Traces sur les algèbres de von Neumann finies

Montrons maintenant l’existence et la continuité ultrafaible. Si ω ∈ Z ∗ , il existeρ ∈ M ∗ tel que ρ|Z = ω, par le corollaire 2. Reprenons les notations de la section 3.Pour U ∈ U, l’application L U : M ∗ → M ∗ est σ(M ∗ , M)-continue, et laisse invariant leσ(M ∗ , M)-compact convexe Q ρ de M ∗ . De plus, la topologie σ(M ∗ , M) est la topologiefaible (au sens des espaces de Banach) sur M ∗ . Or, on dispose du théorème de point fixesuivant dans ce cadre :Théorème 4 (Ryll-Nardzewski). Soient E un espace vectoriel normé, K un convexenon vide de E, compact pour la topologie faible. Tout groupe d’isométries affines de Kadmet au moins un point fixe.Appliquant ce théorème à la situation qui nous intéresse, on en déduit l’existence deτ ∈ Q ρ ⊂ M ∗ , telle que L U τ = τ, pour tout U ∈ U. Pour conclure la preuve du point(i), il ne reste donc plus qu’à vérifier que τ prolonge ω. Or,∀C ∈ Z, ∀U ∈ U(L U ρ)(C) = ρ(U ∗ CU) = ρ(C) = τ(C).Comme τ est limite en norme d’une suite de combinaisons convexes d’éléments de laforme L U ρ, on a bien τ(C) = ω(C), pour tout C ∈ Z.Si ω ∈ Z ∗ , notons Sω l’unique élément τ ∈ M ∗ construit en (i). Alors, comme on l’avu, S est une application linéaire bornée de Z ∗ dans M ∗ . Comme M (resp. Z) s’identifieau dual de M ∗ (resp. de Z ∗ ), l’opérateur adjoint S ∗ est un opérateur borné de M dansZ. Notons-le T . On a donc ω(T (R)) = (Sω)(R), pour tous ω ∈ Z ∗ et R ∈ M. Cetteformule montre déjà que T : M → Z est ultrafaiblement continu (par les propriétés destopologies initiales). De plus, si R ∈ M, U ∈ U, C ∈ Z,ω(T (U ∗ RU)) = (Sω)(U ∗ RU) = (Sω)(R) = ω(T (R)) ; ω(T (C)) = (Sω)(C) = ω(C),d’après (i). Ceci valant pour tout ω ∈ Z ∗ , on en déduit (ii), à l’exception de la dernièreassertion.Notons que, pour tous R 1 , R 2 ∈ M, T (R 1 R 2 ) = T (R 2 R 1 ) : on le voit en décomposantR 1 en somme d’unitaires ( !). Considérons l’ensemble N = {R ∈ M, T (R ∗ R) = 0}. N estun idéal bilatère de M par ce qu’on vient de dire ; cet idéal est de plus ultrafaiblementfermé : en effet, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, dire que R ∈ N équivaut à dire queT (RS) = 0 pour tout S ∈ M. On conclut par continuité ultrafaible de T (attention, apriori, on ne peut pas conclure directement, car on ne sait pas si ∗ est ultrafaiblementcontinue). Un résultat déjà vu (exposé de Chen Huan) implique alors que N s’écritN = ME, avec E une projection centrale. Mais alors E = ET (1) = T (E) = 0. DoncN = 0, et on a bien que T est fidèle. Ceci achève la preuve du théorème.Définition 2. L’opérateur T : M → Z construit dans le théorème précédent est appelétrace centrale (canonique) sur M.Voici deux remarques importantes. La première a déjà été faite au cours de la preuvedu théorème 3 : l’application T construite vérifie∀R, S ∈ MT (RS) = T (SR).10