Traces sur les algÃ¨bres de von Neumann finies

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$TD 3 : Courbes et fractales$

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On peut donc choisir F k+1 ≤ F − (F 1 + . . . + F k ) telle que F k+1 ∼ E k+1 − E k . Cecitermine la construction.On a alorsE = E 1 + ∑ (E k − E k−1 ) ∼ ∑ F k ≤ F.k>1k≥1A tout élément U ∈ U, on peut associer l’opérateur L U : M ∗ → M ∗ , défini par laformuleL U (ω(R)) = ω(U ∗ RU),pour tout ω ∈ M ∗ et R ∈ M. On note K ω := {L U (ω), U ∈ U} ⊂ M ∗ et Q ω l’adhérencenormique de l’enveloppe convexe de K ω dans M ∗ .Proposition 1. Soit (E n ) n∈N une suite orthogonale de projections de M et ω ∈ M ∗ .Alors τ(E n ) → n 0 uniformément en ω ∈ Q ω .Démonstration. Il suffit évidemment de montrer que τ(E n ) → 0 uniformément en τ ∈K ω . Par l’absurde, soient δ > 0, (F n ) une sous-suite de (E n ) et (τ n ) une suite d’élémentsde K ω tels que pour tout n, |τ n (F n )| ≥ δ. On peut écrire τ n = L Un (ω), et on poseG n = U ∗ nF n U n . Alors, G n est une projection de M, G n ∼ F n et |ω(G n )| ≥ δ pour toutn. Ce qu’on a gagné : on n’a plus qu’une forme linéaire à considérer ; ce qu’on a perdu :les G n ne forment plus une suite orthogonale. Mais on en est pas très loin !La preuve qui suit est assez similaire à celle de la loi du tout ou rien en probabilités.Posons, pour m ≥ n, P m,n = ∨(G n , . . . , G m ), P n = ∨ m≥n P m,n et P = ∧ n P n . Je dis quepour m ≥ n,P m,n F n + . . . + F m .C’est vrai pour m = n par construction de G n . Soit m ≥ n. Supposons le résultat prouvépour m. AlorsP m,n F n + . . . + F metEn additionnant,G m+1 ∨ P m,n − P m,n ∼ G m+1 − G m+1 ∧ P m,n ≤ G m+1 ∼ F m+1 .P m+1,n = G m+1 ∨ P m,n F n + . . . + F m+1 .Ceci termine la récurrence. On a donc pour m ≥ n, P m,n ∑ k≥n F k et donc, en vertudu lemme 7, P n ∑ k≥n F k. Comme M est finie, on sait aussi (voir encore la remarqueprécédant le lemme 7) que 1 − ∑ k≥n F k 1 − P n ≤ 1 − P . En appliquant encore lelemme 7, on a donc1 = ∨ (1 − ∑ F k ) 1 − P.n k≥nDonc, comme M est finie, P = 0. Comme pour tout n, G n ≤ P n , la suite (G n ) n convergedonc fortement, et donc ultrafaiblement, vers 0. Comme ω ∈ M ∗ , on devrait donc avoirω(G n ) → 0, ce qui n’est pas. On a la contradiction cherchée.8
Corollaire 4. Soit ω ∈ M ∗ . L’ensemble Q ω est σ(M ∗ , M)-compact.Démonstration. La proposition précédente nous dit exactement que Q ω vérifie la condition(∗) du théorème 2. Donc, Q ω est relativement compact pour la topologie σ(M ∗ , M)(car il est aussi borné). Comme la topologie σ(M ∗ , M) est la topologie faible (au sens desespaces de Banach) sur M ∗ , Q ω qui est fermé pour la norme et convexe est σ(M ∗ , M)-fermé. Ainsi, Q ω est σ(M ∗ , M)-compact.4) Traces sur les algèbres de von Neumann finies : existence, unicité etapplicationsOn a maintenant tout ce qu’il faut pour démontrer le théorème principal de cetexposé. Rappelons que M est une algèbre de von Neumann finie, de centre Z, et donton note U le groupe des unitaires.Théorème 3. (i) Tout ω ∈ Z ∗ s’étend de façon unique en τ ∈ M ∗ tel que∀R ∈ M, ∀U ∈ Uτ(U ∗ RU) = τ(U).De plus, τ ∈ M ∗ , ||τ|| = ||ω||, et τ est positive si ω l’est.(ii) Il existe une unique application linéaire T : M → Z, continue pour la norme, etvérifiant∀R ∈ M, ∀U ∈ U T (U ∗ RU) = T (R) ; ∀C ∈ Z T (C) = C.De plus, T est de norme inférieure ou égale à 1, est ultrafaiblement continue, vérifieT (CR) = CT (R) pour tous R ∈ M et C ∈ Z, et T (R) ≥ 0 dès que R ≥ 0, avec égalitési et seulement si R = 0.Démonstration. Occupons-nous pour commencer de l’unicité dans (i) et (ii). Elle résulted’un fait que nous admettrons (voir par exemple J. Dixmier, Les algèbres d’operatéursdans l’espace hilbertien, p.251-253) : si R ∈ M, l’adhérence normique de l’enveloppeconvexe de l’ensemble {U ∗ RU, U ∈ U} rencontre Z. Ici, donnons-nous ω ∈ Z ∗ et τ ∈ M ∗avec τ|Z = ω et τ(U ∗ RU) = τ(R) pour tous R ∈ M et U ∈ U. Soit R ∈ M et C dansl’intersection de l’adhérence normique de l’enveloppe convexe de l’ensemble {U ∗ RU, U ∈U} et de Z. On a donc ||C|| ≤ ||R||, et C ≥ 0 si R ≥ 0. On a nécessairementτ(R) = τ(C) = ω(C) ; |τ(R)| ≤ ||ω||||C|| ≤ ||ω||||R||et τ(A) ≥ 0 si ω est positive et A ≥ 0. Cela montre que τ est uniquement déterminée,que ||τ|| ≤ ||ω||, d’où ||τ|| = ||ω|| puisque τ prolonge ω, et que τ est positive si ω l’est.Un argument semblable montre que T , si elle existe, est unique, décroît la norme et estpositive. En outre, si C ∈ Z ∩ U, la fonctionnelle T ′ définie par T ′ (R) = C ∗ T (CR),R ∈ M, vérifie les mêmes hypothèses que T , donc lui est égale. Autrement dit, pour toutR ∈ M, T (CR) = CT (R). Par linéarité, c’est encore vrai pour un élément quelconqueC du centre.9
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