′ in Pr(C(T )⊙C(S)), or(ii) e ⇾ e 1 < e ′ in Pr(C(T )⊙C(S)) for some ‘invisible’event e 1 ∉ V .But the above argument shows that case (ii) cannot occurwhen pol(e) = + and υ 1 (e) is defined. It follows that whenevere ⇾ e ′ in T ⊙S with pol(e) = + and υ 1 (e) defined, then υ 1 (e ′ )is defined and υ 1 (e) ⇾ υ 1 (e ′ ), as required.The argument showing −-innocence of υ 1 assuming that ofσ 1 is similar.Corollary 17. For pre-strategies σ ∶ A + B and τ ∶ B + C,if τ 2 is receptive, respectively +/−-innocent, then (τ⊙σ) 2 isreceptive, respectively +/−-innocent.Proof. By duality using Lemma 16: if τ 2 is receptive, respectively+/−-innocent, then (τ ⊥ ) 1 is receptive, respectively+/−-innocent, and hence (σ ⊥ ⊙τ ⊥ ) 1 = ((τ⊙σ) ⊥ ) 1 = (τ⊙σ) 2is receptive, respectively +/−-innocent.Lemma 18. For an event structure with polarity A, the prestrategycopy-cat γ A ∶ A + A is receptive and innocent.Proof. Receptive: Suppose x ∈ C(CC A ) such that γ A x−⊂cin C(A ⊥ ∥A) where pol A⊥ ∥A(c) = −. Now γ A x = x andx ′ = def x ∪ {c} ∈ C(A ⊥ ∥A). Proposition 8(ii) characterizesthose configurations of A ⊥ ∥A which are also configurationsof CC A : the characterization applies to x and to its extensionx ′ = x ∪ {c} because of the −ve polarity of c. Hencex ′ ∈ C(CC A ) and x−⊂x c ′ in C(CC A ), and clearly c is uniqueso γ A (c) = c.−-Innocent: Suppose c ⇾ c ′ in CC A and pol(c ′ ) = −. ByProposition 8(i), c ⇾ c ′ in A ⊥ ∥A. The argument for +-innocence is similar.Theorem 19. Let σ ∶ A + B be a pre-strategy from A to B.If σ⊙γ A ≅ σ and γ B ⊙σ ≅ σ, then σ is receptive and innocent.Let σ ∶ A + B and τ ∶ B + C be pre-strategies whichare both receptive and innocent. Then their composition τ⊙σ ∶A + C is receptive and innocent.Proof. We know the copy-cat pre-strategies γ A and γ B arereceptive and innocent—Lemma 18. Assume σ⊙γ A ≅ σ andγ B ⊙σ ≅ σ. By Lemma 16, (σ⊙γ A ) 1 is receptive and innocentso σ 1 is receptive and innocent. From its dual, Corollary 17,(γ B ⊙σ) 2 so σ 2 is receptive and innocent. Hence σ is receptiveand innocent.Assume that σ ∶ A + B and τ ∶ B + C are receptive andinnocent. The fact that σ is receptive and innocent ensuresthat (τ⊙σ) 1 is receptive and innocent, that τ is receptive andinnocent that (τ⊙σ) 2 is too. Combining, we obtain that τ⊙σis receptive and innocent.In other words, if a pre-strategy is to compose well withcopy-cat, in the sense that copy-cat behaves as an identityw.r.t. composition, the pre-strategy must be receptive and

innocent. Copy-cat behaving as identity is a hallmark ofgame-based semantics, so any sensible definition of concurrentstrategy will have to ensure receptivity and innocence.B. Sufficiency of receptivity and innocenceIn fact, as we will now see, not only are the conditions ofreceptivity and innocence on pre-strategies necessary to ensurethat copy-cat acts as identity. They are also sufficient.Technically, this section establishes that for a pre-strategyσ ∶ A + B which is receptive and innocent both the compositionsσ⊙γ A and γ B ⊙σ are isomorphic to σ. We shall concentrateon the isomorphism from σ⊙γ A to σ. The isomorphismfrom γ B ⊙σ to σ follows by duality.Recall, from Section V-B, the construction of the prestrategyσ⊙γ A as a total map S⊙CC A → A ⊥ ∥B. The eventstructure S⊙CC A is built from the synchronized compositionof stable families C(S)⊙C(CC A ), a restriction of the productof stable families to events{(c, ∗) ∣ c ∈ CC A & γ A1 (c) is defined} ∪{(c, s) ∣ c ∈ CC A & s ∈ S & γ A2 (c) = σ 1 (s)} ∪{(∗, s) ∣ s ∈ S & σ 2 (t) is defined} ∶C(S)⊙C(CC A )π 1π 2C(CC A )C(S) γ A1γA2 σ 1σ 2 C(A ⊥ ) C(A) C(A ⊥ ) C(B)Finally S⊙CC A is obtained from the prime configurationsof C(S)⊙C(CC A ) whose maximum events are defined underγ A1 π 1 or σ 2 π 2 .We will first present the putative isomorphism from σ⊙γ Ato σ as a total map of event structures θ ∶ S⊙CC A → S. Thedefinition of θ depends crucially on the lemmas below. Theyinvolve special configurations of C(S)⊙C(CC A ), viz. those ofthe form ⋃ x , where x is a configuration of S⊙CC A .Lemma 20. For x ∈ C(S⊙CC A ),(c, s) ∈ ⋃ x ⇒ (c, ∗) ∈ ⋃ x .Proof. The case when pol(c) = + follows directly becausethen c ⇾ c in CC A so (c, ∗) ⇾ ⋃ x (c, s).Suppose the lemma fails in the case when pol(c) = −, so thereis a ≤ ⋃ x -maximal (c, s) ∈ ⋃ x such thatpol(c) = − & (c, ∗) ∉ ⋃ x . (†)The event (c, s) cannot be maximal in ⋃ x as its maximalevents take the form (c ′ , ∗) or (∗, s ′ ). There must be e ∈ ⋃ xfor which(c, s) ⇾ ⋃ x e .Consider the possible forms of e:Case e = (c ′ , s ′ ): Then, by Lemma 6, either c ⇾ c ′ in CC Aor s ⇾ s ′ in S. However if s ⇾ s ′ then, as pol(s) = + byinnocence, σ 1 (s) ⇾ σ 1 (s ′ ) in A ⊥ , so γ A2 (c) ⇾ γ A2 (c ′ ) inA; but then c ⇾ c ′ in CC A . Either way, c ⇾ c ′ in CC A .Suppose pol(c ′ ) = +. Then,(c, s) ⇾ ⋃ x (c, ∗) ⇾ ⋃ x (c ′ , ∗) ⇾ ⋃ x (c ′ , s ′ ) .But this contradicts (c, s) ⇾ ⋃ x (c ′ , s ′ ).Suppose pol(c ′ ) = −. Because (c, s) is maximal such that(†), (c ′ , ∗) ∈ ⋃ x. But (c, ∗) ⇾ ⋃ x (c ′ , ∗) whence (c, ∗) ∈ ⋃ x,contradicting (†).Case e = (∗, s ′ ): Now (c, s) ⇾ ⋃ x (∗, s ′ ). By Lemma 6, s ⇾s ′ in S with pol(s) = +. By innocence, σ 1 (s) ⇾ σ 1 (s ′ ) and inparticular σ 1 (s ′ ) is defined, which forbids (∗, s ′ ) as an eventof C(S)⊙C(CC A ).Case e = (c ′ , ∗): Now (c, s) ⇾ ⋃ x (c ′ , ∗). By Lemma 6,c ⇾ c ′ in CC A . Because (c, s) and (c ′ , ∗) are events ofC(S)⊙C(CC A ) we must have γ 2 (c) and γ 1 (c ′ ) are defined—they are in different components of CC A . By Proposition 8,c ′ = c, contradicting (†).In all cases we obtain a contradiction—hence the lemma.Lemma 21. For x ∈ C(S⊙CC A ),σ 1 π 2 ⋃ x ⊆ − γ A1 π 1 ⋃ x .Proof. As a direct corollary of Lemma 20, we obtain:σ 1 π 2 ⋃ x ⊆ γ A1 π 1 ⋃ x .The current lemma will follow provided all events of +vepolarity in γ A1 π 1 ⋃ x are in σ 1 π 2 ⋃ x. However, (c, s) ⇾ ⋃ x(c, ∗), for some s ∈ S, when pol(c) = +.Lemma 22. For x ∈ C(S⊙CC A ),Proof.σπ 2 ⋃ x ⊆ − σ⊙γ A x .σπ 2 ⋃ x = σ 1 π 2 ⋃ x ∪ σ 2 π 2 ⋃ x⊆ − γ A1 π 1 ⋃ x ∪ σ 2 π 2 ⋃ x , by Lemma 21= σ⊙γ A x , by Proposition 9.Lemma 22 is the key to defining a map θ ∶ S⊙CC A → S viathe following map-lifting property of receptive maps:Lemma 23. Let σ ∶ S → C be a total map of eventstructures with polarity which is receptive and −-innocent.Let p ∶ C(V ) → C(S) be a monotonic function, i.e. such thatp(x) ⊆ p(y) whenever x ⊆ y in C(V ). Let υ ∶ V → C be atotal map of event structures with polarity such that∀x ∈ C(V ). σp(x) ⊆ − υ x .Then, there is a unique total map of event structures withpolarity θ ∶ V → S such that ∀x ∈ C(V ). p(x) ⊆ − θ x and

υ = σθ ∶θθVp⊆− S υ−⊆σC .[We use a broken arrow to signify that p is not a map of eventstructures.]Proof. Let x ∈ C(V ). Then σp(x) ⊆ − υ x. Define Θ(x) to bethe unique configuration ofC(S), determined by the receptivityof σ, such thatp(x)σ⊆ −Θ(x)σσp(x) ⊆ − υ x .Define θ x to be the composite bijectionθ x ∶ x ≅ υx ≅ Θ(x)where the bijection x ≅ υx is that determined locally by thetotal map of event structures υ, and the bijection υx ≅ Θ(x) isthe inverse of the bijection σ ↾ Θ(x) ∶ Θ(x) ≅ υ x determinedlocally by the total map σ.Now, let y ∈ C(V ) with x ⊆ y. We claim that θ x is therestriction of θ y . This will follow once we have shown thatΘ(x) ⊆ Θ(y). Then, treating the inclusions as inclusion maps,both squares in the diagram below will commute:θ y ∶ y ≅ υ y ≅ Θ(y)⊆θ x ∶ x≅⊆υ x≅⊆Θ(x)This will make the composite rectangle commute, i.e. makeθ x the restriction of θ y .To show Θ(x) ⊆ Θ(y) we suppose otherwise. Then thereis an event s ∈ Θ(x) of minimum depth w.r.t. ≤ S such thats ∉ Θ(y). Note that pol(s) = −, as otherwise s ∈ p(x) ⊆p(y) ⊆ Θ(y). As σ(s) ∈ υ x ⊆ υ y there is s ′ ∈ Θ(y) such thatσ(s ′ ) = σ(s). From the minimality of s, both [s), [s ′ ) ⊆ Θ(y)ensuring the compatibility of [s) and [s ′ ). By Lemma 11(ii),s = s ′ and s ∈ Θ(y)—a contradiction.By Proposition 3, the family θ x , x ∈ C(V ), determinesthe unique total map θ ∶ V → S such that θ x = Θ(x). Byconstruction, p(x) ⊆ − θ x, for all x ∈ C(V ), and υ = σθ. Thisproperty in itself ensures that θ x = Θ(x) so determines θuniquely.In Lemma 23, instantiate p ∶ C(S⊙CC A ) → C(S) tothe function p(x) = π 2 ⋃ x for x ∈ C(S⊙CC A ), the mapσ to the pre-strategy σ ∶ S → A ⊥ ∥B and υ to the prestrategyσ⊙γ A . By Lemma 22, σπ 2 ⋃ x ⊆ − σ⊙γ A x, so theconditions of Lemma 23 are met and we obtain a total mapθ ∶ S⊙CC A → S such that π 2 ⋃ x ⊆ − θ x, for all x ∈C(S⊙CC A ),and σθ = σ⊙γ A :p⊆−S⊙CC A Sσ σ⊙γ A A ⊥ ∥B .The next lemma is used in showing θ is an isomorphism.Lemma 24. (i) Let z ∈ C(S)⊙C(CC A ). If e ≤ z e ′ and π 2 (e)and π 2 (e ′ ) are defined, then π 2 (e) ≤ S π 2 (e ′ ). (ii) The mapπ 2 is surjective on configurations.Proof. (i) It suffices to show whene ⇾ z e 1 ⇾ z ⋯ ⇾ z e n−1 ⇾ z e ′with π 2 (e) and π 2 (e ′ ) defined and all π 2 (e i ), 1 ≤ i ≤ n − 1,undefined, that π 2 (e) ≤ S π 2 (e ′ ).Case n = 1, so e ⇾ z e ′ : Use Lemma 6. If either e or e ′has the form (∗, s) then the other event must have the form(∗, s ′ ) or (c ′ , s ′ ) with s ⇾ s ′ in S. In the remaining casee = (c, s) and e ′ = (c ′ , s ′ ) with either (1) c ⇾ c ′ in CC A ,and γ A2 (c) ⇾ γ A2 (c ′ ) in A, or (2) s ⇾ s ′ in S. If (1),σ 1 (s) ⇾ σ 1 (s ′ ) in A ⊥ where s, s ′ ∈ π 2 z. By Proposition 4,s ≤ S s ′ . In either case (1) or (2), π 2 (e) ≤ S π 2 (e ′ ).Case n > 1: Each e i has the form (c i , ∗), for 1 ≤ i ≤ n − 1.By Lemma 6, events e and e ′ must have the form (c, s) and(c ′ , s ′ ) with c ⇾ c 1 and c n−1 ⇾ c ′ in CC A . As γ A1 (c) andγ A2 (c 1 ) are defined, c 1 = c and similarly c n−1 = c ′ . Again byLemma 6, c i ⇾ c i+1 in CC A for 1 ≤ i ≤ i − 2. Consequentlyγ A2 (c) ≤ A γ A2 (c ′ ). Now, s, s ′ ∈ π 2 z with σ 1 (s) ≤ A ⊥ σ 1 (s ′ ).By Proposition 4, s ≤ S s ′ , as required.(ii) Let y ∈ C(S). Then σ 1 y ∈ C(A ⊥ ) and by the clearsurjectivity of γ A2 on configurations there exists w ∈ C(CC A )such that γ A2 w = σ 1 y. Now letz = {(c, ∗) ∣ c ∈ w & γ A1 (c) is defined}∪ {(c, s) ∣ c ∈ w & s ∈ y & γ A2 (c) = σ 1 (s)}∪ {(∗, s) ∣ s ∈ y & σ 2 (s) is defined} .Then, from the definition of the product of stable families—III-A, it can be checked that z ∈ C(S)⊙C(CC A ). By construction,π 2 z = y. Hence π 2 is surjective on configurations.Theorem 25. θ ∶ σ⊙γ A ≅ σ, an isomorphism of pre-strategies.Proof. We show θ is an isomorphism of event structuresby showing θ is rigid and both surjective and injective onconfigurations (Lemma 3.3 of [12]). The rest is routine.Rigid: It suffices to show p ⇾ p ′ in S⊙CC A implies θ(p) ≤ Sθ(p ′ ). Suppose p ⇾ p ′ in S⊙CC A with max(p) = e andmax(p ′ ) = e ′ . Take x ∈ C(S⊙CC A ) containing p ′ so p too.Thene ⇾ ⋃ x e 1 ⇾ ⋃ x ⋯ ⇾ ⋃ x e n−1 ⇾ ⋃ x e ′where e, e ′ ∈ V and e i ∉ V for 1 ≤ i ≤ n − 1. (V consistsof ‘visible’ events of the form (c, ∗) with γ A1 (c) defined, or(∗, s), with σ 2 (s) defined.)−⊆

Case n = 1, so e ⇾ ⋃ x e ′ : By Lemma 6, either (i) e = (∗, s)and e ′ = (∗, s ′ ) with s ⇾ s ′ in S, or (ii) e = (c, ∗) ande ′ = (c ′ , ∗) with c ⇾ c ′ in CC A .If (i), we observe, via σθ = σ⊙γ A , that s ∈ π 2 ⋃ x ⊆ θx andθ(p) ∈ θx with σ(θ(p)) = σ(s), so θ(p) = s by the localinjectivity of σ. Similarly, θ(p ′ ) = s ′ , so θ(p) ≤ S θ(p ′ ).If (ii), we obtain θ(p), θ(p ′ ) ∈ θx with σ 1 θ(p) = γ A1 (c),σ 1 θ(p ′ ) = γ A1 (c ′ ) and γ A1 (c) ⇾ γ A1 (c ′ ) in A ⊥ . By Proposition4, θ(p) ≤ S θ(p ′ ).Case n > 1: Note e i = (c i , s i ) for 1 ≤ i ≤ n − 1, and that s 1 ≤ Ss n−1 by Lemma 24(i). Consider the case in which e = (c, ∗)and e ′ = (c ′ , ∗)—the other cases are similar. By Lemma 6,c ⇾ c 1 and c n−1 ⇾ c ′ in CC A . But γ A1 (c) and γ A2 (c 1 )are defined, so c 1 = c, and similarly c n−1 = c ′ . We remarkthat θ(p) = s 1 , by the local injectivity of σ, as both s 1 ∈π 2 ⋃ x ⊆ θx and θ(p) ∈ θx with σ(θ(p)) = σ(s 1 ). Similarlyθ(p ′ ) = s n−1 , whence θ(p) ≤ S θ(p ′ ).Surjective: Let y ∈ C(S). By Lemma 24(ii), there is z ∈C(S)⊙C(CC A ) such that π 2 z = y. Letz ′ = z ∪ {(c, ∗) ∣ pol(c) = + & ∃s ∈ S. (c, s) ∈ z} .It is straightforward to check z ′ ∈ C(S)⊙C(CC A ). Now letz ′′ = z ′ ∖ {(c, ∗) ∣ pol(c) = − & ∀s ∈ S. (c, s) ∉ z ′ } .Then z ′′ ∈ C(S)⊙C(CC A ) by the following argument. The setz ′′ is certainly consistent, so it suffices to showpol(c) = − & (c, ∗) ≤ z ′ e ∈ z ′′ ⇒ ∃s ∈ S. (c, s) ∈ z ′ ,for all c ∈ CC A and e ∈ z ′′ . This we do by induction on thenumber of events between (c, ∗) and e. Supposepol(c) = − & (c, ∗) ⇾ z ′ e 1 ≤ z ′ e ∈ z ′ .In the case where e 1 = (c 1 , s 1 ), we deduce c ⇾ c 1 in CC Aand as γ A1 (c) is defined while γ A2 (c 1 ) is defined, we musthave c 1 = c, as required. In the case where e 1 = (c 1 , ∗) andpol(c 1 ) = −, by induction, we obtain (c 1 , s 1 ) ∈ z ′ for somes 1 ∈ S. Also c ⇾ c 1 , so c ⇾ c 1 in CC A . As z ′ is a configurationwe must have (c, s) ≤ z ′ (c 1 , s 1 ), for some s ∈ S, so (c, s) ∈ z ′ .In the case where e 1 = (c 1 , ∗) and pol(c 1 ) = +, we havec ⇾ c 1 in CC A . Moreover, (c 1 , s) ∈ z ′ , for some s ∈ S, as z ′ isa configuration and c 1 ⇾ c 1 in CC A . Again, from the fact thatz ′ is a configuration, there must be (c, s) ∈ z ′ for some s ∈ S.We have exhausted all cases and conclude z ′′ ∈ C(S)⊙C(CC A )with θz ′′ = π 2 z = y, as required to show θ is surjective onconfigurations.Injective: Abbreviate σ⊙γ A to υ. Assume θx = θy, wherex, y ∈ C(S⊙CC A ). Via the commutativity υ = σθ, we observeυx = σθ x = σθ y = υy .Recall by Proposition 9, that υ 1 x = γ A1 π 1 ⋃ x = π 1 ⋃ x. Itfollows that(c, ∗) ∈ ⋃ x ⇐⇒ c ∈ υ 1 x ⇐⇒ c ∈ υ 1 y ⇐⇒ (c, ∗) ∈ ⋃ y .Observe(∗, s) ∈ ⋃ x ⇐⇒ σ 2 (s) is defined & s ∈ θx ∶“⇒” by the local injectivity of σ 2 , as p = def [(∗, s)] ⋃ x yieldsθ(p) ∈ θx and s ∈ π 2 ⋃ x ⊆ θx with σ 2 (θ(p)) = σ 2 (s), soθ(p) = s; “⇐” as σ 2 (s) defined and s ∈ θx entails s = θ(p)for some p ∈ x, necessarily with max(p) = (∗, s). Hence(∗, s) ∈ ⋃ x ⇐⇒ σ 2 (s) is defined & s ∈ θx⇐⇒ σ 2 (s) is defined & s ∈ θy⇐⇒ (∗, s) ∈ ⋃ y .Assuming (c, s) ∈ ⋃ x we now show (c, s) ∈ ⋃ y. (Theconverse holds by symmetry.) There is p ∈ x, such that (c, s) ∈p. If max(p) = (∗, s ′ ) (also in ⋃ y as it is visible) then as π 2is rigid, s ≤ s ′ and we must have (c ′ , s) ∈ ⋃ y. Otherwise,max(p) = (d, ∗) and we can suppose (by taking p minimal)that (c, s) ≤ ⋃ x (d ′ , s ′ ) ⇾ ⋃ x (d, ∗). But then θ(p) = s ′ ∈ θx =θy. Also s ≤ S s ′ , by the rigidity of π 2 , and, as we have seenbefore, d ′ = d with d ′ −ve. Hence s ′ is +ve and as θy isa −ve extension of π 2 ⋃ y we must have s ′ ∈ π 2 ⋃ y. Hencethere is (∗, s ′ ) or (c ′′ , s ′ ) in ⋃ y, and as s ≤ S s ′ there is some(c ′ , s) ∈ ⋃ y. In both cases, γ A2 (c ′ ) = σ 1 (s) = γ A2 (c), soc ′ = c, and thus (c, s) ∈ ⋃ y.We conclude ⋃ x = ⋃ y, so x = y, as required for injectivity.C. The bicategory of concurrent games and strategiesDefine a strategy to be a pre-strategy which is receptiveand innocent. We obtain a bicategory, Games, in whichthe objects are event structures with polarity—the games, thearrows from A to B are strategies σ ∶ A + B and the 2-cellsare maps of spans. The vertical composition of 2-cells is theusual composition of maps of spans. Horizontal compositionis given by the composition of strategies ⊙ (which extendsto a functor on 2-cells via the functoriality of synchronizedcomposition). The isomorphisms expressing associativity andthe identity of copy-cat are those of Proposition 10 andTheorem 25 with its dual.An alternative description of concurrent strategies exhibitsthe correspondence between innocence and earlier “saturationconditions,” reflecting specific independence, in [5], [6], [3]:Proposition 26. A strategy S in a game A comprises a totalmap of event structures with polarity σ ∶ S → A such that(i) σx−⊂ a& pol A (a) = − ⇒ ∃!s ∈ S. x−⊂ s& σ(s) = a , forall x ∈ C(S), a ∈ A.(ii)(+) If x−⊂x e e ′1 −⊂ & pol S (e) = + in C(S) and σx σ(e′ )−⊂ inC(A), then x e′−⊂ in C(S).(ii)(−) If x e−⊂x 1e ′−⊂ & pol S (e ′ ) = − in C(S) and σx σ(e′ )−⊂ inC(A), then x e′−⊂ in C(S).D. Deterministic strategiesSay an event structure with polarity S is deterministic iff∀X ⊆ fin S. Neg[X] ∈ Con S ⇒ X ∈ Con S ,where Neg[X] = def {s ′ ∈ S ∣ ∃s ∈ X. pol S (s ′ ) = − & s ′ ≤ s}.Say a strategy σ ∶ S → A is deterministic if S is deterministic.

Proposition 27. An event structure with polarity S is deterministiciff x−⊂ s& x−⊂ s′& pol S (s) = + implies x ∪ {s, s ′ } ∈C(S), for all x ∈ C(S).A copy-cat strategy can fail to be deterministic in the twoways allowed by Proposition 27.Example 28. (i) Take A to consist of two +ve events and one−ve event, with any two but not all three events consistent.The construction of CC A is pictured:A ⊥⊖ ⇾ ⊕⊖ ⇾ ⊕ A⊕ ⇽ ⊖CC A is not deterministic: take x to be the set of all three −veevents in CC A and s, s ′ to be the two +ve events in the Acomponent.(ii) Take A to consist of two events, one +ve and one −veevent, inconsistent with each other. The construction CC A :A ⊥⊖ ⇾ ⊕ A⊕ ⇽ ⊖To see CC A is not deterministic, take x to be the singleton setconsisting e.g. of the −ve event on the left and s, s ′ to be the+ve and −ve events on the right.Lemma 29. Let A be an event structure with polarity. Thecopy-cat strategy γ A is deterministic iff A satisfies∀x ∈ C(A). x a−⊂ & x a′−⊂ & pol A (a) = + & pol A (a ′ ) = −⇒ x ∪ {a, a ′ } ∈ C(A) . (‡)Lemma 30. The composition τ⊙σ of two deterministic strategiesσ and τ is deterministic.We obtain a sub-bicategory DGames of Games; itsobjects satisfy (‡) of Lemma 29 and its maps are deterministicstrategies. Moreover DGames can be made equivalent to aorder-enriched category via the following proposition, whichensures deterministic strategies in A correspond to certainsubfamilies of the configurations of A.Proposition 31. A deterministic strategy is injective on configurations(and therefore mono as a map of event structures).A deterministic strategy σ ∶ S → A determines, as the imageof the configurations C(S), a subfamily F = def σ C(S) ofconfigurations of C(A), which satisfies:reachability: ∅ ∈ F and if x ∈ F there is a covering chain∅−⊂x a1 a 2 a k1−⊂⋯ −⊂xk = x within F ;determinacy: If x−⊂ aand x−⊂ a′in F with pol A (a) = +, thenx ∪ {a, a ′ } ∈ F ;receptivity: If x ∈ F and x−⊂ ain C(A) and pol A (a) = −, thenx ∪ {a} ∈ F ;+-innocence: If x−⊂x a a ′1 −⊂ & pol A (a) = + in F and x−⊂a′in C(A), then x a′−⊂ in F ;cube: In F , x 1 e y 1 abb e x y zab ae y 2x 2(Here receptivity implies −-innocence.)impliesxe .Theorem 32. A subfamily F ⊆ C(A) satisfies the conditionsabove iff there is a deterministic strategy σ ∶ S → A such thatF = σC(S), the image of C(S) under σ.VII. RELATED WORK—EARLY RESULTS1) Stable spans, profunctors and stable functions: The subbicategoryof Games where the events of games are purely+ve is equivalent to the bicategory of stable spans [12]. In thiscase, strategies correspond to stable spans:A ⊥σ 1 S σ 2B←→ S +σ 1− σ2+ A B ,where S + is the projection of S to its +ve events; σ 2+ is therestriction of σ 2 to S + , necessarily a rigid map by innocence;σ2 − is a demand map taking x ∈ C(S + ) to σ1 − (x) = σ 1 [x] ; here[x] is the down-closure of x in S. Composition of stable spanscoincides with composition of their associated profunctors. Ifwe further restrict strategies to be deterministic (and, strictly,event structures to be countable) we obtain a bicategoryequivalent to Berry’s dI-domains and stable functions.2) Ingenuous strategies: Via Theorem 32, deterministicconcurrent strategies coincide with the receptive ingenuousstrategies of Melliès and Mimram [3].3) Closure operators: In [4], deterministic strategies arepresented as closure operators. A deterministic strategy σ ∶S → A determines a closure operator ϕ on possibly infiniteconfigurations C ∞ (S): for x ∈ C ∞ (S),ϕ(x) = x ∪ {s ∈ S ∣ pol(s) = + & Neg[{s}] ⊆ x} .Clearly ϕ preserves intersections of configurations and iscontinuous. The closure operator ϕ onC ∞ (S) induces a partialclosure operator ϕ p on C ∞ (A). This in turn determines aclosure operator ϕ ⊺ p on C ∞ (A) ⊺ , where configurations areextended with a top ⊺, cf. [4]: take y ∈ C ∞ (A) ⊺ to the least,fixed point of ϕ p above y, if such exists, and ⊺ otherwise.4) Simple games: “Simple games” [10], [11] arise whenwe restrict Games to objects and deterministic strategies inPA −# r , described in Section IV-B.5) Extensions: Games, such as those of [8], [13], allowingcopying are being systematized through the use of monadsand comonads [11], work now feasible on event structureswith symmetry [12]. Nondeterministic strategies can potentiallysupport probability as probabilistic or stochastic eventstructures [14] to become probabilistic or stochastic strategies.

6) Other models: Event structures occupy a central positionamongst models for concurrency. The techniques here transferto other models such as Mazurkiewicz trace languages,asynchronous transition systems and Petri nets, some of whichwould appear more suitable for algorithmic and logical considerationsin that they support looping behaviour.ACKNOWLEDGMENTThe authors thank the anonymous referees. Thanks toPierre-Louis Curien, Marcelo Fiore, Jonathan Hayman, MartinHyland, Paul-André Melliès, Samuel Mimram and GordonPlotkin for helpful remarks. GW acknowledges with gratitudethe support of a Royal Society Leverhulme Trust SeniorFellowship and Advanced Grant ECSYM of the ERC.REFERENCES[1] P.-A. Melliès, “Asynchronous games 2: The true concurrency of innocence,”Theor. Comput. Sci. 358(2-3): 200-228, 2006.[2] A. Joyal, “Remarques sur la théorie des jeux à deux personnes,” Gazettedes sciences mathématiques du Québec, 1(4), 1997.[3] P.-A. Melliès and S. Mimram, “Asynchronous games : innocence withoutalternation,” in CONCUR ’07, ser. LNCS, vol. 4703. Springer, 2007.[4] S. Abramsky and P.-A. Melliès, “Concurrent games and full completeness,”in LICS ’99. IEEE Computer Society, 1999.[5] J. Laird, “A games semantics of idealized CSP,” Vol 45 of ElectronicBooks in Theor. Comput. Sci., 2001.[6] D. R. Ghica and A. S. Murawski, “Angelic semantics of fine-grainedconcurrency,” in FOSSACS’04. LNCS 2987, Springer, 2004.[7] C. Faggian and M. Piccolo, “Partial orders, event structures and linearstrategies,” in TLCA ’09, ser. LNCS, vol. 5608. Springer, 2009.[8] J. M. E. Hyland and C.-H. L. Ong, “On full abstraction for PCF:I, II, and III.” Inf. Comput. 163(2): 285-408, 2000.[9] P.-L. Curien, “On the symmetry of sequentiality,” in MFPS, ser. LNCS,no. 802. Springer, 1994, pp. 29–71.[10] M. Hyland, “Game semantics,” in Semantics and Logics of Computation,A. Pitts and P. Dybjer, Eds. Publications of the Newton Institute, 1997.[11] R. Harmer, M. Hyland, and P.-A. Melliès, “Categorical combinatoricsfor innocent strategies,” in LICS ’07. IEEE Computer Society, 2007.[12] G. Winskel, “Event structures with symmetry,” Electr. Notes Theor.Comput. Sci., vol. 172, pp. 611–652, 2007.[13] S. Abramsky, R. Jagadeesan, and P. Malacaria, “Full abstraction forPCF,” Inf. Comput. 163(2): 409-470, 2000.[14] D. Varacca, H. Völzer, and G. Winskel, “Probabilistic event structuresand domains,” Theor. Comput. Sci. 358(2-3): 173-199, 2006.

Septième partieRapport de stage de license eninformatique168

Rapport de stage :Allocation de registres validéeSilvain RideauEncadrant : Xavier LeroyProjet Gallium, INRIA RocquencourtJuin - Juillet 2009

Je remercie Xavier Leroy de m’avoir proposé ce stage et de m’avoir suivi au cours de ces 2 mois, Jean-Baptiste Tristan et Tahina Ramanandro, ainsi que toute l’équipe Gallium pour l’accueil que j’ai reçu dans leprojet et pour leur patience face a mes incessantes questions. Je remercie aussi Laurence Rideau, CatherineKikuchi et Jérémy Daniel pour leurs corrections.0.1 Contexte et motivations0.1.1 La compilation vérifiée, CompcertLa question “ comment écrire du code juste ?” est apparue avec l’informatique. Si dans un premier temps laréponse fut : “testons le code”, il est vite apparu que cette solution n’est que partielle. Une approche récente,privilégiée pour les codes dits critiques, est généralement de certifier le programme : c’est à dire de prouverformellement, avec l’aide d’un ordinateur, que les lignes de codes écrites produisent bien le résultat souhaité.Cependant, dans cette approche, les preuves se font sur langage de haut niveau qui est ensuite compilé. Decette façon, rien n’assure que ce que l’on a prouvé sur le code source soit encore vérifié par le code compilé.Pour que l’effort de preuve ne soit pas vain, il faut disposer d’un compilateur dont il a été prouvé qu’il estlui-même correct. C’est l’objectif que se fixe le projet Compcert : écrire un compilateur de C dont il a étéprouvé formellement que le code source et le code produit ont la même sémantique.Par ailleurs, si la compilation vérifiée est nécessaire pour que la preuve de programme ait un sens, il estégalement pratique de disposer d’un compilateur qui fonctionne. On évite ainsi de se rendre compte au boutd’un temps plus ou moins long que ce n’est pas son propre code qui est bugué mais le code produit qui contientune erreur due au compilateur.0.1.2 Certification vs ValidationIl existe deux façons de certifier un compilateur, ou un programme en général. La première, la plus naturelle,consiste à montrer que le code lui même est correct. La plupart des passes de Compcert sont faites seloncette méthode (on pourra se référer à [Ler09b] pour une description plus complète du compilateur et de sonfonctionnement ; voire [Ler09a] pour les détails du développement). Mais pour des programmes compliquéscela peut être relativement fastidieux, c’est le cas de passes d’optimisations plus évoluées.Il existe alors une autre approche : la validation a posteriori. On ne prouve plus le code de la passe luimême.Mais lors de l’exécution, on exécute un autre programme qui compare le code avant la passe et le codeaprès la passe et vérifie qu’il font bien la même chose. Ce validateur est par contre prouvé. Il ne rend vrai quesi la sémantique du code source et du code modifié est la même.Ce problème n’est pas en général décidable mais le devient pour une transformation spécifique. Le validateurne sera donc pas complet au sens que certains programmes ayant la même sémantique ne seront pas reconnuscomme identiques, cependant il peut quand même être assez général pour reconnaître toutes les sorties correctesde la passe. On pourra se référer à [LT09] pour un exemple de transformation validée a posteriori.La validation présente cependant quelques menus défauts. On est en mesure de montrer qu’il n’y a pasde faux positif, mais pas de montrer qu’il n’y a pas de faux négatif. il faut donc avoir recours aux tests pourvérifier la complétude du validateur. La validation ne met pas non plus à l’abri des bugs dans la passe. S’il y ena ils seront repérés, mais encore faut-il les corriger. Un code certifié, par contre, ne peut contenir de bugs. C’estcependant cette approche qui sera adoptée ici car ne pas avoir à prouver la passe permet des optimisationsqu’on ne saurait pas prouver sinon, ou alors en faisant un effort démesuré par rapport à la relative simplicitéde la preuve du validateur.0.1.3 L’allocation de registresCompcert dispose déjà d’une allocation de registre certifiée. On est donc en droit de se demander pourquoifaire un validateur pour cette même passe. C’est qu’en fait l’allocation actuelle n’est pas pleinement satisfai-1

sante. Le problème que doit résoudre l’allocation est d’associer au nombre arbitraire de variables présentesdans le code, un des emplacements mémoire qui sont en nombre fini. Il est donc évident que cela ne peut pastoujours réussir, il faut alors “spiller”, c’est à dire associer la variable non pas à un des registres du microprocesseurmais à un emplacement de la pile. On veut cependant éviter au maximum de spiller ; allouer sur lapile et lire sur la pile ayant un coup plus élevé que si la variable est simplement dans un registre.L’allocation de registre actuelle de Compcert utilise une méthode simpliste pour traiter le spilling qui esttout à satisfaisante pour l’assembleur cible actuel, le powerpc, qui dispose de 2 fois 32 registres. Cependantpour des microprocesseurs comme le X86 qui disposent de beaucoup moins de registres, le code produit neserait pas efficace du tout.Il est donc nécessaire de modifier cette allocation. Mais plutôt que prouver des transformations complexes,on préfère procéder en deux temps. Tout d’abord écrire et prouver (ici en coq) un validateur pour l’allocation,puis écrire (ici en ocaml) une passe d’allocation de registres qui soit plus satisfaisante.2

Chapitre 1Un validateur pour l’allocation1.1 Spécifications de l’allocation de registre1.1.1 Les langages traitésComme on peut le voir sur la figure 1.1, la passe d’allocation de registres de Compcert prend en entrée unRTL (Registre Transfert Language) et produit un LTL (Location Transfert Language). Dans ces deux langages,les fonctions sont représentées par un graphe de flot de contrôle c’est à dire un ensemble d’instructions quipointent vers leurs successeurs.Les instructions disponibles en RTL et en LTL sont identiques, la seule différence est la nature des variables.En RTL elles sont représentées par un entier strictement positif (un pseudo-registre), en LTL elles sontreprésentées par des emplacements qui sont soit des registres physiques, soit des emplacements de pile.On commence donc par définir ce qu’est un graphe de flot de contrôle avant de spécifier le RTL et le LTL.Définition 1.1.1 (Fonctions et graphes de flot de contrôle de variables dans V). Soit un ensemble V devariables, on définit les instructions par :i := nop(s) pas d’opération (aller en s)| op(op, ⃗ν, ν, s) opération arithmétique| load(chunk, mode, ⃗ν, ν, s) chargement en mémoire| store(chunk, mode, ⃗ν, ν, s) lecture en mémoire| call(sig, (ν| id), ⃗ν, ν, s) appel de fonction| tailcall(sig, (ν| id), ⃗ν) appel terminal de fonction| cond(cond, ⃗ν, s true , s false ) brancement conditionnel| return | return(ν) retour de fonctionoù– s ∈ N ∗ est l’étiquette du successeur (de même pour s true et s false dans les cas où il y a 2 successeurs),– ν ∈ V est une variable (et ⃗ν une suite finie de variables),– op est une opération du microprocesseur (parmi lesquelles move qui jouera un rôle particulier),– chunk est un bloc mémoire, mode un mode d’adressage,– sig est la signature d’une fonction, c’est à dire les types (int ou float) de ses arguments,– id ∈ N ∗ est l’identifiant d’une fonction,– cond est une instruction conditionnelle du microprocesseur.On note def(i) l’ensemble des variables définies par l’instruction i. C’est un singleton (dans les cas op,call et load) ou l’ensemble vide (dans les autres cas). On note aussi used k (i) la k-ième variable utilisée parl’instruction i.3

parsing, elaboration(not verified)simplificationsstack pre-Clight C#minor Cminortype elimination-allocationbranch tunnelingLCM CSEinstructionselectionLTLincodelinearizationLTLregisterallocationRTLCFGconstructionCminorSelspilling, reloadingcalling conventionsinstr. schedulingconstant propagationlayout ofPowerPC codeLinear Mach PPCstack framesgenerationassembling, linking(not verified)Figure 1: Compilation Fig. passes 1.1 – and Lesintermediate passes de Compcert languages.forms of switch On such définit as Duff’s les graphes device; de passing flot de struct contrôle and comme overloading des fonctions is resolved; partielles memory loads de domaine and stores, fini asqui wellàasun point deunion parameters and results by value; and functions address computations, are made explicit. The next intermediatelanguage, Cminor, is similar to C#minor with thewith variable contrôle numbers associent of arguments. une instruction Other features : ofC are missing from Clight but are supported { through omission of the & (address-of) operator. Cminor functionlocal→ {instructions}code expansion (“de-sugaring”) during parsing: side effects D ⊂ N∗g :=variables do not reside où in |D| memory, < ∞ and their addresswithin expressions (Clight expressions are side-effect free) pc cannot ↦→ be taken. i However, Cminor supports explicit stackand block-scoped variables (Clight has only global and allocation of data in the activation records of functions. Thefunction-local On variables). notera dorénavant D f le domaine de toute translation fonctionfrom partielle C#minor f. to Cminor therefore recognizesThe semantics of Clight is formally defined in big-step operationalstyle. The semantics is deterministic and makes signing them to Cminor local variables and making themscalar local variables whose addresses are never taken, as-Enfin on définit les fonctions par :precise a number of behaviors left unspecified or undefined candidates for register allocation later; other local variablesin the ISO C standard, such as the sizes of data types, the resultsof signed arithmetic operations in case of overflow, and The compiler back-end starts with an instruction se-f := arefun(⃗ν, stack-allocated pc, g) : sig in the activation record.the evaluation oùorder. Other undefined C behaviors are consistentlyturned into “going wrong” behaviors, such as deref-combined arithmetic instructions (add-immediate, not-and,lection pass, which recognizes opportunities for using– ⃗ν sont les variables qui contiennent les arguments de la fonction,erencing the null pointer or accessing arrays out of bounds. rotate-and-mask, etc.) and addressing modes provided byMemory is modeled – pc ∈as N ∗ a est collection le point of disjoint d’entrée blocks, de g, each le graphe thede target flot de processor. contrôleThis de lapass fonction, proceeds by bottom-upblock being accessed – sig est through la signature byte offsets; de pointer la fonction valueset aredonc rewriting les typesof deCminor ses arguments. expressions. The target language ispairs of a block Onidentifier noteraand g a byte offset. This way, pointer CminorSel, a processor-dependent variant of Cminor thatarithmetic is modeled accurately, f le graphe de flot de contrôle associé à une fonction f et succeven in the presence ofgf (i) l’ensemble des successeursoffers additional operators, addressing modes, and a class ofcasts between du point incompatible de contrôle pointer i dans types. le graphe de flot de condition contrôle expressions g f . (expressions evaluated for their truthvalue only).3.2 Compilation passes and intermediate languagesDéfinition 1.1.2 (Register Transfert Language register (RTL)). transfer Une fonction language where RTL est control uneisfonction represented dont as ales variablesThe next pass translates CminorSel to RTL, a classicThe formally sont desverified pseudo-registres, part of the CompCert i.e. un élément compiler de N ∗ . control-flow graph (CFG). Each node of the graph carriestranslates from On Clight noteraabstract instruction syntaxRTL to PPC une instruction abstract dont a machine-level les variables instruction sont desoperating pseudo-registres. over temporariessyntax, PPC being a subset of PowerPC assembly language. (pseudo-registers). RTL is a convenient representation toAs depicted in figure 1, the compiler is composed of conduct optimizations based on dataflow analyses. TwoDéfinition 1.1.3 (Location Transfert Language (LTL)). On définit les emplacements par :14 passes that go through 8 intermediate languages. Not such optimizations are currently implemented: constantdetailed in figure 1 are the parts of the compiler that are not propagation and common subexpression elimination, theverified yet: upstream, a parser, type-checker and l simplifier := reg(r) latter being unperformed registre physique via value numbering over extendedthat generates Clight abstract syntax from C source | files stack(n, basic t) un blocks. emplacement A third optimization, de pile lazy code motion,and is based on the CIL library [21]; downstream, a printer was developed separately and will be integrated soon.for PPC abstract où syntax trees in concrete assembly syntax, Unlike the other two optimizations, lazy code motion isfollowed by generation of executable binary using the implemented following the verified validator approach [24].system’s assembler – r est andlelinker.nom d’un registre physique de l’assembleur After these cible, optimizations, register allocation is performedThe front-end – nof ∈the Z est compiler décalage translates par away rapport C-specific au pointeur via coloring de frame. of an interference graph [6]. The output of thisfeatures in two – passes, t est le going type through de lathe donnée C#minor (intand ouCmi-nor intermediate languages. C#minor is a simplified, type-are replaced by hardware registers or abstract stack loca-float) stockée pass is LTL, à ceta emplacement.language similar to RTL where temporariesless variant of Clight where distinct arithmetic operators are tions. The control-flow graph is then “linearized”, producingprovided for integers, Une fonction pointersLTL and floats, est une andfonction C loops are dont replacedby infinite De même loops plus onblocks notera andinstruction multi-level exits LTLfromune instruction conditional donc branches. les variables Next, spills sont anddes reloads emplacements.are insertedles variables a list of instructions sont deswith emplacements.explicit labels, conditional and un-enclosing blocks. The first pass translates C loops accordinglyand eliminates all type-dependent behaviors:around instructions that reference temporaries that were aloperator4

Fig. 1.2 – En bleu, Le RTL source et en rouge le LTL produit (calcul de la suite de Fibonacci)5

1.1.2 L’allocationComme on peut le voir sur la figure 1.2, et comme on pourrait le deviner en regardant les langagessources et cibles, le seul rôle de la passe d’allocation est de spécifier, à chaque instruction, quels emplacementscontiendront les pseudo-registres que l’on avait dans le RTL. La structure du graphe est donc dans les grandeslignes identique à l’exception des move rajoutés par l’allocation si un pseudo-registre doit être stockée dansplusieurs emplacements (“spilling” des registres vers la pile, “reloading” de la pile vers les registres et “splitting”d’un registre vers un registre), et des move qui disparaissent si deux pseudo-registres sont en fait stockés dansle même emplacement (“coalescing”). On suppose alors que le move a été remplacé par un nop. On a donc uneinjection des points de contrôle du RTL vers les points de contrôle du LTL qui indique quelle est l’instructiontransformée qui correspond à l’instruction présente dans le RTL source.Il faut ajouter que l’allocation de registre de Compcert fait aussi de l’élimination de code mort, on peut doncavoir une instruction autre qu’un move auquel correspond un nop dans le LTL. Le LTL peut aussi comporterdes nop qui ne correspondent à aucune instruction du RTL, particulièrement dans le cas où l’allocateur auraitsplitté une variable mais aurait après coup réussi à la mettre quand même dans le même registre (cas fréquentdans le code produit par live range splitting présenté en deuxième partie).Formalisons les conditions sur le LTL produit par l’allocation en fonction du RTL source car c’est cettedéfinition qui permettra la mise au point du validateur spécifique à l’allocation de registres. Cette définitionfait intervenir une fonction de correspondance entre les points de contrôle du RTL et ceux du LTL que leprogramme qui fait la transformation peut facilement donner mais sans laquelle il est beaucoup plus difficilede vérifier l’équivalence sémantique des deux codes.Définition 1.1.4 (Caractéristiques du résultat de l’allocation). Soient g f : D gf ⊂ N ∗ → {instructions RTL}un graphe RTL, g f t : D gf t⊂ N ∗ → {instructions LTL} un graphe LTL, et ϕ : D ϕ ⊂ N ∗ → N ∗ une fonctionpartielle. On suppose que ϕ a la caractéristique suivante :∀i ∈ D gf , ∀j ∈ N ∗ , i = ϕ(j) ⇒ j ∈ D gf t(1.1)Cette condition indique simplement que ϕ associe bien des points de contrôle du LTL aux points de contrôledu RTL.Soit i ∈ D gf ∩ Im(ϕ), c’est à dire un point de contrôle du RTL qui a un transformé dans le LTL, soitj ∈ D gf ttel que i = ϕ(j) donné par l’hypothèse sur ϕ.On suppose tout d’abord que l’on a g f (i) ≃ g f t(j) ce que l’on définit par :g f (i) ∼ = gf t(j)∨ (g f (i) = op( , , , ) ∧ g f t(j) = nop( ))∨ (g f (i) = load( , , , , ) ∧ g f t(j) = nop( ))où ∼ = dénote l’égalité de deux instructions aux variables et aux successeurs près.On demande de plus que si j s est un point de contrôle successeur de j dans f, il existe alors (i l ) l=1...k telsque pour tout l ∈ 1; k − 1,i l ∉ D ϕ et g f t(i l ) = nop(i l+1 ) ou g f t(i l ) = move(x, y, i l+1 )où x, y sont deux emplacements et queϕ(i k ) = j sOn peut résumer tout cela dans le diagramme de la figure 1.3, où P gigraphe g.désigne le point de contrôle i dans le6

P f jϕ,≃P f tiP f j sϕP f ti k+ nop,move;̸ϕFig. 1.3 – Hypothèse sur le triplet (f, f t , ϕ) pour une allocation1.2 L’algorithme de validationOn suppose que l’on dispose d’un allocateur de registre qui prend en entrée une fonction RTL f et renden sortie une fonction LTL f t et une fonction partielle ϕ de domaine fini telle que le triplet (f, f t , ϕ) (que l’onnommera dorénavant triplet résultat) vérifie la propriété définie en 1.1.4. On cherche donc à vérifier que detels f et f t ont le même comportement. Ainsi restreint, le problème devient décidable. En effet, il faut justevérifier que les emplacements utilisés dans f t contiennent bien la même valeur que les pseudo-registres utilisésdans f.Cependant, comme il a été remarqué précédemment, ce validateur ne validera pas n’importe quelle transformation.Le RTL source et le LTL produit auront beau avoir la même sémantique, le validateur répondrafaux s’ils ne vérifient pas les hypothèses fixées dans la définition 1.1.4. Il y a donc une notion de complétude quise rajoute par dessus celle de correction. Le validateur qui rend toujours faux est correct au sens où s’il rendvrai alors les deux codes ont même sémantique. Cet exemple, un peu extrême, montre bien tout l’importancede la complétude.On ne prouve cependant que la correction des validateurs, la complétude étant non seulement difficile àdéfinir mais aussi à démontrer. Le code prouvé du validateur peut donc présenter encore deux faiblesses. S’ilne fait pas de faux positif (ce qui est déjà fondamental), rien ne dit qu’il ne fasse pas de faux négatif. On adonc recours, une fois de plus, aux tests pour se convaincre que, d’une part le code que l’on a écrit ne contientpas de bug qui lui ferait rendre faux un peu trop souvent et que, d’autre part, les hypothèses que l’on a prisesau départ sur le code produit ne sont pas trop restrictives.1.2.1 Validation de ϕLa première étape dans la validation du triplet (f, f t , ϕ) est de vérifier que ϕ vérifie bien l’hypothèsevoulue. Cette étape est triviale (voir algorithme 1) mais nécessaire car rien ne garantit que le ϕ rendu parl’allocateur de registre ne soit pas faux, ce qui rendrait toute la validation qui suit inutile.Algorithme 1 valid ϕRequire: (f, f t , ϕ)Ensure: ϕ vérifie la condition de la définition 1.11: for all i ∈ D ϕ verify2: if ϕ(i) ∈ D gf then3: i ∈ D gf t4: else5: true6: end if7: end for7

1.2.2 Validation de la structure du LTLLa deuxième étape consiste à vérifier que la structure du LTL vérifie bien l’hypothèse que l’on s’est fixéeen 1.1.4, i.e. qu’on a bien le diagramme 1.3 en tous points de contrôle qui se correspondent.Algorithme 2 valid structRequire: (f, f t , ϕ)Ensure: le diagramme 1.3 est vrai en tous points de f et f t se correspondant par ϕ et les instructions sontidentiques.1: for all j ∈ D gf tverify2: if j ∈ D ϕ then3: soit i = ϕ(j)4: if i ∈ D gf then5: if g f t(j) ∼ = g f (i) ∨ ((g f (i) = op ∨ g f (i) = load) ∧ g f t(j) = nop) then6: for all s ∈ succ gf t(j) verify7: soit s ′ le successeur correspondant dans g f8: valid succ(f, f t , ϕ, s ′ , s)9: end for10: else11: false12: end if13: else14: false15: end if16: else17: true18: end if19: end forL’algorithme 2 remplit cette fonction. Il faut préciser que :– Le successeur correspondant est défini de façon évidente. Si i a un seul successeur, j en a alors aussi unseul correspondant à celui de i. Par contre si i a plusieurs successeurs (deux en fait que l’on note s trueet s false , si g f t(i) est un branchement conditionnel), alors j a aussi deux successeurs s ′ true et s ′ falseet ona bien sûr s true qui correspond à s ′ true et s false qui correspond à s ′ false .– valid succ est l’algorithme 3 qui vérifie qu’on a bien une suite de nop et de move du point de contrôles de f t jusqu’au point de contrôle correspondant par ϕ au point de contrôle s ′ de f.1.2.3 Validation des emplacements choisisC’est cette partie de la validation qui est réellement intéressante et originale (on pourra se référer à [HCS06]pour un autre exemple de validateur pour l’allocation). Afin de vérifier que les emplacements utilisés sont bienles bons, on veut annoter le graphe avec des égalités entre pseudo-registres et emplacements déduites desdéfinitions, et vérifier que toute utilisation d’emplacement est en accord avec les égalités calculées. En fait, Onveut construire la figure 1.4 à partir de la figure 1.2.C’est une analyse statique sur les deux graphes de flot de contrôle qui peut se formuler en terme d’uneanalyse Dataflow sur le graphe LTL. On pourra se référer à [ALSU] et [App98] pour une description pluspoussée de ce type d’analyse.Un exemple pour éclairer tout cela :Exemple 1 (Calcul des équations). Supposons qu’au point de contrôle i du LTL on ait une instruction quidéfinisse un certain emplacement l et que dans l’instruction RTL qui lui corresponde, c’est le pseudo-registre8

Algorithme 3 valid succRequire: (f, f t , ϕ, s ′ , s)Ensure: Il existe une suite de nop et move dans f t qui débute en s et fini au point de contrôle correspondantà s ′1: if s ∈ D ϕ then2: ϕ(s) = s ′3: else4: if g f t(s) = nop( ) ∨ g f t(s) = op(move, ( ), , ) then5: Soit s ′′ le successeur de s dans g f t6: validation du successeur (f, f t , ϕ, s ′ , s ′′ )7: else8: return false9: end if10: end ifr qui est défini.On sait alors que dans la suite du programme, du moins jusqu’à ce que l ou r soit redéfini, r est égal à l(ce que l’on notera r ≡ l). On sait de plus que toute égalité concernant r ou l est dorénavant fausse. On peutdonc écrire, en notant η l’ensemble d’égalités que l’on avait avant le point de contrôle i et ψ la fonction detransfert qui associe les équations de sortie aux équations d’entrées en un point de contrôle, queψ(i, η) = (η\{r ′ ≡ l ′ | r = r ′ ∨ l = l ′ }) ∪ {r ≡ l}Dans le cas d’un “coalescing” (nop au point de contrôle i du LTL et op(move, (x), y, ) au point de contrôlecorrespondant du RTL), on apprend que tous les emplacements égaux à x sont maintenant aussi égaux à y,mais que toute égalité précédente concernant y est maintenant fausse. On écrit donc queψ(i, η) = (η\{y ≡ l | l emplacement}) ∪ {y ≡ l | x ≡ l ∈ η}Enfin, dans le cas d’un “spilling”, d’un “reloading” ou d’un “splitting” (op(move, (x), y, ) au point decontrôle i et pas de point de contrôle RTL correspondant), de façon tout à fait symétrique, on apprend quetous les pseudo-registres égaux à x sont maintenant aussi égaux à y et que toute égalité précédente concernanty est maintenant fausse. Ce qui s’écritψ(i, η) = (η\{r ≡ y | r pseudo-registre}) ∪ {r ≡ y | r ≡ x ∈ η}On voit donc que ces équations se calculent par une recherche de point fixe en calculant en chaque point decontrôle, les équations à la sortie du point de contrôle en connaissant celles à l’entrée. Les équations à l’entrée,quant à elles, sont l’intersection des équations de sortie des points de contrôle précédents, i.e. les équationsqui sont vraies sur toutes les branches du programme qui peuvent mener à ce point.Il manque seulement à cette description la condition initiale : les équations d’entrée du point d’entrée dugraphe sont celles qui sont fournies par les paramètres de la fonction. Si le RTL a pour paramètres r 1 , r 6 et leLTL l 3 , l 4 , on sait alors qu’à l’entrée du point d’entrée du graphe {r 1 ≡ l 3 , r 6 ≡ l 4 }.Si cette analyse vers l’avant semble convenir, elle n’est en pratique pas réalisable. C’est en fait une recherchede plus grand point fixe alors que dans l’exemple 1 on la traitait comme une recherche de plus petit pointfixe en faisant croître les ensembles d’équations. Il faut donc revoir la fonction de transition, commencer avecdes ensembles d’équations complets que l’on diminue au fur et à mesure. Cela pose un certain nombre deproblèmes.Cependant, en modifiant légèrement ce que l’on cherche, l’analyse Dataflow devient possible. En effet, aulieu de chercher à calculer toutes les équations que l’on connaît à partir des définitions et de vérifier que lors9

Fig. 1.4 – Un RTL et un LTL annotés (calcul de la suite de Fibonacci)10

des utilisations cela correspond bien, on peut calculer les équations dont on a besoin à partir des utilisationset vérifier que lors des définitions cela correspond bien. On a alors un problème d’analyse Dataflow en arrière(qui est bien une recherche de plus petit point fixe) dont les caractéristiques sont les suivantes :Définition 1.2.1 (Équations de l’analyse Dataflow arrière pour le calcul des égalités entre pseudo-registres etemplacements). On note E ≡ l’ensemble des ensembles d’équations pseudo-registre emplacement, i.e. l’ensemblequi contient ce dont on veut annoter le graphe.Soit (f, f t , ϕ) un triplet résultat dont on a déjà vérifié que la structure est correcte. Soit i ∈ D gf t. Soientηiin ∈ E ≡ et ηi out ∈ E ≡ .On a :etη outi =η ini⋃ηjinj∈succ gf t (i)= ψ(i, η outi )où ψ est la fonction définie dans les six cas suivants – dans l’un desquels on est forcément comme lastructure a été validée :1. Coalescing (i ∈ D ϕ , g f t(i) = nop ∧ g f (ϕ(i)) = op(move, (x), y, )) :ψ(i, η outi) = (η out \{y ≡ l | l emplacement}) ∪ {x ≡ l | y ≡ l ∈ η out2. Dead code : i ∈ D ϕ , g f t(i) = nop ∧ g f (ϕ(i)) ≠ op(move, (x), y, )Si quelque soit r ≡ l ∈ ηiout , r ∉ def(g f (ϕ(i))) alorsSinon l’analyse échoue.iψ(i, ηiout ) = ηiout3. Splitting, spilling, reloading : i ∉ D ϕ , g f t(i) = op(move, (x), y, ),η ini= ψ(i, η outii }) = (η out \{r ≡ y | r pseudo-registre}) ∪ {r ≡ x | r ≡ y ∈ η outii }4. nop rajouté : i ∉ D ϕ , g f t(i) = nop,ψ(i, ηiout ) = ηiout5. Call : i ∈ D ϕ , g f t(i) = call ∧ g f (ϕ(i)) = call,Notons η = ηiout \{def(g f (ϕ(i))) ≡ def(g f t(i))}.Si quelque soit r ∈ def(g f (ϕ(i))) et l ∈ def(g f t(i)), r ≡ l est compatible avec ηioutr ≡ l ∈ η, l ne fait pas partie des registres détruits lors d’un appel alorset si quelque soitSinon l’analyse échoue.ψ(i, ηiout ) = η ∪ {used k (g f (j)) ≡ used k (g f t(i))} k∈N6. Cas normal : i ∈ D ϕ , mais on est dans aucun des cinq cas précédents,Si quelque soit r ∈ def(g f (ϕ(i))) et l ∈ def(g f t(i)), r ≡ l est compatible avec ηiout alorsψ(i, η outiSinon l’analyse échoue.) = (η out \{r ≡ l | r ∈ def(g f ) ∧ l ∈ def(g f t)}) ∪ {used k (g f ) ≡ used k (g f t)} k∈Ni11

Algorithme 4 dataflowRequire: ψ la fonction de transition de l’analyse Dataflow, succ la fonction qui, à un point de contrôle,associe l’ensemble de ses successeurs, et M une borne du domaine du graphe.Ensure: les plus petits ηiout et ηiin qui remplissent les équations Dataflow.1: for 0 < i < M do2: η out = ∅i3: ηiin= ∅4: end for5: todo = 1; M6: while todo ≠ ∅ do7: Soit i ∈ todo8: todo = todo\i9: η out = ⋃ j∈succ(i) ηin j10: if η out ≠ ηiout then11: η out = η outi12: η ini = ψ(i, η out )13: todo = todo ∪ {j | i ∈ succ(j)}14: end if15: end whileOn dit qu’une équation r ≡ l est compatible η ∈ E ≡ s’il n’existe pas r ′ ≡ l ′ ∈ η tel que r = r ′ et l ≠ l ′ , our ≠ r ′ et l = l ′ .On notera ψ (f,f t ,ψ) : N ∗ ×E ≡ → E ≡ la fonction que l’on vient de définir, étendue par l’identité aux entiersi ∉ D gf t.Les ensembles d’égalités qui remplissent ces équations se calculent alors par une recherche de plus petitpoint fixe. Ce type d’analyse étant très fréquent dans un compilateur, il y a déjà dans Compcert un résolveurd’équations Dataflow (prouvé) selon l’algorithme de Killdall (voir l’algorithme 4).La seule chose qui n’est pas précisée ici est la façon dont l’ensemble todo est géré, c’est à dire, comment onchoisit le i à la ligne 7. Une bonne façon de faire est de gérer todo comme une pile et de la remplir au départdans l’ordre topologique inverse, dans la mesure du possible (en oubliant les cycles quand on en voit un parexemple). La fonction succ dont on a besoin ici n’est autre que succ gf tqui se calcule aisément. La fonction detransfert est ψ (f,f t ,ϕ) . Enfin la borne sur les points de contrôle du graphe se calcule par un simple parcours.1.2.4 Un peu de CoqNous parlerons rapidement dans cette partie d’un détail de l’implémentation en Coq. En effet, ce programmea été écrit en Coq et qu’il semble donc intéressant de ne pas se cantonner à une description théorique.De plus cette solution nous paraît particulièrement intéressante.Il n’y a pas d’exceptions en Coq, or la fonction de transfert ψ définie en 1.2.1 peut échouer. La solutionqui a été proposée consiste à rajouter un élément noté ⊥ à E ≡ . Il est en quelque sorte plus gros que tous lesensembles d’égalités, i.e. pour tout ensemble η, η∪⊥ = ⊥. On ajoute de plus que pour tout i ∈ N ∗ , ψ(i, ⊥) = ⊥et pour tout η ∈ E ≡ tel que ψ(i, η) échoue, on pose ψ(i, η) = ⊥. E ≡ et ψ ainsi redéfinis, on procède à l’analyseDataflow normalement (et sans qu’elle puisse échouer maintenant).Ainsi, si une utilisation d’un emplacement implique une égalité qui est en contradiction avec les définitionsqui la précède, au niveau de la définition problématique, un ⊥ apparaîtra lors de l’analyse et se propagera àtous les points de contrôle précédents. Il suffit alors de vérifier au point d’entrée que l’on n’a pas un ⊥ pouren conclure que l’allocation est juste (du moins pour ce qui concerne les variables définies dans la fonction, leproblème des arguments est traité plus tard).12

1.2.5 Le validateurOn peut maintenant écrire le validateur (algorithme 5), en effet il ne reste plus qu’à vérifier quelquesdétails “administratifs” : bon typage du LTL, égalité des signatures de f et f t , compatibilités des équationsaux points d’entrées, compatibilité des points d’entrée (on peut avoir une suite de move et nop insérée avantl’instruction LTL correspondant à l’instruction RTL du point d’entrée). La vérification du bon typage du LTLest adaptée de celle qui existe déjà dans Compcert pour le RTL, nous n’en parlerons donc pas.Algorithme 5 validationRequire: (f, f t , ϕ)Ensure: f et f t ont même sémantique et f t est bien typé.1: if bon typage de f t2: ∧ validation de ϕ3: ∧ validation du successeur (f, f t , ϕ, point d’entrée de f, point d’entrée de f t )4: ∧ signature de f = signature de f t5: ∧ validation de la structure de (f, f t , ϕ) then6: Soit η = dataflow(ψ (f,f t ,ϕ) , succ gf t, M)7: Soit i le point d’entrée de g f t8: Soit ⃗ l les paramètres de f t et ⃗r les paramètres de f9: if | ⃗ l| = |⃗r| then10: for 0 k < | ⃗ l| verify11: ⃗r k ≡ ⃗ l k n’est pas incompatible avec ηiin12: end for13: end if14: end if1.3 Correction de l’algorithme de validationUne grosse partie du travail consistait à prouver en Coq ce validateur. On esquissera donc la preuve, tout enfaisant quelques cas particuliers dans les détails pour justifier la fonction de transfert qui n’a pas été expliquée.1.3.1 Sémantique des langagesPour commencer, on formalisera la sémantique de RTL et de LTL (pour plus de précisions, se référer à[Ler08]).1.3.1.1 ProgrammesCela nécessite de définir ce qu’est un programme. En effet, on définit ici une sémantique des programmeset non pas directement des fonctions.Définition 1.3.1 (Définition de fonctions et programmes de variables dans V). Soit V un ensemble de variables.Une définition de fonction est soit une fonction interne du programme (comme définie précédemment) soitune fonction externe (typiquement un appel système). Définissons tout d’abord les fonction externes :f e := fun e : sigoù sig est la signature de la fonction et donc les types de ses arguments.Une définition de fonction à variables dans V est alors :13

F := int(f) fonction interne| ext(f e ) fonction externeoù– f est une fonction interne de variable V,– f e une fonction externe.Enfin un programme à variables dans V est constitué d’une liste définitions de fonction (interne ou externe)et de l’identifiant de la fonction principale :p := prog(l, main)où– l est une fonction partielle de N ∗ dans l’ensemble des fonctions à variables dans V,– main ∈ D l est l’identifiant de la fonction principale.Comme précédemment les programmes RTL sont des programmes à variables dans N ∗ et les programmesLTL sont des programmes à variables dans les emplacements. On peut alors écrire la fonction de transformationde programmes (algorithme 7) dont on a besoin dans Compcert, en supposant que l’on dispose d’une fonctionde transformation de fonction transf fun non prouvée qui prend une fonction RTL en argument et rend unefonction LTL et une fonction de correspondance.Algorithme 6 transf fundefRequire: F une définition de fonction RTLEnsure: F t une définition de fonction LTL1: if F = int(f) then2: Soit (f t , ϕ) = transf fun(f)3: if validation(f, f t , ϕ) = true then4: return int(f t )5: else6: Erreur7: end if8: else9: return F10: end ifAlgorithme 7 transf progRequire: p un programme RTLEnsure: p t un programme LTL qui a la même sémantique1: for all id ∈ D lp do2: l p t = l p t{id ↦→ transf fundef(l p (id))}3: end forOn peut alors aussi définir la sémantique d’un programme :Définition 1.3.2 (Sémantique d’un programme à variables dans V). Soit V un ensemble de valeurs quicontient la valeur ⊥ (non-défini), true et false. Soit E : V → V , on l’appelle état des variables.La sémantique des graphes de flot de contrôle est définie de façon à mimer le comportement de l’exécutiondu programme ; la machine sur laquelle il est exécuté, est dans un état qui évolue. Il existe trois types d’états.Les premiers sont les états normaux qui correspondent à l’exécution d’un point de contrôle. Il y a ensuite lesétats d’appel qui correspondent au moment où l’on passe de l’exécution de l’appelant à l’exécution de l’appelé,14

15external functionother instructionsProgramstartsCinternalfunctionSreturninstructionRemptycall stackProgramendscall instructionnon-empty call stackFig. 3 Transitions between the three kinds of program states.Fig. 1.5 – Les états de la sémantiqueinitial(P, S) globalenv(P ) ⊢ S → t ∗ S ′ final(S ′ ,n)et enfin les états de retours qui correspondent Pau⇓ converges(t, passage den)l’appelé à l’appelant. Dans ces trois états ontrouve une liste de frame qui représente la pile d’appel.initial(P, S) globalenv(P ) ⊢ S →∞TLes listes de frame sont des listes de quadruplets 〈ν, f, i, E〉 (construites à partir de [] et de ::) où– ν ∈ V est la variable de retour,P ⇓ diverges(T )– f, une fonction à variables initial(P, dans S) V, globalenv(P est l’appelant, ) ⊢ S → t ∗ S ′ S ′ ↛ ¬final(S ′ ,n)– i ∈ D gf est le point de retour,P ⇓ goeswrong(t)– E est l’état des variables au moment de l’appel.On définit un étatThe comme set of : “going wrong” behaviors is defined in the obvious manner: Wrong ={goeswrong(t) | t a finite trace}.S := S(f, i, Σ, m, E) état normal| C(F, Σ, ⃗v, m) état d’appel3.6 Program states | R(Σ, v, m) état de retouroùThe contents of a program state varies from language to language. For the assemblylanguage PPC, a state is just a pair of a memory state and a mapping from processor– f est une fonction à variables dans V,registers to values (section 13.2). For the other languages of the Compcert back-end,– i ∈ N ∗ , states come in three kinds written S, C and R.– Σ est une liste de frame,– Regular states S correspond to an execution point within an internal function. They– m est un état de la mémoire,carry the function in question and a program point within this function, possibly– E est un état des along variables, with additional language-specific components such as environments giving– F est une définition valuesde tofonction,function-local variables.– ⃗v est une suite– finie Call states de valeurs C materialize (les valeurs parameter despassing arguments), from the caller to the callee. They carry– v ∈ V est la valeur the function de retour. definition Fd being invoked and either a list of argument values or anOn se donne une fonctionenvironmentevalwherequi àthechaqueargumentopérationvalues can(oubecondition)found at conventionalop et à deslocations.valeurs associe une valeur– Return states R correspond to returning from a function to its caller. They carryet un environnement G, associé à un programme p, qui à une valeur v ∈ V associe une fonction de p. Par laat least the return value or an environment where this value can be found.suite on considèrera que tous les appels se font par une variable. Tout s’adapte facilement au cas d’un appelpar indentifiant. LaAll fonction three kinds appelée of states n’est alsoalors carrypas the current G(E(e)) memory mais state p(id). as well as a call stack: alist of frames describing the functions in the call chain, with the corresponding programSoient S et S ′ deux états, f une fonction, g son graphe de flot de contrôle, i, i ′ ∈ Dpoints where execution should be resumed on return, possibly along with function-local g , Σ une liste de frame,m un état mémoire, environments. E un état des variables, ⃗ν une suite finie de variables, v d , ν s des variables, v f une variableou un identifiant, op une If weopération, project the⃗v transition une suite relation finie on dethe valeurs, three-element v une valeur, set {S, C, chunk R}, abstracting un bloc mémoire et modeun mode d’adressage. awayOn thedéfinit components la relation carried by G ⊢theS states, → S ′ we par obtain : the finite automaton depicted infigure 3. This automaton is shared by all languages of the Compcert back-end exceptPPC, and it illustrates the interplay between the three kinds of states.g(i) = nop(i ′ )(nop)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε S(f, i ′ , Σ, m, E)g(i) = op(op, ⃗ν, ν d , i ′ ) v = eval(op(op, E(⃗ν))) (op)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε S(f, i ′ , Σ, m, E{ν d ← v})g(i) = load(chunk, mode, ⃗ν, ν d , i ′ ) v = m(chunk, mode, E(⃗ν)) (load)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε S(f, i ′ , Σ, m, E{ν d ← v})15

g(i) = store(chunk, mode, ⃗ν, ν s , i ′ ) m ′ = m{[chunk, mode, E(⃗ν)] ← E(ν s )} (store)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε S(f, i ′ , Σ, m ′ , E)g(i) = call(sig, ν f , ⃗ν, ν d , i ′ ) G(E(r f )) = F sig F = sig (call)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε C(F, 〈ν d , f, i ′ , E〉 :: Σ, E(⃗ν), m)g(i) = return(ν) v = E(ν)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε R(Σ, v, m)(return)g(i) = tailcall(sig, ν f , ⃗ν) G(E(ν f )) = F sig F = sig (tailcall)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε C(F, Σ, m, E(⃗ν))g(i) = cond(cond, ⃗ν, i true , i false ) eval(cond, E(⃗ν)) = true (ifso)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε S(f, i true , Σ, m, E)g(i) = cond(cond, ⃗ν, i true , i false ) eval(cond, E(⃗ν)) = false (ifnot)G ⊢ S(f, i, Σ, m, E) → ε S(f, i false , Σ, m, E)Σ = 〈ν d , f, i, E〉 :: Σ ′G ⊢ R(Σ, v, m) → ε S(f, i, Σ ′ , m, E{ν d ← v})(return state)F = ext(f e ) f e (⃗v) = v θ = (f e , ⃗v, v) (call state external)G ⊢ C(F, Σ, ⃗v, m) → θ R(Σ, v, m)F = int(f) f = fun(⃗ν, i, g) E = init(⃗ν, ⃗v) (call state internal)G ⊢ C(F, Σ, ⃗v, m) → θ S(f, i, Σ, m, E)La fonction init associe à une suite finie de variables et à une suite finie de valeurs, l’état des variablesdans lequel la ième variable contient la ième valeur.On définit aussi la relation G ⊢ S → ∗ θ S′ par :– G ⊢ S → ∗ ε S– Si G ⊢ S → ∗ θ 1S ′ et G ⊢ S ′ → θ2 S ′′ alors G ⊢ S → ∗ θ S′′ où θ est la trace composée de θ 1 suivie de θ 2 .On dit que le programme p a pour sémantique la trace θ dans l’environnement G s’il existe m ′ un étatmémoire et i un entier tels que G ⊢ C(l p (main p ), [], (), m init ) → ∗ θ R([], i, m′ ).1.3.2 Correspondances RTL-LTLOn aura aussi besoin des trois notions suivantes de correspondance entre les objets RTL et les objets LTL.Définition 1.3.3 (η |= R = L). Soient R un état des pseudo-registres, L un état des emplacements et η ∈ E ≡ .On dit que η |= R = L si quelque soit r ≡ l ∈ η, R(r) = L(l).Définition 1.3.4 (Équivalence de listes de frame, Σ ≈ Σt ). On définit cette équivalence par induction sur leslistes de frame. On a [] ≈ [].De plus, soient (f, f t , ϕ) un triplet résultat, i, j ∈ N ∗ , R un état des pseudo-registres, L un état desemplacements, r un pseudo-registre et l un emplacement.On dit que (r, f, i, R) :: Σ ≈ (l, f t , j, L) :: Σ t si :– Σ ≈ Σ t ,– validation(f, f t , ϕ) = true (en particulier dataflow(ψ (f,f t ,ϕ) , succ gf t, M) = η),– valid succ(f, f t , ϕ, i, j),– quelque soit la valeur v, ηjin |= R{r ← v} = L{l ← v}.16

Définition 1.3.5 (Équivalence d’états, S ∼ St ). Soit S un état RTL et soit S t un état LTL.Soient (f, f t , ϕ) un triplet résultat, i, j ∈ N ∗ , Σ une liste de frame RTL, Σ t une liste de frame LTL, m unétat de la mémoire, R un état des pseudo-registres, L un état des emplacements, v une valeur et ⃗v une suitefinie de valeurs.On dit que S ∼ S t si– S = S(f, i, Σ, m, R),– S t = S(f t , j, Σ t , m, L),– validation(f, f t , ϕ) = true (en particulier dataflow(ψ (f,f t ,ϕ) , succ gf t, M) = η),– j ∈ D ϕ et ϕ(j) = i,– Σ ≈ Σ t ,– ηj in |= R = L.ou– S = C(F, Σ, ⃗v, m),– S t = C(F t , Σ t , ⃗v, m),– transf fundef(F) = F t ,– Σ ≈ Σ t .ou encore– S = R(Σ, v, m),– S t = R(Σ t , v, m),– Σ ≈ Σ t .1.3.3 Théorème de simulationCertains schémas généraux de preuve d’équivalence sémantique sont déjà démontrés dans Compcert, ily en a un qui correspond à ce dont on a besoin, il ne reste alors qu’à démontrer le théorème de simulationsuivant.Théorème 1.3.6 (Simulation). Soient p un programme RTL et p t le programme LTL transformé. Soient Get G t les environnements associés. Soit ϕ : N ∗ → N ∗ une fonction partielle qui vérifieSoient S 1 et S 2 deux état RTL, S t 1 un état LTL et θ une trace. Supposons G ⊢ S 1 → θ S 2 et que S 1 ∼ S t 1 .Il existe alors un état LTL S t 2 , tel que Gt ⊢ S t 1 →+ θ St 2 et que S 2 ∼ S t 2On peut reformuler ce théorème de simulation par le diagramme de la figure 1.3.6 (on note en plein leshypothèses et en pointillé les conclusions).S 1 ∼ S1tθθ +S 2 ∼ S t 2Fig. 1.6 – Théorème de simulation1.3.4 Preuve du théorème 1.3.6Pour commencer, on va montrer que l’algorithme 1 est correct.Lemme 1.3.7 (Correction de l’algorithme 1). Soit (f, f t , ϕ) un triplet résultat. Supposons que valid ϕ(f, f t , ϕ) =true. On a alors la condition 1.1 qui est vérifiée :∀i ∈ D gf , ∀j ∈ N ∗ , i = ϕ(j) ⇒ j ∈ D gf t17

Démonstration. Soit i ∈ D gf et j ∈ N ∗ tels que ϕ(j) = i. En particulier j ∈ D ϕ . Comme ϕ(j) = i ∈ D gf etque valid ϕ(f, f t , ϕ) = true, on a j ∈ D gf t= true ce qui permet de conclure.1.3.4.1 L’étoileLemme 1.3.8 (Correction de l’algorithme 3). Soit (f, f t , ϕ) un triplet résultat et G t l’environnement associéà f t . Soient i, j ∈ N ∗ et M une borne de D gf t. Supposons que valid succ(f, f t , ϕ, i, j) = true, et quedataflow(ψ (f,f t ,ϕ) , succ gf t, M) = η.Soient R 1 un état des pseudo-registres, L 1 un état des emplacements, Σ une liste de frame LTL et m unétat de la mémoire. Supposons de plus que ηj in |= R 1 = L 1 .Alors il existe j s et L 2 tels que G t ⊢ S(f t , j, Σ, m, L 1 ) → ∗ ε S(f t , j s , Σ, m, L 2 ), que ϕ(j s ) = i et que ηj ins|=R 1 = L 2 .On peut aussi représenter ce lemme par le diagramme 1.7.R 1 , i η inj |=R 1=L 1 S(f t , j, Σ, m, L 1 )valid succηjs in|=R1=L 2ϕε∗S(f t , j s , Σ, m, L 2 )Fig. 1.7 – Lemme 1.3.8Démonstration. Supposons tout d’abord que j ∈ D ϕ . Comme valid succ(f, f t , ϕ, i, j) = true, on aϕ(j) = i. L’état des emplacements et le point de contrôle recherchés sont donc j s et L 1 . En effet, G t ⊢S(f t , j, Σ, m, L 1 ) → ∗ ε S(f t , j, Σ, m, L 1 ), on a bien ϕ(j) = i et par hypothèse ηj in |= R 1 = L 1 .Soit maintenant j ∉ D ϕ . Comme valid succ(f, f t , ϕ, i, j) = true, on a donc g f t(j) = nop( ) ∨ g f t(j) =op(move, ( ), , ). j a donc un unique successeur dans g f t noté j ′ .Supposons que la propriété soit vraie pour j ′ , pour tout état des emplacements L t 1. On a donc j s et L 2tels que G ⊢ S(f t , j ′ , Σ, m, L t 1) → ∗ ε S(f t , j s , Σ, m, L 2 ), ϕ(j s ) = i et ηj ins|= R 1 = L 2 (à condition de montrer queηj in |= R ′ 1 = L t 1). On va montrer que j s et L 2 sont ceux que l’on cherche.Pour cela on va montrer que l’on passe de 〈f t , j, Σ, m, L 1 〉 à 〈f t , j ′ , Σ, m, L t 1〉 en 1 étape avec une tracenulle, et que le L t 1 ainsi défini vérifie ηj in |= R ′ 1 = L t 1.Si g f t(j) = nop( ), la définition de la sémantique de nop implique que L t 1 = L 1 et que la transition se faitavec une trace nulle. De plus, comme on est dans les cas d’un nop rajouté, ηjin = ψ(j, ηjout ) = ηjout = ηj in , et ′comme, par hypothèse, ηj in |= R ′ 1 = L 1 , on a ce que l’on veut.Si g f t(j) = op(move, (x), y, ), la définition de la sémantique de move implique que{L t 1 =y ↦→ L 1 (x)z ≠ y ↦→ L 1 (z)de plus, comme on est dans le cas “splitting, spilling, reloading”,car η inj ′= η outj .η injSoit donc r ≡ l ∈ ηj in , si l = y, alors r ≡ x ∈ η in′L 1 (x) = R 1 (r). Si l ≠ y, alors l ≡ r ∈ ηjin= ψ(j, ηj in ) = (η in ′ \{r ≡ y}) ∪ {r ≡ x | r ≡ y ∈ ηinjj et donc par hypothèse R 1 (r) = L 1 (x), d’où L t 1(y) =et donc L t 1(l) = L 1 (l) = R 1 (r). On a donc bien ηj in |= R ′ 1 = L t 1.18j ′ }

On en déduit donc le lemme pour j.Montrons que, comme le lemme est vérifié pour les j ∈ D ϕ et que, s’il est vérifié pour le successeur d’unj ∉ D ϕ alors il est vérifié pour j, le lemme est bien vérifié pour tout j ∈ D gf t. En effet supposons qu’ilexiste j tel que le lemme ne soit pas vérifié, alors j ∉ D ϕ et le lemme ne peut pas être vérifié pour sonsuccesseur, on construit ainsi une suite infinie hors de D ϕ de successeurs dans g f t. Cela implique que le calculde valid succ(f, f t , ϕ, i, j) ne termine pas, ce qui contredit les hypothèses.1.3.4.2 Le cas opMontrons maintenant le cas le plus significatif, et le plus intéressant : celui où, dans le RTL, on a uneopération.Lemme 1.3.9. Soient p un programme RTL et p t le programme LTL transformé. Soient G et G t les environnementsassociés.Soit f une fonction RTL, i, i ′ ∈ D gf , op une opération, ⃗x une suite finie de pseudo-registres et y unpseudo-registre tels que g f (i) = op(op, ⃗x, y, i ′ ).Soient f t une fonction LTL, ϕ une fonction de correspondance, j ∈ N ∗ , Σ une liste de frame RTL, Σ tune liste de frame LTL, m un état de la mémoire, R 1 et R 2 des état des pseudo-registres, L 1 un état desemplacements.Notons S 1 = S(f, i, Σ, m, R 1 ) et S1 t = S(f t , j, Σ t , m, L 1 ) tels que S 1 ∼ S1 t. Soit S 2 = S(f, i ′ , Σ, m, R 2 ) telque G ⊢ S 1 → ε S 2 . En particulier, en notant v = eval(op, R 1 (⃗x)),{y ↦→ vR 2 =z ≠ y ↦→ R 1 (z)Il existe alors un état LTL S t 2 , tel que Gt ⊢ S t 1 →+ ε S t 2 et que S 2 ∼ S t 2Démonstration. Comme S 1 ∼ S1 t, validation(f, f t , ϕ) = true, en particulier valid ϕ(f, f t , ϕ) = true etdonc la condition (1.1) est vérifiée d’apres le lemme 1.3.7. On a donc j ∈ D gf t.De plus, comme validation(f, f t , ϕ) = true, on a valid struct(f, f t , ϕ) = true. En particulier g f t(j) ∼ =g f (i) ∨ ((g f (i) = op ∨ g f (i) = load) ∧ g f t(j) = nop) = true. On a donc deux cas possibles, g f t(j) =op(op, ⃗x t , y t , j ′ ) ou g f t(j) = nop(j ′ ). Dans les deux cas valid succ(f, f t , ϕ, i ′ , j ′ ) = true.Commençons par le cas op. Par définition de la sémantique, en notant v t = eval(op, L 1 (⃗x t )), on a G t ⊢S1 t → S où S = S(f t , j ′ , Σ t , m, L) où{yL =t ↦→ v tz ≠ y ↦→ L 1 (z)De plus, on est dans le cas “normal”. Si ψ(i, ηjout ) échouait, ηjin ne serait pas un ensemble d’égalités, et onne pourrait pas avoir ηj in |= R 1 = L 1 , ce qui contredirait l’hypothèse S 1 ∼ S1 t.Donc y ≡ y t est compatible avec ηjout etη inj= ψ(j, η inj ′ ) = (ηin j ′ \{y ≡ yt }) ∪ {⃗x k ≡ ⃗x t k } k∈Ncar ηjout = ηj in . ′Montrons d’abord que v = v t . Comme ηj in |= R 1 = L 1 , en particulier, quelque soit k ∈ N, R 1 (⃗x k ) = L 1 (⃗x t k ).Donc v = eval(op, R(⃗x)) = eval(op, L(⃗x t )) = v t .Montrons maintenant que ηj in |= R ′ 2 = L. Soit r ≡ l ∈ ηj in . Comme y ≡ y t est compatible avec η out′ j = ηj in , ′on a soit r = y ∧ l = y t ou r ≠ y ∧ l ≠ y t . Dans le premier cas R 2 (y) = v = v t = L(y t ), dans le deuxième,r ≡ l ∈ ηjin |= R 1 = L 1 et R 2 (r) = R 1 (r) = L 1 (l) = L(l).Comme de plus valid succ(f, f t , ϕ, i ′ , j ′ ) = true, d’après le lemme 1.3.8, il existe j s et L 2 tels queG t ⊢ S → ∗ ε S(f t , j s , Σ t , m, L 2 ) = S2 t, que ϕ(j s) = i ′ et que ηj ins|= R 2 = L 2 .19

j s et L 2 sont exactement ceux que l’on recherche. En effet G t ⊢ S t 1 → ε S → ∗ ε S t 2 et on a bien S 2 ∼ S t 2 .Montrons maintenant le cas nop. Par définition de la sémantique, G t ⊢ S t 1 → S où S = S(f t , j ′ , Σ t , m, L 1 ).Il y a de nouveau deux cas : op = move ou non.Dans le premier cas, notons ⃗x = (x), on a alors v = eval(move, R 1 (x)) = R 1 (x) et comme on est dans lecas “coalescing”, on a alors :η inj= ψ(j, ηj in ′ ) = (ηin j ′ \{y ≡ l}) ∪ {x ≡ l | y ≡ l ∈ ηinMontrons alors que ηj in |= R ′ 2 = L 1 . Soit r ≡ l ∈ ηj in . Si r = y, alors x ≡ l ∈ η in′ j . Comme ηin j |= R 1 = L 1 ,on a R 2 (y) = R 1 (x) = L 1 (l). De plus, si r ≠ y, alors r ≡ l ∈ ηjin et donc R 2 (r) = R 1 (r) = L 1 (l).Par contre, si op ≠ move, on est dans les cas “deadcode”. Si ψ(i, ηjout ) échouait, ηjin ne serait pas unensemble d’égalités, et on ne pourrait pas avoir ηj in |= R 1 = L 1 , ce qui contredirait l’hypothèse S 1 ∼ S1 t.Donc, quelque soit r ≡ l ∈ ηjout = ηj in , r ≠ y et′Montrons alors que, de même, η inj ′Comme η inj ′η inj= ψ(j, ηjout )ηjout = ηj in ′|= R 2 = L 1 . Soit r ≡ l ∈ ηj in . On sait que r ≠ y donc R ′ 2 (r) = R 1 (r).= ηjin |= R 1 = L 1 on a aussi R 1 (r) = L 1 (r) ce qui permet de conclure.Dans les deux cas, comme valid succ(f, f t , ϕ, i ′ , j ′ ) = true, d’après le lemme 1.3.8, il existe j s et L 2 telsque G t ⊢ S → ∗ ε S(f t , j s , Σ t , m, L 2 ) = S2 t, que ϕ(j s) = i ′ et que ηj ins|= R 2 = L 2 .j s et L 2 sont exactement ceux que l’on recherche. En effet G t ⊢ S1 t → ε S → ∗ ε S2 t et on a bien S 2 ∼ S2 t.On montre en fait qu’on a le diagramme 1.3.9 pour un certain état des emplacements L.j ′ }S 1 = S(f, i, Σ, m, R 1 )η inj |=R 1=L 1ϕ S t 1 = S(f t , j, Σ t , m, L 1 )εεS 2 = S(f, i ′ , Σ, m, R 2 ) η inj ′ |=R 2 =Lvalid succ S = S(f t , j ′ , Σ t , m, L)ηjs in|=R2=L 2ϕε∗S t 2 S(f t , j s , Σ t , m, L 2 )Fig. 1.8 – Lemme 1.3.91.3.4.3 le cas nopOn peut prouver le même lemme dans le cas où g f (i) = nop. La preuve est identique (on prouve aussi lediagramme 1.3.9), si ce n’est qu’elle admet moins de cas : on peut seulement avoir g f t(j) = nop. La preuve estmême encore plus simple car R 2 = R 1 , L = L 1 , ηjin = ηj in . ′1.3.4.4 le cas loadDe même on peut prouver ce lemme dans le cas où g f (i) = load (ne vous lassez pas tout de suite, il y a 11cas en tout). On ne peut juste pas se retrouver dans le cas d’un “coalescing”, mais le diagramme est identique.20

Il faut aussi vérifier que l’adresse que l’on “load” est la même des deux cotés, pour cela il suffit de vérifier,comme le mode d’adressage et le bloc sont identiques, que les valeurs arguments de l’adresse sont les mêmes.On fait cela comme dans le cas op.1.3.4.5 le cas storeCe cas-ci est un tout petit peu différent, les registres et les emplacements ne sont pas modifiés, c’est m quiest modifié. Mais on vérifie aisément que, comme précédemment, l’adresse ou l’on “store” est la même et quela valeur que l’on “store” est aussi la même. m est donc modifié de la même façon des deux côtés et on finitla preuve en utilisant le lemme 1.3.8.1.3.4.6 le cas ifDans le cas, g f (i) = cond, il faut différencier le cas eval(cond, R 1 (⃗x)) = true et le cas eval(cond, R 1 (⃗x)) =false. La preuve est alors très similaire, on démontre que eval(cond, L 1 (⃗x t )) = eval(cond, R 1 (⃗x)) commeprécédemment. L’état suivant du LTL est alors celui qui correspond à j true ou j false suivant le cas et l’on utilisealors le lemme 1.3.8 appliqué à valid succ(f, f t , ϕ, i true , j true ) = true ou valid succ(f, f t , ϕ, i false , j false ) =true.1.3.4.7 le cas callCe cas-ci mérite un nouveau lemme, en effet, on ne démontre pas le diagramme 1.8 ici mais le diagramme1.9.Lemme 1.3.10. Soient p un programme RTL et p t le programme LTL transformé. Soient G et G t les environnementsassociés.Soit f une fonction RTL, i, i ′ ∈ D gf , sig une signature, x un pseudo-registre ou un identifiant, ⃗y une suitefinie de pseudo-registres et z un pseudo-registre tels que g f (i) = call(sig, x, ⃗y, z, i ′ ).Soient f t une fonction LTL, ϕ une fonction de correspondance, j ∈ N ∗ , Σ 1 une liste de frame RTL, Σ t 1une liste de frame LTL, m un état de la mémoire, R un état des pseudo-registres, L un état des emplacementset ⃗v une suite finie de valeurs.Notons S 1 = S(f, i, Σ 1 , m, R) et S t 1 = S(f t , j, Σ t 1 , m, L) tels que S 1 ∼ S t 1 . Notons F = G(R 1(x)). SoitΣ 2 = 〈z, f, i ′ , R〉 :: Σ 1 et S 2 = C(F, Σ 2 , ⃗v, m) tel que G ⊢ S 1 → ε S 2 .Alors j ∈ D gf tet g f t(j) = call(sig, x t , ⃗y t , z t , j ′ ). De plus, en notant F t = transf fundef(F ), Σ t 2 =〈z t , f t , j ′ , L〉 :: Σ t 1 et St 2 = C(F t , Σ t 2 , ⃗v, m), on a Gt ⊢ S t 1 → ε S t 2 et S 2 ∼ S t 2 .S 1 = S(f, i, Σ 1 , m, R)ηjin|=R=Lϕ,Σ 1 ≈Σ t 1 S1 t = S(f t , j, Σ t 1 , m, L)εεS 2 = C(F, Σ 2 , m, ⃗v, m) Σ 2 ≈Σ t 2F t =transf fundef(F ) S = S(F t , Σ t 2 , ⃗v, m)Fig. 1.9 – Le cas callDémonstration. La plupart de la preuve se fait comme précédemment, il faut juste démontrer que G t (L(x t )) =F t et que Σ 2 ≈ Σ t 2 .La première affirmation est due au fait que, d’après les équations d’analyse dataflow, x ∈ ηjin et doncL(x t )) R(x) la valeur désigne donc bien la fonction transformée car elle a le même identifiant.21

De plus, comme S 1 ∼ S1 t on a bien validation(f, f t , ϕ) = true et comme Σ 1 ≈ Σ t 1 , ηin j |= R = L, on abien, pour toute valeur v, ηj in |= R{z ← v} = L{z t ← v}. On a donc bien Σ 2 ≈ Σ t 2 et donc S 2 ∼ S2 t.1.3.4.8 le cas tailcallC’est un cas encore plus simple que le précédent vu qu’on a alors Σ 1 = Σ 2 et Σ t 1 = Σt 2 .1.3.4.9 le cas returnDans ce cas là, on prouve un diagramme très similaire qui aboutit à deux returnstate. Il n’y a alors pasgrand chose à démontrer si ce n’est que les valeurs retournées sont égales. Ce qui se vérifie avec la méthodehabituelle.1.3.4.10 le cas callstate externalC’est un des cas les plus simples. Les valeurs d’arguments étant les mêmes, et la fonction externe transforméeétant identique à la fonction externe du RTL, la trace et la valeur produite sont identiques dans lesdeux sémantiques, on arrive donc bien dans deux returnstate équivalents.1.3.4.11 le cas callstate internalDans ce cas-là, on conclut directement par l’utilisation du lemme 1.3.8. L’hypothèse de compatiblitédes équations d’entrée du RTL et du LTL permet de démontrer que ηj in |= L init = R init , où j est lepoint d’entrée de f t . La deuxième hypothèse, valid succ(f, f t , ϕ) = true découle directement du fait quevalidation(f, f t , ϕ) = true1.3.4.12 le cas returnstateDe même que dans le cas précédent, on utilise le lemme 1.3.8. Les deux hypothèses dont on a besoin sontune conséquence directe de l’équivalence des listes de frame.1.3.5 Correction de l’algorithme 7Il suffit alors de rassembler les lemmes dans chacun des cas pour démontrer que si le programme RTLs’exécute avec la trace θ, alors pour les mêmes m ′ et i, le programme LT L s’exécute avec la même trace θ. Lapasse d’allocation de registres que l’on a présentée ici est donc correcte, quelque soit le programme transf funque l’on utilise, c’est là d’ailleurs l’intérêt de tout le travail qu’on a fait, pouvoir écrire une transformation nonprouvée, tout en étant quand même sûr que le code produit sera juste (il pourra juste ne pas être produit sila transformation est buguée).22

Chapitre 2Live range splitting2.1 Durée de vie et allocation de registresLe validateur écrit, il fallait maintenant écrire un algorithme d’allocation de registre qui gère mieux lespilling que celui actuellement présent dans Compcert. Pour l’instant la méthode utilisée est simple, et efficacedans le cas où il y a peu de spilling. Sur les 32 registres du microprocesseur, il y en a deux qui sont mis decôté et qui ne sont pas utilisés pendant l’allocation. On regarde alors le résultat de l’allocation et lorsqu’unemplacement de pile est utilisé dans une opération, ce qui est impossible au niveau du microprocesseur, onse sert de l’un des registres mis a part comme temporaire. Deux temporaires suffisent vu qu’en règle généraleun microprocesseur (en tout cas le powerpc) n’execute que des opérations faisant intervenir plus de deuxarguments.Si on peut se permettre de mettre de côté deux registres quand on en dispose de 32 (il en reste alors presqueune trentaine disponibles pour l’allocation, et dans les faits pas un seul benchmark de Compcert ne donnaitlieu a un spilling), quand on en dispose de moins (comme c’est le cas dans le très répandu X86) ce n’est plusune option, le code produit devant se contenter de 3 ou 4 registres, il se produit un nombre invraisemblablede spilling (et donc de reloading) qui ralentissent beaucoup le code. Il faut donc utiliser de façon plus ruséeles six registres dont on dispose.La première solution, celle habituellement implémentée dans l’algorithme de Appel et George (voir [App98]),consiste lorsqu’une variable est spillée, à rajouter avant toutes ses utilisations un reload vers un pseudo-registreet de recommencer l’allocation en sachant que la variable spillée ne sera pas dans un registre, ce qui simplifiele graphe d’interférence, mais avec un certain nombre de pseudo-registres supplémentaires (de durée de vietrès faible, le temps d’une opération en fait). On recommence alors jusqu’à ce que le processus se stabilise.Cette méthode est plus efficace car le registre temporaire utilisé n’est pas bloqué a priori, il est aussi allouéen essayant d’optimiser le nombre de spilling.Cependant cette méthode présente encore quelques défauts. Aux temporaires près, un pseudo-registre estalloué dans un seul et unique emplacement, et si c’est un emplacement de pile, il y restera tout au long del’exécution de la fonction, en étant reloadé à chaque utilisation. Alors qu’il est probable qu’il n’ait été spilléque parce que, très localement dans la fonction, il n’y avait pas assez de registre disponible, typiquement lorsd’un appel.On aimerait donc que ce pseudo-registre soit dans un vrai registre quand il y en a la place (en zone debasse pression pourrait-on dire) et qu’il soit spillé localement lorsque ce n’est plus possible autrement (en zonede haute pression). Mais alors comment détecter ces zones de basse ou haute pression. On pourrait imaginerdes montagnes d’analyse statique pour cela, mais on dispose déjà d’une allocation de registre qui fonctionnebien et qui, tout compte fait, peut faire ce travail. En effet lorsqu’une variable est spillée, c’est justement parcequ’on ne peut plus faire autrement, que la variable traverse quelque part dans la fonction une zone de hautepression. Le vrai problème est simplement que la variable est identique en zone de basse pression ou en zonede haute pression, elle ne peut donc pas être allouée à deux endroits différents. La solution est donc de réduire23

la durée de vie des variables ; de splitter régulièrement les variables qui sont spillées pour qu’elles puissent êtreallouées dans différents emplacement au cours de l’exécution.Une fois que le parti de faire du live range splitting a été pris, il faut décider quelle sera l’ampleur de cesplitting. En effet, cela peut aller jusqu’à splitter toutes les variables avant chaque instruction. Cette dernièreoption est un peu lourde, on a donc essayé de mettre en place une solution alternative : les variables qui ont étéspillées sont splittées avant et après chacune de leurs utilisations dans le programme. Cette méthode permeten plus de traiter le point fondamental du spilling qui est que la variable spillée doit être dans un registrelors de son utilisation. Il suffit donc que le pseudo-registre intermédiaire, celui qui est utilisé entre le premiersplitting et le deuxième (et qui est de très courte durée de vie), soit dans un registre pour que tout fonctionne.2.2 L’algorithme de live range splitting2.2.1 L’algorithme⎧⎪⎨r ← use(r) ⇒⎪⎩r 2 ← r 1↓r 4 ← use(r 2 )↓r 3 ← r 4⎧⎪⎨use≠call (r) ⇒⎪⎩r 2 ← r 1↓use(r 2 )↓r 3 ← r 2⎧⎪⎨use call (r) ⇒⎪⎩r 2 ← r 1↓use(r 2 )↓r 3 ← r 1Fig. 2.1 – Live range splitting au niveau d’une instructionL’algorithme présenté ici fait du live range splitting (i.e. exécute la transformation présentée à la figure 2.1) ;il parcourt le graphe g f d’une fonction en rajoutant les splitting nécessaires et en modifiant les instructionsalentours pour s’assurer que c’est bien la bonne variable qui est alors utilisée à la place de r. Pour cela,l’algorithme utilise un union find en place.La transformation se fait en deux temps. Tout d’abord la variable r est remplacée à chacune de sesutilisations et de ses définitions par une variable fraîche (algorithme 8), puis on rajoute des move qui assurentque la valeur que contenait r va bien se propager de registre en registre parmi ceux qui remplacent r (algorithme9). Il faut entre autre s’assurer que les utilisations suivantes de r se feront bien avec le pseudo-registre quicontient maintenant la valeur de r. Pour cela on regarde les utilisations de r qui suivent dans le programme,on regarde quel est le pseudo-registre utilisé (en remontant au besoin la chaîne de pointeurs) et on fait pointerce pseudo-registre sur celui qui nous intéresse.Algorithme 8 initRequire: f une fonction RTL, r un pseudo-registreEnsure: f ′ où les apparitions de r sont remplacées par des variables fraîches1: f ′ = f2: for all i ∈ D gf do3: Soient r 1 et r 2 deux pseudo-registres frais4: Remplacer les utilisations de r dans g f (i) par r 15: if r défini dans g f (i) then6: remplacer la définition de r par r 27: end if8: end forSi r est un paramètre, il reste alors à regarder les premières utilisations après le point d’entrée et à les fairepointer sur la variable utilisée à la place de r dans les paramètres.24

Algorithme 9 Live range splittingRequire: f une fonction RTL, r un pseudo-registreEnsure: f ′ où r est splitté et l une liste de pseudo-registre à ne pas spiller1: l = []2: f ′ = init(f, r)3: for all i ∈ D gf do4: if r est utilisé dans g f (i) then5: Soit r 1 le pseudo-registre qui est utilisé à la place de r dans g f ′(i)6: Soit r 2 et r 3 deux pseudo-registres frais7: Faire pointer sur r 3 toutes les utilisation de r qui suivent8: Dans g f ′(i) remplacer r 1 par r 29: if r est défini dans g f (i) then10: Soit r 4 le pseudo-registre qui est défini à la place de r dans g f ′(i)11: else12: if g f (i) = call then13: r 4 = r 114: else15: r 4 = r 216: end if17: end if18: Avant chaque successeur de i, introduire un move de r 4 vers r 319: Avant i, introduire un move de r 1 vers r 220: l = r 2 :: l21: else22: if r est défini dans g f (i) then23: Soit r 1 le pseudo-registre qui est défini à la place de r dans g f ′(i)24: Soit r 2 un pseudo-registre frais25: Faire pointer toutes les utilisation de r qui suivent sur r 226: Avant chaque successeur de i, introduire un move de r 1 vers r 227: l = r 1 :: l28: end if29: end if30: end for25

L’algorithme tel que je l’ai implémenté dans Compcert est un peu différent ; en effet lorsqu’une instructiona plusieurs successeurs (i.e. les conditions), sur chaque branche, r est splitté vers une variable différente cequi permet à l’allocateur un comportement différent suivant la branche, en effet la variable ne traverserapeut être pas une zone de haute pression sur les deux branches. De plus le comportement lors d’un callest un peu plus compliqué, j’ai tenu à montrer la spécificité des call en mettant la modification réellementimportante par rapport aux autres opérations, à savoir que l’on récupère non pas la variable utilisée mais lavariable splittée. Le problème vient des registres caller-saved qui ne peuvent pas être utilisés lors d’un appel,il est donc indispensable que les variables ne survivent pas à l’appel pour ne pas causer de problèmes. Dansl’implémentation que j’ai faite, il est distingué le cas ou r contient un argument, l’adresse de la fonction appelée,ou les deux ; car les arguments, eux, peuvent survivre, ils seront généralement empilés et que, contrairementaux arguments d’une opération, les arguments d’une fonction peuvent être dans la pile.Je voudrais de plus faire quelques remarques d’ordre général sur l’implémentation. La modification dugraphe a lieu intégralement en place, mais tout en utilisant le graphe (recherche de successeurs etc) et enmappant le graphe. Il est donc indispensable de mapper un exemplaire original du graphe pour ne pas seretrouver à mapper les noeuds rajoutés, et comme au cours de la modification on a besoin d’informations surle graph modifié, il faut faire attention à l’ordre dans lequel on fait les modifications au niveau de chaqueinstruction.Il faut de plus disposer d’une table des prédécesseurs qui est nécessaire ligne 19 pour pouvoir faire pointerles noeuds précédents sur celui que l’on vient d’insérer. Il faut aussi penser à la mettre à jour aux fur et àmesure des modifications du graphe.2.2.2 Un exempleUn exemple (voir figure 2.2, 2.3, 2.4 et 2.5) clarifiera cela.La figure 2.2(b) représente le RTL après renommage de r (Je n’ai mis que les choses intéressantes pourle live range splitting, la nature des opérations, ou les opérations ne faisant pas intervenir r ne sont donc pasindiquées). La figure suivante (figure 2.2(c)) représente l’état du graphe après le traitement du noeud 4. On aalors les relations suivantes entres les variables (→ signifie pointe vers) :r 6 → r 9r 2 → r 8Une fois le noeud 2 traité (les noeuds sont pris dans un ordre quelconque) on a la figure 2.2(d). On a alorsles relations :r 6 → r 9r 2 → r 8r 3 → r 12r 5 → r 11Après le traitement du noeud 5 (figure 2.2(e)), on a les même relations. Par contre, le traitement du noeud1 (figure 2.3) donne :r 6 → r 9r 2 → r 8r 3 → r 12 → r 15r 5 → r 11r 4 → r 16Après le traitement du noeud 3 (figure 2.4), on obtient :r 6 → r 9r 2 → r 8r 3 → r 12 → r 15r 5 → r 11 → r 18r 4 → r 16 → r 1926

(a) RTL initial (b) Après init (c) Traitement du noeud 4(d) Traitement du noeud 2 (e) Traitement du noeud 5Fig. 2.2 – Un exemple de live range splitting27

Fig. 2.3 – Traitement du noeud 128

Fig. 2.4 – Traitement du noeud 329

Fig. 2.5 – Fin du live range splitting30

Enfin après le traitement de l’entrée, on a :r 6 → r 9r 2 → r 8 → r 0r 3 → r 12 → r 15r 5 → r 11 → r 18r 4 → r 16 → r 19On obtient donc enfin le graphe de la figure 2.5 en remplaçant les variables par celle vers laquelle ellepointe dans le cas échéant. Les variables à ne pas spiller sont alors : [r 14 ; r 10 ; r 17 ; r 7 ; r 13 ].2.3 L’allocationL’allocateur de registre déjà présent dans Compcert marche en deux temps, tout d’abord il alloue à chaquepseudo registre un emplacement (registre ou emplacement de pile) puis il cherche les emplacements de pilequi sont utilisés dans des opérations et rajoute un reload avant l’instruction. On nomme la première phasede l’allocateur alloc ; elle prend en argument une fonction RTL et une liste des pseudo-registres à ne passpiller. Elle est donc réutilisable pour implémenter un algorithme d’allocation plus subtil qui utilise le liverange splitting (voir algorithme 10). Ce dernier algorithme est appelé par l’algorithme 6.Algorithme 10 transf funRequire: f une fonction RTL,Ensure: f t une fonction LTL, ϕ la fonction de correspondance1: Soit ϕ l’identité sur D gf2: l = []3: Soit f t = alloc(f, l)4: while Tous les arguments des opérations de f t ne sont pas dans des registres do5: Soient E l’ensemble des pseudo-registres dont l’allocation pose problème6: for all r ∈ E do7: Soit (f, l ′ ) = Live range splitting(f, r)8: l = l ′ @l9: end for10: f t = alloc(f, l)11: end while12: return (f t , ϕ)Aucune preuve de cet algorithme d’allocation n’est nécessaire, en effet quand il est appelé dans l’algorithme6, le résultat est validé après coup. On dispose donc d’un allocateur qui ne peut pas buguer et gère le spillingplus intelligemment.ConclusionCe rapport présente un algorithme de validation pour l’allocation, puis un algorithme d’allocation. Latotalité du développement de ces deux programmes représente 350 lignes pour ce qui est du validateur, 1380pour sa preuve et 630 lignes pour l’algorithme de live range splitting.Le premier programme répond à toutes nos attentes, l’algorithme est prouvé et le temps de compilationest augmenté de façon imperceptible. On pourrait cependant se demander si une preuve de complétude n’estpas possible. Montrer que si le triplet (f, f, ϕ) vérifie la condition fixée en 1.1.4 et que f et f t ont la mêmesémantique, alors le validateur rend true. Cependant comme tous les benchmarks de Compcert passent levalidateur, on peut penser qu’il est raisonnablement complet.31

Le deuxième programme présenté ici pose plus de problèmes. Le principal est que la recherche en avantdans le graphe, pour trouver les utilisations suivantes, peut mener à une explosion combinatoire. Il arrive quela compilation de certains programmes passe de quelques secondes avec l’allocateur normal à plusieurs minutesavec le nouvel allocateur. La solution la plus simple consiste à procéder par analyse Dataflow : on remplaceles variables problématiques par des variables fraîches au niveau de chaque instruction, on rajoute les splittingnécessaires là encore avec des variables fraîches, puis on procède à l’unification des variables utilisées par uneanalyse Dataflow.L’autre problème que l’on peut remarquer est que le résultat produit contient quelques move inutiles (voirfigure 1.2). La transition entre zone de basse pression et zone de haute pression se met bien en place, maiscertains splitting inutiles sont maintenus. Il faudrait donc comprendre comme mieux guider l’allocateur pourqu’il en élimine juste assez. Parmis les move redondants qui apparaissent et qui sont les plus simples à gérer,il y a les spilling d’une variable reloadée. Il suffirait dans ce cas de trouver un méchanisme pour se rappelerque la variable est aussi quelque part dans la pile.32

Bibliographie[ALSU] A. Aho, R. Lam, M. Sethi, and J. Ullman. Compilers, principles, techniques and tools, chapter 9.2 -9.3, pages 597–632. Addison-Wesley.[App98] Andrew Appel. Modern Compilation Implementation in ML, chapter 10. Cambridge UniversityPress, 1998.[HCS06] Yuqiang Huang, Bruce R. Childers, and Mary Lou Soffa. Catching and identifying bugs in registerallocation. Lecture Notes in Computer Science, 2006.[Ler08] Xavier Leroy. A formally verified compiler back-end. 2008.[Ler09a] Xavier Leroy. The compcert verified compiler, software and commented proof.http ://compcert.inria.fr/doc/index.html, 2004 - 2009.[Ler09b] Xavier Leroy. Formal verification of a realistic compiler. Communications of the ACM, 2009.[LT09] Xavier Leroy and Jean-Baptiste Tristan. Verified validation of lazy code motion. PLDI, 2009.33

Table des matières0.1 Contexte et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 La compilation vérifiée, Compcert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Certification vs Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 L’allocation de registres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Un validateur pour l’allocation 31.1 Spécifications de l’allocation de registre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Les langages traités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 L’allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 L’algorithme de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Validation de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Validation de la structure du LTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Validation des emplacements choisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Un peu de Coq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Le validateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Correction de l’algorithme de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Sémantique des langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Correspondances RTL-LTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Théorème de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Preuve du théorème 1.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5 Correction de l’algorithme 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Live range splitting 232.1 Durée de vie et allocation de registres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 L’algorithme de live range splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 L’allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134

Table des figures1.1 Les passes de Compcert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Un RTL et un LTL (calcul de la suite de Fibonacci) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Hypothèse sur le triplet (f, f t , ϕ) pour une allocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Un RTL et un LTL annotés (calcul de la suite de Fibonacci) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Les états de la sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Théorème de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Lemme 1.3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Lemme 1.3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Le cas call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Live range splitting au niveau d’une instruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Un exemple de live range splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Traitement du noeud 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Traitement du noeud 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Fin du live range splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3035

Liste des algorithmes1 valid ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 valid struct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 valid succ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 dataflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 transf fundef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 transf prog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 init . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Live range splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510 transf fun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136

Huitième partieMini-mémoire écrit pour le cours Catégories et lambda-calcul àl'Ens206

Le topos effectifSilvain Rideau8 février 2010RésuméQuelques notes sur l’article [Hyl82]. Une partie des preuves absentes de l’article sont tirées de[HJP80]Table des matières1 Topoi 21.1 Quelques limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sous-objets et objet des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Réalisabilité récursive 73 Le topos effectif EFF 103.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Quelques constructions dans EFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Objet des entiers naturels 131

1 Topoi1.1 Quelques limitesOn va commencer par introduire quelques définitions générales qui permettrons de définir ce qu’est untopos (voir [BW85]). Pour la plupart ce sont des cas particuliers de limites de diagrammes finis.Dans tout ce qui suit C est une catégorie.Définition 1.1 (Produit fibré) :Soient A, B et C des objets de C, f > Hom C ˆA, C et g > Hom C ˆB, C . Soit P un objet de C, p 1 >Hom C ˆP, A et p 2 Hom C ˆP, B . On dit que le diagrammeP p 1 Ap 2 f B g Cest un produit fibré s’il commute et qu’on a la propriété universelle suivante : si ˆT, t 1 , t 2le diagrammeTt 1Avérifient quet 2 f B g Ccommute alors il existe un unique h > Hom C ˆT, Ptel queT t 2ht 1 P p 1 Ap 2 f B g Ccommute.On parle aussi de produit fibré de g le long de f (ou réciproquement).Le produit fibré de ˆf, gest la limite du diagrammeAfB g CDéfinition 1.2 (objet terminal) :Soit C un objet de C, on dit qu’il est terminal si pour tout objet A de C, il existe une unique flèche deA dans C.Les objets terminaux sont les limites du diagramme vide.2

Définition 1.3 (Égalisateur) :Soient A et B des objets de C, f, g > Hom C ˆA, B . Soit E un objet de C, e > Hom C ˆE, A . On dit queˆE, e est un égalisateur de ˆf, g si f X e g X e et si pour tout T objet de C et t > Hom C ˆT, A tel quef X t g X t alors il existe un unique h > Hom C ˆT, E tel que t e X h.L’égalisateur de f et g est la limite du diagrammeUn égalisateur est un cas particulier de produit fibré où U V .AgfDéfinition 1.4 (Produit) :Soit ˆA i i>I une famille d’éléments de C. Soit P un objet de C et pour tout i > I, p i > Hom C ˆP, A i . Ondit que ˆP, ˆp i i>I est le produit de ˆA i i>I si pour tout T objet de C et tous t i > HomˆT, A i pour i > I,il existe un unique h tel que pour tout i > I, p i X h t i .Le produit est la limite du diagramme discret des ˆA i i>I.Dans le cas particulier ou I ˜1; 2 on obtient la propriété universelle suivanteT Bt 1P t 2p 1 p 2 A 1 A 2C’est alors aussi un cas particulier de produit fibré si la catégorie a un objet terminal I :Tt 2t 1Pp 1A 1p 2A 2 IOn notera A B le produit de A et B (en sous-entendant les projections (p A et p B )) et ˆf, g ¢ Tla flèche universelle qui vérifie le diagrammeA BTfgA B Ap A p BOn prendra les même notations pour tous les produits.Définition 1.5 (Monomorphisme) :Soit f > Hom C ˆA, B , on dit que f est un monomorphisme si pour tous x, y > Hom C ˆB, C , f X ximplique x y (f est donc régulier à gauche).Af X y3

Le lemme suivant permet de relier la notion de monomorphisme à celle de produit fibré, plus précisémentde donner une définition alternative qui fasse intervenir un produit fibré.Lemme 1.6 (Caractérisation des monomorphismes par un produit fibré) :f > Hom C ˆA, B est un monomorphisme ssi le diagramme suivant est un produit fibréA id A Aid A f A fB∆. Soient T un objet de C et x, y > HomˆT, A .(¨) Supposons que le diagrammeTxyA id AAid A f A fBcommute. En particulier, f X x f X y donc x y et l’un ou l’autre satisfont la propriété universelle.Supposons maintenant que h > HomˆT, A vérifieTx hyA idAAid AA f BOn a alors, par commutativité, x id A X h h y. Le carré est donc bien un produit fibré.() Supposons que f X x f X y. Soit h vérifiant la propriété universelle. On a alors comme ci-dessusx h y. Donc f est bien un monomorphisme.Énonçons maintenant un théorème sur l’existence des limites finies.Théorème 1.7:On a équivalence entre(i) C a toutes les limites finies.(ii) C a un objet terminal et tous les produits fibrés.(iii) C a tous les produits finis et tous les égalisateurs.∆.(i¨ii) est évident vu que les objets terminaux et les limites finies sont des cas particuliers de limitesfinies.fj4

(ii¨iii) est une conséquence des traductions par des produits fibrés données ci-dessus. Il faudrait encoredémontrer qu’on peut construire tout produit fini à partit du produit cartésien seulement (associativitédu produit cartésien et isomorphisme entre le produit n-aire et n-1 fois le produit cartésien).(iii¨ii) Un objet terminal est le produit d’une famille vide.Soient A ,B et C des objets de C, f > HomˆA, C et g > HomˆB, C et considérons P A C B,Q C C, i ˆf X p A , g X p B et j ˆp C , p C appartenant à HomˆP, Q .Notons E, e l’égalisateur de ˆi, j , e 1 p A X e et enfin e 2 p B X e. ˆE, e 1 , e 2 est alors un produit fibréde ˆf, g .En effet on a par définition i X e j X e et en projetant sur chacune des composantes de C C, onobtient f X p A X e p C X e et g X p B X e p C X e, en particulier, f X e 1 g X e 2 . Le carré est donc un carrécommutatif. Reste à montrer qu’il vérifie la propriété universelle. Soit ˆT, t 1 , t 2 tel que f X t 1 g X t 2 .la flèche t ¢ ˆt 1 , f X t 1 , t 2 > Hom C ˆT, P vérifie que i X t j X t. En effet, en notant p 1 la premièreprojection sur C C et p 2 la deuxième,etp 1 X i X t f X p A Xˆt 1 , f X t 1 , t 2f X t 1p C X Xˆt 1 , f X t 1 , t 2p 1 X j X tp 2 X i X t g X p B Xˆt 1 , f X t 1 , t 2g X t 2f X t 1p C Xˆt 1 , f X t 1 , t 2p 2 X j X tPar propriété universelle du produit cartésien, on a bien i X t j X t. Par propriété universelle del’égalisateur, on a h ¢ T E tel que t e X h. On a alors bien e 1 X h p A X e X h p A X t t 1 ete 2 X h p B X e X h p B X t t 2 . C’est donc bien un produit fibré. jLa preuve donnée ici n’est pas complète, en effet (iii¨i) n’est pas démontré, mais la preuve suitexactement la même méthode que celle utilisée pour reconstruire le produit fibré.1.2 Sous-objets et objet des partiesDéfinition 1.8 (Equivalence de monomorphismes et sous-objets) :On dit que deux monomorphismes f > Hom C ˆA, C et g > Hom C ˆB, C sont équivalents s’il existej ¢ a b isomorphisme tel que le diagrammejA Bf g Csoit commutatif (on remarque que c’est une bien une relation d’équivalence).On notera pour tout g monomorphisme de codomaine C, g¥ la classe d’équivalence de g. Les sous-objetsde C sont ces classes d’équivalence.5

Définition 1.9 (Foncteur des sous-objets) :Soit C une catégorie. On définit le foncteur Sub ¢ C op SET tel que :1. quelque soit C objet de C, SubˆC est l’ensemble des sous-objets de C.2. quelque soit f > Hom C ˆB, A , quelque soit g ¢ U A monomorphisme, Subˆf ˆ g¥ est la classed’équivalence d’un produit fibré de g le long de f, i.e. tel qu’il existe s > Subˆf ˆ g¥ , p et h telsque le diagrammesoit un produit fibré.sPhUB f A∆. Pour que cette définition ait un sens, il faut montrer deux choses :(i) Le produit fibré d’un monomorphisme est un monomorphisme.(ii) Si g¥ h¥ et g œ (reps. h œ ) produit fibré de g (resp. h) le long de f alors g œ ¥ h œ ¥Pour démontrer le (i), considérons le diagramme suivant :T yxsPhgUB f ASupposons que f X x f X y. Par commutativité du carré, on a g X h X x g X h X y. Comme g est unmonomorphisme, on a h X x h X y. Les deux flèches x et y vérifient donc la même propriété universelle :gf X x f X yT h X x h X yxyhsPUB f AgOn a donc bien x y.Montrons maintenant le (ii). Comme g¥h¥, on a θ isomorphisme tel queθU Vg h A6

Par propriété universelle du produit fibré on a ϕ et ψ tels queQh œϕ Vg œP θ 1 UB f AgPg œψ Uh œQ θVB f AhOn remarque qu’il suffit de démontrer que ψ est un isomorphisme pour avoir l’équivalence de g œ et h œ ,en effet le diagramme voulu est la cellule la plus à gauche du diagramme qui défini ψ. Mais ϕ X ψ vérifiela même propriété universelle que id P :Pg œψid PUQh œ θϕ Vg œP θ 1 UB f AgOn a donc bien ϕ X ψ id P . De façon symétrique ψ X ϕ id Q . jDéfinition 1.10 (Objet des parties) :Soit C une catégorie qui a les produits finis et C un objet de C. On appelle objet des parties de C, unobjet PC de C tel que pour tout objet A de C il existe une bijectionHom C ˆA, PCϕ A¨SubˆA Cnaturelle en A.Définition 1.11 (Topos) :Une catégorie C est un topos si :1. Elle a toutes les limites finies .2. Pour tout objet C de C, PC existe.En particulier, d’après le théorème (1.7), il suffit qu’elle ait les produits finis et les égalisateurs où unobjet terminal et les produits fibrés.2 Réalisabilité récursiveLe concept à la base de la construction du topos effectif est celui de réalisabilité récursive, qui traduitle fait que certains nombres vérifient certaines propriétés à base de fonctions récursives.Définition 2.1 (Σ) :On note Σ l’ensemble des parties de N muni des opérations internes suivantes7

1. A , B ¢ ˜`n, me S n > A et m > B2. A - B ¢ ˜`0, ne S n > A 8 ˜`1, ne S n > B3. A ¨ B ¢ ˜e S si n > A, alors eˆn £ et eˆn > Boù ` , e est une fonction récursive de codage des paires (on notera π 1 et π 2 les projections associées), eteˆn est le résultat de la fonction récursive d’indice e appliquée à n. On défini aussi les deux constantes1. — ¢ N2. – ¢ gDéfinition 2.2 (Prédicats non standards) :Soit X un ensemble, un prédicat non standard sur X est un élément de Σ X . On munit l’ensemble desprédicats non standards des opérations ,, - et ¨ définies point par point. Si ϕ et ψ sont des prédicatsnon standards, on a :1. ˆϕ , ψ ˆx ¢ ϕˆx , ψˆx2. ˆϕ - ψ ˆx ¢ ϕˆx - ψˆx3. ˆϕ ¨ ψ ˆx ¢ ϕˆx ¨ ψˆx4. —ˆx ¢ —5. –ˆx ¢ –On définit un pré-ordre sur Σ X parϕ Ø X ψ si ˆϕ ¨ ψ ˆx x gx>XEnfin on dit qu’un prédicat non standard ϕ est valide si — Ø X ϕ.Définition 2.3 (Pré-algèbre de Heyting) :Une catégorie C est une pré-algèbre de Heyting si elle a les produits finis, les co-produits finis et estcartésienne close.Lemme 2.4 :La catégorie associée au pré-ordre ˆΣ X , Ø X (i.e. telle qu’il existe un unique morphisme entre ϕ et ψ ssiϕ Ø X ψ) est une pré-algèbre de Heyting avec x ( N comme objet terminal, x ( g comme objet initial,, comme produit cartésien, - comme somme cartésienne et ¨ comme exponentielle.Définition 2.5 (Substitution et quantification) :Soient X et Y deux ensembles et f ¢ X Y . On défini f ‡ ¢ Σ Y Σ X , la substitution selon f parcomposition à droite. Cela fait de f ‡ un foncteur ˆΣ Y , Ø Y ¨ˆΣ X , Ø X . Il admet un adjoit à droite¦f ¢ ˆΣ X , Ø X ¨ˆΣ Y , Ø Y et un adjoint à gauche §f ¢ ˆΣ X , Ø X ¨ˆΣ Y , Ø YOn notera dans la suite p X ¢ Y X Y la projection canonique, ¦p X sera noté ¦x et §p X sera noté §x.Pour ce qui est des substitutions, si ϕ est un prédicat non standard sur Y X et t ¢ Y Z A X, on noteZϕ x ¢ t¥ le prédicat non standard, sur Y Z, ˆt, p ‡ˆϕ . On retrouve alors les notations habituelles.Enfin pour pouvoir faire des preuves plus facilement, on va introduire un raisonnement syntaxique surles prédicats non standards (voir [Cos74])8

ϕè X ϕ(axiome)Γè X ϕ ϕ, Γ œ è X ∆ œ (ϕ-coupure)Γ, Γ œ è X ∆ œΓè X ∆ (affaiblissement è)Γ, ϕè X ∆Γè X ∆Γ X p Y è XY ∆ X p Y(variables)Γ, ϕè X ∆ˆ, 1 èΓ, ϕ , ψ è X ∆Γ, ψ è ∆Γ, ϕ ,X ψ è ∆ˆ,2 èΓè X ϕ Γè X ψ ˆè ,Γè X ϕ , ψΓ, ϕè X ∆ Γ, ψ è X ∆ ˆ-èΓ, ϕ - ψ è X ∆Γè X ϕΓè X ϕ - ψˆè -1Γè X ψΓè X - - ψˆè -2Γ X p X , ϕè Y X ∆ X p XΓ, §xϕè Y ∆ˆ§èΓè Y Z ϕ x ¢ t¥Γè Y Z ˆ§xϕ X p Zˆè §Γ, ϕ x ¢ t¥è Y Z ∆ˆ¦ èΓ, ˆ¦xϕ X p Z è Y Z ∆Γ X p X è Y X ϕ ˆè ¦Γè Y ¦xϕFig. 1 – Règles du calculDéfinition 2.6 (Calcul des séquents sur les prédicats non standards) :On définit un séquent comme ˜Γ è X ∆ où X est un ensemble, Γ et ∆ sont des ensemble de prédicatsnon standards sur X tels que ∆ contienne au plus un élément. On interprète un séquent comme¥ γ Ø X δγ>Γ δ>∆.On définit la classe des séquents valides comme la plus petite classe close par les règles données à lafigure 1, où on note Γ X f pour ˜γ X f S γ > Γ .Le théorème qui suit indique que ce calcul permet bien de faire des démonstrations correctes. On remarquerad’ailleurs que c’est, à quelque aménagements près dus aux substitutions, la logique intuitioniste.On pourra donc démontrer la validité des prédicats non standards par des raisonnements intuitionistes.Théorème 2.7 (Correction du calcul) :Si un séquent est syntaxiquement valide alors son interprétation est vérifiée.∆. La preuve se fait par induction sur les règles utilisées en montrant que si les prémisses sont validesalors la conclusion est valide.La plupart des règles sont une simple application du fait que ˆΣ X , Ø X est une pré-algèbre de Heyting.Parexemple ˆè , exprime exactement que , est un produit. La règle ˆ-, est un peu plus compliquée,mais traduit simplement le fait que le produit est distributif sur le co-produit, à isomorphisme près. Larègle (variables), quant à elle, exprime simplement le fait que ˆp Y ‡ est un foncteur.Les règles vraiment intéressantes sont celles de la quantification, je démontrerais donc la correctiondes règles gauches (celle des règles droites étant duale (voire plus simple vu que la formule est seule àdroite)).(§ è Supposons ¤ γ X p X , ϕ è Y X ¦ δ X p X .Comme ¨ est l’exponentiation et , le produit cartésien, on a aussi ϕ Ø Y X ˆ¤ γ X pX ¨ ˆ¦ δ X p X . Pardéfinition, comme les opérateurs sont définis point par point, pour tout f, ϕ X f l ψ X f ˆϕ l ψ X f,pour l > ˜,, - ¨ , et donc ϕ Ø Y X ˆ¤ γ ¨ ¦ δ X pX .Comme §x est l’adjoint à gauche de ˆp X ‡, on a §xϕ Ø X ¤ γ ¨ ¦ δ, et donc ¤ γ , §xϕ Ø X aussi.9

ˆ¦ è Supposons maintenant ¤ γ ,ϕ x ¢ t¥ Ø Y Z ¦ δ, ou plus exactement (en explicitant les notations),¥ γ , ϕ Xˆt, p Z Ø Y Z § δMais comme ¦xϕ Ø Y ¦xϕ, on a ˆ¦xϕ X p X Ø Y X ϕ et par fonctorialité de ˆt, p Z ‡,ˆ¦xϕ X p X Xˆt, p ZØ ϕ Xˆt, p ZComme , est un produit cartésien, et que p X Xˆt, p Z p Z , on a ¤ γ , ˆ¦xϕ X p Z Ø Y Z ¦ δ. j3 Le topos effectif EFF3.1 DéfinitionDéfinition 3.1 (Σ-ensemble) :Un Σ-ensemble est un ensemble muni d’une relation non standard ¡ telle que1. x ¡ y ¨ y ¡ x (symétrique)2. ˆx ¡ y , y ¡ z ¨ x ¡ z (transitif)sont valides.On note Ex le prédicat non standard x ¡ x.Définition 3.2 (Morphismes de Σ-ensembles, équivalence, composition) :Soient ˆX, ¡ et ˆY, ¡ deux Σ-ensembles. Un morphisme de Σ-ensemble est une relation non standardF > Σ XY telle que1. F ˆx, y ¨ ˆEx , Ey (stricte)2. ˆF ˆx, y , x ¡ x œ , y ¡ y œ ¨ F ˆx œ , y œ (relationnelle)3. ˆF ˆx, y , F ˆx, y œ ¨ y ¡ y œ (fonctionnelle)4. Ex ¨ §yF ˆx, y (totale)sont valides.Soient F, G ¢ ˆX, ¡ ˆY, ¡ , On dit qu’ils sont équivalents si F ˆx, y ¨ Gˆx, y est valide. Onnotera F la classe d’équivalence de F .Soient F ¢ ˆX, ¡ ˆY, ¡ et G ¢ ˆY, ¡ ˆZ, ¡ , on pose G X F ¢ §yˆF ˆx, y , Gˆy, z , élément deΣ XZ .Lemme 3.3 :Si F et G sont des morphismes de Σ-ensemble, si F ˆx, y ¨ Gˆx, y est valide alors Gˆx, y ¨ F ˆx, yaussi. En particulier, monter un sens de l’équivalence suffit pour montrer l’équivalence.∆. Voir figure 2. De façon plus compréhensible, supposons Gˆx, y , On a alors, comme G est stricte Ex,donc, comme F est totale, §yF ˆx, y . Soit y œ tel que F ˆx, y œ , par hypothèse, on a alors Gˆx, y œ . Maisalors, comme G est fonctionnelle, y ¡ y œ et commeF est relationnelle, on a bien F ˆx, y . jComme on peut le voir, cette preuve innocente demande pour être formalisée un peu d’effort, particulièrementà cause de la gestion des variables libres. On se contentera donc dorénavant de donner despreuves informelles (intuitionistes).Lemme 3.4 (Propriétés de la composition) :La relation non standard F X G est un morphisme de Σ-ensembles, de plus la composition est compatible10

F relationnelleF ˆx, y œ, y ¡ y œ œ, x ¡ x Ø XYœY F ˆx, y X pYpreuve suivanteF ˆx, y œ , y ¡ y œ œ, Ex Ø XYœY F ˆx, y X pYGˆx, y Ø XY §y œ F ˆx, y œ , y ¡ y œ , Ex§y œ F ˆx, y œ , y ¡ y œ , Ex Ø XY F ˆx, yGˆx, y Ø XY F ˆx, yG stricteGˆx, y Ø XY Ex , EyGˆx, y Ø XY ˆEx X p YGˆx, y Ø XY §y œ F ˆx, y œF totaleEx Ø XY §y œ F ˆx, y œGˆx, y Ø XY §y œ F ˆx, y œpreuve suivanteGˆx, y , §y œˆF ˆx, y œ X p Y Ø XY §y œ F ˆx, y œ , y ¡ y œ , Ex, y ¡ y œ , ExF ˆx, y œ X p Y Ø XY Y F ˆx, œ yœ X p Ypreuve suivanteGˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œ X p Y Ø XY Y F ˆx, œ yœ X p Y Gˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œ X p Y Ø XY Y y ¡ œ yœ , ExGˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œ X p Y Ø XY Y œ F ˆx, yœ , y ¡ y œ , ExGˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œ X p Y Ø XY Y œ ˆ§yœ F ˆx, y œ , y ¡ y œ , Ex X p Y œGˆx, y , §y œˆF ˆx, y œ X p Y Ø XY §y œ F ˆx, y œ , y ¡ y œ , ExpreuveGˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œ suivanteX p Y Ø XY Y y ¡ œ yœ X p X G stricteGˆx, y Ø XY Ex , EyGˆx, y Ø XY ˆEx X p YGˆx, y X p Y œ Ø XY Y ˆEx œ X p XGˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œX p Y Ø XY Y œ y ¡ yœ , ExhypothèseØ XY YF ˆx, y œœ Gˆx, yœG fonctionnelleF ˆx, y œ X p Y Ø XY Y Gˆx, œ yœ X p Y Gˆx, y X p Y œ , Gˆx, y œ X p Y Ø XY Y y ¡ œ yœ X p XGˆx, y X p Y œ , F ˆx, y œX p Y Ø XY Y œ y ¡ yœ X p XFig. 2 – Preuve du lemme11

avec la relation d’équivalence sur les morphismes de Σ-ensembles. De plus, pour tout F , ¡ X F F X ¡ sontéquivalent à F .Définition 3.5 (EFF) :Le topos effectif est la catégorie dont les objets sont les Σ-ensembles et les flèches les classes d’équivalencede morphismes de Σ-ensembles, muni de la composition définie en (3.2).3.2 Quelques constructions dans EFFLemme 3.6 (Objet terminal) :Le Σ-ensemble ˜† muni de la relation ˆ†, † ( — est terminal dans EFF.∆. La relation définie ici est bien symétrique et transitive, c’est bien donc bien un Σ-ensemble.Soit ˆX, ¡ un Σ-ensemble. Soit F ¢ ˆEx X p X relation non standard sur X ˜† . Cette relation estbien stricte, car Ey est valide et F ˆx, † ¨ Ex est évidemment valide. Elle est relationnelle car Exl’est, et elle ne dépend pas de y. Elle est évidemment fonctionnelle vu que l’ensemble d’arrivé n’a qu’uneclasse d’équivalence pour ¡. Et elle est totale car Ex ¨ §yEx se déduit de Ex§Ex par la règle ˆè § .Cette formule représente donc une classe de morphismes de ˆX, ¡ dans ˆ˜† , ¡ .Supposons maintenant qu’on ait f > HomˆˆX, ¡ , ˆ˜† , ¡ représenté par un prédicat F . Montrons queF ˆx, y ¨ Ex. Comme F est strict, F ˆx, y ¨ ˆEx , Ey est valide. Comme ˆEx , Ey ¨ Ex estvalide en logique intuitioniste, on en déduit que F x ¨ Ex.D’après le lemme 3.3 on a le résultat voulu, et EFF a bien un objet terminal.jLemme 3.7 (Produits finis) :Le produit de ˆX i , ¡ i>I pour I fini est le sigma ensemble Π >IX i muni de la relation ¤ i>I x i ¡ x œ i . Pourtout i > I, la projection p i est représentée par Ex i X p Xi .Lemme 3.8 (Égalisateur) :L’égalisateur de f (représenté par F ) et g (représenté par G) deux morphismes de ˆX, ¡ dans ˆY, ¡est le Σ-ensemble ˆX, où x x œ ¢ ˆ§yF ˆx, y , Gˆx, y , ˆ§y œ F ˆx œ , y œ , Gˆx œ , y œ , x ¡ x œ muni deH ˆx, y ¢ E x , x ¡ y.On vient en particulier de montrer que EFF a toutes les limites finies.Lemme 3.9 (Produit fibré) :Un carré commutatifˆT, ¡G œˆA, ¡ˆB, G ¡ ˆC, ¡est un produit fibré ssi1. ˆF œˆt, b , F œˆtœ , b , G œˆt, a , G œˆtœ , a ¨ t ¡ t œ2. F ˆa, c , Gˆb, c ¨ §tˆG œˆt, a , F œˆt, bsont valides.F œFLemme 3.10 (Monomorphismes) :F > HomˆˆX, ¡ , ˆY, ¡ est un monomorphisme ssi F ˆx, y , F ˆx œ , y ¨ x x œ est valide12

∆. D’après le lemme 1.6, c’est un monomorphisme ssiˆX, ¡¡ˆX, ¡¡ˆX, ¡FF ˆY, ¡est un produit fibré. D’après le théorème précédent, on a donc équivalence avec la validité de1. ˆt ¡ b , t œ ¡ b , t ¡ a , t œ ¡ a ¨ t ¡ t œ2. F ˆa, c , F ˆb, c ¨ §tˆt ¡ a , t ¡ bComme ¡ est réflexive est transitive, la première est toujours valide et la deuxième est intuitionistementéquivalente à la formule voulue.jLemme 3.11 (Isomorphismes) :F > HomˆˆX, ¡ , ˆY, ¡ est un isomorphisme ssi F sˆy, x ¢ F ˆx, y est fonctionnelle et totale.∆. F s est stricte et relationnelle (ce sont des notions symétriques) donc F s est un morphisme de Σ-ensembles.Soit H ¢ F X F s , on a alors H ˆy, y œ §xF ˆx, y , F ˆx, y œ , mais comme F est fonctionnelle, celaimplique y ¡ y œ . De plus comme F s est totale la réciproque est aussi vraie. Donc H ¡. De façonsymétrique F s X F ¡ et F est bien un isomorphisme. jLemme 3.12 (Sous-objets) :Un sous objet de ˆX, ¡ peut être représenté par un monomorphisme (non unique) I ¢ ˆX, ˆX, ¡où x y ¢ Ax , Ay , x ¡ y et I ˆx, y ¢ Ax , x ¡ y pour un certain prédicat non standard A strict etrelationnel.∆. Soit F ¢ ˆT, ¡ ˆX, ¡ un monomorphisme. Soit Ax ¢ §yF ˆy, x , elle est stricte et relationnellecar F l’est. Notons ˆX ¡ A le Σ-ensemble défini à partir de ˆX, ¡ et A comme précédemment et Ila relation associée. Alors F est un morphisme de Σ-ensembles de ˆT, ¡ dans ˆX ¡ A dont la classed’équivalence est un isomorphisme.D’après le lemme 3.11, il suffit de montrer que F s est fonctionnelle et totale (de ˆX ¡ A dans ˆT, ¡ ). Elleest totale car E A x Ex , §yF ˆx, y en particulier E A x ¨ §yF S ˆy, x est valide. Elle est fonctionnellecar F est un monomorphisme, et la formule donnée au lemme 3.10 est exactement celle cherchée.4 Objet des entiers naturelsDéfinition 4.1 (Structure pointée à endomorphisme) :Soit T un topos, ˆA, a, t est une structure pointée à endomorphisme (PE-structure), si A est un objetde T , a > Hom T ˆI, A est un élément global, et t > Hom T ˆA, A est un endomorphisme.Un morphisme de PE-structures, f ¢ ˆA, a, t ˆA œ , a œ , t œ est f > Hom T ˆA, A œ tel que le diagrammeIa f A t Afa œA œ t œ A œ13

commute.Définition 4.2 (Objet des entiers naturels) :Une objet initial ˆN, 0, S de la catégorie des PE-structures est un objet des entiers naturels.Il est d’ailleurs amusant de remarquer a quel point cette définition des entiers est proche de celle desentiers de Church.Lemme 4.3 (Objet des entiers naturels de EFF) :Soit N le Σ-ensemble muni de x ¡ m ¢ ˜n 9 ˜m . Soit O ¢ I N représenté par F 0ˆn ¢ n 0 etS ¢ N N représenté par F S ˆn, m ¢ n 1 ¡ m. Alors ˆN, 0, S est un objet des entiers naturels dansEFF.∆. Soit ˆˆA ¡ , a, t une PE-structure dans EFF, avec a représentée par F a et t représenté par F t . Ondéfini par récurrence sur n, Gˆ0, x, x œ ¢ x x œ et Gˆn 1, x, x œ §x œœ Gˆn, x, x œœ ,F tˆx œœ , x . G est alorsun prédicat non standard sur N A A. On peut démontrer (par récurrence sur n) que Gˆn, , est unmorphisme de Σ-ensembles et qu’elle est relationnelle en n.On définit enfin F f ˆn, x ¢ En , §x œ F aˆx œ , Gˆn, x œ , x . C’est un morphisme de Σ-ensembles. De plus,I0 FN S NFaA t Acommute. En effet §nF 0ˆy, n ,F f ˆn, x ¨ F aˆx , c’est a dire §nˆn ¡ 0 ,En , §x œ F aˆx œ ,Gˆn, x œ , x ¨F aˆy, x est valide. Soit n et x œ tels que n ¡ 0 , En , F aˆx œ , Gˆn, x œ , x . Comme G est relationnelle enn, on a Gˆ0, x œ , x c’est à dire x ¡ x œ . Comme F a est relationnelle, on a donc F aˆx , ce qui est le résultatvoulu. L’implication réciproque est vérifiée d’après le lemme 3.3.D’autre part §x œ F f ˆn, x œ , F tˆx œ , x ¨ §mF S ˆn, m , F f ˆm, x . En effet, soit x œ tel que F f ˆn, x œ ,F tˆx œ , x c’est à dire En,§x œœˆF aˆx œœ ,Gˆn, x œœ , x ,F tˆx œ , x . Soit x œœ tel que En,F aˆx œœ ,Gˆn, x œœ , x œ ,F tˆx œ , x , en particulier on a alors Gˆn 1, x œœ , x et donc F f ˆn 1, x de plus F S ˆn, n 1 . Commel’implication réciproque est vérifiée d’après le lemme 3.3, le diagramme est bien commutatif.Avant de continuer cette preuve, je voudrais signaler un point que je n’ai pas réussi à résoudre. Si onconsidère le Σ-ensemble N muni de la relation x y ¢ — si x y, – sinon, j’ai l’impression que la preuvede la commutativité du diagramme marche de même, pourtant on peut démontrer que tout morphismede ˆN, dans ˆN, ¡ se factorise à travers I, i.e. est constant, et donc la portion de droite du diagrammene peut commuter, car n ¡ n 1 n’est pas valide...14

Références[BW85] M. Barr and C. Wells. Toposes, Triples and Theories. Springer-Verlag, 1985.[Cos74] M. Coste. Logique du premier ordre dans les topos élémetaires. Séminaire J. Bénabou, 1973-1974.[HJP80] J.M.E. Hyland, P.T. Johnstone, and A.M. Pitts. Tripos theory. Mathematical Proceedings ofthe Cambridge Philosophical Society, 88 :205–232, 1980.[Hyl82]J.M.E Hyland. The effective topos. In The L.E.J. Brouwer Centenary Symposium, volume110 of Studies in Logic, pages 165–216. North Holland Publishing Company, 1982.15

Neuvième partieArticle publié à CompilerConstruction en 2010222

Validating Register Allocation and SpillingSilvain Rideau 1 and Xavier Leroy 21 École Normale Supérieure, 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, Francesilvain.rideau@ens.fr2 INRIA Paris-Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Francexavier.leroy@inria.frAbstract. Following the translation validation approach to high-assurancecompilation, we describe a new algorithm for validating a posteriori theresults of a run of register allocation. The algorithm is based on backwarddataflow inference of equations between variables, registers and stack locations,and can cope with sophisticated forms of spilling and live rangesplitting, as well as many architectural irregularities such as overlappingregisters. The soundness of the algorithm was mechanically proved usingthe Coq proof assistant.1 IntroductionTo generate fast and compact machine code, it is crucial to make effective useof the limited number of registers provided by hardware architectures. Registerallocation and its accompanying code transformations (spilling, reloading, coalescing,live range splitting, rematerialization, etc) therefore play a prominentrole in optimizing compilers.As in the case of any advanced compiler pass, mistakes sometimes happen inthe design or implementation of register allocators, possibly causing incorrectmachine code to be generated from a correct source program. Such compilerintroducedbugs are uncommon but especially difficult to exhibit and track down.In the context of safety-critical software, they can also invalidate all the safetyguarantees obtained by formal verification of the source code, which is a growingconcern in the formal methods world.There exist two major approaches to rule out incorrect compilations. Compilerverification proves, once and for all, the correctness of a compiler or compilationpass, preferably using mechanical assistance (proof assistants) to conduct theproof. Translation validation checks a posteriori the correctness of one run ofcompilation: a validator, conceptually distinct from the compiler itself, is giventhe intermediate code before and after a compilation pass, and verifies that theybehave identically using static analysis or (specialized) theorem proving technology[1,2,3,4]. For additional confidence, the validator can itself be mechanicallyverified once and for all; this provides soundness guarantees as strong as compilerverification and reduces the amount of compiler code that needs to be provedcorrect, at the expense of weaker completeness guarantees [5].R. Gupta (Ed.): CC 2010, LNCS 6011, pp. 224–243, 2010.c○ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

Validating Register Allocation and Spilling 225This paper describes a new algorithm to validate (in one pass) register allocationplus splitting, reloading, coalescing, live range splitting, dead code elimination,and enforcement of calling conventions and architectural constraints onregisters. This algorithm is based on a backward dataflow analysis that refinesstandard liveness analysis. It comes accompanied with a machine-checked proofof soundness, conducted using the Coq proof assistant [6,7]. Our algorithm improveson an earlier algorithm by Huang, Childers and Soffa [8] because it ismechanically proved and because it can deal with overlapping registers. (Seesection 6 for a discussion.)This work is part of the CompCert project, which aims at formally verifyinga realistic optimizing compiler for the C language, usable in the context of criticalembedded systems [9]. Currently, CompCert follows the compiler verificationapproach for its register allocation and spilling/reloading passes. While the verifiedregister allocator is a state-of-the-art George-Appel graph coloring allocator[10], the spilling strategy that was proved correct is very naive: it inserts spillsafter every definition and reloads before every use of a temporary that couldnot be allocated to a register, reserving some registers specially for this purpose[11, section 11]. This strategy is adequate for a register-rich target architecturesuch as the PowerPC, but more sophisticated strategies are needed to retargetCompCert to a register-poor architecture like x86. Proving those sophisticatedstrategies is a daunting task. The verified validation algorithm presented in thispaper offers an attractive alternative, reducing the amount of code that needsto be proved and enabling the use of advanced spilling strategies. Moreover, wecan experiment with various register allocation algorithms and spilling strategieswithout having to re-do any proofs.The remainder of this paper is organized as follows. Section 2 outlines thesource and target languages for the untrusted register allocator and characterizesthe code transformations it is allowed to make. Section 3 describes our validationalgorithm. Section 4 sketches its proof of soundness. Section 5 discussesexperience gained with a prototype implementation. Related work is reviewedin section 6, followed by concluding remarks in section 7.2 A Bird’s Eye View of Register Allocation and Spilling2.1 Source LanguageAs input for register allocation, we consider the RTL intermediate languageof the CompCert compiler [11, section 6]. This is a standard Register TransferLanguage where control is represented by a control flow graph (CFG). Each nodeof a CFG carries an abstract instruction, corresponding roughly to one machineinstruction but operating over variables x (also called temporaries) instead ofhardware registers. Every function has an unlimited supply of variables andtheir values are preserved across function calls. Each variable has a machinetype comprising a register class (typically, int or float) and a bit size (8, 16,32, 64).

226 S. Rideau and X. LeroyControl-flow graphs:g ::= p ↦→ I finite mapCFG nodes:p, s ∈ NRTL instructions:I ::= nop(s) no operation| op(op,⃗x, x d ,s) arithmetic operation| load(κ, mode,⃗x, x d ,s) memory load| store(κ, mode,⃗x, x s ,s) memory store| call(τ,id,⃗x, x d ,s) function call| cond(cond ,⃗x, s true ,s false ) conditional branch| return(x) function returnEach RTL instruction carries the list of its successors s in the CFG. For example,nop(s) performs no computation and continues at node s, like an unconditionalbranch. op(op,⃗x, x d ,s) applies the arithmetic operation op (taken from amachine-dependent set of operators) to the values of variables ⃗x, stores the resultin variable x d , and continues at s. load(κ, mode,⃗x, x d ,s) loads a memory quantityκ (e.g. “8-byte signed integer” or “64-bit float”) from an address determinedby applying addressing mode mode to the values of registers ⃗x, stores the resultin x d , and continues at s. store(κ, mode,⃗x, x s ,s) is similar, except that thevalue of x s is stored at the computed address instead. cond(cond ,⃗x, s true ,s false )evaluates the boolean condition cond over the values of ⃗x and continues at s trueor s false depending on the result. return(x) terminates the current function, returningthe value of x as the result. Finally, call(τ,id,⃗x, x d ,s) calls the functionnamed id, giving it the values of ⃗x as arguments and storing the returned resultin x d .Theτ parameter is the type signature of the call, specifying the numberand types of arguments and results: this is used during register allocation to determinethe calling conventions for the call. The full RTL language, described in[11], supports additional forms of function calls such as calls through a functionpointer and tail calls, which we omit here for simplicity.RTL functions:f ::= {name = id; typesig = τ; params = ⃗x;code = g; entrypoint = p}An RTL function is defined by its name, its type signature, the list of parametervariables, a CFG, and a node in the CFG that corresponds to the function entrypoint.2.2 Target LanguageThe purpose of register allocation is to transform RTL functions into LTL functions.LTL stands for “Location Transfer Language” and is a minor variation onRTL where variables are replaced by locations. A location is either a machineregister r or a slot S(δ, n) in the activation record of the function; δ is the byteoffset and n thebytesizeoftheslot.

Validating Register Allocation and Spilling 227Locations:l ::= rmachine register| S(δ, n) stack slotControl-flow graphs:g ′ ::= p ↦→ I ′LTL instructions:I ′ ::= nop(s)no operation| op(op, ⃗ l, l, s) arithmetic operation| load(κ, mode, ⃗ l, l d ,s) memory load| store(κ, mode, ⃗ l, l s ,s) memory store| call(τ,id,s) function call| cond(cond , ⃗ l, s true ,s false ) conditional branch| return function returnLTL functions:f ′ ::= {name = id; typesig = τ;code = g ′ ; entrypoint = p}Most LTL instructions are identical to RTL instructions modulo the replacementof variables x by locations l. However, function calls and returns are treateddifferently: the locations of arguments and results are not marked in the calland return instructions nor in the params field of functions, but are implicitlydetermined by the type signature of the call or the function, following the callingconventions of the target platform. We model calling conventions by the followingthree functions:– arguments(τ): the list of locations for the arguments of a call to a functionwith signature τ. The LTL code is responsible for moving the values ofthe arguments to these locations (registers or stack slots) before the callinstruction.– parameters(τ): the list of locations for the parameters of a function withsignature τ. On entrance, the LTL function expects to find the values of itsarguments at these locations, and is responsible for moving them to other locationsif desired. parameters(τ) is usually identical to arguments(τ) modulorelocation of stack slot offsets.– result(τ): the location used to pass the return value for a function withsignature τ.2.3 The Effect of Register Allocation on the CodeThe essence of register allocation is to replace variables by the locations thatwere assigned to it in each instruction of the source RTL code, leaving the rest ofthe instruction unchanged. For example, the RTL instruction op(add,x.y,z,s)can become the LTL instruction op(add, EAX.EBX, EAX,s) if the allocator decidedto assign x and z to register EAX and y to register EBX at this program point.However, this is not the only effect of register allocation on the code: it can alsoinsert or delete some instructions in the following cases.

228 S. Rideau and X. Leroy– Spilling: a move from a register r to a stack slot is inserted at some pointafter an instruction that assigns r, to save the result value on the stack andfree the register r for other uses.– Reloading: symmetrically, a move from a stack slot to a register is insertedat some point before a use of r.– Coalescing: some variable copies op(move,x,y,s) present in the input RTLcode may disappear if the register allocator assigned the same location to xand y. We model this deletion as replacing the op(move,...) instruction bya nop instruction.– Live range splitting: if the allocator decided to split a live range of avariable x into several variables x 1 ,...,x n connected by move instructions,some of these moves may remain in the generated LTL code as newly insertedinstructions.– Enforcement of calling conventions: additional moves may be insertedin the generated LTL code to deposit arguments to function calls and returnvalues of functions in the locations dictated by the calling conventions, andfetch function parameters and return values from these locations.– Enforcement of architectural constraints: the register allocator canalso introduce move instructions to work around irregularities of the targetarchitecture: two-address instructions, special registers, etc.– Dead code elimination: the register allocator can also eliminate sideeffect-free instructions such as op and load whose result variables are neverused. Dead code elimination can be performed in a separate pass prior toregister allocation, but the availability of liveness information during registerallocation makes it convenient to perform dead code elimination at the sametime.The validation algorithm we present next is able to cope with all these modificationsof the code performed during register allocation. Other code transformationsthat sometimes accompany register allocation, such as rematerialization,are discussed in section 7.3 The Validation AlgorithmLike intraprocedural register allocation itself, the validator proceeds function perfunction. It takes as input an RTL function f, the corresponding LTL functionf ′ produced by the untrusted register allocator, and a partial map ϕ from theCFG nodes of f ′ to those of f.The purpose of ϕ is to connect the computational instructions of the LTLcode back to the corresponding instructions in the original RTL. Since deletedinstructions are not actually removed but simply turned into LTL nop instructions,ϕ also maps these nop instructions back to the corresponding deleted RTLinstruction. Finally, LTL move instructions that were inserted during register allocationare not in the domain of ϕ, indicating that they are new. (All these

Validating Register Allocation and Spilling 229properties of ϕ are checked during validation.) We assume that the register allocatorhas been lightly instrumented to produce this mapping ϕ and give it asadditional argument to our validator.The validation algorithm proceeds in two steps:– A set of structural checks (section 3.1) verifies that the computational instructionsin the two CFGs match properly, that their successors agree, andthat the ϕ mapping is consistent.– A backward dataflow analysis (section 3.2) establishes that the same valuesflowinbothCFGs.The combination of these two steps suffices to ensure that the two functions fand f ′ behave identically at run-time (as proved in section 4).3.1 Structural ChecksThe main structural check is performed on each pair of RTL instructions andLTL instructions that match according to the ϕ mapping. For each mappingp ′ ↦→ p in ϕ, the validator calls the following check_instr predicate:check instr(f,f ′ ,ϕ,p,p ′ )=let I = f.code(p) andI ′ = f ′ .code(p ′ )inlet s 1 ,...,s n be the successors of Iand s ′ 1 ,...,s′ m be the successors of I′ inI and I ′ are structurally similarand path(f ′ ,ϕ,s i ,s ′ i )fori =1,...,nAn RTL instruction I is structurally similar to an LTL instruction I ′ if they areidentical modulo changes of successors and replacement of registers by locations,or if I is an op or load and I is a nop (dead code elimination). Table 1 gives amore precise definition. The ∼ relation (pronounced “agree”) between a variablex and a location l means that x and l agree in register class and in size. Forexample, a variable of class int and size 32 bits agrees with the x86 register EAXTable 1. Structural similarity between RTL and LTL instructionsInstruction I Instruction I ′ Conditionnop(s) nop(s ′ )op(op,⃗x, x, s) op(op, ⃗ l, l, s ′ ) if ⃗x ∼ ⃗ l and x ∼ lop(op,⃗x, x, s) nop(s ′ )load(κ, mode,⃗x, x, s) load(κ, mode, ⃗ l, l, s ′ ) if ⃗x ∼ ⃗ l and x ∼ lload(κ, mode,⃗x, x, s) nop(s ′ )store(κ, mode,⃗x, x, s) store(κ, mode, ⃗ l, l, s ′ ) if ⃗x ∼ ⃗ l and x ∼ lcall(τ,id,⃗x, x, s) call(τ,id)cond(cond ,⃗x, s 1 ,s 2 ) cond(cond , ⃗ l, s ′ 1,s ′ 2) if ⃗x ∼ ⃗ lreturn(x)return

230 S. Rideau and X. Leroyand the stack slot S(0, 4), but not with the register AX (wrong size) nor with theregister XMM0 (wrong class) nor with the stack slot S(0, 8) (wrong size).Besides structural similarity, check_instr also verifies the consistency of thesuccessors of the two instructions I and I ′ .Naively,ifϕ maps the program pointof I ′ to the program point of I, one could expect that the i-th successor of I ′ ismapped to the i-th successor of I. In the example below, this is the case for theleft successors of the cond instructions.Icondϕcond I ′oploadopmove/∈ Dom(ϕ)ϕϕmove/∈ Dom(ϕ)loadThis is not always the case because of the fresh move instructions that can beinserted during register allocation. However, there must exist a (possibly empty)path from the i-th successor of I ′ to a CFG node that is mapped to the i-thsuccessor of I. This path must consist of move instructions that are not in thedomain of ϕ. (See example above, right successors of the cond instructions.) Thiscondition is checked by the auxiliary predicate path:path(f ′ ,ϕ,p,p ′ )=false if the node p ′ was previously visited;true if ϕ(p ′ )=p;path(f ′ ,ϕ,p,s ′ )ifp ′ /∈ Dom(ϕ) andf ′ .code(p ′ )=op(move, , ,s ′ );false, otherwise.Besides calling check_instr on each pair (p, p ′ ) of matching program points,the structural check pass also verifies that the two functions f,f ′ agree in nameand type signature, and that there exists a valid path (in the sense above) fromthe entry point of f ′ to a point that maps to the entry point of f. (Typically,this path corresponds to move instructions that shuffle the parameters of thefunction.)check structure(f,f ′ ,ϕ)=f.name = f ′ .name and f.typesig = f ′ .typesigand path(f ′ ,ϕ,f.entrypoint,f ′ .entrypoint)and for each p, p ′ such that ϕ(p) =p ′ ,check instr(f,f ′ ,ϕ,p,p ′ )There is one last family of structural checks that we omitted here: enforcementof architectural constraints on the uses of locations. In the case of a RISC loadstorearchitecture, for instance, argument and result locations must be hardwareregisters for all instructions except move operations, for which one of the source

Validating Register Allocation and Spilling 231and destination can be a stack slot, but not both. CISC architectures like thex86 tolerate stack slots as arguments or results of some operations, but imposeother constraints such as the result location being identical to the first argumentlocation in the case of two-address instructions. These checks can be performedeither during validation or as part of a later compiler pass; we omit them forsimplicity.3.2 Dataflow AnalysisTo show that the original RTL function f and the register-allocated LTL functionf ′ compute the same results and have the same effects on memory, we use adataflow analysis that associates to each program point p ′ of f ′ asetE(p ′ )ofequations between variables and locations:E(p ′ )={x 1 = l 1 ; ...; x n = l n }The semantic meaning of these equations is that in every execution of the code,the value of x i at point ϕ(p ′ )inf is equal to the value of l i at point p ′ in f ′ .There are two ways to build and exploit these sets of instructions: the forwardway and the backward way. For concreteness, assume that we have structurallysimilarop instructions at points p ′ in f ′ and p = ϕ(p ′ )inf:f.code(p) =op(op,⃗x, x, s) f ′ .code(p ′ )=op(op, ⃗ l, l, s ′ )These instructions use ⃗x and ⃗ l and define x and l, respectively.In the forward approach, we assume given a set E of variable-location equationsthat hold “before” points p, p ′ . We can then check that {⃗x = ⃗ l}⊆E. Ifso, we know that both op instructions are applied to the same argument values,and since the operator op is the same in both instructions, they will computethe same result value and store it in x and l. To obtain the equations that hold“after” these instructions, we remove from E all equations invalidated by theparallel assignment to x and l (see below for a discussion), then add the equationx = l.In the backward approach, we are given a set E of equations that must hold“after” points p, p ′ for the rest of the executions of f,f ′ to produce identicalresults and effects. We first check that the assignment to x and l performed bythe two op instructions does not render unsatisfiable any of the equations inE. If this check succeeds, we can remove the equation x = l from E, since itis being satisfied by the parallel execution of the two op instructions, then addthe equations {⃗x = ⃗ l}, since these are necessary for the two op instructions toproduce the same result value. This gives us the set of equations that must hold“before” points p, p ′ .In this work, we adopt the backward approach, as it tends to produce smallersets of equations than the forward approach, and therefore runs faster. (To buildan intuition, consider a long, straight-line, single-assignment sequence of instructions:the forward approach produces sets whose cardinal grows linearly in thenumber of instructions, while the backward approach produces sets whose cardinalis only proportional to the length of the live ranges.)

232 S. Rideau and X. LeroyUnsatisfiability and Overlap. We mentioned the need to check that assigningin parallel to x and l does not render unsatisfiable any equation in a set E.An example of this situation is E = {y = l} where x ≠ y. The LTL-side opinstruction overwrites l with a statically-unknown value, while the RTL-side opinstruction leaves y unchanged. Therefore, there is no way to statically ensurethat y = l after executing these two instructions. In register allocation terms,this situation typically occurs if the allocator wrongly assigned l to both x andy, despitex and y being simultaneously live and not being copies of one another.The determination of unsatisfiable equations is made more complicated by thefact that LTL locations can overlap, i.e. share some bits of storage. Two overlappinglocations contain a priori different values, yet assigning to one changes thevalue of the other. Overlap naturally occurs with stack slots: for instance, theslots S(0, 8) (eight bytes at offset 0) and S(4, 4) (four bytes at offset 4) clearlyoverlap. Some processor architectures also exhibit overlap between registers. Forexample, on the x86 architecture, the 64-bit register RAX contains a 32-bit subregisterEAX, a 16-bit sub-register AX, and two 8-bit sub-registers AL and AH. Allthese registers overlap pairwise except AL and AH. Insummary,fortwolocationsl 1 and l 2 there are three mutually-exclusive possibilities:– Equality (written l 1 = l 2 ): both locations always contain the same value.– Disjointness (written l 1 ⊥ l 2 ): assigning to one location does not change thevalue of the other.– Partial overlap (written l 1 # l 2 ): the values of the locations are a prioridifferent, yet assigning to one affects the value of the other.For stack slots, we have the following definitions:S(δ 1 ,n 1 )=S(δ 2 ,n 2 ) ⇐⇒ δ 1 = δ 2 ∧ n 1 = n 2S(δ 1 ,n 1 ) ⊥ S(δ 2 ,n 2 ) ⇐⇒ [δ 1 ,δ 1 + n 1 ) ∩ [δ 2 ,δ 2 + n 2 )=∅For registers, the precise definitions of ⊥ depends on the target architecture.Armed with these notions of overlap and disjointness, we can formally definethe compatibility between a pair x, l of destinations and a set of equations E,written (x, l) ⊥ E:(x, l) ⊥ E def= ∀(x ′ = l ′ ) ∈ E, (x ′ = x ∧ l ′ = l) ∨ (x ′ ≠ x ∧ l ′ ⊥ l)Note that if (x, l) ⊥ E holds, assigning in parallel the same value to x and l willsatisfy the equation x = l and preserve the satisfiability of all other equationsappearing in E. (See lemma 2 in section 4.)The Transfer Function. In preparation for a backward dataflow analysis,we now define the transfer function transfer(f,f ′ ,ϕ,p ′ ,E) that computes theset E ′ of equations that must hold “before” program point p ′ in order for theequations E to hold “after” point p ′ . Here, E and E ′ range over sets of equationsplus the symbolic constant ⊤ denoting inconsistency, or in other words the factthat the analysis failed to validate the flow of data.

Validating Register Allocation and Spilling 233transfer(f,f ′ ,ϕ,p ′ ,E)=if E = ⊤ then ⊤ (1)else if ϕ(p ′ )=p then:if f.code(p) =nop( )andf ′ .code(p ′ )=nop( ): (2)Eif f.code(p) =op(move,x s ,x d , )andf ′ .code(p ′ )=nop( ): (3)E[x d ← x s ]if f.code(p) =op( ,⃗x, x, )orload( , ,⃗x, x, )andf ′ .code(p ′ )=nop( ): (4)if (x = ) ∈ E then ⊤ else Eif f.code(p) =op( ,⃗x, x, )andf ′ .code(p ′ )=op( , ⃗ l, l, ) (5)or f.code(p) =load( , ,⃗x, x, )andf ′ .code(p ′ )=load( , , ⃗ l, l, ):if (x, l) ⊥ E then (E \{x = l}) ∪{⃗x = ⃗ l} else ⊤if f.code(p) =store( , ,⃗x, x, )andf ′ .code(p ′ )=store( , , ⃗ l, l, ): (6)E ∪{x = l}∪{⃗x = ⃗ l}if f.code(p) =call( , ,⃗x, x, )andf ′ .code(p ′ )=call(τ, ): (7)if (x, result(τ)) ⊥ E and E does not mention caller-save locationsthen (E \{x = result(τ)}) ∪{⃗x = arguments(τ)}else ⊤if f.code(p) =cond( ,⃗x, , )andf ′ .code(p ′ )=cond( , ⃗ l, , ): (8)E ∪{⃗x = ⃗ l}if f.code(p) =return(x) andf ′ .code(p ′ )=return: (9){x = result(f ′ .typesig)}else if p ′ /∈ Dom(ϕ) then:if f ′ .code(p ′ )=op(move,l s ,l d , ): (10)E[l d ← l s ]Fig. 1. The transfer function for backward dataflow analysisThe transfer function is defined in figure 1. We now explain its various cases.First, inconsistency propagates up, therefore E ′ = ⊤ if E = ⊤ (case 1). Then,we discuss whether the instruction at p ′ in f ′ is mapped to a structurally-similarinstruction at p in f (i.e. ϕ(p ′ )=p) or is new (i.e. p ′ /∈ Dom(ϕ)).If ϕ(p ′ )=p, we examine the shape of the two similar instructions. For instructionsthat perform no definitions, such as store and cond, we simply addequations {x i = l i } to E, wherex 1 ,...,x n are the uses of the RTL instructionand l 1 ,...,l n those of the LTL instruction (cases 6 and 8). These equationsmust be satisfied “before” for the two instructions to behave the same.For instructions that define a variable x or a location l, suchasop and load,we first check compatibility between (x, l) andE, and return ⊤ if false; for inthis case there is no way to ensure that the equations E will be satisfied afterthe assignments to x and l. Otherwise, we remove the equation x = l becausethe execution of the two instructions will satisfy it, then add equations {x i = l i }beforetheusesasinthecaseofstore or cond instructions.The cases of call and return instructions are similar, except that the usesand defs of these LTL instructions are not marked in the instructions (as in RTL),but are implicitly determined from a type signature. Therefore, the uses and defsof an LTL call(τ,...) are respectively arguments(τ) andresult(τ) (case7),

234 S. Rideau and X. Leroyand the uses of an LTL return are {result(f ′ .typesig)} (case 9). Moreover, notall registers and stack slots are preserved across an LTL function call, but onlythose marked as callee-save by the application binary interface used. The callcase therefore returns ⊤ if the set E of equations “after” contains any equationx = l where l is caller-save: since the value of l after the call is unpredictable,this equation cannot be satisfied.Two cases remain that correspond to RTL instructions that were eliminated(turned into nop) during register allocation. Case 3 corresponds to one step ofcoalescing: a move instruction from x s to x d was eliminated because x s and x dwere assigned the same location. In this case, any equation x d = l holds “after”provided that x s = l holds “before”; and any equation x = l with x ≠ x d holdsafter if only if it holds before. Therefore, the set E ′ of equations “before” isE[x d ← x s ]def= {(x s = l) | (x d = l) ∈ E}∪{(x = l) | (x = l) ∈ E ∧ x ≠ x d }Case 4 corresponds to dead code elimination: an op or load instruction wasremoved because its destination variable x is not used later. We check that thisis the case by making sure that no equation x = l for some l occurs in E,returning E if so and ⊤ if not.Finally, let us consider the case p ′ /∈ Dom(ϕ), indicating that the instructionat p ′ was inserted during register allocation. By our assumptions on what anallocator is allowed to do, this new LTL instruction must be a move (case 10).Let l s be its source and l d its destination. By a similar reasoning as in case 3, anequation x = l d is satisfied after the move if x = l s is satisfied before. Moreover,the move preserves satisfiability of any equation x = l such that l ⊥ l d . However,equations x = l where l # l d are not satisfiable because of overlap. The set E ′of equations before point p ′ is, therefore:E[l d ← l s ]=⊤ if there exists (x = l) ∈ E such that l # l dE[l d ← l s ]={(x = l s ) | (x = l d ) ∈ E}∪{(x = l) | (x = l) ∈ E ∧ l ⊥ l d }otherwiseThe Dataflow Analysis and Its Uses. Armed with the transfer function offigure 1, we set up backward dataflow equations of the formE(p ′ )= ⋃ {transfer(f,f ′ ,ϕ,s ′ ,E(s ′ ) | s ′ successor of p ′ in f ′ }The unknowns are E(p ′ ), the set of equations that must hold after each programpoint p ′ of the transformed function f ′ .Byconventionon⊤, wetake⊤∪E =E∪⊤ = ⊤. We then solve those equations by standard fixpoint iteration, startingwith E(p ′ )=∅ for all points p ′ . (In our case, we reused a generic implementationof Kildall’s algorithm provided by the CompCert compiler.)Interestingly, this dataflow analysis generalizes liveness analysis, in the followingsense: if {x 1 = l 1 ; ...; x n = l n } are the equations “after” inferred at aprogram point p ′ mapped to p by ϕ, then the first projection {x 1 ,...,x n } isthe set of variables live in the original function f after point p and the second

Validating Register Allocation and Spilling 235projection {l 1 ,...,l n } is the set of locations live in the transformed function f ′after point p ′ .The validator then considers the set E 0 of equations “before ” the functionentry point:E 0def= transfer(f,f ′ ,ϕ,f ′ .entrypoint,E(f ′ .entrypoint))If E 0 = ⊤, an unprovable equation was encountered at some reachable instruction;validation therefore fails. Otherwise, we need to make sure that the equationsin E 0 always hold. The only variable-location equations that hold withcertainty are those between the RTL function parameters and the correspondingLTL locations:E paramsdef= {f.params = parameters(f ′ .typesig)}The validator could, therefore, check that E 0 ⊆ E params and signal an errorotherwise. However, this check is too strong for C programs: it amounts to imposingJava’s “definite assignment” rule. Indeed, E 0 ⊆ E params implies that allvariables live at the beginning of the RTL function are parameters of this function.This is not always the case in RTL code generated from valid C functionssuch as:int f(int x) {int y;if (x != 0) y = 100 / x;if (x != 0) return y; else return -1;}Here, the local variable y is live at the beginning of f, yet the function is semanticallywell-defined. Performed on the corresponding RTL code and a correct LTLregister allocation of this code, the dataflow analysis of our validator producesan E 0 containing the equation y = l for some l. (This equation arises from theuse of y in the “then” branch of the second “if”, combined with the lack of adefinition of y in the “else” branch of the first “if”.)How, then, can we avoid rejecting such correct codes at validation time? Wetake advantage of two very reasonable assumptions:1. The semantics of RTL, like that of C, states that a program has undefinedbehavior if at run-time it uses the value of an undefined variable.2. When establishing the correctness of a run of register allocation via validation,we are only interested in RTL programs that have well-defined behavior.For source programs with undefined behaviors, the register allocator canproduce arbitrary code. (Most compilers take this “garbage in, garbage out”view of optimization.)Now, an equation x = l at a program point where x is guaranteed to beuninitialized can safely be considered as always satisfied: since the RTL programhas well-defined semantics, it is not going to use the value of x before defining

236 S. Rideau and X. Leroyit, therefore the actual value of x does not matter, and we might just as wellassume that it matches the value of l in the LTL code. The check performed bythe validator on the initial equations E 0 is, therefore,E 0 ∩ f.params ⊆ E paramswhere the intersection E ∩ X between a set of equations E and a set of RTLvariables X is defined asE ∩ X def= {(x = l) | (x = l) ∈ E ∧ x ∈ X}3.3 The Validation AlgorithmCombining the definitions of sections 3.1 and 3.2, we obtain the main validationfunction:check function(f,f ′ ,ϕ)=if check structure(f,f ′ ,ϕ)=false, returnfalsecompute the solutions E(p ′ ) of the dataflow equationsE(p ′ )= ⋃ {transfer(f,f ′ ,ϕ,s ′ ,E(s ′ ) | s ′ successor of p ′ in f ′ }let E 0 = transfer(f,f ′ ,ϕ,f ′ .entrypoint,E(f ′ .entrypoint))check E 0 ≠ ⊤ and E 0 ∩ f.params ⊆{f.params = parameters(f ′ .typesig)}Typically, this validator is combined with an untrusted implementation of aregister allocator regalloc, as follows:validated regalloc(f) =let (f ′ ,ϕ)=regalloc(f) inif check function(f,f ′ ,ϕ) then return f ′ else abort compilation4 Soundness ProofThere are two properties of interest for a translation validator. One is soundness:if the validator says “yes”, the transformed code behaves identically to thesource code. The other is relative completeness: the validator never raises a falsealarm; in other words, it accepts all valid instances of the code transformationconsidered. The completeness property is, necessarily, relative to a limited classof program transformations such as those listed in section 2.3: otherwise, validationwould boil down to checking semantic equivalence between two arbitraryprograms, which is undecidable.We have formally proved the soundness of the validation algorithm presentedin section 3. The proof was mechanized using the Coq proof assistant, bringingnear-absolute confidence. This section gives a simplified sketch of this soundnessproof. Relative completeness is difficult to even state formally, so we did notattempt to prove it. Testing shows no false alarms (see section 5). We conjecturethat our validator is complete for all program transformations that can onlyrename variables, insert move operations, and delete operations and loads, buttreat as uninterpreted (and therefore preserve) all other computations.

Validating Register Allocation and Spilling 2374.1 Dynamic SemanticsIn preparation for stating and proving soundness, we need to give formal semanticsto the RTL and LTL languages. The full semantics of RTL is described in[11, section 6]. Here, for simplicity, we outline the semantics of the fragment ofRTL that excludes function calls and returns, and therefore is given relative toa single function f.The semantics is presented in small-step style as a transition relation → betweenexecution states. States are triples (p, e, m) wherep is the current programpoint (a CFG node), e is a partial map from variables to values, and m is thememory state: a partial map from (pointer, memory quantity) pairs to values.Values are the discriminated union of integers, floating-point numbers, and pointers.(In the full semantics of RTL, the state contains additional components suchas the function currently executing and an abstract call stack.)The transition relation → between states is defined by the rules of figure 2.The rules discriminate on the instruction at the current program point p, thenupdate the three components of the state accordingly. The partial functions op,mode and cond are the semantic interpretations of operators, addressing modesand conditions as functions over values. We make no assumptions about theseinterpretations, except that the move operation is the identity: move(v) =v.The notation e[x ← v] stands for the variable environment mapping x to v andall other variables y to e(y). The initial state is (f.entrypoint, [f.params ↦→⃗v args ],m init )where⃗v args are the values of the arguments given to function f.The final state is (p, e, m) wherep points to a return instruction.The semantics of LTL is essentially isomorphic to that of RTL, at least for thefragment considered here. (The full LTL treats function calls somewhat differentlyfrom RTL, to reflect the passing of function arguments and results throughconventional locations.) LTL states are triples (p ′ ,e ′ ,m ′ ) of a program point p ′in f ′ , an environment e ′ mapping locations to values, and a memory state m ′ .The main difference between RTL and LTL is the update e ′ [l ← v] ofalocationf.code(p) =nop(s)f.code(p) =op(op,⃗x, x, s)op(e(⃗x)) = v(p, e, m) → (s, e, m)(p, e, m) → (s, e[x ← v],m)f.code(p) =load(κ, mode,⃗x, x, s) mode(e(⃗x)) = v ad m(v ad ,κ)=v(p, e, m) → (s, e[x ← v],m)f.code(p) =store(κ, mode,⃗x, x, s) mode(e(⃗x)) = v ad m[(v ad ,κ) ← e(x)] = m ′(p, e, m) → (s, e, m ′ ){f.code(p) =cond(cond,⃗x, s 1 ,s 2 ) s =s 1s 2if cond (e(⃗x)) = trueif cond (e(⃗x)) = false(p, e, m) → (s, e, m)Fig. 2. Transition rules for the simplified semantics of RTL

238 S. Rideau and X. Leroyl by a value v: itsetsl to v, but as collateral damage is also sets overlappinglocations l ′ # l to unspecified values:e ′ [l ← v](l) =ve ′ [l ← v](l ′ )=e ′ (l ′ )ifl ′ ⊥ le ′ [l ← v](l ′ ) is unspecified if l ′ # lNote that the values of stack locations S(δ, n) are stored in the location environmente ′ and not in the memory state m ′ . This simplifies the proof. A separateproof, detailed in [11, section 12], shows that accesses to stack locations can laterbe reinterpreted as memory loads and stores within the activation record.4.2 Equation SatisfactionThe crucial invariant of the soundness proof is the following: whenever controlreaches point p ′ in the LTL function f ′ and matching point ϕ(p ′ )intheRTLfunction f, the corresponding environments e and e ′ satisfy the equations E “before”point p ′ inferred by the validator. Equation satisfaction is written e, e ′ |= Eand defined ase, e ′ |= E def= ∀(x = l) ∈ E, x ∈ Dom(e) =⇒ e(x) =e ′ (l)This predicate enjoys nice properties that are keys to the soundness proof. First,satisfaction implies that the argument values to matching RTL and LTL operationsare identical. (This lemma is used in the parts of the soundness proof thatcorresponds to cases 3, 6, 7, 8 and 9 of the transfer function.)Lemma 1. If e, e ′ |= E ∪{⃗x = ⃗ l} and e(⃗x) is defined, then e ′ ( ⃗ l)=e(⃗x).Second, satisfaction is preserved by several kinds of parallel or unilateral assignments.(For each lemma we indicate the corresponding cases of the transferfunction.)Lemma 2 (Parallel assignment – cases 5 and 7). If e, e ′ |= E \ (x = l)and (x, l) ⊥ E then e[x ← v],e ′ [l ← v] |= ELemma 3 (RTL assignment to a dead variable – case 4). If e, e ′ |= Eand (x = ) /∈ E then e[x ← v],e ′ |= ELemma 4 (Coalesced RTL move – case 3). If e, e ′ |= E[x d ← x s ] thene[x d ← e(x s )],e ′ |= ELemma 5 (Inserted LTL move – case 10). If E[l d ← l s ] ≠ ⊤ and e, e ′ |=E[l d ← l s ] then e, e ′ [l d ← e ′ (l s )] |= EFinally, satisfaction holds in the initial states, taking ⃗x = f.params and ⃗ l =parameters(f ′ .typesig) and⃗v to be the values of the function parameters.Lemma 6. If E ∩ ⃗x ⊆{⃗x = ⃗ l}, then for any e ′ such that e ′ ( ⃗ l)=⃗v, we have[⃗x ↦→ ⃗v],e ′ |= E.

Validating Register Allocation and Spilling 2394.3 Forward SimulationThe soundness proof takes the form of a forward simulation diagram relatingone transition in the RTL code to one or several transitions in the LTL code,starting and ending in matching states. (The “or several” part corresponds tothe execution of move instructions inserted during register allocation.)s 1s 2≈≈s ′ 1+s ′ 2(RTL) (LTL)The relation ≈ betweenRTLandLTLstatesisdefinedasfollows:(p, e, m) ≈ (p ′ ,e ′ ,m ′ ) def=ϕ(p ′ )=p ∧ e, e ′ |= transfer(f,f ′ ,ϕ,p ′ ,E(p ′ )) ∧ m = m ′That is, the program points must match according to the ϕ mapping; the variableand location environments must satisfy the dataflow equations “before” point p ′ ;and the memory states are identical.Theorem 1 (Forward simulation). Assume that check function(f,f ′ ,ϕ)=true. LetE(p ′ ) be the solutions to the dataflow equations. If s 1 → s 2 and s 1 ≈s ′ 1 ,thereexistss′ 2 such that s′ +1 → s ′ 2 and s 2 ≈ s ′ 2 .The proof of this theorem proceeds in two steps. First, we show that the LTLcode can make one transition from s ′ 1 to some state (p ′ ,e ′ ,m ′ )thatdoesnotnecessarily match s 2 (because ϕ(p ′ ) can be undefined) but is such that e, e ′ |=transfer(f,f ′ ,ϕ,p ′ ,E(p ′ )). This part of the proof proceeds by case analysison the RTL and LTL instructions pointed to by s 1 and s ′ 1, and exercises allcases of the structural checks and the transfer function except the path checkand case 10. Then, the following lemma shows that we can extend this LTLtransition with zero, one or several transitions (corresponding to executions ofinserted move instructions) to reach a state matching s 2 .Lemma 7 (Execution of inserted moves). Assume path(f ′ ,ϕ,p,p ′ )=trueand e, e ′ |= transfer(f,f ′ ,ϕ,p ′ ,E(p ′ )). Then,thereexistsp ′′ and e ′′ such that(p ′ ,e ′ ,m) ∗ → (p ′′ ,e ′′ ,m) and ϕ(p ′′ )=p and e, e ′′ |= transfer(f,f ′ ,ϕ,p ′′ ,E(p ′′ )).From the forward simulation theorem 1, semantic preservation for whole programs(that is, agreement between the observable behaviors of the source RTLcode and transformed LTL code) follows easily using the general results of [11,section 3.7].5 Implementation and Experimental ResultsWe implemented the validation algorithm and a prototype register allocatorwithin the CompCert verified compiler [9]. Like all other verified parts of this

240 S. Rideau and X. Leroycompiler, the validator is written directly in the Gallina specification languageof the Coq proof assistant, in pure functional style. Sets of equations are implementedas persistent AVL trees, using the FSet standard library of Coq. Thisimplementation supports insertion and removal of equations in O(log n) time,but the compatibility check (x, l) ⊥ E requires an O(n) traversal of the set E.Whether a better data structure could support compatibility check in logarithmictimeisanopenquestion.The Gallina implementation of the validator lends itself immediately to programproof within Coq. Efficient Caml code is automatically generated from theGallina code using Coq’s program extraction facility. The generated Caml codeis then linked with a register allocator hand-written in Caml.The prototype register allocator we experimented with is a standard Chaitinstylegraph coloring allocator, using George and Appel’s iterated register coalescingalgorithm to color the interference graph [10]. If some variables x were assignedstack slots and are used by instructions that demand a hardware register,spill and reload instructions to/from fresh temporary variables are introducedand register allocation is repeated. Two spilling strategies were experimented.The first simply inserts a reload before every use of a spilled variable and aspill after every definition. The second splits the live ranges of a spilled variableat every definition and every use, in the hope that reloaded values can stay ina register across several reloads in parts of the code where register pressure islow. (This is a less aggressive form of splitting than that considered by Appeland George [12].) Since we are targeting a register-rich architecture (the PowerPC),spilling occurs rarely. To stress the validator, we reduced the number ofcallee-save registers, forcing considerable spilling across function calls.On the CompCert test suite, the validator performed as expected: it did notraise any false alarms, but found several mistakes in our implementation ofthe second spilling strategy. The compile-time overhead of the validator is veryreasonable: validation adds 20% to the time taken by register allocation and 6%to the whole compilation time.From a proof engineering viewpoint, the validator is a success. Its mechanizedproof of correctness is only 900 lines of Coq, which is quite small for a 350-linepiece of code. (The typical ratio for Coq program proofs is 6 to 8 lines of proofper line of code.) In contrast, 4300 lines of Coq proof were needed to verifythe register allocation and spilling passes of the original CompCert compiler.Even this earlier development used translation validation on a sub-problem: theGeorge-Appel graph coloring algorithm was implemented directly in untrustedCaml code, then followed by a verified validator to check that the resulting assignmentis a valid coloring of the interference graph. Later, Blazy, Robillardand Appel conducted a Coq proof of the graph coloring algorithm [13]. This isa fairly large proof: in total, more than 10000 lines of proof are needed to completelyverify the original CompCert register allocation and spilling passes. Insummary, the translation validation approach delivers a ten-fold reduction in theproof effort compared with the compiler verification approach, while providing

Validating Register Allocation and Spilling 241soundness guarantees that are just as strong. Of course, the compiler verificationapproach offers additional formal guarantees: not just soundness, but alsocompleteness (register allocation never fails at compile-time). In contrast, theverified validator approach cannot rule out the possibility of a spurious compiletimeerror.6 Related WorkThe idea of translation validation goes back at least to Samet’s 1975 Ph.D.thesis [14]. It was rediscovered and popularized by Pnueli et al. ten years ago[1]. Some translation validators proceed by generation of verification conditionsfollowed by model checking or automatic theorem proving [1,15,16,17]; othersrely on less powerful but cheaper and more predictable approaches based onsymbolic evaluation and static analyses [2,3,4,5,8,18]. For another dividing line,some validators are general-purpose and apply to several compilation passes [2]or even to a whole compiler [3], while others are specialized to particular familiesof optimizations, such as software pipelining [15,19,18], instruction scheduling [5],partial redundancy elimination [4], or register allocation [8]. The present workfalls squarely in the cheap, specialized, static analysis-based camp.The earlier work most closely related to ours is that of Huang, Childers andSoffa [8]: a validator for register allocation that was prototyped within SUIF.Their validator proceeds by forward dataflow analysis and global value numbering.A nice feature of their validator, which ours lacks, is the production ofmeaningful explanations when an error is detected. On the other hand, their validationalgorithm was not proved sound. Such a proof appears delicate becausethe semantic interpretation of global value numbers is difficult.The general-purpose validators of Necula [2] and Rival [3] can also validateregister allocation among other program transformations. They proceed by symbolicevaluation: variables and locations in the source and transformed code areassociated symbolic expressions characterizing their values, and these expressionsare compared modulo algebraic identities to establish semantic equivalence.Symbolic evaluation is a very versatile approach, able to validate many programtransformations. On the particular case of register allocation and spilling, it appearsno more powerful, but more costly, than the specialized techniques usedby Huang et al. and by us.7 Conclusions and Future WorkThe validation algorithm for register allocation and spilling presented in this paperis simple enough to be integrated in production compilers and efficient enough tobe invoked on every compilation run. At the same time, the mechanically-checkedproof of soundness brings considerable confidence in its results.Our validator can be improved in several directions. One is to design a moreefficient data structure to represent sets of equations. As mentioned in section 5,

242 S. Rideau and X. Leroythe simple representation of equation sets as AVL trees performs compatibilitychecks in linear time. A more sophisticated data structure might supportlogarithmic-time operations over equation sets.Another direction is to introduce additional forms of equations to enable thevalidation of even more code transformations related to register allocation. Forexample, rematerialization of constants [20] could probably be validated if wewere able to keep track of equations of the form x = constant. Likewise, theparts of the function prologue and epilogue that save and restore used calleesaveregisters to/from stack slots (currently treated in CompCert by a separate,verified pass) could be validated along with register allocation if we had equationsof the form init(r) =l, whereinit(r) is a symbolic constant denoting the valueof callee-save register r on entrance to the function.References1. Pnueli, A., Siegel, M., Singerman, E.: Translation validation. In: Steffen, B. (ed.)TACAS 1998. LNCS, vol. 1384, pp. 151–166. Springer, Heidelberg (1998)2. Necula, G.C.: Translation validation for an optimizing compiler. In: ProgrammingLanguage Design and Implementation 2000, pp. 83–95. ACM Press, New York(2000)3. Rival, X.: Symbolic transfer function-based approaches to certified compilation.In: 31st symposium Principles of Programming Languages, pp. 1–13. ACM Press,New York (2004)4. Tristan, J.B., Leroy, X.: Verified validation of Lazy Code Motion. In: ProgrammingLanguage Design and Implementation 2009, pp. 316–326. ACM Press, New York(2009)5. Tristan, J.B., Leroy, X.: Formal verification of translation validators: A case studyon instruction scheduling optimizations. In: 35th symposium Principles of ProgrammingLanguages, pp. 17–27. ACM Press, New York (2008)6. Coq development team: The Coq proof assistant. Software and documentation,http://coq.inria.fr/ (1989–2010)7. Bertot, Y., Castéran, P.: Interactive Theorem Proving and Program Development– Coq’Art: The Calculus of Inductive Constructions. EATCS Texts in TheoreticalComputer Science. Springer, Heidelberg (2004)8. Huang, Y., Childers, B.R., Soffa, M.L.: Catching and identifying bugs in registerallocation. In: Yi, K. (ed.) SAS 2006. LNCS, vol. 4134, pp. 281–300. Springer,Heidelberg (2006)9. Leroy, X.: Formal verification of a realistic compiler. Communications of theACM 52(7), 107–115 (2009)10. George, L., Appel, A.W.: Iterated register coalescing. ACM Transactions on ProgrammingLanguages and Systems 18(3), 300–324 (1996)11. Leroy, X.: A formally verified compiler back-end. Journal of Automated Reasoning43(4), 363–446 (2009)12. Appel, A.W., George, L.: Optimal spilling for CISC machines with few registers.In: Programming Language Design and Implementation 2001, pp. 243–253. ACMPress, New York (2001)13. Blazy, S., Robillard, B., Appel, A.W.: Formal verification of coalescing graphcoloringregister allocation. In: Gordon, A.D. (ed.) ESOP 2010. LNCS, vol. 6012,pp. 145–164. Springer, Heidelberg (2010)

Validating Register Allocation and Spilling 24314. Samet, H.: Automatically Proving the Correctness of Translations Involving OptimizedCode. PhD thesis, Stanford University (1975)15. Leviathan, R., Pnueli, A.: Validating software pipelining optimizations. In: Int.Conf. on Compilers, Architecture, and Synthesis for Embedded Systems (CASES2002), pp. 280–287. ACM Press, New York (2006)16. Zuck, L., Pnueli, A., Fang, Y., Goldberg, B.: VOC: A methodology for translationvalidation of optimizing compilers. Journal of Universal Computer Science 9(3),223–247 (2003)17. Barrett, C.W., Fang, Y., Goldberg, B., Hu, Y., Pnueli, A., Zuck, L.D.: TVOC: Atranslation validator for optimizing compilers. In: Etessami, K., Rajamani, S.K.(eds.) CAV 2005. LNCS, vol. 3576, pp. 291–295. Springer, Heidelberg (2005)18. Tristan, J.B., Leroy, X.: A simple, verified validator for software pipelining. In:37th symposium Principles of Programming Languages. ACM Press, New York(to appear, 2010) (accepted for publication)19. Kundu, S., Tatlock, Z., Lerner, S.: Proving optimizations correct using parameterizedprogram equivalence. In: Programming Language Design and Implementation2009, pp. 327–337. ACM Press, New York (2009)20. Briggs, P., Cooper, K.D., Torczon, L.: Rematerialization. In: Programming LanguageDesign and Implementation 1992, pp. 311–321. ACM Press, New York (1992)

Dixième partieExposé de magistère243

Suites de Goodstein et incomplétude de l’arithmétique dePeanoGabriel Scherer et Silvain Rideau17 Juin 2009

Nous remercions François Loeser de nous avoir proposé ce sujet, Laurence Rideau etCatherine Kikuchi pour les corrections.Le premier théorème d’incomplétude de Gödel donne l’existence de formules exprimablesdans L P , le langage de P l’arithmétique de Peano, qui ne soient pas démontrables dansP. Cependant, la formule construite par Gödel pour démontrer son théorème n’a aucuncontenu arithmétique, il faut attendre 1982 pour que Laurie Kirby et Jeff Paris(voir [KP82]) démontrent que le théorème de Goodstein, qui est un résultat purementarithmétique, n’est pas démontrable dans l’arithmétique de Peano. On démontrera icice résultat en utilisant le théorème de Wainer qui donne une majoration des fonctionsprouvablement totales dans P en s’inspirant de la démonstration de [AZ97] et [Cic83].On s’intéressera, dans la deuxième partie, au lien entre P et l’ordinal 1 ɛ 0 défini commesuit :Définition 0.0.1 (ɛ 0 ). Soit la suite d’ordinaux (ω n ) n∈N telle que :{ω 0 = 1ω n+1 = ω ωn ∀n ∈ NOn note ɛ 0 = ⋃ n∈N ω n.Ce lien a été mis en avant par Gentzen en démontrant que la bonne fondation de ɛ 0implique la cohérence de P. On montrera ici que le théorème de Goodstein est équivalentà l’induction jusqu’à ɛ 0 et donc par le deuxième théorème d’incomplétude de Gödel, celafournit une deuxième preuve du fait que le théorème de Goodstein est indémontrable dansP. Cela montre de plus à quel point le théorème de Goodstein est lié à l’incomplétude deP.1 voir appendice A pour des précisions sur les ordinaux.1

Chapitre 1Le théorème de Kirby et Paris1.1 Les suites de GoodsteinCommençons par définir les suites de Goodstein et démontrer qu’elles sont stationnairesen 0 à partir d’un certain rang. Pour cela on définit une variante de la notion de base,la base itérée ou pure. Elle consiste à écrire les exposants aussi dans cette base, puisles exposants des exposants et ainsi de suite jusqu’à ce que la notation ne contienneplus que des coefficients inférieurs à la base. Plus précisément, on définit une fonction deremplacement de q par x dans cette notation en base q itérée.Définition 1.1.1 (Remplacement dans la base q itérée). Soient p, q ∈ N et p = ∑ ki=0 qi a isa notation en base q. On définit la fonction suivante par récurrence sur p :f q,x (p) =k∑x fq,x(i) a ii=0On peut l’étendre et définir f q,ω (p) = ∑ ki=0 ωfq,ω(i) a i < ɛ 0 car ɛ 0 est stable par addition,multiplication et exponentiation.On peut alors définir les suites suivantes :Définition 1.1.2 (Suite de Goodstein de p commençant en base q). Soient p, q ∈ N ondéfinit la suite g p,qn (souvent notée simplement g n ) par :⎧⎨⎩g 0 = pg n+1 = 0 si g n = 0g n+1 = f q+n,q+n+1 (g n ) − 1 sinonA chaque élément de la suite g n on associe α n = f q+n,ω (g n ).La proposition suivante montre que, bien que la suite semble exploser avec le remplacementdans la base itérée, la présence du −1 rend la suite d’ordinaux associés décroissante.Proposition 1.1.3. Si g n ≠ 0 alors α n = f q+n+1,ω (g n+1 + 1).2

Démonstration. f q+n+1,ω (g n+1 + 1) = f q+n+1,ω (f q+n,q+n+1 (g n )) = f q+n,ω (g n ) car enécrivant en base q + n itérée puis en remplaçant les q + n par des q + n + 1 on obtientl’écriture en base q + n + 1 itérée.On en déduit donc le théorème suivant :Théorème 1.1.4 (Théorème de Goodstein). Toutes les suites de Goodstein sont stationnairesen 0 à partir d’un certain rang.Démonstration. On commence par démontrer que pour tout n ∈ N, f n,ω (x) est unefonction strictement croissante de x.En effet par récurrence sur x, si x = 0 alors f n,ω (1) = 1 > 0 = f n,ω (0). Sinon soient kmaximal tel que n k x + 1, a > 0 maximal tel que an k x + 1 et j = x + 1 − an k < n k .Si j ≠ 0 alorsf n,ω (x + 1) = ω fn,ω(k) · a + f n,ω (j) > ω fn,ω(k) · a + f n,ω (j − 1) = f n,ω (x)Sinon x + 1 = an k et donc x = (a − 1)n k + ∑ k−1i=0 (n − 1)ni .Par récurrence, f n,ω (k) f n,ω (k − 1) + 1 doncet donc∑k−1ω fn,ω(k) ω fn,ω(k−1)+1 > ω fn,ω(k−1) · n > ω fn,ω(i) · (n − 1)i=0∑k−1ω fn,ω(k) · a > ω fn,ω(k) · (a − 1) + ω fn,ω(i) · (n − 1)On en conclut que pour tout n, f n,ω (x) est strictement croissante.D’après la proposition 1.1.3 et la croissance de f q+n+1,ω (x), si g n ≠ 0 alors :i=0α n = f q+n+1,ω (g n+1 + 1) > f q+n+1,ω (g n+1 ) = α n+1Donc comme les ordinaux sont bien fondés, ∃k g k = 0 et donc ∀n > k g n = 0.On peut donc définir la fonction suivante. Elle est récursive car le remplacement en baseq itérée est récursif, ie f n,m (x) vue comme une fonction de n,m et x est récursive, ce quiimplique que gnp,q est une fonction récursive de n, p et q. De plus, elle est totale par lethéorème de Goodstein.Définition 1.1.5 (Fonction de Goodstein).h :N × N\{0, 1} → N(p, q) ↦→ min{t | g p,qt = 0}3

1.2 Quelques résultats sur les ordinauxPour démontrer le résultat de Kirby et Paris, on aura besoin de quelques outils sur les ordinauxdus entre autre à Ketonen et Solovay (voir [KS81]). Ces résultats nous permettrontde définir la hiérarchie de Hardy qui joue, pour les fonctions récursives prouvablementtotales dans P, le rôle que joue la fonction de Ackerman pour les fonctions primitivesrécursives. Ils permettrons aussi de prouver le théorème de Cichon qui donne une valeurde h(p, q).1.2.1 La forme normale de Cantor et la base ω itéréePour commencer, on montre le résultat suivant qui permet l’écriture en base ω des ordinaux< ɛ 0Proposition 1.2.1 (Forme normale de Cantor). Tout λ < ɛ 0 peut être écrit sous sa formenormale de Cantor :λ = ω λ 1+ · · · + ω λn = β + ω λn où λ > λ 1 · · · λ n 0Démonstration. Montrons l’existence et l’unicité de cette forme normale par inductionstructurelle sur λ < ɛ 0 .Si λ = 1 alors n = 1 et 1 = ω 0 .Si λ est successeur, λ = γ + 1. Par induction γ = ∑ ni=1 ωλ idonc λ = ∑ n+1i=1 ωλ iavecλ n+1 = 0 et on a bien λ > γ > λ 1 · · · λ n λ n+1 0.Pour l’unicité, remarquons d’abord que λ = ∑ ni=1 ωλ ialors n ≠ 0 et λ n = 0 sinon λest limite. Donc si λ = ∑ ni=1 ωλ i= ∑ mi=1 ωµ ideux formes normales de Cantor, alorsλ n = µ m = 0 et γ = ∑ n−1i=1 ωλ i= ∑ m−1i=1 ωµ i. Par induction la forme normale de Cantorde γ est unique donc n = m et ∀i < n λ i = µ i .Si λ est limite, soit λ 1 = max{κ | ω κ λ}. Cet ensemble est non vide car ω 0 = 1 λ etborné car ω λ > λ.En effet, supposons ω λ λ alors λ ɛ 0 car ω 0 = 1 < λ et par récurrence ∀n ω n+1 =ω ωn ω λ λ. Donc ɛ 0 = ⋃ n∈N ω n λ. Mais comme λ < ɛ 0 par hypothèse, on a ɛ 0 < ɛ 0ce qui est absurde.Soit γ < λ tel que λ = ω λ 1+γ alors par induction γ = ∑ ni=2 ωλ iavec γ > λ 2 · · · λ n 0il ne reste donc plus qu’à montrer que λ > λ 1 λ 2 .Si λ 2 > λ 1 alors ∃δ > 0 λ 2 = λ 1 + δ et :λ = ω λ 1+ ω λ 2+ . . .= ω λ 1(1 + ω δ ) + . . .= ω λ 1ω δ + . . .Donc ω λ 2 λ avec λ 2 > λ 1 ce qui contredit la définition de λ 1 .De plus si λ 1 λ alors λ ω λ 1 ω λ ce qui est impossible comme on l’a montréprécédemment.Montrons alors l’unicité, supposons λ = ∑ ni=1 ωλ i= ∑ mj=1 ωµ j. Comme λ 1 · · · λ n etµ 1 · · · µ m , on a, pour tout i n, λ i = λ n + κ i , pour tout j m, µ j = µ m + ν i etm∑n∑λ = ( ω κ i)ω λm = αω λm = ( ω ν i)ω µn = βω µni=14i=1

où α et β sont successeurs et comme λ m , µ n ≠ 0 (sinon λ serait successeur) α, β < λ. Siλ m µ n alors λ m = µ m + κ et αω κ = β. Comme β est successeur, κ = 0 donc λ m = µ net ∑ mi=1 ωκ i= α = β = ∑ ni=1 ων i. Par unicité de la forme normale de Cantor, n = m et∀i n κ i = ν i et donc λ i = µ i .En rassemblant les λ i identiques on obtient pour tout α < ɛ 0 son écriture en base ω :oùα =k∑ω λi · a ii=0∀i k a i ∈ N et α > λ 0 > · · · > λ k 0La somme d’ordinaux n’étant pas commutative, ∑ ki=0doit se comprendre comme la sommedes termes en commençant à gauche par le terme i = 0 et en finissant à droite par le termei = k.En réitérant le processus pour les exposants comme on l’a fait pour les entiers, on obtientla représentation en base ω itérée de tous les ordinaux appartenant à ɛ 0 . On peut alorsdéfinir,comme on l’a fait pour les entiers, pour tout n ∈ N et α < ɛ 0 , f ω,n (α).Cette écriture en base ω itérée permet de coder les ordinaux appartenant à ɛ 0 dansl’arithmétique de Peano, par exemple par un n-uplet qui contient le code des λ i . Onpeut vérifier que toutes les opérations sur les ordinaux, ainsi que les suites ordinales et lesfonctions de la hiérarchie de Hardy (vues comme des fonctions de deux arguments, le codede l’ordinal et l’entier) sont récursives grâce à cet encodage des ordinaux.De plus pour tout α < ɛ 0 , si tous les coefficients de α en base ω itérée sont strictementinférieurs à un certain n 2, on dit que α est n-représentable et on a f n,ω (f ω,n (α)) = α.On définit de plus la relation suivante sur les ordinaux :Définition 1.2.2. Soient α, β < ɛ 0 , soient α = ∑ ki=0 ωα iet β = ∑ lj=0 ωβ jleurs formesnormales de Cantor. On dit que α ≪ β si β 0 α k .Pour finir on remarque que :Proposition 1.2.3 (Majoration par un ω n ). Pour tout α < ɛ 0 il existe n ∈ N tel queα < ω nDémonstration. Cette proposition est un cas particulier de la proposition A.2.5, appliquéeau cas de ɛ 0 . On peut aussi la démontrer directement à partir de ce qui précède.Montrons cette propriété par induction sur α < ɛ 0 .En effet α = ∑ ki=0 ωλi ·a i < ω λ0 ·(a 0 +1) < ω λ0+1 . Par induction, il existe n ∈ N, λ 0 +1

Pour tout k > 1, on note 〈α〉(n 1 , . . . , n k ) = 〈〈α〉(n 1 , . . . , n k−1 )〉(n k ) = 〈〈α〉(n 1 )〉(n 2 , . . . , n k ).Cette suite est bien définie car on vérifie facilement par induction que si α ≠ 0 alors pourtout n ∈ N, 〈α〉(n) < α.Les trois propositions suivantes décrivent les propriétés de ces suites, leur lien avec leremplacement par ω dans les bases itérées et donc avec la suite ordinale associée à unesuite de Goodstein.Proposition 1.2.5. Soient n ∈ N et α, β < ɛ 0 tels que β ≠ 0 et β ≪ α, alors〈α + β〉(n) = α + 〈β〉(n)Démonstration. Si β = γ + 1 alors 〈α + γ + 1〉(n) = α + γ = α + 〈β〉(n)Sinon par unicité de la forme normale de Cantor, α + γ + ω δ est en forme normale deCantor et 〈α + γ + ω δ 〉(n) = α + γ + ω 〈δ〉(n) · (n − 1) + 〈ω 〈δ〉(n) 〉(n) = α + 〈β〉(n)Proposition 1.2.6. Soient n > 1 et m ∈ N,〈f n,ω (m + 1)〉(n) = f n,ω (m)Démonstration. Soient k maximal tel que n k m+1, a > 0 maximal tel que an k m+1et j = m + 1 − an k < n k . On a f n,ω (m + 1) = ω fn,ω(k) · a + f n,ω (j).Si k = 0, m + 1 < n etSi j ≠ 0 alors f n,ω (j) ≠ 0 etSi j = 0, m + 1 = an k et〈f n,ω (m + 1)〉(n) = 〈m + 1〉(n)= m= f n,ω (m)〈f n,ω (m + 1)〉(n) = 〈ω fn,ω(k) · a + f n,ω (j)〉(n)= ω fn,ω(k) · a + 〈f n,ω (j)〉(n)= ω fn,ω(k) · a + f n,ω (j − 1) par récurrence= ω fn,ω(k) · a + f n,ω (m − an k )= f n,ω (m)〈f n,ω (m + 1)〉(n) = 〈ω fn,ω(k) · (a − 1) + ω fn,ω(k) 〉(n)= ω fn,ω(k) · (a − 1) + ω 〈fn,ω(k)〉 · (n − 1) + 〈ω 〈fn,ω(k)〉 〉(n)= ω fn,ω(k) · (a − 1) + ω fn,ω(k−1) · (n − 1) + 〈ω fn,ω(k−1) 〉(n)= ω fn,ω(k) · (a − 1) + ω fn,ω(k−1) · (n − 1) + 〈f n,ω (n k−1 )〉(n)= ω fn,ω(k) · (a − 1) + ω fn,ω(k−1) · (n − 1) + f n,ω (n k−1 − 1)= f n,ω ((a − 1)n k + (n − 1)n k−1 + n k−1 − 1)= f n,ω (m)6

On en déduit le corollaire suivant qui sera utile dans la partie 2.4.Corollaire 1.2.7. Soit α < ɛ 0 , si α ≠ 0 et si α est n-représentable, alors 〈α〉(n) est leplus grand ordinal β tel que β < α et β est n-représentable.Démonstration. Soit p = f ω,n (α). Comme α est n-représentable, f n,ω (p) = α, et commeα ≠ 0, p ≠ 0. La proportion précédente implique que 〈α〉(n) = f n,ω (p − 1) donc 〈α〉(n) estn-représentable.Supposons que l’on ait β n-représentable tel que β < α. Comme f n,ω est strictement croissante(cf. démonstration de théorème 1.1.4) et que f n,ω (f ω,n (β)) = β < α = f n,ω (f ω,n (α)),on a f ω,n (β) < f ω,n (α) = p. On a alors f ω,n (β) p − 1 et donc,β = f n,ω (f ω,n (β)) f n,ω (p − 1) = 〈α〉(n)donc 〈α〉(n) est bien le plus grand ordinal n-représentable strictement inférieur à α.Proposition 1.2.8. Soit α n la suite d’ordinaux associée à une suite de Goodstein commençanten base q,∀n ∈ N, α n+1 = 〈α n 〉(q + n + 1)et donc∀n ∈ N, α n = 〈α〉(q + 1, . . . , q + n)Démonstration. Par les propositions 1.1.3 et 1.2.6, on a, si g n ≠ 0 :〈α n 〉(q + n + 1) = 〈f q+n+1,ω (g n+1 + 1)〉(q + n + 1) = f q+n+1,ω (g n+1 ) = α n+1Si g n = 0 alors g n+1 = 0 et donc 〈α n 〉(q + n + 1) = 〈0〉(q + n + 1) = 0 = α n+1 .On définit aussi une deuxième suite d’ordinaux associée à tout ordinal limite :Définition 1.2.9 (Suite canonique). On définit pour tout α < ɛ 0 la suite ({α}(n)) n∈Npar induction sur α.⎧⎪⎨⎪⎩Cette suite vérifie les propriétés suivantes :{0}(n) = 0{β + 1}(n) = β{β + ω δ }(n) = β + ω {δ}(n) si δ est limite{β + ω δ }(n) = β + ω δ−1 · n sinonProposition 1.2.10. Si α est limite alors {α}(n) est strictement croissante et ⋃ n∈N {α}(n).Démonstration. Par induction sur α.Supposons la proposition vérifiée pour tout β < α. Soient n < m ∈ N Soit α = β + ω δ laforme normale de Cantor, si δ est successeur,{α}(n) = β + ω δ−1 · n < β + ω δ−1 · m = {α}(m)et⋃{α}(n) = β + ω δ−1 · ⋃n = β + ω δ = αn∈Nn∈N7

Si δ est limite {δ}(n) < {δ}(m) et donc :{α}(n) = β + ω {δ}(n) < β + ω {δ}(m) = {α}(m)et⋃{α}(n) = β + ω S n∈N {δ}(n) = β + ω δ = αn∈NProposition 1.2.11. Soient α, β < ɛ 0 tels que β ≠ 0 et β ≪ α, alors :∀n {α + β}(n) = α + {β}(n)Démonstration. Si β est successeur, β = γ +1 et {α+γ +1}(n) = α+γ = α+{β}(n). Siβ est limite, soit β = γ + ω δ sa forme normale de Cantor, par unicité de la forme normalede Cantor α + γ + ω δ est la forme normale de α + β et donc{α + β}(n) = α + γ + ω {δ}(n) = α + {β}(n)ou{α + β}(n) = α + γ + ω δ−1 · n = α + {β}(n)suivant si δ est limite ou non.Pour finir on montre la proposition suivante qui relie les deux suites définies jusqu’ici :Proposition 1.2.12. Soit α < ɛ 0 un ordinal limite,∀n ∈ N 〈{α}(n)〉(n) = 〈α〉(n)Démonstration. Par induction sur α.Si α = 0, ∀n ∈ N 〈{0}(n)〉(n) = 〈0〉(n).Sinon, soit α = β + ω δ la forme normale de Cantor de α, on a pour tout n ∈ N, si δ estlimite :si δ est successeur :〈{β + ω δ }(n)〉(n) = 〈β + ω {δ}(n) 〉(n)= β + ω 〈{δ}(n)〉(n) · (n − 1) + 〈ω 〈{δ}(n)〉(n) 〉(n)= β + ω 〈δ〉(n) · (n − 1) + 〈ω 〈δ〉(n) 〉(n)= 〈β + ω δ 〉(n)〈{β + ω δ }(n)〉(n) = 〈β + ω δ−1 · n〉(n)= 〈β + ω δ−1 · (n − 1) + ω δ−1 〉(n)= β + ω 〈δ〉(n) · (n − 1) + 〈ω 〈δ〉(n) 〉(n)= 〈β + ω δ 〉(n)8

1.2.3 La relation de Ketonen et SolovayKetonen et Solovay introduisent dans [KS81] une relation sur les ordinaux qui s’appuiesur la suite canonique et qui sera utile pour démontrer la croissance de la hiérarchie deHardy par rapport aux ordinaux en 1.2.17.Définition 1.2.13 (Relation de Ketonen et Solovay). Soient α, β < ɛ 0 et k ∈ N, onnote α → k β si il existe une suite d’ordinaux (γ) i=0...n telle que α = γ 0 , β = γ n etγ i+1 = {γ i }(k).Proposition 1.2.14 (propriétés de la relation de Ketonen et Solovay). Soient α, β < ɛ 0la relation de Ketonen et Solovay vérifie :(i) Si α = γ + 1 alors pour tout k ∈ N, α → k γ. De plus si α → k β et α > β alorsγ → k β.(ii) Soient x > y ∈ N, pour tout k ∈ N, {α}(x) → k {α}(y)(iii) Si α → k β alors pour tout n k, α → n β.(iv) Si α β alors il existe k ∈ N tel que α → k β.Démonstration. (i) Pour tout k ∈ N {γ + 1}(k) = γ donc α → k γ.Si α → k β et α > β, on a {α}(k) → k β par définition de → k .(ii) Par induction sur α, {0}(x) = 0 = {0}(y) et {γ + 1}(x) = γ = {γ + 1}(y) donc siα = 0 ou est successeur c’est évident.Sinon, soit α = β + ω δ sa forme normale de Cantor. Si δ est successeur,{α}(x) = β + ω δ−1 · x = β + ω δ−1 · y + ω δ−1 · (x − y) = {α}(y) + ω δ−1 · (x − y)Mais pour tout k ∈ N, ω δ−1 · (x − y) → k 0 car la suite définie par λ 0 = ω δ−1 · (x − y)et pour tout n ∈ N, λ n+1 = {λ n }(k) est strictement décroissante tant que λ n ≠ 0.Comme les ordinaux sont bien fondés il existe n ∈ N, λ n = 0. C’est exactement ladéfinition de ω δ−1 · (x − y) → k 0.Une conséquence immédiate de la proposition 1.2.11 est que si α → k β alors γ+α → kγ + β pour tout γ ≫ α. Donc {α}(x) → k {α}(y).Si δ est limite,{α}(x) = β + ω {δ}(x) → k β + ω {δ}(y) = {α}(y)car si λ → k µ alors il existe (γ i ) i=0...n tels que γ 0 = λ,γ n = µ et γ i+1 = {γ i }(k)donc en posant κ i = ω λ ion a {κ i }(k) = ω {λ i}(k) = ω λ i+1= κ i+1 et donc ω λ → k ω µ .Comme par induction {δ}(x) → k {δ}(y) on conclut.(iii) Soit α → k β si α = β alors pour tout n ∈ N α → n β sinon {α}(k) → k β. Soit dans cecas n > k. Par le (ii) on a {α}(n) → n {α}(k) et comme par définition α → n {α}(n),par transitivité α → n β.(iv) Fixons β et montrons par induction sur α β que la proposition est vérifiée.Si α = β alors pour tout k ∈ N, α → k β.Si α = γ + 1, on a γ β et donc par induction ∃k ∈ N γ → k β. Or par le (i), α → k γet donc par transitivité α → k β.9

Si α est limite, comme ⋃ n∈N {α}(n) = α > β, il existe n 0 ∈ N, {α}(n 0 ) > β. Parinduction et en utilisant le (iii), il existe n 1 ∈ N tel que ∀n n 1 {α}(n 0 ) → n βet ∀n n 0 α → n {α}(n 0 ). En prenant k max(n 0 , n 1 ) on a α → k {α}(n 0 ) et{α}(n 0 ) → k β et on conclut par transitivité.1.2.4 Hiérarchie de HardyOn aura besoin par la suite d’une famille de fonctions, la hiérarchie de Hardy, indicée parles ordinaux appartenant à ɛ 0 . Sa principale caractéristique est de permettre d’énoncerune condition nécessaire pour qu’une fonction récursive soit prouvablement totale dans P.Définition 1.2.15 (Hiérarchie de Hardy). (H α ) α

Proposition 1.2.17 (Croissance de la hiérarchie de Hardy). Soient f, g : N → N, onnote f < ∗ g s’il existe x 0 ∈ N tel que ∀x > x 0 f(x) < g(x). On vérifie aisément que cetterelation est transitive.(i) Pour tout α < ɛ 0 , H α est une fonction strictement croissante.(ii) Soient β < α < ɛ 0 , si α → k β pour un certain k alors(iii) Soient α < β < ɛ 0 , alors H α < ∗ H β .∀x k, H α (x) > H β (x)Démonstration. On montre (i) et (ii) simultanément par induction sur α.Si α = 0, H α = Id est strictement croissante. Pour (ii), il n’y a pas de β < α donc le casde base est démontré.Si α = γ + 1 alors H α (x) = H γ (x + 1) et comme, par induction, H γ est strictementcroissante, H α aussi.Soit β < α et k ∈ N, on a soit β = γ, car pour tout k ∈ N, α → k γ d’après la proposition1.2.14.(i), soit β < γ. Dans le premier cas, comme H γ est strictement croissante, pour toutx > k on aH α (x) = H γ (x + 1) > H γ (x)Si β < γ et α → k β alors par la proposition 1.2.14.(i) γ → k β et donc par induction∀x k, H β (x) < H γ (x) < H α (x)Si α est limite alors H α (x) = H {α}(x) . Soient x > y, par la proposition 1.2.14.(ii) on a{α}(x) → y {α}(y), et donc par le (ii) appliqué à {α}(x) et la croissance de H {α}(y) ,H α (x) = H {α}(x) (x) > H {α}(y) (x) > H {α}(y) (y) = H α (y)Pour le (ii), soit k ∈ N et β < α tel que α → k β alors pour tout x k, α → x β. Maiscomme β < α, on a {α}(x) → x β. Donc par inductionH α (x) = H {α}(x) (x) > H β (x)Le (i) et le (ii) sont donc démontrés.Le (iii) découle du (ii). En effet soient β < α < ɛ 0 , par la proposition 1.2.14.(iv) il existek tel que α → k β et donc ∀x k H α (x) > H β (x)1.2.5 Théorème de CichonLe résultat qui suit donne une formule de la fonction de Goodstein en fonction de lahiérarchie de Hardy. On remarque que les arguments de h apparaissent non seulementcomme arguments de H α mais aussi pour définir α. Ainsi h croît plus vite que n’importequelle fonction de la hiérarchie de Hardy (en un sens qu’il faudra formaliser vu que h prend2 variables). Elle croît en quelque sorte trop vite pour être prouvablement totale commel’indique le théorème de Wainer (théorème 1.4.1 de ce mémoire).Théorème 1.2.18 (Cichon, 1983). Soit α = f q,ω (p). Alorsh(p, q) = H α (q + 1) − (q + 1)11

Démonstration. Par la proposition 1.2.8, on a :h(p, q) = min{n | 〈α〉(q + 1, . . . , q + n) = 0}Il suffit donc de montrer par induction sur α que pour tout q ∈ N on amin{n | 〈α〉(q + 1, . . . , q + n) = 0} = H α (q + 1) − (q + 1)Si α = 0, on a bien 0 = H 0 (q + 1) − (q + 1).Si α est successeur, α = β + 1, H α (q + 1) = H β (q + 2) et 〈α〉(q + 1) = β doncmin{n | 〈α〉(q + 1, . . . , q + n) = 0} = min{n | 〈β〉(q + 2, . . . , q + n) = 0}= min{n | 〈β〉(q + 2, . . . , q + 1 + n) = 0} + 1= H β (q + 2) − (q + 2) + 1= H α (q + 1) − (q + 1)Si α est limite, par la proposition 1.2.12, 〈α〉(q + 1) = 〈{α}(q + 1)〉(q + 1) doncmin{n | 〈α〉(q + 1, . . . , q + n) = 0} = min{n | 〈{α}(q + 1)〉(q + 1, . . . , q + n) = 0}= H {α}(q+1) (q + 1) − (q + 1)= H α (q + 1) − (q + 1)1.3 Un indicateur des segments initiaux qui vérifient PPar la suite M est un modèle de P et on l’identifie à M, la structure sous-jacente. Onnote N le modèle standard de P et on identifie N et le segment initial de M constitué desentiers standards. On notera de plus a > I si ∀b ∈ I, a > b. Enfin, pour des raisons deconcision, on notera ⇐⇒ et ⇒ l’équivalence et l’implication dans les démonstrations,qu’il ne faudra pas confondre avec → et ↔ les symboles de L P .Pour ce qui est du codage, les ensembles seront codés comme le produit des nombrespremiers dont le numéro est dans l’ensemble, si ce produit existe (c’est à dire dans le casdes ensembles finis dans N), et les fonctions seront codées par le code de la formule qui lesreprésente.1.3.1 Segments initiaux fortsLa définition suivante est une caractérisation de certains segments initiaux des modèles deP, pour plus de détails sur ces derniers se référer à [KP76].Définition 1.3.1 (Segments initiaux forts). Soit I un segment initial propre de M, ieI ≠ ∅, I ≠ M et si a ∈ I alors pour tout b < a, b ∈ I. On dit qu’il est fort s’il est clos parsuccesseur et si pour tout f : I → M que l’on peut coder dans M, il existe e > I tel quepour tout a ∈ I,f(a) ∈ I ∨ f(a) > e12

La proposition qui suit indique qu’être un segment initial fort est une propriété très fortecar elle est suffisante pour être un modèle de P.Proposition 1.3.2 (Segments initiaux forts et modèles de P). Si I est un segment initialfort de M alors I |= P.Démonstration. Montrons d’abord que I est clos par addition et multiplication.Supposons qu’il existe u, v ∈ I tels que u + v ∉ I. Soit f(x) = u + x codable dans M,il existe, par définition de I, e > I tel que pour tout x ∈ I, f(x) ∈ I ou f(x) e. Enparticulier u + v e.Soit x = e − 1 − u, alors x v − 1 donc x ∈ I mais f(x) = e − 1 < e. Comme I est clospar successeur e − 1 ∉ I sinon e le serait aussi et on a x ∈ I tel que I < f(x) < e ce qui estabsurde.Pour ce qui est de la multiplication, si u, v ∈ I et u ∗ v ∉ I on considère f(x) = u ∗ x etil existe e > I tel que f(x) ∈ I ou f(x) > e. Comme f(v) > e, M |= ∃x u ∗ x > e et parle principe du minimum (qui est équivalent au principe de récurrence) appliqué dans Mil existe v 0 minimal tel que u ∗ v 0 > e, donc f(v 0 − 1) e mais comme v 0 v ∈ I, on av 0 ∈ I et donc f(v 0 ) ∈ I. Mais u ∗ v 0 = u ∗ (v 0 − 1) + u cela contredit donc la clôture paraddition de I.De plus I vérifie les axiomes de P 0 , Peano faible, car toutes les opérations dans I peuventêtre vues comme des opérations dans M.Il reste à démontrer que I vérifie le schéma de récurrence. On démontre plutôt, ce qui eststrictement équivalent, que I vérifie le schéma du minimum : soit F une formule de L P etā n = (a i ) i=0...n ∈ I n alors(I |= ∃x F [ā n , x]) ⇒ (I |= ∃x (F [ā n , x] ∧ ∀y < x ¬F [ā n , y]))Pour cela on définit la transformation suivante sur les formules. Soit F [¯x n ] une formule, ilexiste F ∗ [¯x n , ȳ m ] dont tous les quantificateurs sont bornés et ¯b m ∈ M m tels que pour toutā n ∈ I n (I |= F [ā n ]) ⇐⇒ (M |= F ∗ [ā n , ¯b m ])On construit F ∗ et ¯b m par induction sur la formule F .Si F est atomique F ∗ = F convient. De même (¬F ) ∗ = ¬F ∗ et (F → G) ∗ = F ∗ → G ∗ engardant les même ¯b m .Reste le cas F [¯x n ] = ∀z G[¯x n , z]. Supposons qu’on ait déjà G ∗ et le ¯b m qui lui correspond.Posons alors f : I → M tel que, si on note ⌊ā n ⌋ le code dans I du n-uplet ā n :f(⌊ā n ⌋) = min{z | ¬G ∗ [ā n , z, ¯b m ]} s ′ il existe, b > I quelconque sinonCette fonction est codable dans M donc par définition d’un segment initial fort, ∃e > I telque pour tout ā n ∈ I n , f(⌊ā n ⌋) ∈ I ou f(⌊ā n ⌋) > e. On pose alors F ∗ = ∀z < e G ∗ et ona bien pour tout ā n ∈ I n :I |= ∀z G[ā n , z] ⇐⇒ f(⌊ā n ⌋) > e⇐⇒ M |= ∀z < e G ∗ [ā n , z]Montrons maintenant que I vérifie le schéma du minimum. Soit une formule F [x, ȳ n ] etā n ∈ I n tels que I |= ∃x F [x, ā n ]. Soit a ∈ I tel que I |= F [a, ā n ] alors M |= F ∗ [a, ā n , ¯b m ]13

et donc comme M |= P, il vérifie le schéma du minimum et donc il existe un a 0 minimumtel que M |= F ∗ [a 0 , ā n , ¯b m ]. Comme a 0 < a ∈ I et que I est un segment initial on a a 0 ∈ Iet donc I |= F [a 0 , ā n ] et a 0 est bien le plus petit a ∈ I vérifiant cette propriété. Ce quimontre que I vérifie le schéma d’induction et donc I |= P.1.3.2 Un indicateur de segments initiaux fortsPour une définition plus combinatoire de la notion suivante, on pourra consulter [Par79].Les résultats de [KS81] et [Par79] montrent qu’elles sont équivalentes pour les intervalles.Définition 1.3.3 (Ensembles α-larges). Soit S ⊂ M, soit x + = min{y ∈ S | y > x},pour tout x ∈ S. On définit de nouvelles fonctions de Hardy pour tout α < ɛ 0 définiespartiellement sur S par :⎧⎨⎩H0 S(x) = xHα S (x) = Hα−1 S (x+ ) si α est successeurHα S (x) = H{α}(x) S (x) si α est limiteComme pour les fonctions de Hardy normales, H S ω α·n(x) = (H S ω α)(n) (x) à condition que leterme de gauche soit bien défini. La preuve est identique.Si S est un ensemble borné et α < ɛ 0 , soit a = min S et b = max S, on dit que S estα-large siH S α (a) bSoient a, b ∈ M, pour tout α < ɛ 0 Hαa;b (a) = H α (a) et donc a; b est α-large siH α (a) bSoit S un ensemble codable dans M. Notons H 0 [x, y, z, t] la formule qui représente H S α (x)(ie en notant ⌊α⌋ ∈ N le code de l’ordinal α et ⌊S⌋ ∈ N le code de S, on a pour toutx ∈ M, M |= H 0 [x, ⌊α⌋, ⌊S⌋, z] ⇐⇒ H S α (x) = z) et notons ω k n = {ω n+1 }(k), en notantMin et Max les formules représentant le min et le max de l’ensemble codé par x, laformule :A[x, n, k] = ∃t, u, v (H 0 [u, ⌊ω k n⌋, x, t] ∧ z v ∧ Min[x, u] ∧ Max[x, v])exprime exactement que l’ensemble codé par x est ω k n-large.On a aussi, en notant H[x,y,z] la formule qui représente H α (x) :L[a, b, n, k] = ∃z (H[a, ⌊ω k n⌋, z] ∧ z b)qui exprime exactement que a; b est ω k n-large.La proposition suivante peut prendre une forme plus générale en la formulant en termed’indicateur, c’est à dire que si on note Y (a, b) = max{c | a; b est ω c -large } alors c’estun indicateur des modèles de P, c’est à dire que si Y (a, b) > N, il existe un segment initialqui est un modèle de P tel que a ∈ I < b (voir [Par79] et [Par78]). On la démontre iciformulée un peu différemment, dans le cas d’un modèle dénombrable tel que M |= Th(N)(où Th(N) est l’ensemble des énoncés vrais dans N) et sans démontrer que l’indicateur Yest bien une fonction.14

Proposition 1.3.4. Soit M |= Th(N) dénombrable et a, b ∈ M tel que pour tout n, k ∈ Non ait M |= L[a, b, n, k] alors il existe I segment initial fort de M tel que a ∈ I < bPour démontrer ce résultat, on a adapté la démonstration de [AZ97] relativement besogneusemais ne nécessitant pas de théorie supplémentaire. On va donc d’abord définir lanotion d’ensemble approximant une fonction avant de démontrer trois lemmes sur ces approximations.On démontre les trois lemmes dans N mais comme on considère M |= Th(N),ils seront aussi vrais dans M.Définition 1.3.5 (Approximation de fonction). Soit f : M → M une fonction partielle,et S ⊂ M borné. On dit que S est une approximation de f si pour tout x ∈ S\{max S} ettout y < x − 2 :y ∈ dom(f) ⇒ (f(y) < x + ou f(y) max S)Lemme 1.3.6. Soit S ⊂ N codable ω α+1 -large et f : N → N une fonction partielle.Supposons que min S = s 0 > 0. Alors il existe a > s 0 et S ′ ⊂ S codable tels que S ′ soitω α -large, min S ′ = a et pour tout x < s 0 − 2 dans dom(f) :f(x) < a ou f(x) max S ′Démonstration. Notons min S = a 0 et max S = b 0 . Par définition H ω α+1(a 0 ) b 0 or{ω α+1 }(a 0 ) = ω α · a 0 . Donc (Hω S α)(a 0) = b 0 .Soit (a i ) i=0...s0 tels que pour tout i 0 a i+1 = Hω S α·a 0(a i ). On a alors a a0 b.Comme f(0; a 0 −3) contient au plus a 0 −2 valeurs et qu’il y a a 0 −1 intervalles a i ; a i+1 pour i > 0, l’un d’eux ne contient aucun f(x) pour x < a 0 −2. Nommons le i correspondanti 0 . Alors a = a i0 > a 0 et S ′ = a i0 ; a i0 +1 conviennent (il est codable car S ′ et a i0 ; a i0 +1le sont).En effet pour tout α < ɛ 0 et a, b ∈ N on vérifie par induction que Hα S∩a;b = Hα S a;b . S′est bien ω α -large.Lemme 1.3.7. Soit S codable et ω α -large, min S > 0 et f : N → N une fonction partielle.Il existe alors S ′ ⊂ S codable tel que S ′ soit une approximation de f, S ′ α-large et min S ′ =min S.Démonstration. Par induction sur α.Si α = 0 alors S est 1-large. Soit a 0 = min S alors S ′ = {a 0 } est 0-large et S ′ est uneapproximation de f vu que l’on quantifie sur le vide dans la définition.Si α successeur, alors α = γ + 1. Soient S 1 et a = min S 1 > min S tels que dans le lemme1.3.6. S 1 est alors ω γ -large et par induction, il existe S 2 ⊂ S 1 codable γ-large tel quemin S 2 = min S 1 = a et S 2 est une approximation de f. Vérifions que S 3 = {min S} ∪S 2 ⊂S convient (il est codable car S 2 l’est).min S 3 = min S par définition. De plus si on note a 0 = min S 3H S 3γ+1 (a 0) = H S 3γ (a + 0 ) = HS 3γ (a) max S 2 = max S 3donc S 3 est (γ + 1)-large.Enfin, soit a ∈ S 3 \{s n } si a ≠ s 0 alors comme S 2 est une approximation de f, on a bien∀x < a − 2f(x) < a + ou f(x) s n = max S 2 sinon a = s 0 et comme S 1 vérifie que pour15

tout x < min S − 2 = s 0 − 2 dans dom(f), f(x) < a = s 1 ou f(x) max S ′ on a bien queS 3 est une approximation de f.Si α est limite, notons min S = a 0 . Comme {ω α }(a 0 ) = ω {α}(a 0) ,H S ω α(a 0) = H S {ω α }(a 0 ) (a 0) = H ω {α}(a 0 )(a 0 )donc S est ω {α}(s 0) -large.Par induction il existe S ′ ⊂ S codable et {α}(a 0 )-large tel que min S ′ = a 0 et tel que S ′soit une approximation de f. Mais S ′ est aussi α-large carH S′α (a 0 ) = H S′{α}(a 0 ) (a 0) max S ′Lemme 1.3.8. Soit S 0 codable dans N. Alors pour toutes f 1 , . . . , f n fonctions partiellescodables dans N il existe S 1 . . . S n codables tels que pour tout i > 0, S i ⊂ S i−1 , S i est uneapproximation de f i et card S i > kEn particulier pour tous n, k ∈ N et x code d’ensemble,N |= A[x, n, k] →∀y code de fonction ∃z code d ′ ensemble(z ⊂ x ∧ z approxime y ∧ A[z, n − 1, k] ∧ card z > k)De plus comme les intervalles sont finis dans N, leurs sous-ensembles sont codables et ona donc pour tous a, b ∈ N :N |= L[a, b, n, k] →∀y code de fonction ∃z code d ′ ensemble(z ⊂ ⌊a; b⌋ ∧ z approxime y ∧ A[z, n − 1, k] ∧ card z > k])Démonstration. Remarquons d’abord que pour tout n > 0,ω k n = {ω ωn }(k) = ω {ωn}(k) = ω ωk n−1et ω k 0 = k.Montrons ce lemme par récurrence sur n.Si n = 1, par le lemme 1.3.7, il existe S 1 ⊂ S 0 ω k 0 -large tel que S 1 approximation de f 1 , eten notant S = {s 1 , . . . , s n }H k (s 1 ) = H k−1 (s 2 ) = · · · = H 0 (s k+1 ) = s k+1 s ndonc card S 1 = n k + 1 > k.Sinon, toujours par le lemme 1.3.7, il existe S 1 ⊂ S 0 ω k n−1 -large tel que S 1 approximationde f 1 . Par récurrence il existe S 2 , . . . , S n vérifiant les bonnes propriétés. Comme S 2 ⊂ S 1et card S 2 > k on a encore card S 1 > k.On peut maintenant construire le segment initial fort dont on a besoin.Démonstration de la proposition 1.3.4. Pour tous n, k ∈ N, M |= L[a, b, n, k]. Enparticulier pour tout n ∈ N, M |= L[a, b, n, n]. Par le lemme du débordement il existec > N tel que M |= L[a, b, c, c].Soit (f i ) i1 une énumération des fonctions codables dans M dénombrable. On construitpar récurrence (S i ) i1 telle que S i approxime f i , M |= A[⌊S i ⌋, c − i, c] et card S i > c à16

l’aide du lemme 1.3.8. Comme c est non standard card S i > c implique que S i est infini.Soit d i le i e élément de S i , on définit I = {x ∈ M | ∃i ∈ Nx d i }.Comme S i+1 ⊂ S i , d i + 1 d i+1 , on en déduit que I est clos par successeur. De plus sia ∈ I on a clairement pour tout b a, b a d i pour un certain i donc b ∈ I.Montrons que I est fort. Soit f une fonction codable dans M, alors il existe i 0 tel quef = f i0 . Posons e = max S i . Soit x ∈ I, il existe j tel que x d j . Par le même argumentque pour le successeur, x < d j+3 − 2. Il existe donc k i tel que x < d k − 2. CommeS k ⊂ S i , on a d k ∈ S i . Or S i approxime f donc f(x) < d +,S iksuffit donc de démontrer que d +,S ikest dans I.Mais comme S k+1 ⊂ S k ⊂ S i , on a d +,S ik d +,S k+1k1.4 Théorème de Wainer= d k+1 , donc d +,S ik∈ I.ou f(x) > max S i = e. IlOn peut maintenant démontrer le résultat probablement le plus important de ce mémoire,le théorème de Wainer qui caractérise les fonctions récursives prouvablement totales dansP (la réciproque du théorème se trouve dans [BW87]). Le théorème de Kirby et Paris enest un corollaire.Théorème 1.4.1 (Wainer, 1970). Soit f : N → N une fonction récursive. Soit F [x, y] uneformule Σ 1 qui représente f. Si P ⊢ ∀x∃!y F (x, y) (ie. f est prouvablement totale dans P),alors∃α < ɛ 0 ∀x ∈ N f(x) H α (x)On commence par démontrer le lemme suivant :Lemme 1.4.2. Soient f : N → N récursive et F [x, y] qui représente f. Si pour toutn, k ∈ N on aN |= ∃x∃y (L[x, y, n, k] ∧ F [x, y])alors il existe M modèle dénombrable de P et a, b ∈ M tels que :M |= Th(N) et M |= F [a, b] et ∀n, k ∈ N M |= L[a, b, n, k]Démonstration. Considérons la théorie T = Th(N) ∪ {F [a, b]} ∪ {L[a, b, n, k]} n,k∈N dansle langage de P augmenté de deux constantes a et b.Pour tout n, k ∈ N, N |= ∃x∃y ∧ k ′ k,n ′ n L[x, y, n′ , k ′ ]. En effet en notant a n,k tel queN |= ∃y F [a n,k , y] ∧ L[a n,k , y, n, k], {H ω k ′n ′ (a n ′ ,k ′) | n′ n et k ′ k} est fini. Il admet doncun plus grand élément atteint en n 0 et k 0 . On en déduit que a n0 ,k 0; f(a n0 ,k 0) est ω k n-largepour tout n ′ n et k ′ k.La théorie T admet donc N comme modèle pour tout fragment fini. Par le théorème decompacité, il existe donc M |= T . Par le théorème de Löwenheim-Skolem descendant,comme le cardinal de L P ∪ {a, b} est fini, on peut prendre M dénombrable.Démonstration du théorème de Wainer. Démontrons ce résultat par l’absurde.Soit f : N → N récursive prouvablement totale et F qui la représente telle que pour toutα < ɛ 0 on ait x ∈ N tel que f(x) > H α (x), en particulier∀ n, k ∈ N ∃x ∈ N f(x) > H ω k n(x)17

Par définition (voir 1.3.3), x; f(x) est ω k n-large. On en déduit queN |= ∀n∀k∃x∃y (L[x, y, n, k] ∧ F [x, y])donc par le lemme 1.4.2 il existe M un modèle dénombrable de P et a, b ∈ M tel queM |= Th(N) et M |= F [a, b] et ∀n, k ∈ N, M |= L[a, b, n, k]Par la proposition 1.3.4 il existe I un segment initial fort de M tel que a ∈ I < b etcomme l’indique la proposition 1.3.2, I |= P. D’après les hypothèses P ⊢ ∀x∃!y F (x, y)donc ∃c ∈ I c = f(a). Mais alors M |= F (a, b) et M |= F (a, c) et comme c ∈ I < b, c ≠ bce qui est impossible vu que M |= P et que P ⊢ ∃!y F (a, y).La première démonstration de ce théorème se trouve dans [Wai70] et [Wai72]. On trouveraaussi une preuve ultérieure de ce résultat dans [BW87] passant par la théorie de ladémonstration.1.5 Indépendance du théorème Goodstein dans POn a maintenant défini tous les outils nécessaires à la preuve du résultat qui nous intéresseprincipalement dans cette partie. Comme indiqué précédemment, le théorème de Goodsteinn’est pas dans P car la fonction de Goodstein (que l’on voit comme une fonction de qseulement en fixant p en fonction de q) majore (au sens de < ∗ ) toutes les fonctions de lahiérarchie de Hardy.Théorème 1.5.1 (Kirby-Paris, 1982).P ∀p∀q(q > 1 ⇒ ∃mF (m, p, q, 0))En d’autres termes, le théorème de Goodstein n’est pas démontrable dans l’arithmétiquede Peano.Démonstration. Par l’absurde, supposons que le théorème de Goodstein soit démontrabledans P alors h (étendue en (p, 0) et (p, 1) pour tout p par 0 par exemple) est prouvablementtotale dans P.Soit puis : N 2 → N primitive récursive définie par puis(x, 0) = 1 et pour tout n >0 puis(x, n) = x puis(x,n−1) . On vérifie par une récurrence simple que f x,ω (p(x, n)) = ω nOn a alors{ N → Ng :n ↦→ h(puis(n, n), n) + n + 1récursive prouvablement totale dans P.Par le théorème de Wainer (voir 1.4.1) il existe α < ɛ 0 tel que, pour tout n ∈ N, g(n)

De plus par la propriété 1.2.3 ∃n 0 tel que α < ω n0 donc par la propriété 1.2.17 de monotoniede la hiérarchie de Hardy par rapport aux ordinaux :∃n 1 ∀n > n 1 H ωn0 (n) > H α (n)et comme ∀p > q ω p → 1 ω q voir 1.2.14, toujours par la propriété 1.2.17 on a pour toutp > q :∀n > 1 H ωp (n) > H ωq (n)Donc en prenant n > max(2, n 1 , n 2 ) on aH ωn (n) > H ωn0 (n) > H α (n) > H ωn (n)ce qui est absurde.On a ainsi démontré que le théorème de Goodstein n’est pas démontrable dans l’arithmétiquede Peano.19

Chapitre 2Le théorème de Gentzen et ɛ 0On présentera, tout d’abord, dans cette partie le théorème de Gentzen dont la conséquenceest la suivante : la cohérence de l’arithmétique peut être démontrée de façon finitiste à uneinduction jusqu’à ɛ 0 près. On finira en montrant que le théorème de Goodstein implique labonne fondation de ɛ 0 (en suivant [KH89]). Ceci fournira une deuxième preuve du théorèmede Kirby-Paris par le deuxième théorème d’incomplétude de Gödel.Cette preuve utilise des outils de la théorie de la démonstration. Au contraire de la premièrepartie, qui reposait sur des arguments sémantiques et la théorie des modèles, ce sera doncune présentation de méthodes syntaxiques pour répondre à des questions sur l’arithmétiquede Peano.L’idée générale développée ici est de travailler sur la structure des preuves formelles. Lessystèmes de preuves à la Hilbert 1 sont caractérisés par un très petit nombre de règles, engénéral seulement le modus ponens et la généralisation. En contrepartie, ils ont un grandnombre d’axiomes comme “toute les tautologies du calcul propositionnel sans quantificateurs”.Pour manipuler plus aisément la structure des preuves, on présentera ici un autresystème de preuve formelle, possédant plus de règles et moins d’axiomes : le calcul desséquents.2.1 Calcul des séquents pour la logique propositionnelle2.1.1 Langage de premier ordreOn reprend les définitions habituelles d’un langage de premier ordre.Définition 2.1.1. Un langage de premier ordre L est la donnée :– d’un ensemble de symboles de constantes ;– d’un ensemble de symboles de variables ;– d’un ensemble de symboles de fonctions f i d’arités |f i | ;– d’un ensemble de symboles de relations R i d’arités |R i | .Définition 2.1.2. On définit inductivement les termes de ce langage :– une constante est un terme ;– une variable est un terme ;1 Par exemple celui utilisé cette année dans le cours de Logique du premier semestre20

– si f i est un symbole de fonction et t 1 , t 2 , ..., t |fi | des termes, alors f i (t 1 , ..., t |fi |) est unterme.Définition 2.1.3. On définit inductivement les formules sur ce langage :– Si R i est un symbole de relation et t 1 , ..., t |Ri | sont des termes de L, R i (t 1 , ..., t |Ri |) estune formule. On dit de plus que c’est une formule atomique.– Si A et B sont formules, alors ¬A, A ∧ B, A ∨ B sont des formules.– Si A est une formule et x une variable, ∀xA et ∃xA sont des formules.Définition 2.1.4. Pour mesurer la “complexité” d’une formule, on définit inductivementune fonction comp :– Si A est atomique, comp(A) = 1– comp(¬A) = comp(∃xA) = comp(∀xA) = 1 + comp(A)– comp(A ∧ B) = comp(A ∨ B) = 1 + max(comp(A), comp(B))2.1.2 Séquents et inférencesDéfinition 2.1.5. Un séquent Γ ⊢ ∆ est la donnée de deux ensembles de formules Γ et∆. On dit que les éléments de Γ sont les hypothèses du séquent, et ceux de ∆ sont sesrésultats. On le note sous la forme Γ ⊢ ∆.Informellement, on peut interpréter un séquent Γ ⊢ ∆ comme l’affirmation que la conjonctiondes hypothèses entraîne la disjonction de ses résultats : “si toutes les formules de Γsont vraies, au moins une des formules de ∆ est vraie”.∅ ⊢ ∆ représente une tautologie (la disjonction des formules de ∆ est vraie), et Γ ⊢ ∅une négation/contradiction (la conjonction des formules de Γ est fausse). En particulier,le séquent ∅ ⊢ ∅, souvent noté simplement ⊢, représente le faux.Définition 2.1.6. Une inférence est la donnée d’un groupe (fini) de séquents, les prémisses,et d’un séquent, la conclusion. Elle indique la validité du raisonnement qui passe desprémisses à la conclusion. On la note sous la formeΓ 1 ⊢ ∆ 1 Γ 2 ⊢ ∆ 2Γ 3 ⊢ ∆ 3Les prémisses sont au dessus de la barre, et la conclusion en dessous.2.1.3 Règles et démonstrationsDéfinition 2.1.7. Un système de preuve est la donnée d’un ensemble d’inférences, sesrègles.On considère dans cette partie le système LK, correspondant aux preuves de la simplelogique du premier ordre habituelle, déterminé par l’ensemble de règles qui suivront.Les premières règles de notre système formel, les règles logiques, décrivent la manièredont on peut créer des formules propositionnelles à partir d’un connecteur logique et deformules propositionnelles plus simples, par exemple A ∧ B à partir de A et de B. Pourchaque connecteur il y a deux types de règles : les “règles gauches” qui permettent sonapparition parmi les hypothèses du séquent, et les “règles droites” qui concernent lesconclusions du séquent.21

Γ ⊢ A, ∆ (¬ ⊢)Γ, ¬A ⊢ ∆Γ, A ⊢ ∆ (⊢ ¬)Γ ⊢ ¬A, ∆Γ, A ⊢ ∆ (∧1 ⊢)Γ, A ∧ B ⊢ ∆Γ, B ⊢ ∆ (∧2 ⊢)Γ, A ∧ B ⊢ ∆Γ ⊢ A, ∆ Γ ⊢ B, ∆ (⊢ ∧)Γ ⊢ A ∧ B, ∆Γ, A ⊢ ∆ Γ, B ⊢ ∆ (∨ ⊢)Γ, A ∨ B ⊢ ∆Γ ⊢ A, ∆ (⊢ ∨1 )Γ ⊢ A ∨ B, ∆Γ ⊢ B, ∆ (⊢ ∨2 )Γ ⊢ A ∨ B, ∆Γ, A[x := t] ⊢ ∆ (∀ ⊢)Γ, ∀xA ⊢ ∆Γ ⊢ A, ∆ (⊢ ∀)Γ ⊢ ∀xA, ∆Γ, A ⊢ ∆ (∃ ⊢)Γ, ∃xA∆Γ ⊢ A[x := t]∆ (⊢ ∃)Γ ⊢ ∃A, ∆Les notations Γ, Γ ′ et Γ, A décrivent les ensembles Γ ∪ Γ ′ et Γ ∪ {A}. A[x := t] désigne laformule A dans laquelle on a remplacé toutes les occurrences libres de la variable x par leterme t (à renommage de variables près, pour éviter les accidents). Dans les deux règlesqui l’utilisent (∀ ⊢, ⊢ ∃) on demande de plus à ce que la variable x ne fasse pas partie desvariables libres de Γ et ∆ : sinon l’inférence n’est pas une règle.Pour pouvoir manipuler les formules d’un séquent, on a envie de pouvoir les réordonnerselon ses besoins, supprimer les doublons, ajouter des hypothèses ou des résultats possibles.C’est ce que permettent les règles structurelles :Γ, A, B, Γ ′ ⊢ ∆ (échange ⊢))Γ, B, A, Γ ′ ⊢ ∆Γ ⊢ ∆, A, B, ∆’Γ ⊢ ∆, B, A, ∆ ′(⊢ échange)Γ, A, A ⊢ ∆ (contraction ⊢)Γ, A ⊢ ∆Γ ⊢ A, A, ∆ (⊢ contraction)Γ ⊢ A, ∆Γ ⊢ ∆ (affaiblissement ⊢)Γ, A ⊢ ∆Γ ⊢ ∆Γ ⊢ A, ∆(⊢ affaiblissement)Contrairement à ce qu’on pourrait penser, ces règles structurelles ont de l’intérêt en soi :si on les restreint, on obtient des logiques spécifiques qui peuvent avoir des avantagesthéoriques et/ou des applications pratiques. Par exemple si on enlève la règle d’échange,on ne peut plus utiliser que l’hypothèse la plus à droite (puisque toutes les règles logiquessont de la forme Γ, A ⊢ ...) ; cela permet entre autres de modéliser la logique de langagesde programmations utilisant une pile pour stocker des valeurs, et qui ne peuvent utiliserque la valeur placée en haut de la pile.Enfin, il reste deux règles d’identité, l’axiome et la coupure :A ⊢ A(axiome)Γ ⊢ A, ∆ A, Γ ′ ⊢ ∆ ′ (A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′L’intérêt de la coupure est qu’il permet la réutilisation des preuves : on peut combiner22

deux preuves séparées pour obtenir un nouveau résultat sans devoir repartir de zéro. Celapermet une certaine modularité.Par exemple, si l’on sait prouver pour toutes les formules A et B les séquents A, B ⊢ A∧Bet A, A ⇒ B ⊢ B, on peut obtenir le séquent C, D, (C ∧ D) ⇒ E ⊢ E par coupure, sansdevoir récrire les preuves pour tenir compte des variations des hypothèses.2.1.4 PreuvesDéfinition 2.1.8. Une preuve φ d’un séquent Γ ⊢ ∆ est la donnée d’une règle dont laconclusion est ce séquent, et d’une preuve φ i de chacune des prémisses de cette règle(appelée dernière règle de la preuve). On note φ ⊩ Γ ⊢ ∆, ou bienφ.........Γ ⊢ ∆Les preuves sont donc des arbres d’inférences, qui se terminent par des règles sans prémisses,donc des règles axiomes.Voici par exemple une preuve du séquent A ∧ ¬A ⊢ B :(axiome)A ⊢ A (⊢ affaiblissement)A ⊢ B, A (⊢ échange)A ⊢ A, B (⊢ ¬)A, ¬A ⊢ B (∧ ⊢)A ∧ ¬A ⊢ BLes preuves se lisent usuellement de bas en haut. Celle-ci est linéaire, puisque chaqueinférence utilise une seule prémisse, mais elles sont en général arborescentes :A, B ⊢ B(axiome)(axiome)A, B ⊢ A (⊢ ∧)On utilisesous silence.A, B ⊢ B ∧ A (∧ ⊢)A ∧ B ⊢ B ∧ Apour signaler la présence d’une ou plusieurs inférences structurelles passées2.2 Élimination des coupures2.2.1 Propriété de la sous-formuleSi l’on suit les deux preuves ci-dessus de la conclusion jusqu’aux prémisses, on peut serendre compte qu’elles sont quasiment “automatiques” : à chaque étape, selon la structuredes formules du séquent à prouver, une ou plusieurs règles sont utilisables, et l’on peutessentiellement choisir arbitrairement l’une d’entre elles, obtenir une expression plus simpleet aboutir (modulo quelques règles structurelles ça et là) à des règles axiomes.Cette méthode n’est pas utilisable pour une règle coupure :Γ ⊢ A, ∆ A, Γ ′ ⊢ ∆ ′ (A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′23

Pour établir l’inférence en partant de Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′ , il faudrait “deviner” le terme A. Onpeut décrire plus précisément ce problème par la propriété de la sous-formule.Définition 2.2.1. Les sous-formules directes d’une formule sont les termes utilisés poursa construction :– les sous-formules directes de A ∧ B et A ∨ B sont A et B– la sous-formule directe de ¬A est A– les sous-formules directes de ∀xA et ∃xA sont les A[x := t] pour chaque terme t.Une sous-formule d’une formule donnée est sa sous-formule directe, ou la sous-formuledirecte d’une de ses sous-formules. Cette définition est bien fondée car la complexité d’uneformule est toujours strictement supérieure aux complexités de ses sous-formules (directes).Proposition 2.2.2. Toutes les règles d’inférences, sauf la coupure, ont la propriété dela sous-formule : les formules des prémisses des formules de la conclusion, ou des sousformulesde celles-ci.La propriété de la sous-formule est une propriété désirable, en particulier dans l’optiqued’une preuve de cohérence : si on démontre le faux, alors une sous-formule du faux est dansles prémisses, autrement dit “seul le faux implique le faux”. C’est exactement la preuveque l’on va faire, mais pour cela il faut éliminer les coupures.Théorème 2.2.3 (Élimination des coupures). Toute preuve du calcul des séquents peutêtre récrite en une preuve du même séquent n’utilisant pas la règle de coupure.La démonstration de ce résultat est l’objet principal de cette section. Elle est inspirée de[GTL89] et [Tak75].Remarque 1. Même avec l’élimination des coupures, la procédure de démonstration automatiqueesquissée plus haut ne marche pas : parmi les règles structurelles à l’air innocentse trouve la règle de contraction qui a la propriété (si on regarde de bas en haut, des conclusionsaux prémisses) de dupliquer des formules, augmentant alors le nombre de possibilitésà l’étape suivante. Au sein du calcul propositionnel sans quantificateurs, on pourrait enétant précautionneux retrouver une procédure de décision, mais au premier ordre cela nefonctionne plus.2.2.2 Cas clés2.2.2.1 Exemple : cas ∧L’idée est de faire “remonter” les coupures dans les preuves, en transformant une coupuresur une formule en une ou plusieurs coupures sur ses sous-formules, situées plus haut dansl’arbre de preuve.Les cas clés sont les cas où les coupures font correspondre une règle gauche avec la règledroite qui lui est associée. Par exemple, si l’on a la preuve suivante :............φ 1Γ ⊢ A, ∆Γ ⊢ A ∧ B, ∆φ 2 ............Γ ⊢ B, ∆ (⊢ ∧)φ ′..............Γ ′ , A, ⊢ ∆ ′ (∧ 1 ⊢)Γ ′ , A ∧ B ⊢ ∆ ′((A ∧ B)-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′ 24

Par les preuves φ 1 et φ 2 on prouve les résultat A et B respectivement, donc le résultatA ∧ B utilisé par la prémisse de droite. Le point essentiel pour l’élimination de cettecoupure est de remarquer qu’on effectue ici un détour : on prouve A et B alors que lapreuve φ ′ n’utilise en fait que l’hypothèse A. On peut donc se contenter de couper sur A :............φ 1 ..............φ ′Γ ⊢ A, ∆ Γ ′ , A, ⊢ ∆ ′(A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′On a transformé une coupure sur A∧B en une coupure sur sa sous-formule A : la complexitéde la formule coupée décroît strictement.Le cas de la règle (∧ 2 ⊢) est clairement symétrique. On peut énumérer tous les autres casclés, où une coupure fait correspondre une règle gauche et une règle droite de la mêmeformule.Remarque 2. Les informaticiens savent depuis longtemps qu’il existe des liens forts entre lalogique et le typage d’un langage de programmation, éclairant certains concepts logiquessous un angle opérationnel. Les coupures présentées ici correspondent effectivement auxréductions d’un lambda-calcul, par exemple ici, avec des paires, π 1 (< s, t >) → s. Onpeut alors interpréter la réduction des coupures comme un processus de normalisation despreuves.2.2.2.2 Cas ∨se réduit en............φΓ ⊢ A, ∆ (⊢ ∨1 )Γ ⊢ A ∨ B, ∆Le cas (⊢ ∨ 2 ) est symétrique.2.2.2.3 Cas ¬Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′φ.............′ 1φ..............′ 2Γ ′ , A ⊢ ∆ ′ Γ ′ , B ⊢ ∆ ′ (∨ ⊢)Γ ′ , A ∨ B ⊢ ∆ ′((A ∨ B)-coupure)............φφ.............′ 1Γ ⊢ A, ∆ Γ ′ , A ⊢ ∆ ′(A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′se réduit en...........φΓA ⊢ ∆ (⊢ ¬)Γ ⊢ ¬A, ∆Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′.............φ ′Γ ′ ⊢ A, ∆ ′ (¬ ⊢)Γ ′ ¬A ⊢ ∆ ′((¬A)-coupure)............φ.............φ ′Γ ⊢ A, ∆ Γ ′ , A ⊢ ∆ ′(A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′25

2.2.2.4 Cas ∀............φΓ ⊢ A, ∆ (⊢ ∀)Γ ⊢ ∀xA, ∆Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′φ ′......................Γ ′ , A[x := t] ⊢ ∆ ′ (∀ ⊢)Γ, ∀xA ⊢ ∆ ((∀xA)-coupure)se réduit enφ[x := t].................... ......................φ ′Γ ⊢ A[x := t], ∆ Γ ′ , A[x := t] ⊢ ∆ ′(A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′Ici φ[x := t] désigne la preuve φ dans laquelle on a remplacé toutes les occurrences libresde x issues de A par le terme t.2.2.2.5 Cas ∃se réduit en2.2.2.6 Résumé....................φΓ ⊢ A[x := t], ∆ (⊢ ∃)Γ ⊢ ∃xA, ∆Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′.............φ ′Γ ′ , A ⊢ ∆ ′ (∃ ⊢)Γ ′ , ∃xA ⊢ ∆ ′((∀xA)-coupure)....................φφ ′ [x := t]......................Γ ⊢ A[x := t], ∆ Γ ′ , A[x := t] ⊢ ∆ ′(A-coupure)Γ, Γ ′ ⊢ ∆, ∆ ′Les cas les plus importants, où il “se passe quelque chose”, sont traités. Il reste à traitertous les autres cas, où les règles utilisées juste avant la coupure ne correspondent pas. Ilfaut alors faire remonter la coupure correctement pour que les règles concordent à nouveau.La propriété essentielle est cependant déjà visible : c’est la réduction de la complexité desformules coupées (mais pas en général de la taille des preuves ou du nombre de coupures).Proposition 2.2.4. Dans chacun des cas clés, la complexité de la formule coupée décroîtstrictement.Définition 2.2.5. Le degré d’une coupure est la complexité de la formule coupée.26

2.2.3 Preuve complèteDéfinition 2.2.6. Le degré d’une preuve est la borne supérieure du degré de ses coupures.Le degré d’une preuve sans coupure est 0, ce qui est cohérent puisque la complexité d’uneformule (donc le degré d’une coupure) est au moins 1.Pour dire qu’une preuve φ ⊩ Γ ⊢ ∆ est de degré strictement inférieur à d, on noteφ ⊩

En utilisant la règle de coupure sur ψ et ψ ′ , on obtient alors une preuve de Γ, Γ ′ ⊢∆, ∆ ′ de degré comp(A) = d. Mais c’est précisément un des cas clés : on peut donc letransformer comme vu précédemment en une preuve de degré strictement inférieurà d.Proposition 2.2.9. Si φ est une preuve de degré d > 0, il existe une preuve du mêmeséquent de degré strictement inférieur à d.Démonstration. Par induction sur H(φ). On utilise l’hypothèse d’induction sur lesprémisses (φ i ) de φ pour en obtenir des preuves (ψ i ) de degré inférieur à d.– si la dernière règle r de φ n’est pas une règle de coupure, on l’applique simplement aux(ψ i ) et on obtient le résultat désiré.– Si r est une coupure, on utilise le lemme précédent.Théorème 2.2.10 (Élimination des coupures dans LK). Si φ est une preuve du séquents dans LK, il existe une preuve de s de degré nul.Démonstration. Par itération de la proposition précédente.Il est important de remarquer que ce résultat d’existence est en fait constructif : ona littéralement construit une preuve sans coupure en réduisant φ. En particulier, dansun système formel convenable, on pourrait exprimer cette réduction avec des fonctionsrécursives primitives.2.3 Extension du résultat à l’arithmétiqueLa difficulté est maintenant d’étendre cette preuve à l’arithmétique. On a procédé dansle cas de LK par induction sur les hauteurs et degrés des preuves. On a besoin pourl’arithmétique d’induction sur des ordinaux bien plus gros, en fait jusqu’à ɛ 0 : c’est là quese situera le lien avec les suites de Goodstein.2.3.1 Formalisation de P en calcul des séquentsOn utilise pour P le langage habituel de l’arithmétique : constante 0, fonctions succ, +, ×et relation =.Le système de preuve P est obtenu en ajoutant des axiomes à LK.Les axiomes mathématiques (pour s, t, r termes arbitraires) :– succ(s) = succ(t) ⊢ s = t– succ(s) = 0 ⊢ (∅ implicite à droite)– s = t, t = r ⊢ s = r– s = t ⊢ succ(s) = succ(t)– ⊢ s + 0 = s– ⊢ s × 0 = 0– ⊢ s × succ(t) = s × t + sPour F (x) une formule à un paramètre (pointant toutes les occurrences libres de x) et tun terme du langage, on ajoute la règle d’induction sur F28

Γ, F (a) → F (succ(a)), ∆ (InfF )Γ, F (0) ⊢ F (t), ∆Les inductions compliquent en fait significativement la preuve d’élimination des coupures :elles permettent une forme de “raisonnement infini” qui rend inapplicables les simplesconcepts de hauteur et de degré.On peut cependant adapter cette idée, en utilisant des ordinaux pour mesurer la “hauteur”des preuves. Une numérotation astucieuse des preuves par des ordinaux permet de vérifierla terminaison de la réduction des coupures de la même manière que pour LK ; c’est l’idéede la preuve de Gentzen, reprise par Takeuti ([Gen38], [Tak75]).Cependant, les choix de numérotation ne sont pas forcément naturels et rendent la preuveun peu absconse. Pour rendre les notations plus explicites, on peut passer à un système infinitaire,où les preuves sont des objets infinis, et se laissent alors naturellement numéroterpar des ordinaux. Cette idée, due à Schütte ([Sch56]), rend la preuve nettement plusaccessible.2.3.2 Système infinitaire2.3.2.1 Le système P ∞On définit ici un nouveau système de preuve, P ∞ , qui permet de manipuler des preuvesde taille infinie : le nombre de prémisses d’une inférence n’est plus forcément fini.On conserve comme règle de P ∞ les axiomes et les règles identités de P. On utilise parcontre les règles logiques suivantes :Γ ⊢ A, ∆ (¬ ⊢)Γ, ¬A ⊢ ∆Γ, A ⊢ ∆ (⊢ ¬)Γ ⊢ ¬A, ∆Γ, A k ⊢ ∆Γ, A 1 ∧ A 2 ⊢ ∆(∧ k ⊢) k ∈ 1, 2Γ ⊢ A 1 , ∆ Γ ⊢ A 2 , ∆ (⊢ ∧)Γ ⊢ A 1 ∧ A 2 , ∆Γ, A 1 ⊢ ∆ Γ, B 2 ⊢ ∆ (∨ ⊢)Γ, A 1 ∨ A 2 ⊢ ∆Γ ⊢ A k , ∆Γ ⊢ A 1 ∨ A 2 , ∆(⊢ ∨ k ) k ∈ 1, 2Γ, A[x := k] ⊢ ∆ (∀k ⊢) k ∈ NΓ, ∀xA ⊢ ∆(Γ ⊢ A[x := i], ∆) i∈N (⊢ ∀)Γ ⊢ ∀xA, ∆(Γ, A[x := i] ⊢ ∆) i∈N (∃ ⊢)Γ, ∃xA ⊢ ∆Γ ⊢ A[x := k]∆ (⊢ ∃)Γ ⊢ ∃A, ∆k ∈ NLa notation (Γ i ⊢ ∆ i ) i∈N indique que l’inférence utilise une infinité de prémisses, tous lesΓ i ⊢ ∆ i pour i entier naturel.On peut de plus voir les ∧ et ∨ comme des cas particuliers, finis et limités à deux éléments,des ∀ et ∃.29

2.3.2.2 L’induction dispensableTout l’intérêt de ce système infinitaire est qu’il ne nécessite pas d’ajouter une règlesupplémentaire pour l’induction : on peut déjà écrire des preuves par induction dansle système donné.En effet, pour une formule F (k) et un n ∈ N donné, il est facile de démontrer le séquentF (0), ∀k(F (k) ⇒ F (succ(k)) ⊢ F (n). Par exemple pour n = 2 :F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))) ⊢ F (0)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))), ¬F (0) ⊢ F (1)(axiome)(¬ ⊢)(axiome)F (1) ⊢ F (1) (∨ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))), ¬F (0) ∨ F (1) ⊢ F (1) (∀ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))) ⊢ F (1)(¬ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))), ¬F (1) ⊢ F (2)(axiome)F (2) ⊢ F (2) (∨ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))), ¬F (1) ∨ F (2) ⊢ F (2) (∀ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))) ⊢ F (2)On peut en fait construire par récurrence une suite φ n de preuves de F (0), ∀k(F (k) ⇒F (succ(k)) ⊢ F (n) : ci-dessous, φ 0 puis φ succ(n) à partir de φ n .F (0), ∀(k)(¬F (k) ∨ F (succ(k))) ⊢ F (0)(axiome)φ n................................................F (0), ∀(k)(¬F (k) ∨ F (succ(k))) ⊢ F (n)F (0), ∀(k)(¬F (k) ∨ F (succ(k))), ¬F (n) ⊢ F (succ(n))(¬ ⊢)(axiome)F (succ(n)) ⊢ F (succ(n)) (∨ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))), ¬F (n) ∨ F (succ(n)) ⊢ F (succ(n)) (∀ ⊢)F (0), ∀k(¬F (k) ∨ F (succ(k))) ⊢ F (succ(n))On peut alors, en utilisant la nature infinitaire de ∀, construire une preuve de l’inductionselon F :()φ n ⊩ F (0), ∀k(F (k) ⇒ F (succ(k))) ⊢ F (n)Définition 2.3.1.n∈N (⊢ ∀)F (0), ∀k(F (k) ⇒ F (succ(k))) ⊢ ∀nF (n)2.3.2.3 Réduction des coupuresOn conserve la définition du degré d’une preuve de LK. Il faut par contre adapter un peula notion de hauteur pour travailler sur des ordinaux. Au lieu de la définir intrinsèquementà partir des preuves, on annote les preuves par leur hauteur.Définition 2.3.2. Une preuve ordonnée φ d’un séquent est la donnée d’un ordinal H(φ)et d’une preuve de φ dont les preuves des prémisses φ i sont ordonnées, et qui vérifient∀iH(φ i ) < H(φ).On note φ ⊩ α

φα .........Γ ⊢ ∆Par la suite on utilisera généralement des preuves ordonnées, et on ne le précisera plus.Lemme 2.3.3. Soit A une formule de complexité d. Il existe un opérateur R A sur lespreuves, tel que pour φ ⊩ α

– Si r est une coupure sur A, on a par induction des preuves φ 1 et φ 2 de ses prémisses, dedegrés inférieurs à d. On utilise alors le lemme précédent pour obtenir R A (φ 1 , φ 2 ) ⊩ α+β

Définition 2.3.8. On définit simultanément la traduction φ ∞ dans P ∞ d’une preuveφ ⊩ Γ ⊢ ∆ de P, et la hauteur et le degré d’une preuve de P, de façon à vérifierφ ∞ ⊩ H(φ)

preuve de cohérence. C’est ce qu’on va faire maintenant : à partir d’une preuve φ de P,on va construire des sous-preuves φ[i], qui ne sont pas les prémisses de φ mais permettentde construire une preuve du même séquent, avec en plus de bonnes propriétés (héritées deP ∞ ) permettant une preuve de cohérence.La définition des φ[i] est assez fastidieuse. Leur principal intérêt est l’obtention d’uneméthode purement finitiste, induction sur ɛ 0 exceptée.On notera R(φ) la dernière règle de la preuve φ et S(φ) son séquent de conclusion.À partir d’une preuve φ de P, on définit ses sous-preuves φ[i] dans P, qui vérifient (φ[i]) ∞ =φ ∞ i . On aura aussi besoin de définir concl(φ), une règle de P ∞ telle que concl(φ) = R(φ ∞ ).On vérifiera par induction rapide, au moment de leur définition, que ces φ[i] satisfont lespropriétés suivantes, dont l’intérêt est de vérifier que la traduction de P vers P ∞ préservel’élimination des coupures :(S(φ[i]))Proposition 2.3.10. 1.iest une règle de P ∞S(φ)2. Si concl(φ) = (A-coupure), alors comp(A) < deg(φ)3. ∀i, deg(φ[i]) deg(φ)4. ∀i, H(φ[i]) < H(φ)Définition 2.3.11. Définition des φ[i] et de concl(φ) par induction sur φ et distinctionde sa dernière règle r :– Ind F : φ[n] := S(φ n ) (les φ n sont définies en 2.3.1), et concl(φ) := (ɛ)– (E) :– Si concl(φ 1 ) = A-coupure, concl(φ) := (ɛ) et( φ1 [1] φ 1 [2])(E) (E)φ[1] := φ 1 [1] φ 1 [2](A-coupure)S(φ)– sinon concl(φ) := concl(φ 1 ) et φ[i] := φ 1[i](E)φ 1 [i]– Si r est une A-coupure, on utilise la procédure de réduction des coupures du lemme2.2.8 : on obtient une règle r ′ et deux prémisses φ ′ 1 , φ′ 2 , et alors on pose concl(φ) := r′ ,φ[1] = φ ′ 1 , φ[2] = φ′ 2 .– dans les autres cas, la règle r existe encore dans P ∞ donc on a concl(φ) = r et :– (axiome) : pas de prémisses φ[i]– (⊢ ∧), (∨ ⊢) : φ[i] := φ i i ∈ {1, 2}– (∧ i ⊢), (⊢ ∨ i ) : φ[1] := φ 1– (⊢ ∀), (∃ ⊢) : φ[i] := φ 1 [x := i] i ∈ N– (∀ k ⊢), (⊢ ∃ k ) : φ[k] := φ kL’intérêt de ces fastidieuses définitions et des fastidieuses vérifications qui y sont associéesest le suivant : on a défini les prémisses et la dernière règle de la preuve qu’on obtiendraitdans P après élimination des coupures. On ne manipule plus que des objets de (P) :concl(φ) est une règle de P ∞ mais elle ne sert qu’à guider la définition des φ[i]. On adonc obtenu une méthode de réduction des coupures dans P qui serait définissable par desmoyens purement finitistes, sans devoir passer par P ∞ .On peut maintenant passer à l’objet de cette partie, le résultat de cohérence de l’arithmétique.34

Proposition 2.3.12. Soit P ⊥ l’ensemble des preuves φ du séquent ∅ ⊢ ∅ de degré nul. Siφ ∈ P ⊥ , alors φ[1] ∈ P ⊥ et H(φ[1]) < H(φ).(S(φ[i]))Démonstration. D’après le premier fait de la proposition 2.3.10,iest uneS(φ)règle de P ∞ . La seule règle de P ∞ pouvant produire un séquent vide est la règle (ɛ), doncnécessairement concl(φ) = (ɛ), donc φ[1] existe et vérifie H(φ[1]) < H(φ).Théorème 2.3.13 (Cohérence de P). Par bonne fondation de l’ordinal ɛ 0 , il n’existe pasde preuve du faux (∅ ⊢ ∅) dans P.Démonstration. D’après la proposition précédente, l’existence d’un élément dans P ⊥implique l’existence d’une suite infinie de hauteurs ordinales décroissantes. Or d’après laproposition 2.3.9, ces hauteurs appartiennent à ɛ 0 , qui est supposé bien fondé : P ⊥ estnécessairement vide.Supposons maintenant qu’il existe une preuve φ de ∅ ⊢ ∅ de degré d non nul. Alors pardéfinition.......φS(φ) ... (E)...d applicationsde la règle (E)......(E)S(φ)est une preuve de φ de degré nul (chaque application de la règle (E) fait descendre de 1 ledegré), ce qui est contradictoire.Remarque 5. Étant donné que l’on est passé de LK à P en ajoutant essentiellement larègle d’induction sur les entiers naturels, on a essentiellement montré que l’induction surles entiers naturels “était cohérente”, en utilisant l’induction... jusqu’à ɛ 0 . À première vue,il y a ici une arnaque : on aurait admis plus que ce que l’on veut obtenir !En réalité, la preuve utilise un principe formel bien moins puissant que l’induction transfiniesur ɛ 0 : alors que l’induction sur P s’applique à n’importe quelle formule F , on n’a enfait utilisé ici qu’une induction sur une formule sans quantificateurs. C’est ce qui fait toutl’intérêt de la preuve : on demande une induction sur des ordinaux plus gros, mais sansquantificateurs, ce qui correspond à des opérations toujours calculables. On peut en particulierobtenir ce principe de démonstration par le biais des suites de Goodstein, commenous allons le montrer dans la section suivante.2.4 Suites de Goodstein et bonne fondation de ɛ 0Pour finir démontrons la proposition suivante.Proposition 2.4.1. Le théorème de Goodstein implique dans P la bonne fondation de ɛ 0 .Plus précisément, P et le théorème de Goodstein permettent de démontrer qu’il n’existe pasde suite strictement décroissante d’ordinaux strictement inférieurs à ɛ 0 qui soit récursiveprouvablement totale (ie la suite des codes des ordinaux récursive prouvablement totale)35

Pour commencer, on définit une généralisation des suites de Goodstein (ou plutôt de lasuite ordinale associée), les suites de Goodstein lentes. On démontrera tout d’abord quel’on peut à partir de toute suite d’ordinaux décroissants définir une suite de Goodsteinlente qui la majore. Puis on démontrera que leur terminaison (le fait qu’elles finissentstationnaires en zéro) est équivalent au théorème de Goodstein (terminaison des suites deGoodstein standards).Définition 2.4.2 (Suites de Goodstein lentes de α de transition ρ). Soit ρ strictementcroissante telle que ρ(0) 2 et α < ɛ 0 ρ(0)-représentable. On définit γnα,ρ (de nouveau,souvent notée γ n ) suite d’ordinaux par :{γ 0 = αγ n+1 = 〈γ n 〉(ρ(n + 1)) pour tout n ∈ NLemme 2.4.3. Soit (λ i ) i∈N une suite d’ordinaux strictement décroissante récursive prouvablementtotale dans Peano. Il existe alors α < ɛ 0 et ρ récursive prouvablement totaledans P telle que pour tout i ∈ N, λ iγ α,ρiDémonstration. Soit ρ(0) = 1+max des coefficients apparaissant dans l’écriture en baseω itérée de λ 0 . Posons de plus pour tout n, ρ(n + 1) = 1 + max de ρ(n) et des coefficientsapparaissant dans l’écriture en base ω itérée de λ n+1 . ρ est récursive prouvablement totaledans P car la suite (λ i ) i∈N l’est et il est récursif prouvablement total de récupérer lescoefficient et en faire le max. De plus ρ est strictement croissante et pour tout i ∈ N, λ iest ρ(i)-représentable.Soit (γ n ) n∈N la suite de Goodstein lente de λ 0 de transition ρ. Montrons par récurrenceque pour tout i ∈ N on a γ i λ i .Si i = 0, comme γ 0 = λ 0 , c’est vérifié.Supposons γ i λ i , γ i+1 = 〈γ i 〉(ρ(i + 1)) 〈λ i 〉(ρ(i + 1)). λ i = 0 est impossible vu que pardéfinition 0 γ i+1 < γ i , donc λ i ≠ 0 et 〈λ i 〉(ρ(i + 1)) est le plus grand ordinal qui vérifieβ < λ i et β est ρ(i + 1)-représentable (cf. proposition 1.2.7). Or λ i+1 vérifie aussi ces deuxpropriétés donc 〈λ i 〉(ρ(i + 1)) λ i+1 . On a donc bien la propriété voulue.Lemme 2.4.4. Soient α, β < ɛ 0 avec α ≫ β et (q n ) n∈N une suite d’entiers, s’il existe n 0tel que 〈α + β〉(q 1 , . . . , q n0 ) α, alors il existe n n 0 tel que 〈α + β〉(q 1 , . . . , q n0 ) = αDémonstration. Si 〈β〉(q 1 , . . . , q k ) > 0 alors 〈α + β〉(q 1 , . . . , q k+1 ) = α + 〈β〉(q 1 , . . . , q k+1(cela se démontre par récurrence sur k en appliquant la proposition 1.2.5). Donc si ∀k ∈ N,〈β〉(q 1 , . . . , q k ) > 0 alors ∀k ∈ N, 〈α + β〉(q 1 , . . . , q k ) > α ce qui rentre en contradictionavec les hypothèses. il existe donc un n minimal tel que 〈β〉(q 1 , . . . , q n ) = 0 et alors comme〈β〉(q 1 , . . . , q n−1 ) > 0, on a 〈α + β〉(q 1 , . . . , q n0 ) = α.Lemme 2.4.5. Le théorème de Goodstein implique la terminaison de toutes les suites deGoodstein lentes à transition récursive prouvablement totale dans P.Démonstration. Soit (γ i ) i∈N la suite de Goodstein lente de α et de transition ρ récursiveprouvablement totale dans P.Par le théorème de Wainer (théorème 1.4.1), il existe γ < ɛ 0 tel que pour tout x ∈ N,ρ(x) < H γ (x). Par la proposition 1.2.3, il existe n 0 ∈ N tel que α, γ < ω n0 et donc36

ρ < ∗ H ωn0 . Comme on cherche à montrer que la suite devient stationnaire en zéro, ce quiest une propriété qui ne concerne pas les premiers termes, on peut supposer que ρ < H ωn0 .Par le théorème de Cichon (voir 1.2.18), en notant h(α, p) = min{z | 〈α〉(p, . . . , z) = 0},pour tout x ∈ N,ρ(x) < H ωn0 (x) = h(ω n0 , x)Soit β = ω ωn 0 +α+1 où on a fait attention à avoir ω n0 ≫ α. Soit (β n ) n∈N la suite ordinaleassociée à la suite de Goodstein standard commençant à f ω,ρ(0)+1 (β) et en base ρ(0) + 1.On a alors bien β 0 = β car α est par définition ρ(0)-représentable et ω n0 est 2-représentabledonc ρ(0) + 1-représentable.On pose φ(1) = ρ(0) + 2.Comme〈β〉(ρ(0) + 2) = ω ωn 0 +〈α+1〉(ρ(0)+2) · (ρ(0) + 1) + 〈ω ωn 0 +〈α+1〉(ρ(0)+2) 〉(ρ(0) + 2)et que la suite Goodstein finit stationnaire en zéro, par le lemme 2.4.4, il existe φ(1) telque β φ(1)−1 = ω ωn 0 +〈α+1〉(φ(0)) .Par récurrence, tant que 〈α+1〉(φ(0), . . . , φ(i)) > 0, on construit φ(i+1) comme le plus petitterme j supérieur à φ(i) tel que β j−1 = ω ωn 0 +〈α+1〉(φ(0),...,φ(i)) . Si 〈α+1〉(φ(0), . . . , φ(i)) =0 on prend φ(i + 1) = φ(i) + 1.Le théorème de Goodstein implique que β n s’annule à partir d’un certain rang. Donc〈α + 1〉(φ(0), . . . , φ(i)) s’annule aussi à partir d’un certain rang car ω δ > 0 pour toutδ < ɛ 0 .Comme ω n0 > α, et ρ(0) 2, par le lemme 2.4.4, pour tout i 1 tel que 〈α +1〉(φ(0), . . . , φ(i)) > 0, avant d’atteindre φ(i + 1) il faut annuler un terme de la formeω ωn 0 +〈α+1〉(φ(0),...,φ(i)) et donc :φ(i + 1) min{j | 〈ω ωn 0 +〈α+1〉(φ(0),...,φ(i)) 〉(φ(i) + 1, . . . , j) = 0} min{j | 〈ω n0 〉(φ(i) + 1, . . . , j) = 0} h(ω n0 , φ(i) + 1)> ρ(φ(i) + 1) ρ(i + 2)car ρ est strictement croissante et φ(i) i + 1 car φ(0) 3 et φ est strictement croissante.On a démontré que la suite de Goodstein lente commençant en α et de transition φ s’annuleà partir d’un certain rang. Comme φ(i) > ρ(i) pour tout i, par récurrence et en appliquantle fait que 〈α〉(n) soit croissante en fonction de n, on a〈α + 1〉(φ(0), . . . , φ(i)) 〈α + 1〉(ρ(0), . . . , ρ(i)) = 〈α〉(ρ(1), . . . , ρ(i))La suite de Goodstein lente commençant en α et de transition ρ termine donc aussi.Démonstration de la proposition 2.4.1. Soit (λ i ) i∈N une suite d’ordinaux strictementdécroissante récursive prouvablement totale dans P. Par le lemme 2.4.3, il existe une suitede Goodstein lente à transition récursive prouvablement totale dans P qui la majore. Lelemme 2.4.5 implique, comme on suppose le théorème de Goodstein, que la suite lente termine.Il existe donc n ∈ N tel que pour tout i n, λ i = 0 ce qui contredit la décroissancestricte. Une suite d’ordinaux appartenant à ɛ 0 strictement décroissante n’existe pas si onsuppose le théorème de Goodstein.37

On remarquera cependant que la preuve du lemme 2.4.5 n’est pas finitiste telle qu’elleest donnée ici. En effet notre démonstration du théorème de Wainer ne l’est pas, mais lapreuve donnée dans [BW87] passant par la théorie de la démonstration l’est.Dans son article de 1944 (voir [Goo44]), Goodstein introduit ses suites en étant à larecherche d’une preuve finitiste la bonne fondation de ɛ 0 (c’est à dire démontrable dans P).Il aurait alors pu démontrer que la “reine Zahlentheorie” de Gentzen (et donc P) démontresa propre cohérence et est donc incohérente, d’après le deuxième théorème d’incomplétudede Gödel.On remarquera la grande ironie, ou la grande régularité de tout cela : si ses suites permettentbien de montrer la cohérence de P, son théorème par contre n’admet pas de preuvefinitiste...38

Annexe ATout ce que vous avez toujoursvoulu savoir sur les ordinaux sansjamais oser le demanderOn introduira dans cet appendice quelques notions sur les ordinaux qui sont utiles à lacompréhension de ce mémoire, il s’inspire du cours donné par François Loeser à la FIMFA.A.1 Ordres et bons ordresLa notion d’ordinal étant essentiellement liée à celle de bon ordre, on commencera parintroduire ces notions.Définition A.1.1 (Ordre). Soit X un ensemble, la relation binaire < est un ordre, si elleest transitive (∀x, y, z, x < y ∧ y < z ⇒ x < z) et antiréflexive (∀x, ¬ x < x)).On note x y si x < y ou x = y.Définition A.1.2 (Bon ordre). Soit Y ⊂ X, Y admet un plus petit élément x si ∀y ∈Y, x y.Un ordre < est un bon ordre si toute partie non vide admet un plus petit élément.Un bon ordre est forcément total, c’est à dire que pour tout x, y ∈ X, on a soit x = y, soitx < y, soit y < x. En effet si x ≠ y, alors {x, y} admet un plus petit élément.Lemme A.1.3 (Bonne fondation des bons ordres). Soit X un ensemble bien ordonné.Alors il n’existe pas dans X de suite infinie strictement décroissanteOn remarque d’ailleurs que c’est plutôt la bonne fondation que le bon ordre qui est utiliséedans ce mémoire.Démonstration. Soit (x n ) n∈N une suite strictement décroissante dans X. {x n } n∈N admetun plus petit élément car X est bien ordonné, soit n 0 l’indice de ce plus petit élément dansla suite. On a alors x n0 +1 < x n0 par stricte décroissance, ce qui contredit la minimalité dex n0 .39

A.2 OrdinauxA.2.1Définition et première propriétésDéfinition A.2.1 (Ordinal). Un ensemble X est un ordinal s’il est bien ordonné par ∈et s’il est transitif (∀x ∈ X, ∀y ∈ x, y ∈ X).Les propriétés suivantes des ordinaux, qui sont des conséquences directes de la définition,donnent une première idée de ce que sont ces objets peut être un peu bizarres à premièrevue.Proposition A.2.2 (Premières propriétés des ordinaux). Soit α un ordinal :(i) ∅ est un ordinal.(ii) si α ≠ ∅, alors ∅ ∈ α.(iii) α /∈ α(iv) Soit β ∈ α alors β est un ordinal.(v) Soit β ∈ α alors β = S

Soit δ ∈ S γ, comme X est un segment initial, on devrait avoir γ ∈ X ce quicontredit le fait que γ ∈ α\X.On a donc bien X = S

Démonstration. Par le même argument que dans la preuve précédente, β = ⋂ α∈A α estun ordinal. De plus pour tout α ∈ A on a β α.Montrons par l’absurde que β ∈ A. Si quelque soit α ∈ A β < α, alors β ∈ ⋂ α∈A α = βce qui rentre en contradiction avec la proposition A.2.2.(iii).Proposition A.2.5. Soit A un ensemble d’ordinaux. Notons β = ⋃α.Alors β est un ordinal et si γ est un ordinal tel que γ < β, alors il existe α ∈ A tel queγ < α.Démonstration. Montrons d’abord que β est transitif. Soient δ ∈ γ ∈ β. Il existe α ∈ Atel que δ ∈ γ ∈ α. Par transitivité de α, δ ∈ α et donc δ ∈ β.On munit β de l’ordre définit comme suit : soient γ, δ ∈ β il existe λ, µ ∈ A tels que γ ∈ λet δ ∈ µ. Par le théorème A.2.3 et la proposition A.2.2.(vi), on a soit λ ⊂ µ, soit µ ⊂ λ.Supposons µ ⊂ λ, on a alors γ, δ ∈ λ et on prend l’ordre dans λ. On vérifie aisément quec’est bien un ordre par hérédité dans les éléments de A.Montrons que c’est un bon ordre. Soit X ⊂ β non vide. X est un ensemble d’ordinauxdonc d’après la proposition A.2.4, il admet un plus petit élément, ⋂ x∈X x.La deuxième affirmation est juste la définition de l’union où les < remplacent les ∈.A.2.2TerminologieDéfinition A.2.6 (Successeur, limite). Soit α un ordinal :1. On dit que α + est le successeur de α.2. Si α ≠ ∅ et si α n’est pas un successeur, on dit que α est limite.La proposition qui suit relie un ordinal limite aux ordinaux inférieurs de même que l’onavait une relation entre un ordinal successeur et son prédécesseur.Proposition A.2.7. Soit α ≠ ∅ un ordinal. On a équivalence entre :(1) α limite(2) α = ⋃ β∈αβ(3) Si γ ∈ α, alors γ + ∈ αDémonstration. Commençons par (1) ⇒ (2). On a toujours ⋃ β∈α⊂ α, c’est la définitionde la transitivité de α.Montrons l’inclusion réciproque. Supposons que l’on ait pas α = ⋃ β∈αβ. Soit γ, le pluspetit élément de α\ ⋃ β∈α β.On a alors γ + ∉ α, sinon comme γ ∈ γ + on aurait γ ∈ ⋃ β∈αβ. On a donc γ < α γ+donc α = γ + d’après la proposition A.2.2.(vii), c’est à dire α est successeur.Montrons maintenant (2) ⇒ (3). Soit γ ∈ α. Comme α = ⋃ β∈αβ, il existe β ∈ α tel queγ < β mais comme γ + est le plus petit ordinal strictement supérieur à γ, γ + β < α.Montrons enfin (3) ⇒ (1). Supposons que α soit successeur. On a donc α = γ + . Enparticulier, γ ∈ α mais γ + = α n’appartient pas à α d’après la proposition A.2.2.(iii).Proposition A.2.8.α∈A42

Définition A.2.9 (Ordinaux finis, ω). Soit α un ordinal :1. α est dit fini si ni α ni aucun éléments de α n’est limite.2. On note ω le plus petit ordinal limite.3. Pour tout n ∈ N, on note n (ou plus simplement n s’il n’y a pas d’ambiguïté sur lefait que ce soit un ordinal) l’unique ordinal de cardinal n. On a donc :0 = ∅1 = {∅}n + 1 = n +Cette dernière définition a un sens car il y a un seul ordinal de cardinal n. En effet, si αest de cardinal n alors comme α ∉ α, α + est de cardinal n + 1. Donc si on a β > α, alorscomme α + ⊂ β par la proposition A.2.2.(vii), β est de cardinal supérieur à n + 1. De plusn + est bien de cardinal n + 1 et donc, par une récurrence évidente, pour tout n ∈ N ilexiste un ordinal de cardinal n.Proposition A.2.10. Les ordinaux finis sont exactement les ordinaux de cardinal fini.De plus ce sont exactement les éléments de ω, d’où ω = ⋃ n∈Nn.ω est isomorphe à (N, n,en effet n + = n + 1 ⊂ β donc n < n + β, ce qui implique en autre que β ne peut être decardinal fini sinon on aurait n = β > n pour un certain n ∈ N.Supposons au contraire que β soit successeur, c’est à dire que β = γ + . γ ne peut pasêtre de cardinal fini sinon β le serait aussi. Donc pour tout n ∈ N, par le théorème A.2.3,comme on ne peut pas avoir γ ∈ n (sinon par transitivité de n, γ serait aussi de cardinalfini car inclut dans n) ni γ = n, on a n < γ. Donc β = ⋃ n∈N n ⊂ γ ∈ γ+ = β ce qui estimpossible par la proposition A.2.2.(iii).Donc ω β = ⋃ n∈Nn, en particulier quelque soit α fini, comme α ∈ ω ⊂ β, il existe, parla proposition A.2.5, n ∈ N tel que α ∈ n. En particulier α est de cardinal fini. Donc ω estl’ensemble de tous les ordinaux de cardinal fini.43

L’isomorphisme que l’on cherche est donc simplement :{ N → ωn ↦→ nA.2.3Ordinaux et bons ordresOn conclura cette partie par le théorème suivant qui indique le lien qui existe entre ordinauxet bons ordres. Tout bon ordre peut être représenté par un et un seul ordinal.Théorème A.2.11 (Ordinaux et bons ordres). Soit X un ensemble bien ordonné. Alorsil existe un unique ordinal α et une unique bijection f : X → α telle que pour tout x ∈ X,si x < y alors f(x) < f(y)On dit que X et α sont isomorphes en tant qu’espaces ordonnés.Démonstration. On commencera par montrer l’unicité de cet ordinal et de cette fonctionsi ils existent avant de montrer qu’ils existent.Supposons que l’on a f : X → α et f ′ : X → α ′ deux tels isomorphismes. Posonsg = f −1 ◦ f ′ : α → α ′ qui est un isomorphisme. Supposons que g ≠ Id. Soit β 0 le pluspetit élément de α tel que g(β 0 ) ≠ β 0 . Quelque soit γ ∈ β 0 , g(γ) = γ. Or comme g est unisomorphisme, γ ∈ δ ⇐⇒ g(γ) ∈ g(δ) et particulier γ ∈ β 0 ⇐⇒ γ = g(γ) ∈ g(β 0 ), doncg(β 0 ) = β 0 ce qui est absurde.Donc g = Id et donc α = α ′ et f = f ′ .Pour montrer l’existence, on remarque d’abord que, pour tous x ∈ X et α un ordinal, s’ilexiste un isomorphisme entre S

indique l’union disjointe). On muni A + B de l’ordre lexicographique, c’est à dire pourc, d ∈ (A ∪ B) et i, j ∈ {0, 1}, on a (c, i) < (d, j)) si i < j ou si i = j et c < d.Proposition A.3.2. Si (A,

(iii) Comme α+1 est isomorphe à (α, 0)⊔{(1, 1)}, et qu’on a l’isomorphisme d’ensemblesordonnés suivant : ⎧⎨ α + 1 → α +(β, 0) ∈ (α, 0) ↦→ β⎩(1, 1) ↦→ αon a bien α + 1 isomorphe à α + . Comme ce sont tous deux des ordinaux, ils sontégaux par le théorème A.2.11.(iv) Montrons d’abord (⇒). D’après la proposition A.2.2.(v), comme α ∈ β, α = S 0 tel que γ = β + δ. On a donc α + γ =α + β + δ = (α + β) + δ > α + β toujours par la proposition (iv).Supposons α + β = α + γ, si β < γ, α + β < α + γ ce qui est absurde, de même siγ < β alors α + γ < α + β ce qui est absurde. Donc β = γ.(vi) Notons δ = ⋃ γ∈βα + γ. D’après la proposition (v), pour tout γ ∈ β, α + γ ∈ α + β.Donc, d’après la proposition A.2.2.(vi), α + γ ⊂ α + β donc δ ⊂ α + β.Réciproquement, soit λ ∈ α+β. Supposons d’abord que λ α. D’après la proposition(iv), il existe γ ∈ β tel que λ = α + γ donc λ ∈ δ.Si λ < α, comme β est limite, 0 ∈ β. Donc λ ∈ α + 0 ⊂ δ ce qui permet de conclure.(vii) Soit α = n un ordinal fini. Comme 1 = {∅}, 1+n est isomorphe à {(∅, 0)}⊔(n, 1) quiest de cardinal n+1. C’est donc l’ordinal de cardinal n+1, ie n + 1 = n + = α + = α+1d’après la proposition (iii).Montrons d’abord que 1+ω = ω. Par définition 1+ω est isomorphe à {(∅, 0)}⊔(ω, 1).On dispose de plus de l’isomorphisme suivant :⎧⎨⎩{(∅, 0)} ⊔ (ω, 1) → ω(∅, 0) ↦→ 0(n, 1) ↦→ n + 11 + ω est donc isomorphe à ω. Ils sont donc égaux.Soit α un ordinal qui ne soit pas fini. α ω d’après la proposition A.2.10. D’aprèsla proposition (iv), il existe β 0 tel que α = ω + β. On en déduit que 1 + α =1 + ω + β = ω + β = α.46

A.3.2MultiplicationDéfinition A.3.5 (Produit de deux ensembles ordonnés). Soient (A,

(iii) {∅} × α est canoniquement isomorphe à α par l’application qui a (∅, β) associe β, (demême que α × ∅).(iv) on vérifiera que l’application⎧⎨⎩est l’isomorphisme qui convient.A × ((B, 0) ⊔ (C, 1)) → (A × B, 0) ⊔ (A × C, 1)(a, (b, 0)) ↦→ ((a, b), 0)(a, (c, 1)) ↦→ ((a, c), 1)(v) On vérifiera aisément que l’application suivante est un isomorphisme :⎧⎨⎩2 × ω → ω(∅, n) ↦→ 2n({∅}, n) ↦→ 2n + 1ω et 2 · ω sont donc isomorphes. Ils sont donc égaux.De plus ω · 2 = ω + ω par distributivité. On ne peut donc pas avoir 2 · ω = ω · 2 sinonon aurait ω = ω + ω et donc ω = 0 ce qui est absurde car 1 ∈ ω.(vi) Comme γ > β, il existe δ > 0 tel que γ = β + δ. On a alors α · γ = α · β + α · δ.De plus α · δ = 0 si et seulement si α = 0 ou δ = 0. En effet si α ≠ ∅ et delta ≠ ∅alors α × δ ≠ ∅ et ne peut donc pas être en bijection avec l’ensemble vide.Comme ici α ≠ 0 et δ ≠ 0 par hypothèse, α · δ > 0 et donc α · γ > α · β.Supposons β · α = γ · α. Si β > γ, alors α · β > α · γ ce qui est absurde, et si β < γ,alors α · β < α · γ ce qui est aussi absurde. Donc β = γ.(vii) D’après la proposition (vi), pour tout γ ∈ β, α · γ < α · β donc, d’après la propositionA.2.2.(vi), α · γ ⊂ α · β, donc ⋃ γ∈β α · γ ⊂ α · β.Montrons maintenant l’inclusion réciproque. Montrons d’abord que si on a un ordinalδ tel que pour tout γ ∈ β, δ > α · γ alors δ α · β. Montrons plus précisément queα · β est isomorphe à un segment initial de δ.En effet, comme β est limite, α · β = α · ⋃γ∈β γ ≃ α × ⋃ γ∈βγ. Pour tout γ ∈ β,on note f γ l’isomorphisme entre α × γ et α · γ. Soit (λ, µ) ∈ α × ⋃ γ∈βγ, il existedonc γ ∈ β tel que µ ∈ γ. Posons φ(λ, µ) = f γ (λ, µ). Cette application est biendéfinie car si µ ∈ γ ′ ∈ β, on peut supposer γ γ ′ . on remarque qu’alors α × γ estun segment initial de α × γ ′ donc comme f γ ′ est un morphisme f γ ′(α × γ) est unsegment initial de α · γ ′ , c’est donc un ordinal d’après la proposition A.2.2.(v). Cetordinal est isomorphe à α × γ par f γ ′α×γqui est lui même isomorphe à α · γ parf γ . D’après le théorème A.2.11, f γ ′α×γ = f γ. En particulier comme (λ, µ) ∈ α × γ,f γ ′(λ, µ) = f γ (λ, µ). φ est donc bien définie.C’est un morphisme injectif car si on a µ 1 , µ 2 ∈ ⋃ γ∈βγ, alors il existe γ ∈ β tel queµ 1 , µ 2 ∈ γ, et, pour tout γ ∈ β, φ α×γ = f γ qui est un morphisme injectif.De plus φ(α × ⋃ γ∈β γ) est un segment initial. En effet, soient µ ∈ φ(α × ⋃ γ∈βγ) etλ ∈ δ\φ(α× ⋃ γ∈β γ). Il existe γ ∈ β, ν ∈ γ et κ ∈ α tels que µ = φ(κ, ν) = f γ(κ, ν) ∈α · γ. Comme α · γ ⊂ φ(α × ⋃ γ∈βγ) et que c’est un segment initial de δ, on a bienλ ∈ δ\(α · γ) et donc µ < λ.48

On a donc un isomorphisme entre α · β ≃ α × ⋃ γ∈βγ et un segment initial de δ. Onen conclut donc que α · β δ.On peut maintenant conclure. Notons δ = ⋃ γ∈βα · γ. Comme β est limite, pour toutβ ∈ γ, γ + ∈ β d’après la proposition A.2.7 et donc α · γ < α · γ + δ. On en déduitd’après le résultat précédent que δ α · β.(viii) On démontrera cette propriété en supposant que l’on sait que α ∈ β · γ pour uncertain γ. On peut démontrer par exemple que α β · α (et donc α < β · α + ) enmontrant qu’il existe un morphisme injectif de α dans β · α puis en montrant quesi un ordinal s’injecte dans un autre alors il en est un segment initial. Mais cettedernière proposition nécessiterai un certain travail.Soit δ = min{δ ∈ γ + | β · δ > α}. Ce plus petit élément existe car cet ensemble estnon vide, il contient γ. Montrons que δ est forcément successeur. Si δ était limite,on aurait alors α · δ = ⋃ γ∈δα · γ d’après la proposition (vii). Comme α ∈ β · δ, ilexisterai γ ∈ δ tel que α ∈ β · γ ce qui rentre en contradiction avec la minimalité deδ. On en déduit que δ est successeur, ie δ = λ + . Par minimalité de δ, β · λ α. Ilexiste donc ρ tel que α = β · λ + ρ.Il reste à montrer que ρ < β. Si ce n’était pas le cas, on auraitA.3.3ce qui est impossible.Exponentiationα = β · λ + ρ β · λ + β= β · λ +> αDéfinition A.3.9 (Puissance d’un ensemble ordonné par un autre). Soient (A,

X 1 est un segment initial de X 0 . En effet, soit f ∈ X 0 \X 1 et g ∈ X 1 . On a s(f) b 1Supposons s(f) > b 1 , g(s(f)) = 0 < f(s(f)) de plus quelque soit b > s(f) > s(g) = b 1 ,f(b) = 0 = g(b). On a donc bien g < f.Sinon s(f) = b 1 , on a alors f(b 1 ) > a 1 = g(b 1 ) sinon f serait dans X 1 . De plus, quelquesoit b > b 1 , f(b) = 0 = g(b). On a donc bien g < f.De plus on peut vérifier que l’application suivante est un isomorphisme d’ensembles ordonné:X 1′ φ→ X⎛ 1⎞B → Af ↦→ ⎝ b 1 ↦→ a 1⎠b ≠ b 1 ↦→ f(b)De plus, si on a le plus petit élément de X ′ 1 , on a celui de X 0. En effet soit f 1 le plus petitélément de X ′ 1 , comme φ est un morphisme, f 0 = φ(f 1 ) est le plus petit élément de X 1 .Comme X 1 est un segment initial de X 0 , f 0 est aussi le plus petit élément de X 0 .Si X ′ 1 contient la fonction identiquement nulle, on s’arrête là sinon on construit b 2, a 2 , X 2 , X ′ 2à partir de X ′ 1 comme on a construit b 1, a 1 , X 1 , X ′ 1 à partir de X 0, et ainsi de suite.La suite des X ′ i que l’on construit est forcément finie car b i > b i+1 . En effet quelque soitf ∈ X ′ i , en notant g = φ(f) ∈ X i, on a supp(f) = supp(g)\b i or b i = max(supp(g)) doncs(f) = max(supp(f)) < b i . On en déduit que b i+1 = min{s(f) | f ∈ X ′ i } < b i.Si cette suite n’était pas finie on aurait une suite infinie strictement décroissante dans unensemble bien ordonné, ce qui est impossible d’après la propriété A.1.3.Il existe donc i 0 tel que X i0 contient la fonction identiquement nulle, c’est donc son élémentminimal. Comme on l’a remarqué précédemment, si on connaît l’élément minimal de X i+1on sait construire l’élément minimal de X i . On en déduit donc l’élément minimal de X 0 .On peut alors définir l’exponentiation d’ordinaux.Définition A.3.11 (Puissance d’un ordinal par un autre). Soient α, β deux ordinaux. Onnote α β l’ordinal isomorphe à l’ensemble bien ordonné α (β) .L’exponentiation que l’on vient de définir vérifie les propriétés suivantes :Proposition A.3.12. Soient α, β, γ trois ordinaux,(i) α 0 = 1, α 1 = α, 1 α = 1 et si α ≠ 0, 0 α = 0,(ii) α β+γ = α β · α γ et α β·γ = (α β ) γ ,(iii) Si α > 1 et β < γ alors α β < α γ ,(iv) si β est limite, α β = ⋃ γ∈β αγ .Démonstration. (i) Comme 0 = ∅, α 0 est isomorphe à l’ensemble des fonctions àsupport fini du vide dans α, il y en a une, celle à image vide. α 0 est donc l’ordinal àun élément.α 1 est l’ensemble des fonction (à support forcément fini) de {∅} dans α. C’est {0 ↦→β} β∈α qui est canoniquement isomorphe à α.1 α est l’ensemble des fonction à support fini de α dans {0}.Il y en a une seule, lafonction identiquement nulle (qui est bien à support finie) si α est non vide (le casα = 0 a déjà été traité). 1 α est donc l’ordinal à un élément.50

Soit α ≠ 0, 0 α est inclus dans l’ensemble des fonctions d’un ensemble non vide dansl’ensemble vide, ie l’ensemble vide.(ii) On vérifiera que les deux applications⎧⎨⎩(A ((B,0)⊔(C,1)) )→ A (B) × A (C)(b, 0) ↦→ fB (b)↦→ (f(c, 1) ↦→ f C (c)B , f C ){A(B×C)→ (A (B) ) (C)f ↦→ (c ↦→ (b ↦→ f(b, c)))sont définies et sont les isomorphismes qui conviennent.(iii) Comme β < γ, il existe δ > 0 tel que γ = β + δ. On a donc α γ = α β+δ = α β · α δ .Comme δ ≠ 0 et α > 1, α (δ) > 1, il contient au moins la fonction identiquementnulle et la fonction qui a 0 associe 1 et 0 au reste. D’après la proposition A.3.8.(vi),α β · α δ < α β · 1 = α β .(iv) Si γ ∈ β, d’après la proposition (iii), α γ < α β , donc ⋃ γ∈β αγ ⊂ α β .Montrons maintenant l’inclusion réciproque. Soit γ ∈ α β , on l’identifie à f : β → α àsupport fini. Montrons que, comme β est limite, il existe δ ∈ β tel que supp(f) ⊂ δ.On peut par exemple prendre max{δ + | δ ∈ supp(f)} (c’est le plus grand élémentd’un ensemble fini totalement ordonné, il existe donc).On note g = f δ ∈ α (δ) . Soit φ 1 l’isomorphisme entre α (β) et α β et φ 2 l’isomorphismeentre α (δ) et α δ . On a, de plus, φ 3 le morphisme injectif suivant :⎧⎨ α (δ) → α( (β))λ ∈ δ ↦→ f(λ)⎩ f ↦→λ δ ↦→ 0L’image de ce morphisme est un segment initial de α (β) , donc l’image de α (δ) parφ 1 ◦φ 3 est un ordinal. Comme α (δ) est isomorphe à α delta par φ 2 , d’après le théorèmeA.2.11, φ 1 ◦ φ 3 = φ 2 .Comme supp(f) ⊂ γ, φ 3 (g) = f. Donc γ = φ 1 ◦ φ 3 (g) = φ 2 (g) ∈ α δ . On en déduitque α β ⊂ ⋃ δ∈β αδ .51

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Table des matières1 Le théorème de Kirby et Paris 21.1 Les suites de Goodstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Quelques résultats sur les ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 La forme normale de Cantor et la base ω itérée . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Suites ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 La relation de Ketonen et Solovay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Hiérarchie de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Théorème de Cichon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Un indicateur des segments initiaux qui vérifient P . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Segments initiaux forts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Un indicateur de segments initiaux forts . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Théorème de Wainer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Indépendance du théorème Goodstein dans P . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Le théorème de Gentzen et ɛ 0 202.1 Calcul des séquents pour la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . 202.1.1 Langage de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Séquents et inférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Règles et démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.4 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Élimination des coupures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Propriété de la sous-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Cas clés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2.1 Exemple : cas ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2.2 Cas ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2.3 Cas ¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2.4 Cas ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2.5 Cas ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2.6 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Preuve complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Extension du résultat à l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Formalisation de P en calcul des séquents . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Système infinitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2.1 Le système P ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2.2 L’induction dispensable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3054

2.3.2.3 Réduction des coupures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Système finitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Suites de Goodstein et bonne fondation de ɛ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les ordinaux sans jamaisoser le demander 39A.1 Ordres et bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.2 Ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.2.1 Définition et première propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.2.2 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2.3 Ordinaux et bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.3 Arithmétique ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.3.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.3.3 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4955

Onzième partieRapport de projet du cours Neurosciences informatiques àl'Ens300

Mémoires à court termeJérôme Casse et Silvain Rideau26 mai 20091 ProblématiqueLes expériences ont montré que l'homme pouvait retenir à peu près 7 donnéessur une courte période. Les études physiologiques semblent dire que cesinformations sont codées dans l'activité répétée de certains motifs de neurones.La question est donc de savoir quel mécanisme neuronal permet la mise enplace et le maintient de l'activité de ces motifs de neurones. La réponse apportéeici (proposée par Lismand et Idiart en 1995) se base sur diverses phénomènesobservés dans l'hippocampe : superposition de courtes oscillations (40 Hz) etd'oscillations plus lentes (6 Hz) et la présence de neurones sensibilisés après unpotentiel d'action.2 ModèleLe modèle repose sur trois points importants. Le premier est les neuronesADP (after-depolarisation), le second est l'utilisation d'un potentiel oscillant etle troisième est l'inhibition du réseau entier de neurones .Les neurones ADP sont des neurones qui, lorsqu'ils émettent un potentield'action, au lieu de s'hyperpolariser se dépolarisent (voir gure 1), et donc deviennentplus sensibles pour un temps. Si l'on sent bien que cette mémoire duneurone peut permettre la mémorisation de données, cette dépolarisation quidure environ 200 ms ne peut clairement pas être le seul phénomène responsablede la mémorisation à courte durée.Le potentiel oscillant permet de faciliter l'émission des potentiels d'actionmémorisés ainsi que l'entrée des nouvelles mémoires. En eet, le temps que metl'ADP à atteindre son maximum est à peu près le même que celui de la périodedu potentiel oscillant. Si le neurone avait tiré au sommet de l'oscillation précédente,après une période, il tirera de nouveau, la somme du potentiel oscillant etde l'APD le faisant passer au dessus de son seuil (en fait quelle que soit la phasede l'excitation, les potentiels suivant se synchroniseront avec l'entrée voir gure2). De plus, ce potentiel forme l'onde à basse fréquence et les informations sontstockées au sommet de cette onde. Le couplage de ces deux mécanismes permetdonc au neurone de mémoriser une excitation.1

Fig. 1 La dépolarisation d'un neurone ADP2

Fig. 2 Un neurone à ADP soumis à une excitationL'inhibition du réseau de neurones permet quant à elle de séparer les activitésdes neurones et ainsi éviter qu'ils se synchronisent. C'est donc cette dernièrequi en créant une période d'environ 5 ms pendant laquelle les neurones sontmoins excitables permet la création des sous-cycles au sommet de l'oscillationlente, sous-cycles qui contiendront chacun une donnée. En l'absence d'inhibition,les neurones actifs se synchronisent tous et on ne peut plus diérencier les différentsmotifs. Lorsque l'inhibition est présente, l'activation du premier groupede neurone, celui qui a tiré au premier sous-cycle du cycle précédent, empêchel'activation des autres qui ne pourront tirer qu'au plus tôt 5 ms secondes plustard, période a laquelle les neurones les plus excitables sont ceux qui ont tiréau la deuxième sous-cycle. Leur activation inhibera celle des autres etc... (voiregure 11)Le réseau de notre modèle est donc constitué d'une population de neuronesintègre-et-tire à ADP qui stockent l'information, et d'un neurone inhibiteur quireçoit les sorties de tous les neurones et est connecté à tous les neurones.Les neurones principaux ont pour équation :dVdt = 1 τ (V + V osc + V inh + V 0 + V ADP )Ils voient leurs potentiels osciller grâce à V osc = B ∗ sin(2 ∗ π ∗ f ∗ t) ce quicorrespond dans le modèle de l'article à l'entrée oscillante que reçoit chaqueneurone.Le potentiel ADP de ces neurones qui était une fonction alpha à été modélisé3

par ces 2 lignes d'équations :⎧dV ⎪⎨ ADPdtdx ⎪⎩ ADPdt=1τ ADP(x ADP − V ADP )= − x ADPτ ADPElles permettent d'obtenir la fonction alpha souhaitée via l'initialisation duparamètre x ADP à A ADP ∗ e.L'inhibition des neurones a été modélisée de la même façon avec les variablesindexées par inh . Cependant, si on ne fait que relier tous les neurones au neuroneinhibiteur, quand un motif de neurones tire, le neurone inhibiteur peut déclencherplus d'une inhibition (car les potentiels d'action ne sont pas exactementsynchronisés) pour un motif, ce qui provoque une désensibilisaion plus longuedes autres neurones et donc un dysfonctionnement du réseau qui stocke alorsmoins de données par cycle. La solution consiste à mettre une période réfractairede 2,5 ms au neurone inhibiteur qui ne déclenche alors un potentiel alpha dansles neurones du réseau qu'une fois par sous-cycle.Nous avons fait le choix de ne pas incorporer le potentiel de l'ADP dans unediminution de seuil an de mieux observer les potentiels d'action émis lors desphases de rappel des éléments mémorisées.3 Résultats et discussionsTout d'abord, nous devons signaler que pour faire marcher le modèle, nousavons du, d'une part ajouter un tau inme pour le potentiel et non le laissercomme la somme des potentiels (ie on a redéfait l'approximation de l'article) etnous avons du baisser le pas d'intégration de brian à 0.02*ms pour eectivementréussir à stocker 7 mémoires. Du fait, de ces déboires, nous avons pu observerquantité de phénomènes.3.1 Résultat du modèle de l'articleLes résultats de la simulation d'une population de 1000 neurones pendant 20secondes au cours de laquelle 20 entrées ont lieu, sont présentés sur les gures3, 4 et 5.La première remarque à faire et que les temps d'excitation et le motif excitéssont aléatoire, avec des motifs d'environ 1% de la population, ce qui permet desupposer raisonnablement que 2 motifs ne se superposent pas.La seconde concerne les 5 premières secondes dont le résultat n'est pas aché,cela est simplement du au fait qu'il faut commencer par créer les sous-cyclesdans le réseau (et donc mettre des motifs en place dans le réseau) avant de pouvoirvraiment l'utiliser. De plus avant que les 7 sous-cycles soient mis en placecertains phénomènes bizarre ont lieu (oubli du dernier souvenir rentré quand unnouveau arrive, nouveau souvenir qui se met en n de train au lieu de se mettreau début entre autre, voir gure 7) qui font qu'on a préféré ne pas enregistrer4

Fig. 3 La simulationFig. 4 Un premier zoom5

Fig. 5 Encore plus zoomécette période à la n de laquelle les neurones 7 à 13 tirent chacun a leur touret que les 7 sous-cycles créés par l'inhibition sont présents dans le potentiel dechaque neurone (la gure 11 montre les potentiels membranaires de neurones duréseau avec une entrée sur le 10 e neurone à la n du 2 e cycle aché, on voit bienles 7 inhibition qui créent 7 moments du sommet de l'oscillation ou le neuronepeut tirer).La troisième remarque qui est développée plus tard est que l'entrée d'unenouvelle donnée ne peut pas avoir lieu n'importe quand (fait souligné dansl'article) on a fait ici le choix de ne faire rentrer des données qu'au minimum del'oscillation.Le premier graphe est trop grand pour qu'on ne puisse voir grand chose sice n'est que lorsqu'un neurone est excité il tire régulièrement jusqu'à ce qu'ils'arrête.Le deuxième graphe permet déjà de voir les motifs groupés légèrement décalésdans le temps qui se répètent mais se décalent dans sur le sommet del'oscillation au fur et à mesure que de nouvelles données rentrent jusqu'à disparaître(par exemple à 8 s, une nouvelle donnée arrive, les 7 anciens motifss'activent chacun leur tour quand l'oscillation s'approche de son maximum puisau cycle suivant la nouvelle vient se mettre au 1 er sous-cycle les autres se décalentet le 7 e ancienne motif qui était composée d'un unique neurone (en bas)disparaît). Le phénomène se répète à 10,5 s à 11 s et à 11,5 s.Le troisième graphe permet de voir encore plus précisément ce qui se passe,6

on voit entre autre ce qui se passe si 2 motifs partagent 1 même neurone, enl'occurrence celui qui arrive juste après 11100 ms et le 4 e motif déjà présent quipartagent 1 neurone vers le 400 e . Le neurone en question disparaît du 4 e motifqui devient le 5 e et reste présent dans le motif qui devient le 1 er de la série.Le réseau de neurone remplit donc exactement son rôle, mémorisant les 7dernière entrées qu'il a reçu, tant que les motifs ne se recoupent pas (mais plusla population est grande, plus ce risque est faible).3.2 Autres résultatsTout d'abord, nous avons observé une corrélation entre la valeur de A ADPet le nombre de mémoires possiblement stockables :AADP nombre de mémoires stockables5.0*mV 05.1*mV 15.8*mV 15.9*mV 26.6*mV 26.7*mV 37.4*mV 37.5*mV 48.2*mV 48.3*mV 58.9*mV 59.0*mV 69.5*mV 69.6*mV 710.0*mV 7Par la suite, les résultats sont obtenues avec comme valeur d'AADP 9mVcar ceci permet d'économiser du temps de calcul du fait que l'on peut prendrele pas d'intégration normal de Brian.De plus, nous avons observé que le temps d'entrées de l'information à stockerest crucial. En eet, si on ne rentre pas dans le creux, le modèle commence àfaire n'importe quoi. Ainsi, en prenant une entrée de l'information toutes les166ms au lieu de toutes les 167ms, nous avons pu observer que le modèle nemarchait plus. En eet, la présentation de ces deux séries de spikes le montre(gure 6 et 7).La gure 6 correspond à une entrée toutes les 166 ms, on peut remarquer queles spikes se synchronisent et que la 14 e entrée n'est pas mémorisée (cf gure 8).Alors que le graphe de droite qui correspond à une entrée toutes les 167ms est ceque l'on souhaite et attend de notre modélisation (aux phénomènes anormauxprès soulignés au préalable qui ont lieux tant que le réseau ne contient pas 7motifs activés).Nous avons également essayé d'insérer du bruit (sigma = 0.01mV, cf -gure 9) an de voir si cela reforcerait, comme dans certains autres mécanismes,7

Fig. 6 Les entrées se décalent en nissent proche du maximum, au milieu desmotifs8

Fig. 7 Entrées dans le creux9

Fig. 8 Zoom pour les arrivées toutes les 166msla précision. Le résultat est catastrophique. Même un bruit aussi faible fait complètementéchouer le modèle, qui est bien trop sensible pour pouvoir supporterdu bruit. En eet un neurone activé au sous-cycle n, au sous-cycle n-1 du cyclesuivant a quasiment atteint son seuil, un petit peu de bruit (ou une intégrationnumérique pas assez précise) le fait passer au dessus de son seuil et il tire ausous-cycle précédent... De la même façon, on peut voir le résultats ci-dessous.Sur le graphique 10 qui correspond à l'introduction du bruit, on observeque les mémoires se superposent (par exemple le cyan et le rouge du bas) etque certaines ne disparaissent pas alors qu'elles le devraient (la rouge du bas)comme on peut le comparer avec le graphique de droite qui lui est le graphiqueobtenu pour une simulation sans bruit. Cependant la gure 9 montre bien à quelpoint le bruit est minime.4 Discussion et perspectivePour ce projet, nous n'avons eu le temps de ne regarder que le nombre demémoires stockables en fonction de la valeur de A ADP (au dixième près), maisil serait envisageable, d'une part, d'augmenter le précision de ces résultats et,d'autre part, de regarder l'inuence d'autres paramètres. En eet les paramètresdonnés pas l'article donnent un réseau qui fonctionne, alors que pour la plupartles changer un petit peu rend le réseau complètement décient et pas juste pas10

Fig. 9 Le bruit correspond à la légère brisure le long de la courbe11

Fig. 10 Potentiel de 11 neurones du réseau bruitéFig. 11 Potentiel de 11 neurones du réseau en fonctionnement normal12

aussi ecace.De plus il serait intéressant de comprendre comment palier à l'extrême sensibilitéau bruit du réseau qui le rend en réalité inapte à représenter la réalitécar un neurone in-vivo est en permanence soumis à du bruit.13

A neurone ADP solitaire (gure 2)from brian import *#Constante du modeleVr = -60*mVV0 = -60*mVVs = -50*mVB = 5*mVf = 6*HzAADP = 10*mVtauADP = 200*mstau = 0.2*msw = 35*mV#Equation du modele##Neunone ADP et oscillationeqs = '''dv/dt = (-v + Vosc + V0 + VADP)/tau : mVVosc = B*sin(2*pi*f*t) : mVdVADP/dt = (xADP - VADP)/tauADP : mVdxADP/dt = -xADP/tauADP : mV'''resetADP = '''VADP = 0v = VrxADP = e*AADP'''#Les neurones##qui retiennent l'informationG1 = NeuronGroup(N = 1,model = eqs,reset = resetADP ,threshold = Vs)#Initialisation##Entrees d'initialisationspiketimes = [(0,7./(4*f))]Ge = SpikeGeneratorGroup(1,spiketimes)##Connection entrees d'initialisationsCi = Connection(Ge,G1,'v')Ci[0,0] = w14

#On lance la simulation##Conditions initialesG1.v=[V0]G1.VADP=[0*mV]G1.xADP=[0*mV]##Enregistrement des donneesMv = StateMonitor(G1,'v',record=True)Ms = SpikeMonitor(G1)##Simulationrun(1000*ms)#Figuresfigure(1)plot (Mv.times,Mv[0])show()15

BCode de la simulation à 1000 neuronesfrom brian import *defaultclock.dt = 0.02*ms#Parametres du modele##Nombre de neurones#Constante du modeleVr = -60*mVV0 = -60*mVVs = -50*mVB = 5*mVf = 6*HzAADP = 10*mVtauADP = 200*msAinh = -4*mVtauinh = 5*mstau = 0.2*msw = 35*mV#Equation du modele##Neunone ADP et oscillationeqs = '''dv/dt = (-v + Vosc + Vinh + V0 + VADP)/tau : mVVosc = B*sin(2*pi*f*t) : mVdVinh/dt = (xinh - Vinh)/tauinh : mVdxinh/dt = -xinh/tauinh : mVdVADP/dt = (xADP - VADP)/tauADP : mVdxADP/dt = -xADP/tauADP : mV'''resetADP = '''VADP = 0v = VrxADP = e*AADP'''eqs_inh = '''dx/dt = x/tau : 1'''16

#Les neuronesG1 = NeuronGroup(N = 1000,model = eqs,reset = resetADP ,threshold = Vs)#inhibitionGinh = NeuronGroup(N = 1, model = eqs_inh, reset = 0,threshold = 1, refractory = tauinh/2)##Entrees d'initialisationnb_entrees = 14spiketimes = []for i in range(nb_entrees) :spiketimes = spiketimes + [(i,3./(4*f)+i/f)]Gi = SpikeGeneratorGroup(nb_entrees,spiketimes)#Connection entrees d'initialisationsCi = Connection(Gi,G1,'v')for i in range(nb_entrees) :Ci[i,i] = w#Entreesnb_ent = 20duree = 100discr_ent = randint(0,duree,nb_ent)entrees = []for i in range(nb_ent) :entrees = entrees+[(i,(71./(4*f))+((1/f)*discr_ent[i]))]Ge = SpikeGeneratorGroup(nb_ent,entrees)Ce = Connection (Ge,G1,'v',weight = w, sparseness = 0.01)#Structure des connections##Connection inhibitriceCinh1 = Connection(G1,Ginh,'x')Cinh1.connect_full(G1,Ginh,1.1)Cinh2 = Connection(Ginh,G1,'xinh')Cinh2.connect_full(Ginh,G1,Ainh*e)#On lance la simulation#conditions initialesG1.v=[V0]G1.VADP=[0*mV]G1.xADP=[0*mV]17

#temps de simulationrun(16/f)#Minh = StateMonitor(Ginh,'x',record=True)#Mv = StateMonitor(G1,'v',record=True)Ms = SpikeMonitor(G1)run((duree+5)/f)#Figures'''figure(1)for i in range (20) :plot (Mv.times,Mv[i]+i*0.01)'''figure(2)raster_plot()'''figure(3)plot(Minh.times,Minh[0])'''show()18

Douzième partieMini-mémoire écrit pour le cours Langage formel calculabilité etcomplexité à l'Ens319

Théorie des codesSilvain Rideau8 janvier 2009Coder, c'est-à-dire remplacer des lettres par d'autres lettres ou ensemblesde lettres, est non seulement utile en cryptologie où il sert à cacher le sens desmessages, mais est aussi la base de la compression de données. Ce documenta pour but de formaliser cette notion de code avant de présenter quelquesrésultats liés entre autres à la reconnaissance des codes mais aussi de certainesde leurs propriétés comme la maximalité ou la complétude. Tous ces résultatssont extraits de [1].Table des matières1 Dénitions 12 Algorithme de reconnaissance des codes 33 Mesure d'un code 54 Codes complets 91 DénitionsDénition 1 (Code). Soit A un alphabet. Un sous-ensemble X de A ∗ estun code sur A si ∀m, n ≥ 1 et ∀(x i ) i=1...n , (x ′ i) i=1...m ∈ X on a :x 1 x 2 · · · x n = x ′ 1x ′ 2 · · · x ′ m ⇒ n = m et ∀i ∈ 1 . . . n x i = x ′ iPropriété 2 (Premières propriétés des codes). Soit X un code sur A :1

i. ɛ ∉ X.ii. ∀Y ⊂ X, Y est un code.iii. Soit B un alphabet, tout morphisme φ : B ∗ → A ∗ qui induit une bijectionde B sur X est injectif.Réciproquement, s'il existe un morphisme injectif φ : B ∗ → A ∗ tel queX = φ(B) alors X est un code.Cette dernière propriété (qui pourrait aussi servir de dénition aux codes)traduit la notion intuitive de code. En eet le morphisme de codage φ permetde coder les mots de B ∗ dans A ∗ et l'injectivité permet d'assurer que ledécodage est possible.Démonstration.i. ɛ = ɛɛ donc ɛ n'a pas une unique factorisation.ii. Toute factorisation d'un mot w dans Y est une factorisation dans X etest donc unique.iii. Soit φ : B ∗ → A ∗ qui induit une bijection de B sur X. Soient u, v ∈ (B ∗ ) 2tels que φ(u) = φ(v).Si u = ɛ, supposons v ≠ ɛ alors v contient au moins une lettre b etpar hypothèse φ(b) ∈ X or ɛ ∉ X donc |φ(b)| > 0. On en déduit que|φ(v)| > 0 ce qui est absurde car φ(u) = ɛSinon u = b 1 · · · b n et v = b ′ 1 · · · b ′ m . On a alors φ(b 1) · · · φ(b n ) = φ(b ′ 1) · · · φ(b ′ m)avec φ(b i ), φ(b ′ j) ∈ X. Or X est un code donc n = m et ∀i φ(b i ) = φ(b ′ i)or φ induit une bijection de B sur X donc ∀i b i = b ′ i i.e u = v. Donc φest injective.Réciproquement, soit φ : A ∗ → B ∗ morphisme injectif, supposons qu'ona n, m ∈ (N) et (x i ) i=1...n , (x ′ j) i=1...m ∈ X = φ(B) tels que x 1 x 2 · · · x n =x ′ 1x ′ 2 · · · x ′ m . Soient (b i) i=1...n , (b ′ j) i=1...m ∈ B tels que ∀i x i = φ(b i ) et∀j x j = φ(b ′ j). On a donc φ(b 1 · · · b n ) = φ(b ′ 1 · · · b ′ m) or φ est injectivedonc b 1 · · · b n = b ′ 1 · · · b ′ m . D'où n = m et ∀i b i = b ′ i et donc ∀i x i =φ(b i ) = φ(b ′ i) = x ′ iOn va maintenant introduire la notion d'ensemble préxe (on a exactementla même chose en remplaçant préxe par suxe), qui donne un premiercritère pour trouver des codes.Dénition 3 (Ensembles préxes). P ⊂ A ∗ est dit préxe si ∀x, x ′ ∈ P x ≤x ′ ⇒ x = x ′ où ≤ signie être un facteur gauche (ou préxe).2

Proposition 4. ∀X ⊂ A ∗ ,X préxe ⇒ X est un code.Démonstration. Supposons que X n'est pas un code. Soit w de longeur minimaletel que w ait deux factorisations dans X. On a donc n, m ∈ (N) et(x i ) i=1...n , (x ′ j) i=1...m ∈ X tels que w = x 1 x 2 · · · x n = x ′ 1x ′ 2 · · · x ′ m . Comme west de longueur minimale, on a x 1 ≠ x ′ 1 et donc x 1 < x ′ 1 ou x′ 1 < x 1 ce quirentre en contradiction avec X préxe.Exemple 5. Soit A = {a, b} et X 1 = ⊔ n≥0 an bA n . X 1 est préxe car a n bu =a m bv ⇒ m = n et donc u = w. C'est donc un code sur A.Dénition 6 (Code maximal). Un code X sur A est dit maximal s'il n'estpas strictement inclus dans un autre code sur A.2 Algorithme de reconnaissance des codesReconnaitre si un ensemble donné est un code n'est pas toujours chosefacile, mais il existe un algorithme simple qui permet de le décider. Les deuxpropositions qui suivent sont la preuve de correction et de terminaison de cetalgorithme.Proposition 7. Soit X ⊂ A ∗ . On dénit U 1 = X −1 X\{ɛ} et par récurrence,pour tout n ≥ 1 U n+1 = X −1 U n ∪ U −1n X. On a alors :Xest un code ⇐⇒ ∀n ≥ 1 ɛ ∉ U nLa démonstration nécessite le lemme suivant :Lemme 8. Soit X ⊂ A + . ∀n ≥ 1 ∀k ∈ {1 . . . n} on aɛ ∈ U n⇐⇒ ∃u ∈ U k ∃i, j ∈ N 2 uX i ∩ X j ≠ ∅avec i + j + k = nDémonstration. On prouve le lemme à n xé par récurrence descendante surk.Si k = n, on a évidemment i = j = 0. Si ɛ ∈ U n on pose u = ɛ et on abien ɛU 0 n ∩ U 0 n = {ɛ}. Réciproquement si on a u ∈ U n tel que uU 0 n ∩ U 0 n ={u} ∩ {ɛ} ≠ ∅ alors u = ɛ et donc ɛ ∈ U n .Soit 1 ≤ k < n, supposons la propriété vériée pour k + 1. Si ɛ ∈ U n parhypothèse de récurrence, ∃v ∈ U k+1 , ∃i, j ∈ N 2 tels que i + j + k + 1 = n et3

∃x, y ∈ X i ×X j tels que vx = y ∈ vX i ∩X j . Comme U k+1 = X −1 U k ∪U −1k X,on a z, u ∈ X × U k tel que soit zv = u soit z = uv.Dans le premier cas, on a ux = zvx = zy comme z, y ∈ X×X j , zy ∈ X j+1et uX i ∩ X j+1 ≠ ∅. Dans le deuxième cas uy = uvx = zx ∈ X i+1 doncuX j ∩ X i+1 ≠ ∅, avec à chaque fois u ∈ U k .Réciproquement, soient w ∈ uX i ∩ X j où i + j + k = n. Si j = 0, alorsl'intersection est vide à moins d'avoir u = ɛ et i = 0 car ɛ ∉ X, on a alorsk = n mais on a supposé k < n donc j ≥ 1. On a donc v, x, v ′ ∈ X i ×X×X j−1tels que uv = xv ′ . On distinque ensuite 2 cas suivant les longueurs comparéesde u et x.Si |u| ≤ |x| alors ∃u ′ ∈ A ∗ uu ′ = x et alors u ′ ∈ U −1kX ⊂ U k+1. De plusv = u ′ v ′ donc u ′ X j−1 ∩ X i ≠ ∅ et par hypothèse de récurrence ɛ ∈ U n .Sinon ∃x ′ ∈ A + u = xx ′ avec x ′ ∈ X −1 U k ⊂ U k+1 et x ′ v = v ′ ∈ x ′ X i ∩X j−1 . D'après l'hypothèse de récurrence ɛ ∈ U n .Démonstration. On peut maintenant démontrer la proposition 7.Supposons que X ne soit pas un code. Soit w de longeur minimale tel quew ait deux factorisations dans X. On a donc n, m ∈ (N) et (x i ), (x ′ j) ∈ Xtels que w = x 1 x 2 · · · x n = x ′ 1x ′ 2 · · · x ′ m avec x 1. On peut supposer sans perdrede généralité que |x 1 | < |x ′ 1| car w est de longueur minimale. On a alors∃u ∈ A + x 1 u = x ′ 1 avec u ∈ X−1 X\{ɛ} = U 1 et uX m−1 ∩ X n−1 et doncɛ ∈ U n+m−1 d'après le lemme 8Réciproquement, si ɛ ∈ U n pour un certain n, on applique le lemme aveck = 1. ∃u ∈ U 1 , i, j ∈ N 2 et v, w ∈ X i × X j tels que uX i ∩ X j ≠ ∅. Deplus comme U 1 = X −1 X\{ɛ} ∃x, y ∈ X 2 tels que xu = y avec x ≠ y caru ≠ ɛ. d'où yX i ∩ xX j = xuX i ∩ xX j ≠ ∅ ce qui fait que X ne peut être uncode.La construction des U n donne donc un algorithme pour déterminer si unensemble est un code. La propriété suivante conclut quant à la terminaisonde l'algorithme dans le cas où X est rationnel.Proposition 9. Si X est rationnel l'ensemble de ses U n est ni.Démonstration. On rappelle qu'un langage est rationnel est équivalent au faitque le nombre de ses quotients à gauche est ni. On montre par récurrencesur n que les U n sont des unions nies de quotients à gauche de X auxquelleson peut avoir retiré ɛ. Pour n = 1, U 1 = X −1 X\{ɛ} = ( ⋃ x∈X x−1 X)\{ɛ}.Supposons que c'est vrai au rang n − 1, alors comme le quotients à gauche4

d'un quotient à gauche de X est un quotient à gauche de X X −1 U n est bienune union de quotients à gauche de X (l'absence ou la présence de ɛ nechange pas grand chose juste de nombreuses disjonctions de cas si on veutrentrer dans les détails). De plus (U n ) −1 X est bien sur une union de quotientà gauche de XComme le nombre de quotients à gauche de X est ni leurs unions sontaussi en nombre ni (retirer ɛ ne fait que doubler ce nombre au pire).Cette proposition indique que l'algorithme s'arrête quand on retombe surun U n déjà construit et que cela arrive forcément si X est rationnel (ce quiest relativement raisonnable comme hypothèse).Exemple 10. Soit A = {a, b}, considérons X 2 = {aa, ba, bb, baa, bba}. Xn'est pas préxe et considérer des factorisations dans X n'est pas vraimentenvisageable. Les U n permettent pourtant de conclure très vite. En eetU 1 = {a} = U 2 .3 Mesure d'un codeCette partie introduit une mesure sur les parties de A ∗ , et certaines conséquences,quand ces ensembles sont des codes, quant à la mesure qu'il peuventavoir.Dénition 11 (Distribution de Bernoulli). Soit A un alphabet, une distributionde Bernoulli sur A ∗ est un morphisme π : A ∗ → R + (où R + est considérécomme un monoïde multiplicatif) tel que :∑π(a) = 1a∈AUne distribution est dite positive si : ∀a ∈ A π(a) > 0Propriété 12. Pour tout n ≥ 1 :∑u∈A n π(u) = 1Démonstration. Par récurrence sur n.Pour u ∈ A n , on a ∑ a∈A π(ua) = π(u) ∑ a∈Aπ(a) = π(u), et donc∑π(u) = ∑ ∑π(va) = ∑π(v) = 1u∈A n+1 v∈A n a∈Av∈A n5

Dénition 13 (Mesure d'une partie). On étend π à P(A ∗ ) (les parties deA ∗ ) en posant pour tout L ⊂ A ∗ :π(L) = ∑ l∈Lπ(l)Propriété 14. π : P(A ∗ ) → R + a les propriétés immédiates suivantes. Lestrois premières propriétés en font une mesure sur P(A ∗ ) :i. ∀L ⊂ A ∗ π(L) ≥ 0ii. π(∅) = 0iii. Pour toute famille (L i ) i∈I de sous-ensembles de A ∗ deux à deux disjoints :π( ⊔ i∈IL i ) = ∑ i∈Iπ(L i )iv. π(A ∗ ) = π( ⊔ n∈N An ) = ∑ n∈N π(An ) = ∞v. Si les (L i ) i∈I ne sont pas deux à deux disjoints :π( ⋃ i∈IL i ) ≤ ∑ i∈Iπ(L i )vi. Soit L ⊂ A ∗ , on pose pour n ∈ N s n = π({w ∈ L | |w| ≥ n}). On a alorscomme π est une mesure :π(L) = sup s nn≥0vii. Soient L et M des langages sur A, comme LM = ⋃ ⋃l∈L m∈M lm :π(LM) ≤ ∑ ∑π(lm) = ∑ π(l) ∑ π(m) = π(L)π(M)l∈L m∈M l∈L m∈Mviii. On en déduit, pour tout X ⊂ A ∗ :π(X ∗ ) ≤ ∑ n≥0π(X n ) ≤ ∑ n≥0π(X) n6

Certaines de ces inégalités deviennent des égalités dans le cas des codes(et seulement dans le cas des codes comme l'indique la réciproque ; elle estdonnée ici juste pour la symétrie, elle ne sera pas utile plus loin).Proposition 15. Soit X un code alors :∀n ≥ 1 π(X n ) = π(X) nπ(X ∗ ) = ∑ n≥0π(X) nEn particulier π(X ∗ ) < ∞ ⇐⇒ π(X) < 1Réciproquement, si π est positive, si π(X) < ∞ et ∀n ≥ 1 π(X n ) = π(X) nalors X est un code.Démonstration. Supposons que X est un code.On notera X (n) = X × X × . . . × X le produit cartésien de X par X, nfois. Comme X est un code, la fonction ψ :X (n) → X nx = (x 1 , . . . , x n ) ↦→ x 1 · · · x nest bijective (son image est X n par dénition et son injectivité découle directementde la dénition d'un code).On en déduit que :π(X) n = ( ∑ ∑π(x)) n =π(x 1 ) · · · π(x n )x∈X (x 1 ,...,x n)∈X (n)= ∑π(ψ(x))x∈X (n)= ∑π(x) = π(X n )x∈X nLe changement de numérotation dans la somme découle de la bijectivitéde ψ.De plus les ensembles X n sont disjoints car X est un code donc par lapropriété 14.iii et l'égalité précédente,π(X ∗ ) = π( ⊔ n≥0X n ) = ∑ n≥0π(X n ) = ∑ n≥0π(X) n7

L'équivalence π(X ∗ ) < ∞ ⇐⇒ π(X) < 1 est une conséquence directedu fait que π(X ∗ ) est une somme géométrique de raison π(X).Supposons maintenant que X n'est pas un code mais qu'on a bien leshypothèses de la réciproque. Il existe donc un mot u ∈ X + qui a deux factorisationsdans X : u = x 1 · · · x n = x ′ 1 · · · x ′ m . Le mot uu = x′ 1 · · · x ′ mx 1 · · · x n =x 1 · · · x n x 1 · · · x n a alors 2 factorisations en m + n mots de X. D'oùπ(X) k =∑π(ψ(x)) + 2ψ(uu) ≥ π(X m+n ) + π(uu)x∈X (n+m)ψ(x)≠uuComme π(X) < ∞ et π(X m+n ) = π(X) m+n on a π(uu) ≤ 0 ce qui contreditla positivité de π.Proposition 16. Soit X un code sur A. Pour toute distribution de Bernoulliπ sur A ∗ , on a π(X) ≤ 1Démonstration. On commence par prouver la proposition dans le cas où k =sup x∈X |x| < ∞. On a alors ∀n ≥ 1 sup x∈X n |x| = nk ce qui se traduit parX n ⊂ ⊔ nkm=0 Am . D'où π(X n ) ≤ ∑ nkm=0 π(Am ) = nk car π(A m ) = 1Supposons maintenant, en raisonnant pas l'absurde, que ∃ɛ > 0 π(X) =1 + ɛ. On a alors d'après la proposition 15 ∀n (1 + ɛ) n = (π(X)) n ≤ kn cequi est impossible car kn = o((1 + ɛ) n ) quand n → ∞.D'où π(X) ≤ 1.Si X est un code quelconque, on pose X n = {x ∈ X| |x| ≤ n}. X n est uncode (propriété 2.ii) donc π(X n ) ≤ 1 et par la propriété 14.vi :π(X) = supn≥1π(X n ) ≤ 1.Proposition 17. Soit X un code sur A. S'il existe une distribution de Bernoulliπ positive sur A ∗ telle que π(X) = 1 alors X est maximal.Démonstration. Supposons que X n'est pas maximal. Il existe alors y ∈ Xtel que Y = X ⊔ {y} est un code. D'après la proposition 16, on a π(Y ) ≤ 1.De plus π(Y ) = π(X) + π(y) = 1 + π(y). Donc π(y) = 0 ce qui contredit πpositive.8

Exemple 18. On va montrer que X 1 déni à l'exemple 5 est maximal. Onpose π(a) = p < 1 et donc π(b) = 1 − p.π(X 1 ) = ∑ n≥0π(a n bA n ) = ∑ n≥0p n (1 − p)π(A n ) = (1 − p) ∑ n≥0p n = 1Donc π(X 1 ) = 1 pour toute distribution de Bernoulli positive, on a doncune hypothèse plus forte que nécessaire dans la proposition 17. On en déduitque X 1 est un code maximal.4 Codes completsOn en arrive enn à la notion de complétude, dernière des 3 notions quele théorème 28 met en rapport.Dénition 19 (Eléments complétables). Soient M un monoïde et P unsous-ensemble de M. Un élément m de M est dit complétable dans P si∃u, v ∈ M 2 umv ∈ POn notera F (P ) = M −1 P M −1 l'ensemble des mots complétables dans P .Dénition 20 (Ensembles denses et complets et maigres). P ⊂ M est densedans M si M = F (P ).Si P n'est pas dense, on dit que P est maigre.P ⊂ M est complet dans M si le monoïde généré par P est dense.Pour les codes cela se traduit par : le code X sur A est complet si X ∗ estdense dans A ∗ .On peut dans le cas du monoïde A ∗ voir l'ensemble F (P ) comme l'ensembledes facteurs des mots de P .Exemple 21. Le code X 1 introduit à l'exemple 5 est un code dense. En eet,soit w ∈ A ∗ , le mot a |w| bw ∈ X 1 . Il est donc a fortiori complet.La déntion et les deux lemmes qui suivent servent à démontrer la proposition25 qui met en relation complétude et maximalité d'un code.Dénition 22 (Mots sans bords). Un mot w ∈ A ∗ est sans bords si aucunfacteur gauche propre de w est aussi un facteur droit propre. En d'autrestermes :9

∀u ∈ A ∗ w ∈ (uA ∗ ∩ A ∗ u) ⇒ (u = ɛ ∨ u = w)Lemme 23. Soient X ⊂ A + un code, y ∈ A ∗ un mot sans bords tel quey ∉ F (X ∗ ). Alors l'ensemble Y = X ⊔ {y} est un code.Démonstration. On suppose que Y n'est pas un code sur A. Soit w le pluspetit mot qui a 2 factorisations dans Y on a alors n, m ∈ (N) et (y i ) i=1...n ,(y j) ′ i=1...m ∈ Y tels que w = y 1 y 2 · · · y n = y 1y ′ 2 ′ · · · y m ′ .Si y ∉ {y i } i=1...n ∪ {y j} ′ i=1...m alors c'est une factorisation dans X qui estun code donc elles sont identiques ce qui est impossible.Si y ∉ {y i } i=1...n mais y ∈ {y j} ′ i=1...m (ou vice versa) alors y ∈ F (X) cequi est impossible.Enn si y ∈ {y i } i=1...n ∩{y j} ′ i=1...m soient i 0 et j 0 les plus petits indices telsque y apparaît dans (y i ) et (y j). ′ On ne peut pas avoir y 1 · · · y i0 −1 = y 1 ′ · · · y j ′ 0 −1sinon cela contredirait la minimalité de w. On peut supposer y 1 · · · y i0 −1 |u| vu que les |u| dernières lettres de w sont des b. Alors ∃v ∈ A ∗ telque t = vab |u| = uab |v| on donc forcément |v| = |u| et donc t = w.Proposition 25. Tout code maximal est completDémonstration. Si |A| = 1 alors on vérie facilement que les seuls codes sontles a n pour n ∈ N qui sont complets et ∅ qui n'est pas maximal.Sinon soient X ⊂ A + un code qui n'est pas complet et u ∉ F (X ∗ ). D'aprèsle lemme 24 (on a bien |A| ≥ 2) ∃v ∈ A ∗ tel que uv soit sans bords. Commeu est un facteur de uv on a toujours uv ∉ F (X ∗ ). On déduit du lemme 23que X ⊔ {y} est un code. Donc X n'est pas maximal.Avant d'arriver à la proposition 27 qui relie complétude et mesure d'uncode, on démontre le lemme technique suivant :10

Lemme 26. Soient X ⊂ A ∗ un ensemble maigre et complet. Soit w qui n'estpas complétable dans X. Alors, en notant D (resp. G) les facteurs gauches(resp. droits) de w, on a :A ∗ = ⋃ d −1 X ∗ g −1 = D −1 X ∗ G −1d∈Dg∈GDémonstration. Soit z ∈ A ∗ . Comme X ∗ est dense, le mot wzw est complétabledans X ∗ et donc ∃u, v ∈ (A ∗ ) 2 uwzwv ∈ X ∗ . Par hypothèse w ne peutpas être facteur d'un mot de X ∗ si on coupe uwzwv en mots de X on a doncforcément une coupure dans chacun des w. On a donc deux factorisations dew, w = gd = g ′ d ′ telles que ug, dzg ′ , d ′ v ∈ (X ∗ ) 3 .On a donc z ∈ d −1 X ∗ g −1 avec d, g ∈ D × GProposition 27. Soient X un sous-ensemble maigre et complet de A ∗ et πune distribution de Bernoulli positive sur A ∗ , on a :π(X) ≥ 1Démonstration. On a déjà montré π(A ∗ ) = ∞ (Propriété 14.iv). D'après lerésultat de la proposition 26, ∃(d, g) ∈ (A ∗ ) 2 tels que π(d −1 X ∗ g −1 ) = ∞. Eneet, soit w qui n'est pas complétable dans X on a dans le cas contraire⋃∞ = π(A ∗ ) = π( d −1 X ∗ g −1 ) ≤∑π(d −1 X ∗ g −1 ) < ∞d∈D,g∈Gd∈D,g∈Gcar les suxes et préxes d'un mots sont en nombre ni, mais c'est absurde.De plus d(d −1 X ∗ g −1 )g ⊂ X ∗ ce qui implique que π(d)π(d −1 X ∗ g −1 )π(g) ≤π(X ∗ ). Comme π est positive π(d)π(g) ≠ 0 on a π(X ∗ ) = ∞. La proposition15 permet de conclure que π(X) ≥ 1En rassemblant tout ce qui a été démontré auparavant, on obtient lethéorème suivant qui relie 3 notions qui semblent pourtant très peu liées àpremière vue : la mesure, la maximalité et la complétude d'un code maigre.Théorème 28. Soit X un code maigre sur un alphabet A. Les propositionssuivantes sont équivalentes :(i) X est un code maximal.(ii) ∃ π distribution de Bernoulli positive sur A ∗ telle que π(X) = 1.11

(iii) ∀ π distribution de Bernoulli positive sur A ∗ , π(X) = 1.(iv) X est un code completDémonstration. (i) ⇒ (iv) est la proposition 25.(iv) ⇒ (iii) est une conséquence des propositions 16 et 27.(iii) ⇒ (ii) est trivial.(ii) ⇒ (i) est la proposition 17Exemple 29. Le code X 1 introduit à l'exemple 5 vérie ces 4 propriétés sansêtre maigre.Exemple 30. X 2 (voir exemple 10) quant à lui est maigre (car ni). Posonsπ(a) = p où 0 < p < 1π(X 2 ) = p 2 + (1 − p)p + (1 − p) 2 + (1 − p)p 2 + (1 − p) 2 p = 1X 2 est donc complet et maximal, ce qui a priori n'était pas évident.Le théoréme 28 donne un moyen très simple de savoir si un code maigre estmaximal ou complet, propriétés assez fortes, il sut de tester sur n'importequelle distribution de Bernoulli positive et de vérier qu'on obtient 1.Références[1] J. Berstel and D. Perrin. Theory of Codes. Academic Press, 1984.12