Traces sur les algÃ¨bres de von Neumann finies

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$TD 3 : Courbes et fractales$

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Démonstration. C’est la même chose que pour le corollaire 5, et c’est même encoreplus simple, puisque l’on sait que la relation est un ordre total sur M, si M est unfacteur !Ce corollaire est très agréable, quand on se souvient à quel point la relation estpénible à manipuler (cf. les preuves du lemme 7 et de la proposition 1)...On peut encore préciser les choses dans le cas des facteurs de type II 1 .Lemme 8. Soit M un facteur de type II 1 . Il existe des projections non nulles dans Mde trace arbitrairement petite.Démonstration. Soit δ = inf{tr(E), E ∈ M − {0}, E = E ∗ = E 2 }. Supposons δ > 0.Choisissons une projection non nulle E de M telle que tr(E) < 2δ. Comme M ne contientpas de projection minimale non nulle, il existe F projection non nulle de M telle quetr(F ) ≤ tr(E). Mais alors tr(E − F ) < 2δ − tr(F ) ≤ δ. C’est absurde : donc δ = 0.Proposition 3. Soit M un facteur de type II 1 . On suppose la trace tr normalisée, desorte que tr(1) = 1. On a alors l’égalité{tr(E), E ∈ M, E = E ∗ = E 2 } = [0, 1].Démonstration. Soit r ∈ [0, 1]. L’ensemble S = {E ∈ M, E = E ∗ = E 2 , tr(E) ≤ r}est non vide et admet un élément maximal E par le lemme de Zorn (applicable, car trest ultrafaiblement continue). Supposons s = r − tr(E) > 0. Soit F une projection deM. J’affirme que F MF est encore un facteur de type II 1 , sur le Hilbert F H (si M estun facteur sur le Hilbert H). Montrons que c’est un facteur : c’est immédiat puisqueF MF = (M ′ F ) ′ et (F MF ) ′ = M ′ F . Le reste découle de la proposition 2 : une tracefidèle sur M donne une trace (non nulle par fidélité) sur F MF ; une projection minimalede F MF reste minimale dans M, donc F MF est de dimension infinie. Mais alors, onpeut appliquer le lemme précédent à F MF , en particulier pour F = 1 − E. Cela nousdonne une projection G ≤ 1 − E tel que, disons, 0 < tr(G) < s/2. Alors E + G est uneprojection de M et tr(E) < tr(E +G) < r. Contradiction et fin de la démonstration.Ainsi, on dispose, dans le cas des facteurs de type II 1 , d’un isomorphisme croissantentre l’ensemble totalement ordonné des classes d’équivalence de projections et l’intervalle[0, 1]. La grassmannienne des projections ne décrit plus les droites, les plans, etc.de la géométrie usuelle, mais des espaces de dimension réelle comprise entre 0 et 1, doncune ”géométrie continue”.Je termine en donnant deux exemples simples (on aura l’occasion d’en voir d’autres)et une construction importante (sans en dire grand chose).Exemples. (i) Soit (X, µ) un espace de probbabilité standard. L’algèbre de von NeumannL ∞ (X, µ) est munie de la trace tr = ∫ X .dµ.(ii) Soit Γ un groupe discret dénombrable. La représentation régulière gauche λ :Γ → U(l 2 (Γ)) est définie parλ s δ t = δ st .12
L’algèbre de von Neumann associée à Γ est alorsλ(Γ) = {λ s , s ∈ Γ} ′′ .L’algèbre λ(Γ) est munie d’une trace tr définie par tr = 〈.δ e , δ e 〉.Exercice 1. Avec les notations de l’exemple (ii), vérifier que λ(Γ) est un facteur detype II 1 ssi Γ a des classes de conjugaison infinies, i.e. pour tout t ≠ e, l’ensemble{sts −1 , s ∈ Γ} est infini.Soit M une algèbre de von Neumann finie, tr une trace fidèle ultrafaiblement continuesur M. Appliquons à tr la construction GNS. On obtient une représentation fidèle (cartr l’est), π : M → B(L 2 (M, tr)), où L 2 (M, tr) est une notation pour désigner l’espacede Hilbert de la construction GNS. L’espace L 2 (M, tr) est le complété de M pour leproduit scalaire défini par 〈R, S〉 tr := tr(S ∗ R) (tr étant fidèle). En outre, comme tr estultrafaiblement continue, π l’est aussi.Lemme 9. Soient M une algèbre de von Neumann et π : M → B(H) un morphismeinjectif de C ∗ -algèbres ultrafaiblement continu. Alors π(M) est une algèbre de von Neumann.Démonstration. En effet, la boule unité de π(M) est l’image de la boule unité de M,puisqu’un morphisme injectif de C ∗ -algèbres est isométrique. Donc la boule unité deπ(M) est l’image par l’application ultrafaiblement continue π de la boule unité de M,qui est un compact ultrafaible (car la boule unité de l’espace des opérateurs bornés surun Hilbert est faiblement compacte et car M est faiblement fermé dans un tel espace ;puis on utilise le lemme 2). Donc la boule unité de π(M) est ultrafaiblement fermée (oufaiblement fermée, cela revient au même). Soit R dans l’adhérence faible de π(M). Onpeut supposer ||R|| = 1. Le théorème de Kaplansky nous donne une suite généralisée(R α ) α , avec pour tout α, R α ∈ π(M), ||R α || ≤ 1 et R α → R. On en déduit que R ∈ π(M).Donc π(M) est une algèbre de von Neumann.Ainsi, on peut non seulement identifier M et π(M) comme C ∗ -algèbres, mais aussicomme algèbres de von Neumann. On a construit un nouvel espace de Hilbert avec uneaction privilégiée de M, à savoir L 2 (M, tr).13
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