Réalisation de la représentation d'état - La Recherche - ENAC

Exponentielle de matricesProduit d’exponentielles :e (A+B)x (A + B)2= I + (A + B)x + x 2 + · · ·2e Ax e Bx =(I + Ax + A2 x 2 )+ · · ·(I + Bx + B2 x 2 )+ · · ·22= I + (A + B)x + A2 x 2+ ABx 2 + B2 x 2+ · · ·22e (A+B)x − e Ax e Bx = (BA − AB) x 2e (A+B)x = e Ax e Bx ⇔ AB = BA2 + · · ·Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 2 / 23

Réalisation de la représentation d’étatAntoine Drouin, Félix Mora CaminoENACSeptembre 2009Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 3 / 23

1 Introduction2 Formes Diagonales3 Formes CompagnesAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 4 / 23

IntroductionIntroductionLa multiplicité des représentations d’état est un avantage.Permet le choix d’une représentation adaptée au type de problème.Formes canoniques.Évolution du système, retour d’état, observateurA diagonale / quasi diagonaleA formes “compagne”Commandabilité, ObservabilitéForme de B et CAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 5 / 23

IntroductionChangement de représentation :Pluralité de la représentation d’étatChangement de variable X = M ˜X avec M matrice régulièreM ˙˜X = AM ˜X + BU˙˜X = M −1 AM ˜X + M −1 BUY = CM ˜X + DUÃ = M −1 AM ˜B = M −1 B ˜C = CMRemarque :˜C ˜B = CMM −1 B = CBLe produit CB est un invariant de l’ensemble des représentation d’état.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 6 / 23

Formes DiagonalesFormes diagonalesMise en évidence des modes.Modes d’un système linéaire : pôles de sa fonction de transfertModes d’un système linéaire : valeurs propres de sa matriced’évolutionAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 7 / 23

Formes DiagonalesForme diagonaleSi toutes les valeurs propres sont disctinctes, A peut être mise sous formediagonale par la transformation :Ã d = P −1 AP = Λoù P est la matrice des vecteurs propres de A.⎛⎞λ 1 0 · · · · · · · · · 0. 0 λ .. 2 .. . .. . λ3 .. .Ã d = Λ =. . .. . .. . .. .⎜⎝. ⎟... λn−1 0 ⎠0 · · · · · · · · · 0 λ nAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 8 / 23

Formes DiagonalesExemple 1⎛−1 1⎞0⎛1⎞0A = ⎝ 0 0 0 ⎠ B = ⎝0 1⎠1 0 −30 1( ) 1 0 0C =D = ( 0 )0 1 1Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 9 / 23

Formes DiagonalesForme quasi diagonale de JordanSi le polynôme caractéristique est scindé, A peut ètre mise sous formequasi diagonale.λ k : valeur propre multiple d’ordre n.r : nb de vecteurs propres indépendants associés à λ k .q = n − r : dégénérescence de λ k .Bloc de Jordan⎛⎞λ k 1 0 · · · · · · 0. 0 λ k 1 .. .. . .. . .. . .. . .. .J(λ k ) =. . .. . .. . .. 0⎜⎝.... . ⎟ .. 1 ⎠0 · · · · · · · · · 0 λ kAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 10 / 23

Formes DiagonalesForme quasi diagonale de Jordan (cont)On montre que J d et J n commutente tJ(λk) = e tJ d (λ k )+tJ n(λ k ) = e tJ d (λ k ) e tJn(λ k)⎛⎞t⎛e tλ ⎞ 1 t 2 tk 2· · · p−1(p−1)!0e tJ(λk) 0 e tλ k0. 0 .. . .. . .. .=⎜⎟.⎝ 0 0 ⎠. .. . .. tt 2 2⎜0 e tλ ⎝ .k . 0 .. . ⎟.. t ⎠0 · · · · · · 0 1Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 12 / 23

Formes DiagonalesExemple 2Calculez la trajectoire du système LTI libre ayant la matrice de dynamiquesuivante :⎛5 −1⎞0A = ⎝1 3 0⎠0 0 2Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 13 / 23

Formes DiagonalesCas des valeurs propres complexesConsidérons le cas d’une matrice A de dimension 3 dont 2 valeurs propressont complexes conjuguées :λ 1 = σ + jω λ 2 = σ − jω λ 3 ∈ RNous savons qu’A peut être diagonalisée :⎛⎞σ + jω 0 0Ã = Λ = ⎝ 0 σ − jω 0 ⎠0 0 λ 3Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 14 / 23

Formes DiagonalesCas des valeurs propres complexesΛ peut être transformée en une matrice Λ 2 à coéfficients réels⎛ ⎞σ ω 0Λ 2 = ⎝−ω σ 0 ⎠ = K −1 ΛK0 0 λ 3à l’aide de la transformation⎛ ⎞12−j20K = ⎝ 1 j2 20⎠0 0 1Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 15 / 23

Formes CompagnesFormes CompagnesPolynôme caractéristique de A∆(λ) = det(λI − A) = λ n + a n−1 λ n−1 + · · · + a 1 λ + a 0On définit deux formes compagnes, construites à partir des coefficients dupolynôme caractéristique de A.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 16 / 23

Formes CompagnesForme Compagne de commande⎛⎞0 10 1 0Ã c =0 1⎜ 0 0 1⎟⎝0 1 ⎠−a 0 −a 1 −a 2 · · · · · · −a n−1Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 17 / 23

Formes CompagnesForme Compagne de commandeLa matrice de transformation est telle que :Ã c = P −1 AP ou PÃ c = APEn notant p 1 , p 2 , · · · , p n les colonnes de P(p1 p 2 · · · p n)Ãc = A ( p 1 p 2 · · · p n)d’oùp n−1 = [A + a n−1 I]p np n−2 = [A 2 + a n−1 A + a n−2 I]p n· · ·p 1 = [A n−1 + a n−1 A n−2 + · · · + a 1 I]p nAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 18 / 23

Formes CompagnesForme Compagne de commandeP est complètement définie à partir du choix de p nSeule contrainte : P doit être non singulièreDans le cas d’un système mono-entrée, un bon choix est p n = BDans ce cas ˜B = ( 0 0 · · · 1 ) , ce qui est interessant pour étudierla manière dont la commande se propage dans le système.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 19 / 23

Formes CompagnesForme Compagne d’observation⎛−a n−1 1Ã o =⎜⎝· · · 0 1 0· · · 0 1−a 2 0 1−a 1 0 0 1−a 0 0⎞⎟⎠Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 20 / 23

Formes CompagnesLa matrice de transformation est telle que :Forme Compagne d’observationà o = P −1 AP ou P −1 A = à o P −1En posant M = (P −1 ) T on obtient A T M = Mà oTEn notant m 1 , m 2 , · · · , m n les colonnes de Md’oùA T ( m 1 m 2 · · · m n)=(m1 m 2 · · · m n)ÃoTm 2 = [A T + a n−1 I]m 1m 3 = [(A T ) 2 + a n−1 A T + a n−2 I]m 1· · ·m n = [(A T ) n−1 + a n−1 (A T )n − 2 + · · · + a 1 I]m 1Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 21 / 23

Formes CompagnesForme Compagne d’observationM ( donc P) est complètement définie à partir du choix de m 1Seule contrainte : M doit être non singulière ( oum 1 , A T m 1 , · · · , (A T ) (n−1) m 1 linéairement indépendants ).Dans le cas d’un système mono-sortie, un bon choix est m 1 = C TDans ce cas ˜C = ( 1 0 · · · 0 ) , ce qui est interessant pour étudierla relation entre l’état du système et la sortie.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 22 / 23

Formes CompagnesAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Réalisation de la représentation d’état Septembre 2009 23 / 23