sur l'analyse des systemes hybrides - Universitatea din Craiova

SUR L’ANALYSE DES SYSTEMES HYBRIDESA L’AIDE DE RESEAUX DE PETRIMircea Adrian DRIGHICIUUniversitatea din Craiova, Facultatea de ElectromecanicBd.Decebal Nr. 107, e-mail:adrighiciu@em.ucv.roRésumé: La plupart des systèmes techniques sontdes systèmes hybrides composés d’une partie continueet d’une partie discrète, qui agissent en permanence unesur l’autre. Pour les modéliser à l’aide des Réseaux dePetri (RdP) il est nécessaire de trouver uneconfiguration qui réponde en même temps au caractèrecontinu q’au caractère discret du système, bien que lenombre d’états atteignables soit fini et les événementsexternes qui pilotent le système sont asynchrones.On a développé d’abord les RdP continusautonomes, comme cas limite des RdP discretsautonomes, puis les RdP continus avec vitesses defranchissement sont obtenus par transformation d’unRdP discret temporisé, pour modéliser les sous –systèmes continus. Pour une analyse qualitative etquantitative d’un système réel, les RdP Hybrides sontbien adaptés.L’approche que nous venons de le présenter s’avèresur les RdP Hybrides et leurs applications.Mots clé : Systèmes Dynamiques Hybrides, Réseaux dePetri, Modélisation , Simulation.1. INTRODUCTIOND’une manière générale, les systèmes dynamiquesfaisant intervenir explicitement et simultanément desphénomènes ou des modèles de type dynamique continuet événementiel sont appelés Systèmes DynamiquesHybrides (SDH). Ces systèmes sont classiquementconstitués de processus continus interagissant avec ousupervisés par des processus discrets. Ils résultentégalement de l’organisation hiérarchique des systèmesde contrôle / commande complexes ou des algorithmescontinus de commande. On peut également rencontrerdes systèmes continus auxquels sont associées descommutations discrètes, (David et al. 2001, Zaytoon2001).Traditionnellement, l’automatique traite différemmentles problèmes de type continu et ceux de typeséquentiel. Chacun de ces domaines a créé un ensemblede théories et de méthodes et a développé des solutionsperformantes pour régler les problèmes homogènes quise posent à lui, mais sans toujours intégrer les solutionset les apports de l’autre domaine. Là où il y a rupture dela théorie, des concepts, des métiers, et donc une gravelacune qualitative, c’est dans l’application de cesthéories unitaires et homogènes aux systèmes réels qui,dans tous les cas, réunissent des modes continus et desfonctionnements discontinus ou séquentiels.Ainsi, pour une machine–outil, le comportementn’est pas le même si la machine est en usinage, endéplacement, en changement d’outil ou en maintenance,et les performances d’une commande, même robuste,sont difficiles à garantir lors des changements de modes.L’application de méthodes rigoureuses pour traiter lesaspects continus d’une part, et les aspects séquentielsd’autre part, ne saurait garantir la qualité du systèmeglobal tant que les interactions entre ces deux aspects nesont pas prises en compte. La résolution desproblèmes „résiduels” de l’automatisation, liés auxchangements de mode de marche, de traitement desdéfauts, de démarrage ou d’arrêt, passe par l’adoptiond’une démarche hybride, de la spécification des besoinsà la réalisation, afin de modéliser, d’analyser, deconcevoir, de simuler et d’exploiter le système dansl’ensemble de son comportement (Zaytoon 2001).Les méthodes de l’automatique reposent sur desmodèles et représentations homogènes qui sont: lesmodèles d’équations différentielles pour les systèmescontinus, les modèles états – transitions et les modèlesmarkoviens pour les systèmes événementiels. Or, laplupart des systèmes réels sont des systèmesdynamiques hybrides, composés de sous – processuscontinus qui sont démarrés, reconfigurés et arrêtés parune commande logique – à états discrets – dont lesentrées sont issues des horloges et des signaux decapteurs installés sur les processus continus. Ainsi, l’analyse de ceux-ci a comme l’objectif la modélisation etd’en donner une formalisation homogène (et non uneformalisation fractionnée par partie ou par modes defonctionnement comme c’est souvent le cas).2. LES RESEAUX DE PETRILes réseaux de Petri sont un outil bien adapté pourmodéliser les systèmes à événements discrets, car ilpossède deux caractéristiques importantes. D’abord, denature graphique, il permet de modéliser et d’analyserles primitives de comportement telles que lasynchronisation, le parallélisme, le partage deressources etc. Puis, sur les modèles obtenus, on peutaisément effectuer une analyse qualitative lorsque l’onconsidère le modèle autonome, et une analysequantitative lorsque le temps lui est adjoint (David et al.1992).

Dans un premier instant, les Réseaux de Petri ont étélargement utilisés pour modéliser les systèmes discrets(systèmes de calcul, de production, de communicationetc.), car le marquage d’une place peut correspondre,soit à l’état booléen d’un dispositif (par exemple, uneressource est disponible ou pas), soit à un nombre entier(par exemple le nombre de pieces dans un stock).Les Réseaux de Petri DiscretsUn réseau de Petri est un graphe biparti fait de deuxtypes de sommets : les places et les transitions. Des arcsorientés relient certaines places à certaines transitions,ou certaines transitions à certaines places. Un arc nerelie jamais deux sommets de même nature.Généralement, les places sont représentées par descercles et les transitions par des rectangles (ou desbarres). Chaque place peut contenir un ou plusieursjetons, représentés par des points, qui vont permettre demodéliser la dynamique du système , (Fig.1). Dans unRéseau de Petri, le marquage d’une place - comparableà une variable booléenne - peut correspondre à l’étatd’un appareil, par exemple une machine est disponibleou n’est pas disponible. Un marquage peut égalementêtre associé à un nombre entier, par exemple le nombrede pièces dans le stock d’entrée d’une machine (Davidet al. 1992).de production d’une pièce est en général beaucoup pluscourt que le temps moyen entre deux pannes d’unemachine. Dans ce cas le nombre d’états accessiblesexplose. Ce phénomène constitue une limite pratique àl’utilisation des réseaux discrets. L’utilisation desmodèles continus pour étudier des systèmes àévénements discrets peut constituer une bonneapproximation.Les Réseaux de Petri ContinusLe Réseau de Petri continu - défini comme un caslimite de réseau discret - est un modèle dans lequel lesnombres de marques dans les places sont des nombresréels. Ce modèle – qui s’apparente aux Réseaux de Petritemporisés sur les transitions - a été introduit enconsidérant que le franchissement d’une transition sefait de façon continue avec une certaine vitesse – v(t),(Fig.2). Cela signifie qu’entre l’instant t et l’instantt + dt, une quantité de marque vdt est retirée aux placesen amont de la transition et une quantité de marques vdtest ajoutée aux places en aval de cette transition (cas desréseaux ordinaires) (David et all 2001).Le marquage initial indiqué est aussi (2, 1, 0, 0),mais dans ce cas les marques sont des nombres réels etnon plus des entiers, (Fig.2).P 1T 3P 2P 4T 2 T 1T 4P 32P 1P 21T 3T 2T 1T 4P 40 P 30Fig.1 Exemple d’un Réseau de Petri discretDe manière plus formelle, un Réseau de Petri est un5 – uple PN = (P, T, A, W, M 0 ), où P = {P 1 , P 2 , …,P n }est un ensemble fini de places, T = {T 1 , T 2 , …, T q } - unensemble fini de transitions, A (P×T) (T×P) estl’ensemble fini des arcs, W : A {1, 2, …} – lafonction poids des arcs et M 0 : P {0, 1, 2, …} est lemarquage initial du réseau (David et al. 1992).Une méthode générale d’analyse pour ces types desréseaux (places – transitons) consiste à déterminer tousles états atteignables et à en déduire diverses propriétésdu système. Ainsi, un marquage M atteint à partir de M 0par franchissement d’une séquence S peut être obtenuen utilisant la relation fondamentale :M = M 0 + Us , (1)avec :U – la matrice d’incidence du réseau ;s – le vecteur caractéristique de la séquence S.De plus, les Réseaux de Petri temporisés sont bienadaptés pour évaluer quantitativement un système.Cependant un modèle peut contenir un grand nombre demarques ou bien on peut y trouver des durées n’ayantpas le même ordre de grandeur. Par exemple, le tempsFig.2 Exemple d’un Réseau de Petri continuDans cet état les transitions T 1 et T 3 sont validées,c’est – à – dire franchissables, puisque les marquages deleurs places d’entrée ne sont pas nuls. Par exemple, latransition T 1 peut être franchie mais on définitmaintenant une quantité de franchissement qui est unnombre réel compris dans l’interval continu [0, 1] ; lavaleur maximale – 1 dans ce cas – correspond à m 2 (quiest le minimum de m 1 et m 2 ). Pour une quantité defranchissement 0.2 on atteint le marquage (1.8, 1, 0.2,0).Dans un Réseau de Petri continu, une séquence defranchissements S à partir d’un marquage M impliqueune trajectoire correspondant à une suite de marquagessuccessifs. Le vecteur caractéristique s d’une trajectoireest un vecteur dans lequel chaque composante est unnombre réel correspondant à une quantité defranchissements de la transition correspondante. Donc,la relation fondamentale pour un réseau de Petri continuest identique à la relation fondamentale pour un réseaudiscret (1). Donc, toute propriété des réseaux discretsbasée sur cette relation peut être transposée aux réseauxcontinus (David et al. 1992, David et al. 2001, Zaytoon2001).

Les Réseaux de Petri HybridesLes réseaux continus constituent une bonneapproximation lorsqu’il s’agit de modéliser un flux depièces – par exemple. Cependant l’état opérationnel ouen panne d’une machine, ou en règle générale toutecondition booléenne ne peut être modélisée par unnombre réel. Ceci a conduit naturellement a définir lesréseaux hybrides, réunissant une partie discrète et unepartie continu. Ainsi, dans un réseau hybride, onretrouve des places et des transitions discrètes(représentées en simple ligne) et des places et destransitions continus (représentées en double ligne), avecune influence mutuelle des parties discrètes et continus,(Fig.3) (David et al. 2001, Zaytoon 2001).T 3P 4T 4P 22 P 1P 20 P 3T 1b.Fig.3 Exemple d’un Réseau de Petri hybrideLes places continues sont P 1 et P 3 , les transitionscontinues sont T 1 et T 2 , les places discrètes P 2 et P 4 , etles transitions discrètes T 3 et T 4 . Les transitions T 1 et T 3sont validées, donc franchissables. Alors, si la transition90continue T 1 sera franchie avec une vitesse constante,Réservoir 1 P 4 VanneP 1 ouverteT 3T 2P 5VanneT 1Réservoir 2 20,6d 1pour une quantité de franchissement 0.1 on obtient lemarquage (1.9, 1, 0.1, 0). On a retiré donc une quantitéde marquage 0.1 de P 1 et P 2 qui sont les places d’entrée,et l’on a ajouté la même quantité à P 3 et P 2 qui sont lesplaces de sortie. On voit que le marquage de la placediscrète P 2 est encore un entier, puisque l’on a retiré etajouté la même quantité.L’influence de la partie discrète du réseau (dusystème) sur la partie continue de celui – ci et vice versadécrit le comportement événementiel pour l’entièrestructure hybride du système. Par exemple, pour unsystème de deux réservoirs (Fig.4.a) - les places P 4 et P 5– qui se vident l’un dans l’autre à travers une vanne(transition T 3 ) qui peut être ouverte (place discrète P1avec un jeton) ou fermée (jeton dans la place P 2 ), l’étatde la place discrète P 1 influence le fonctionnement de lapartie continue, (Fig. 4.b). Le franchissement continu dela transition T 3 correspond à un écoulement à unevitesse V 3 quand la place P 1 n’est pas vide. Les duréesd 1 et d 2 correspondent à des temporisations de la partiediscrète. Quand la place P 1 n’est pas marquée, latransition T 3 n’est plus franchie (arrêt de l’écoulement).En cas de conflit entre une transition discrète et unetransition continue, la transition discrète est toujoursprioritaire. Alors, quand P 1 est marquée, lefranchissement d’une quantité V 3 dt de T 3 consiste àretirer V 3 dt marques à P 1 et à ajouter la même quantité àP 1 , donc le marquage de P 1 reste constant à la valeur 1.Réservoir 1Réservoir 2Fig.4 Explicative à la modélisation du système :a) Le schéma de principe ; b) Le Réseau de Petri hybrideOn peut avoir aussi le comportement dual (Fig.5).Pour le même système de réservoirs, cette fois, lafermeture de la vanne est pilotée par la partie continue.Le remplissage du réservoir 2 est arrêté lorsque laquantité de liquide dans ce réservoir atteint le volume40,1. Ceci est réalisé par la boucle P 5 – T 1 .V 340,140,1Fig.5 Réseau de Petri hybride avec une partie continue quiinfluence la partie discrète.Par similitude avec les Réseaux de Petri discrètes, unRéseau de Petri hybride - modèle pour un systèmehybride -est un sextuplet RPH = ( PN, h ), tel que PN estun réseau généralisé et h : P T {D, C} – fonctionhybride qui indique, pour chaque nœud s’il est discret(D), ou continu ( C ). De plus, le vecteur caractéristiques d’une sequence S est un vecteur dans lequel chaquecomposante est soit un entier correspondant au nombrede franchissements d’une transition discrète, soit unnombre réel correspondant à une quantité defranchissement d’une transition continue. On peutmontrer que, la relation qui exprime la variation dumarquage en fonction du temps (Zaytoon 2001):d M= Uv(t)d tVannea.VanneVanneT 2Réservoir 1 90 ouverte d 2 ferméeP 4P 1P 2T 3V 3VanneT 1P 3Réservoir 2 20,6 dP 15FermetureimposéeVannefermée(2)

est vraie pour n’importe quelle expression de v(t), ce quiconduit à une expression :tM ( t)= 0 + UMv(u)du , (3)0qui peut toujours s’appliquer si l’on dispose de v(t).Les Réseaux de Petri hybrides, extensions dumodèle de base, permettent de modéliser certainesclases de systèmes hybrides sur les mêmes basesconceptuelles que les réseaux classiques. L’analyse despropriétés telles que les invariants de marquage et defranchissements de transitions lorsqu’un étatstationnaire a été atteint, peut se faire de même façon.Mais, tous les comportements ne peuvent pas êtreobtenus de façon analytique et on doit passer par lasimulation que constitue l’établissement du graphed’évolution. Pour connaître ce qui se passe dans unrégime transitoire, avant l’atteinte d’un régimestationnaire, cette nécessité de simulation s’appliqueaussi aux Réseaux de Petri discrèts temporisés. Il a étémontré que les Réseaux de Petri hybrides sont très utilespour modéliser certains systèmes industriels.3. EXEMPLES D’APPLICATIONSExemple 1 – Système de ProductionOn considère une ligne de fabrication composée pardeux machines outils M 1 et M 2 qui font partie d’un fluxsériel, toute machine comporte un stock (à capacitéfinie) de pièces à l’entrée (Fig.6).et par l’association à chaque transition T j à une vitessede franchissement v j : v j = 1/ d j .Fig.7 Les modèles du système de production :a) Le modèle discret ; b) Le modèle hybrideL’évolution du marquage de chaque place montre ladifférence entre les deux modèles (Fig. 8a et 8b).Le deuxième modèle est ainsi une approximation dupremier est s’avère la meilleure solution pour lessystèmes à grande taille ou pour ceux dans lesquels lemarquage est assez grand.M 24321P 1T 1d 1 = 0,5T 2d 2 = 1aP 2P 3P 4T 3P 1P 3T 1v 1 = 2No0v 2 = 1T 2P 24bStockM.U.1StockM.U. 22,5 5 7,5 10atM 2Fig.6 Le système de production sérielCe système produit un seul type de pièce. Chaqueproduit comporte une seule opération à chaque machine.Les produits sont transportés par des palettes qui serontréutilisés à chaque fin du cycle de production. Onconsidère q’on dispose de quatre palettes qui, dans l’étatinitial se trouvent dans le stock du première machine.Le système de production peut être modélisé soit parun réseau discret (Fig. 7 a.), soit par un réseau hybride(Fig. 7 b.) (David et al. 1992, Drighiciu 2003).Dans le premier cas on a un réseau T - temporisédans lequel l’intervalle d 1 = 0,5 s est associé à latransition T 1 en représentant le temps d’usinage sur lapremière machine. L’intervalle d 2 = 1s associé à latransition T 2 représente le temps opératoire sur lamachine M 2 . Par le marquage (un seul jeton) des placesP 3 et P 4 on limite a 1 le nombre de franchissements destransitions T 1 et T 2 (il n’existe pas qu’une seule machinepour chaque opération). On peut construire le modèlehybride du système en remplaçant le marquagereprésenté par des nombres entiers par un marquage réel43210 2,5 5 7,5 10 tbFig. 8 L’évolution du marquage de la place P 2 du réseau :a)L’évolution du marquage en hypothèse d’un réseaudiscret ; b) L’évolution du marquage pour le modèlehybride du système.Exemple 2 – Système de remplissageDans un système de stockage, deux réservoirs serelient entre eux par une vanne V 1 qui, une fois ouvertepermet l’écoulement libre du liquide de R 1 vers R 2(Fig. 9) (Drighiciu 2000, Drighiciu 2001).

V2R1R2En effet, le débit qui s’écoule par une vanne al’expression :q = kp(5)hV1Fig. 9 Le système de remplissageL’alimentation du premier réservoir est réalisée parla vanne V 2 et l’écoulement du liquide contenu dans leseconde réservoir est fait par la vanne de sortie V 3 . Ondemande de commander les trois vannes pour mentir leliquide dans le réservoir R 1 à un niveau constant.Dans l’état initial, le niveau du liquide dans leréservoir R 1 est h = h min et le réservoir R 2 est vide. A cemoment là, on ouvre la vanne V 1 . Cette ci reste ouvertjusqu’au moment dont le niveau dans R 1 est h = h min .Alors on ferme la vanne V 1 et on ouvre V 2 et V 3 . Leniveau augmente à la cote maximale. Pour h = h max lesvannes V 2 et V 3 seront fermées et la vanne V 1 seraouverte. Ainsi, c’est possible de réaliser un réglage duniveau entre h min et h max : h min h h max . Le modèleRéseau de Petri est hybride (Fig.10), composé d’un sous– réseau continu (les places P 1 et P 2 et les transitions T 4 ,T 1 et T 9 ) et d’un réseau discret (les autres éléments duréseau) qui corresponde à la partie commande(ouverture et fermeture des vannes).P 3P 7 0P 6P 8T 4h_max0.05*sign(h)*sqrt(abs(hT 5P 1T 2h_max80h_init-h_minT 10.05*sign(h)*sqrt(abs(hP 4T 9 P 2T 3Fig.10 Le modèle réseau de Petri hybride du système dansl’état initial : toutes les vannes sont fermées et le liquide dansle réservoir R 1 se trouve à la cote h in .Les arcs de test autorisent le franchissement destransitions dont elles sont reliées. On a associé pour lestransitions continues des vitesses de franchissement :v = c h(4)avec h – le niveau du liquide dans un réservoir et c lecoefficient d’écoulement.h 1V3T 8h_init-h_min-0.05*sign(h)*sqrt(abs(h))h_init-h_minT 6P 5dont p est la valeur de la pression dans le réservoir et kle coefficient en caractérisant l’écoulement par la vanne.Mais :p = Y g h q = k Y g h = k h (6)D’autre part :dV d(Ah)q = =(7)dt dtavec V – le volume du réservoir et A – la surface duréservoir.On a obtenu :••Ah = k1h h = cAvec un plus de généralité on peut écrire :•h = sign[h] ch(9)Le modèle a été vérifié par simulation avec lelogiciel Visual Object Net ++ pour h in = 40 cm, h max =30 cm, h min = 10 cm (Drath 1997).Les jetons qui se trouvent dans les places P 3 , P 6 et P 7indiquent l’état « fermé » de toutes les vannes. L’ordred’ouverture pour la vanne V 1 est reçu après une durée d 1(la temporisation associée à la transition T 2 ). Puis, leprocessus de réglage se déroule périodiquement(Fig. 11).h [ cm]40302010Fig. 11 La variation du niveau de liquide dans le réservoir R 1pendant le cycle de fonctionnementExemple 3 – Système de transport1 h(8)0 200 400 600 t [ s ]On considère un système de transport continu detype convoyeur (sans, ou avec accumulation) qui portedes certains produits entre plusieurs stations de travail(machines) ayant un stock (de capacité finie, en général)à l’entrée et l’autre à la sortie (Fig.12a). Le premierniveau de la structure que nous venons a réalisercontient le modèle hybride réseau de Petri, sur lequel onindique les éléments: les places P 1 , P 2 et P 3 (discrètes),P 5 et P 6 (continus), et les transitions T 1 , T 2 et T 4(continue), (Fig.12 b.), (Drighiciu 2003).

Stock àl’entréevx maxaStoc à lasortieP 1T 1 P 2 T 2P 3P 5vT 4vbFig.12 Sur la réalisation d’un modèle hybride pour le systèmede transport : a) Structure du système de type convoyeur;b) Le réseau de Petri correspondante.Le modèle proposé représente d’une manière trèsexplicite un élément spécifique pour la classe desystèmes de transport, donc il contient a priori despropriétés structurelles qui permettent de représenterplusieurs caractéristiques (attributs) paramétrisables(longueur, vitesse, capacité de transport etc.). On peutaisément adapter le modèle à une autre structure, enchangeant soit la capacité d’arc P 6 – T 2 , la valeurnominale de la vitesse – v N (le marquage en P 5 ), ou bienle marquage en P 1 (la capacité du convoyeur). Pour cecas – là, le convoyeur peut transporter un seul produit àla fois. Le franchissement de la transition discrète T 1ajoute un jeton dans la place P 2 , qui autorise lefranchissement continu de la transition T 4 par l’arc detest P 2 – T 4 . Au moment que la longueur maximale estatteinte (le produit est portée par le convoyeur sur lavaleur x max – le marquage réel de la place P 6 ), latransition T 2 sera franchie, on retrouve le produit dans lestock de sortie (jeton dans la place P 3 ) et un nouveauproduit est en train d’être transporté d’une manièresimilaire. On peut faire aisément l’ analyse du réseau (lavérification des principales propriétés structurelles etcomportementales) par simulation, avec le logicielVisual Object Net ++ (Fig.13), (Drath 1997).Fig. 13 L’écran principal du logiciel Visual Object Net ++P 6xx max4. CONCLUSIONSL’intérêt essentiel des Réseaux de Petri hybridesréside dans leur capacité d’analyse du modèlegraphique. Cette analyse, dite validation, permetd’extraire du modèle les propriétés que doit posséder lesystème physique représenté. On peut ainsi montrer quele modèle obtenu est borné, sans blocage ouréinitialisable. Le modèle peut dés lors être implanté surun ordinateur sous la forme d’un programme ou d’unebase de donnés confiée à un programme exécutable.Après avoir indiqué l’état initial du modèle, leconcepteur pourra demander un ensemble desimulations pour une stratégie de conduite donnée enfaisant varier les dimensions du modèle, ou testerdifférentes stratégies de conduite. Enfin, les modèlesRéseaux de Petri Hybrides peuvent être utilisés encommande. C’est ainsi que l’on pourra associer auxjetons de chaque place, d’une part des actions decommande destination du procédé, d’autre part, desévénements comptes – rendus de ces actions. Il est ainsipossible de les utiliser comme aide à la décision dansl’exploitation en temps réel.Le formalisme de réseaux de Petri hybrides est trèsbien adapté pour l’analyse de systèmes d’une tailleassez petite. Pour des systèmes complexes, la topologiedu réseau, bien que sa dynamique, posent réelsproblèmes dues soit à la structure du système, soit àl’explosion d’états atteignables. Une approche quisoulève parfois cet inconvénient a comme sujet lesRéseaux de Petri Objets, constitués par des réseauxprimaires, avec une structure et une dynamique interne,qui permet leur liaison directe ou bien par des élémentsauxiliaires, externes, qui assurent le bon fonctionnementdu modèle.5. BIBLIOGRAPHIEDavid, R., Alla, H., Du Grafcet aux Réseaux de Petri,Hermes , Paris, 1992.David, R., Alla, H., On Hybrid Petri nets, DiscreteEvent Dynamic Systems: Theory and Applications,No.11, p.9 – 40, 2001.Drath, R., Objektorientierte Modellierung hybriderProzesse, Vorstellung eines neuen Werkzeuges, 42,IWK, TU Ilmenau, 1997, Bd.3, p.533 – 540.Drighiciu, M.A., L’analyse de systèmeseléctromecaniques – une approche par les Réseaux dePetri, Analele Universit^ii din Craiova, Seria InginerieElectric, Anul 24, Nr.24, Editura Universitaria, 2000,pag.103 – 115.Drighiciu, M., A., Manolea, Gh., Formalismul Re*elelorPetri neautonome în analiza sistemelorelectromecanice, A Treia Conferin^ Interna^ional deSisteme Electromecanice _i Energetice – SIELMEN2001, Chi_inu, 4 – 5 octombrie 2001.Drighiciu, M.A., Studiul sistemelor electromecaniceutilizând Re*ele Petri, Tez de doctorat Universitateadin Craiova, 2003.Zaytoon, J., Systèmes dinamiques hybrides, Hermes,Paris 2001.