Traces sur les algèbres de von Neumann finies

Démonstration. Supposons la condition (∗) vérifiée. Notons K 1 l’adhérence de K dansM ∗ pour la topologie σ(M ∗ , M) (attention aux indices !). Comme K est borné, K 1 estσ(M ∗ , M)-compact (Banach-Alaoglu). Il suffit de montrer que K 1 ⊂ M ∗ . En effet, onaura alors K ⊂ K 1 ⊂ M ∗ , avec K 1 σ(M ∗ , M)-compact, car la topologie σ(M ∗ , M) est larestriction à M ∗ de la topologie σ(M ∗ , M).Soit (E j ) j∈J une famille orthogonale de projections de M. Si ω ∈ K, ω ∈ M ∗ et doncω(E) = ∑ jω(E j )(avec E = ∑ j E j). Supposons que la convergence de la série ∑ ω(E j ) ne soit pas uniformeen ω ∈ K. On peut alors trouver ω 1 , ω 2 , . . . ∈ K, J 1 , J 2 , . . . des parties finies etdisjointes de J et δ > 0 tels que∀n ≥ 0 | ∑ω n (E j )| ≥ δ.j∈J nPosons, pour tout n, F n = ∑ j∈J nE j . Alors la famille (F n ) n∈N ) est une famille orthogonalede projections de M, et pour tout n, |ω n (F n )| ≥ δ. Ceci contredit la condition (∗).On a donc convergence uniforme relativement à ω ∈ K.Soit ω ∈ K 1 . On peut trouver une suite généralisée (ω α ) α qui tend vers ω pourσ(M ∗ , M). Par définition de cette topologie, on a donc ω α (E j ) → α ω(E j ) pour tout j etω α (E) → α ω(E). Ce qui précède et le théorème de la double limite (sic) permettent depasser à la limite dans l’égalité ∑ j ω α(E j ) = ω α (E) pour obtenir∑ω(E j ) = ω(E).jAinsi, ω est complètement additive donc ω ∈ M ∗ comme voulu, d’après le théorème 1.Nous n’utiliserons pas la réciproque, donc je n’en donne pas la preuve et renvoie autexte de Ringrose (Theorem 4.7) pour les détails. Voici juste l’idée de la démonstration.On suppose K relativement compact dans M ∗ pour la topologie σ(M ∗ , M) et la condition(∗) non satisfaite. Alors on peut trouver δ > 0, une famille orthogonale (E n ) n∈N deprojections de M, et une suite (ω n ) n∈N ∈ K N , tels que pour tout n, |ω n (E n )| ≥ 2δ. Ace stade, on aimerait beaucoup pouvoir extraire de la suite (ω n ) n une suite convergentepour espérer aboutir à une contradiction. Malheureusement, K est relativement compactpour une topologie non métrisable... On est sauvé ici par le théorème d’Eberlein-Smulian,qui affirme que dans un Banach B une partie A est faiblement compacte si et seulementsi elle est faiblement séquentiellement compacte. Comme la topologie σ(M ∗ , M) sur M ∗est la topologie faible (cf. corollaire 2), on peut donc, quitte à extraire, supposer que lasuite (ω n ) n converge (σ(M ∗ , M)) vers ω ∈ M ∗ . Comme la suite (E n ) n converge ultrafaiblementvers 0, et ω ∈ M ∗ , on a ω(E n ) → 0 et on peut donc supposer |ω(E n )| ≤ δ pourtout n.Posons τ n = ω n − ω. Alors, τ n ∈ M ∗ , |τ n (E n )| ≥ δ, pour tout n et τ n → 0 σ(M ∗ , M).Si dans la phrase précédente, on avait au lieu de E n une projection F de M indépendante6