Traces sur les algèbres de von Neumann finies

Traces sur les algèbres de von Neumann finiesSéance 9Arthur-César Le BrasL’objet de cet exposé est la notion de trace centrale sur une algèbre de von Neumann.On a existence et unicité d’un tel objet sur une algèbre de von Neumann finie. Lapreuve de ce fait pour les facteurs remonte à Murray et von Neumann. La démonstrationprésentée ici est due à F. J. Yeadon, et son exposition suit de très près le texte de J. R.Ringrose, Lectures on the trace in a finite von Neumann algebra. L’argument étant unpeu intriqué, voici une description rapide du chemin suivi dans cet exposé. La premièresection est constituée de rappels sur les topologies de B(H), H un Hilbert. On montredans la seconde partie un critère de compacité relative pour la topologie faible sur l’espaceM ∗ des formes linéaires ultrafaiblement continues sur une algèbre de von NeumannM. On construit dans la section 3 une partie de M ∗ , où M est une algèbre de vonNeumann finie, à l’aide de la théorie des projections, à laquelle on applique ce critère.Cette partie est construite de sorte que l’application d’un théorème de point fixe abstrait,le théorème de Ryll-Nardzewski, donne l’existence d’une trace centrale (l’unicité est plussimple) : c’est l’objet de la section 4, qui développe aussi quelques conséquences simplesde l’existence d’une trace centrale.Références pour cet exposé : le texte de J.R. Ringrose déjà cité, Lectures on the tracein a finite von Neumann algebra ; un petit peu le livre de Takesaki.1) Rappels et compléments sur les topologies de B(H)Lemme 1. Soit B un espace de Banach. Soit B ∗ un sous-espace fermé pour la norme dudual topologique B ∗ de B. On suppose B isométrique au dual de B ∗ (via l’accouplementnaturel B ∗ × B → C). Soit M un sous-espace σ(B, B ∗ ) fermé de B. On note M ∗ :={f|M, f ∈ B ∗ } ⊂ M ∗ . Alors,(i) M ∗ est un fermé pour la norme de M ∗ .(ii) M est isométrique au dual de M ∗ (via l’accouplement naturel M ∗ × M → C).Soient H un espace de Hilbert et x, y ∈ H. Pour T ∈ B(H), on note ω x,y (T ) =〈T x, y〉. On note B(H) ∼ = Vect(ω x,y , x, y ∈ H) ⊂ B(H) ∗ et B(H) ∗ l’adhérence normiquede B(H) ∼ dans B(H) ∗ . La topologie σ(B(H), B(H) ∼ ) sur B(H) est appelée topologiefaible ; la topologie σ(B(H), B(H) ∗ ) sur B(H) est appelée topologie ultrafaible.Lemme 2. L’ensemble des formes linéaires faiblement continues s’identifie à B(H) ∼ ;l’ensemble des formes linéaires ultrafaiblement continues s’identifie à B(H) ∗ . La topologiefaible et la topologie ultrafaible coïncident sur la boule unité de B(H).1

Lemme 3. L’espace B(H) est isométrique au dual de B(H) ∗ (via l’accouplement naturelB(H) ∗ × B(H) → C).Corollaire 1. La boule unité de B(H) est compacte pour la topologie faible.Démonstration. On sait (lemme 3) que B(H) s’identifie au dual de B(H) ∗ . On en déduit(Banach-Alaoglu) que la boule unité de B(H) est compacte pour la topologie faible étoilede dual de B(H). Comme celle-ci coïncide avec la topologie ultrafaible, on en déduit quela boule unité de B(H) est compacte pour la topologie ultrafaible. On conclut avec lelemme 2.Corollaire 2. Soit M un sous-espace fermé ultrafaible de B(H). On note M ∼ (resp.M ∗ ) l’ensemble des formes linéaires faiblement continues sur B(H) (resp. ultrafaiblementcontinues). Alors,(i) M ∼ = {f|M, f ∈ B(H) ∼ } ; M ∗ = {f|M, f ∈ B(H) ∗ }.(ii) M ∗ est l’adhérence normique de M ∼ dans M ∗ .(iii) M est isométrique au dual de M ∗ (via l’accouplement naturel M ∗ × M → C).(iv) Un élément g de M ∗ appartient à M ∗ si et seulement s’il est faiblement continusur la boule unité de M.Démonstration. Le point (i) découle du théorème de Hahn-Banach et du lemme 2. Lepoint (i) et le lemme 3 montrent que le lemme 1 implique le point (iii), ainsi que le faitque M ∗ est fermé pour la norme. De plus, (i) garantit que l’application bornée f ↦→ f|Menvoie B(H) ∗ sur M ∗ et B(H) ∼ sur M ∼ . Comme B(H) ∼ est dense pour la norme dansB(H) ∗ , on en déduit que M ∼ est dense dans M ∗ , ce qui achève la preuve du point (ii).Enfin, (i) dit que la topologie faible (resp. ultrafaible) sur M est la topologie σ(M, M ∼ )(resp. σ(M, M ∗ )). Comme M ∗ est l’adhérence normique de M ∼ , on en déduit (iv) du faitsuivant : si E est un Banach, F un sous-espace du dual topologique de E d’adhérence¯F , une forme linéaire est σ(E, F )-continue sur la boule unité de E ssi elle est dans ¯F(cf. Ringrose, Lemma 1.2).La topologie forte sur B(H) est définie par la famille de semi-normes q x (T ) = ||T x||,x ∈ H. La topologie forte est plus fine que la topologie faible. L’involution ∗ estfaiblement continue, mais pas fortement continue (et cela ne contredit pas la phraseprécédente !). Une forme linéaire sur B(H) est faiblement continue si et seulement si elleest fortement continue.2) Formes linéaires complètement additives, formes linéaires ultrafaiblementcontinuesOn fixe une algèbre de von Neumann M. Désormais, l’expression forme linéaire surM signifiera toujours : forme linéaire continue pour la norme sur M. Une forme linéaireest dite hermitienne si elle envoie les éléments autoadjoints de M dans R. On a aussi lanotion de forme linéaire positive déjà évoquée (cf. exposé 3).2

Définition 1. Une forme linéaire ω sur M est dite complètement additive siω( ∑ αE α ) = ∑ αω(E α ),pour toute famille orthogonale (E α ) de projections de M.Remarquons que la suite ( ∑ E α ) converge ultrafaiblement vers ∑ α E α. Par conséquent,toute forme linéaire ultrafaiblement continue est complètement additive. L’objectif decette section est d’établir que la réciproque est vraie : toute forme linéaire complètementadditive est ultrafaiblement continue (théorème 1), et d’en déduire un critère de compacitérelative pour la topologie faible sur M ∗ (théorème 2). La preuve étant technique, jene donnerai pas tous les détails.Lemme 4. Soit ω une forme linéaire sur M complètement additive et hermitienne.Soit E une projection de M. Alors M contient une sous-projection F de E telle queω(F ) ≥ ω(E) et telle que ω|F MF est positive.Démonstration. Soit (E α ) une famille orthogonale de sous-projections de E de M maximale(éventuellement vide) telle que ω(E α ) < 0 pour tout α. On pose F = E − ∑ α E α.La maximalité de cette famille entraîne que ω(G) ≥ 0 pour toute projection G de F MF .En outre, ω(F ) = ω(E) − ∑ α ω(E α) ≥ ω(E), car ω est complètement additive.Lemme 5. Soit ω une forme linéaire complètement additive et positive sur M. Soit Eune projection de M non nulle. Il existe F une sous-projection non nulle de E dans M,et x ∈ H, tels que|ω(R)| ≤ ||Rx||,pour tout R ∈ MF .Démonstration. Soit y ∈ H tel que ||Ey|| 2 ≥ ω(E) (E est non nulle). Alors la formelinéaire ω y,y − ω (cf. notations de la section 1) vérifie : (ω y,y − ω)(E) = ||Ey|| 2 − ω(E) >0 (car E est une projection). De plus, la forme linéaire ω y,y − ω est hermitienne etcomplètement additive (car ω l’est, ainsi que ω y,y qui est ultrafaiblement continue). Lelemme précédent nous donne F sous-projection de E dans M telle que(ω y,y − ω)(F ) ≥ (ω y,y − ω)(E) > 0et telle que (ω y,y − ω)|F MF est positive. En particulier, F est non nulle. Soit R ∈ MF .Alors R ∗ R ∈ F MF , donc0 ≤ (ω y,y − ω)(R ∗ R) = ||Ry|| 2 − ω(R ∗ R).Appliquons alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour ω (on utilise ici que ω est positive) :pour tout R ∈ MF ,|ω(R)| 2 ≤ ω(1)ω(R ∗ R) ≤ ω(1)||Ry|| 2 .D’où le résultat, en posant x = √ ω(1)y.3

Le lemme suivant est proche du résultat que l’on veut démontrer, à ceci près que l’onsuppose en plus la forme linéaire ω positive.Lemme 6. Soit ω une forme linéaire positive et complètement additive sur M. Alors ωest ultrafaiblement continue.Démonstration. Soit (F j ) j∈J une famille orthogonale de projections telle que, pour toutj, il existe x j ∈ H tel que |ω(R)| ≤ ||Rx j ||, pour tout R ∈ MF j et maximale pour cespropriétés. La maximalité de la famille (F j ) et le lemme 5 qui précède entraînent qu’ona nécessairement : ∑ j F j = 1.On veut montrer : ω ∈ M ∗ . On sait que M ∗ est fermé pour la norme dans M ∗(corollaire 2). Il suffit donc de vérifier que pour tout ɛ > 0, il existe ω 1 ∈ M ∗ tel que||ω − ω 1 || < ɛ. Comme ω est complètement additive, on sait déjà que ∑ ω(F j ) convergevers ω(1). On peut donc choisir une partie finie K de J telle queω( ∑j∈J\KF j ) ≤ɛ2||ω|| .Notons E = ∑ j∈J\K F j. On a donc ω(E) ≤ ɛ 2 /||ω| | , et ω = ω 1 + ω 2 , où l’on a posé, pourtout R ∈ M, ω 1 (R) = ω(R ∑ j∈K F j) et ω 2 (R) = ω(RE). Alors, pour tout R ∈ M,|ω 1 (R)| = | ∑ j∈Kω(RF j )| ≤ ∑ j∈K||RF j x j ||.Ainsi, ω 1 est fortement continu, donc faiblement continu (cf. la fin de la section 1) etdonc ultrafaiblement continu (trivial). Donc ω 1 ∈ M ∗ .D’autre part, l’inegalité de Cauchy-Schwarz donne quant à elle∀R ∈ M|ω 2 (R)| 2 = |ω(RE)| 2 ≤ |ω((ER ∗ ) ∗ E)| 2 ≤ ω(ER ∗ RE)ω(E) ≤ ||ω||||R|| 2 ω(E).Par conséquent, pour tout R, |ω 2 (R)| 2 ≤ ɛ 2 ||R|| 2 , et donc ||ω 2 || ≤ ɛ, comme voulu.Théorème 1. Soit ω une forme linéaire sur M. Alors ω est ultrafaiblement continue siet seulement si elle est complètement additive.Idée de la démonstration. On a déjà traité le sens facile.Montrons la réciproque. Comme la preuve est longue et technique, je me contente dedonner les grandes lignes de l’argument. Soit ω une forme linéaire sur M complètementadditive. En décomposant ω en somme de sa partie hermitienne et de sa partie antihermitienne,on peut supposer que ω est hermitienne. Bien sûr, on peut aussi supposer que||ω|| ≤ 1. On pose alors :µ := sup{ω(A), A = A ∗ ∈ M, 0 ≤ A ≤ 1},de sorte que 0 ≤ µ ≤ ||ω|| ≤ 1. Soit 0 < ɛ < 1/2. Par le lemme 4 (et un petit argumentbasé sur le théorème spectral), on peut trouver une projection E 1 ∈ M telle que ω(E 1 ) ≥4

µ−ɛ et que ω|E 1 ME 1 est positive. Comme ω|E 1 ME 1 est encore complètement additive,on en déduit par le lemme 6 précédent que ω|E 1 ME 1 est ultrafaiblement continue. PosantE 2 = 1−E 1 , on a donc une décomposition de ω en somme de quatre formes linéaires ω j,k ,j, k ∈ {1, 2}, avec ω j,k (R) = ω(E j RE k ), pour tout R. En outre, si F est une projectionde l’algèbre E 2 ME 2 , alors E 1 + F est une projection de M, et donc, par choix de E 1 ,ω(F ) < ɛ.L’étape suivante, que je passe sous silence, consiste à montrer que ||ω 1,2 || et ||ω 2,1 ||sont un O(ɛ). C’est assez astucieux. Attention cependant : on n’a pas encore terminé,car en ce qui concerne ω 2,2 , on ne dispose que d’une inégalité sur ω(F ), et non sur savaleur absolue, dans ce qui précède. Donc on ne peut pas en conclure directement que||ω 2,2 || est un O(ɛ) et que ω est proche à ɛ près de ω 1,1 ∈ M ∗ . D’ailleurs ceci est faux engénéral.Qu’à cela ne tienne : on répète le raisonnement que l’on vient de faire en l’appliquantcette fois à ν = −ω|E 2 ME 2 . Cette forme linéaire est complètement additive, vérifie||ν|| ≤ 1 et ν(F ) > ɛ pour toute projection F de E 2 ME 2 . On en déduit comme cidessusl’existence de projections F 1 , F 2 dans E 2 ME 2 de somme E 2 , telles que ν estproche à ɛ près de ν 1,1 + ν 2,2 (même notations qu’avant !), avec ν 1,1 ultrafaiblementcontinue, et ν(F ) < ɛ pour tout F projection dans F 2 MF 2 . Cette inégalité jointe à laprécédente donne que |ν(F )| < ɛ pour toute projection F ∈ F 2 MF 2 . On en déduit ( !)que ||ν|F 2 MF 2 || ≤ 4ɛ. Donc ||ν − ν 1,1 || = O(ɛ). Ainsi, ω est égal à ɛ près à un élémentde M ∗ . On conclut en utilisant à nouveau le fait que M ∗ est fermé pour la norme dansM ∗ .Ce théorème nous donne une caractérisation agréable des formes linéaires ultrafaiblementcontinues. En voici deux corollaires : le premier est immédiat et ne nous servirapas dans la suite ; le second sera essentiel et mérite le nom de théorème.Corollaire 3. Soit ω une forme linéaire sur M. Si pour toute sous-∗-algèbre abéliennemaximale A de M, ω|A est ultrafaiblement continue, ω est ultrafaiblement continue.Démonstration. Soit (E α ) α ) une famille orthogonale de projections de M. Comme cesprojections commutent entre elles, on peut choisir A une sous-∗-algébre abélienne maximaleA de M les contenant toutes. Comme ω|A est ultrafaiblement continue donccomplètement additive, on en déduitω( ∑ αE α ) = ∑ αω(E α ).On conclut avec le théorème 1.Théorème 2. Soit K ⊂ M ∗ une partie bornée (pour la norme) de M ∗ . Alors, K est relativementcompact dans M ∗ pour la topologie σ(M ∗ , M) si et seulement si pour toute familleorthogonale (E n ) n∈N de projections de M, la suite ω(E n ) tend vers 0 uniformémenten ω ∈ K ( condition (∗) dans la suite de ce texte).5

Démonstration. Supposons la condition (∗) vérifiée. Notons K 1 l’adhérence de K dansM ∗ pour la topologie σ(M ∗ , M) (attention aux indices !). Comme K est borné, K 1 estσ(M ∗ , M)-compact (Banach-Alaoglu). Il suffit de montrer que K 1 ⊂ M ∗ . En effet, onaura alors K ⊂ K 1 ⊂ M ∗ , avec K 1 σ(M ∗ , M)-compact, car la topologie σ(M ∗ , M) est larestriction à M ∗ de la topologie σ(M ∗ , M).Soit (E j ) j∈J une famille orthogonale de projections de M. Si ω ∈ K, ω ∈ M ∗ et doncω(E) = ∑ jω(E j )(avec E = ∑ j E j). Supposons que la convergence de la série ∑ ω(E j ) ne soit pas uniformeen ω ∈ K. On peut alors trouver ω 1 , ω 2 , . . . ∈ K, J 1 , J 2 , . . . des parties finies etdisjointes de J et δ > 0 tels que∀n ≥ 0 | ∑ω n (E j )| ≥ δ.j∈J nPosons, pour tout n, F n = ∑ j∈J nE j . Alors la famille (F n ) n∈N ) est une famille orthogonalede projections de M, et pour tout n, |ω n (F n )| ≥ δ. Ceci contredit la condition (∗).On a donc convergence uniforme relativement à ω ∈ K.Soit ω ∈ K 1 . On peut trouver une suite généralisée (ω α ) α qui tend vers ω pourσ(M ∗ , M). Par définition de cette topologie, on a donc ω α (E j ) → α ω(E j ) pour tout j etω α (E) → α ω(E). Ce qui précède et le théorème de la double limite (sic) permettent depasser à la limite dans l’égalité ∑ j ω α(E j ) = ω α (E) pour obtenir∑ω(E j ) = ω(E).jAinsi, ω est complètement additive donc ω ∈ M ∗ comme voulu, d’après le théorème 1.Nous n’utiliserons pas la réciproque, donc je n’en donne pas la preuve et renvoie autexte de Ringrose (Theorem 4.7) pour les détails. Voici juste l’idée de la démonstration.On suppose K relativement compact dans M ∗ pour la topologie σ(M ∗ , M) et la condition(∗) non satisfaite. Alors on peut trouver δ > 0, une famille orthogonale (E n ) n∈N deprojections de M, et une suite (ω n ) n∈N ∈ K N , tels que pour tout n, |ω n (E n )| ≥ 2δ. Ace stade, on aimerait beaucoup pouvoir extraire de la suite (ω n ) n une suite convergentepour espérer aboutir à une contradiction. Malheureusement, K est relativement compactpour une topologie non métrisable... On est sauvé ici par le théorème d’Eberlein-Smulian,qui affirme que dans un Banach B une partie A est faiblement compacte si et seulementsi elle est faiblement séquentiellement compacte. Comme la topologie σ(M ∗ , M) sur M ∗est la topologie faible (cf. corollaire 2), on peut donc, quitte à extraire, supposer que lasuite (ω n ) n converge (σ(M ∗ , M)) vers ω ∈ M ∗ . Comme la suite (E n ) n converge ultrafaiblementvers 0, et ω ∈ M ∗ , on a ω(E n ) → 0 et on peut donc supposer |ω(E n )| ≤ δ pourtout n.Posons τ n = ω n − ω. Alors, τ n ∈ M ∗ , |τ n (E n )| ≥ δ, pour tout n et τ n → 0 σ(M ∗ , M).Si dans la phrase précédente, on avait au lieu de E n une projection F de M indépendante6

de n, la contradiction serait immédiate. Des manipulations élémentaires permettent dese ramener à cette situation.3) Projections et types d’algèbres de von Neumann : quelques rappelsIci encore, on fixe une algèbre de von Neumann M de centre Z. On note U l’ensembledes éléments unitaires de M.Rappelons que l’on a défini sur les projections de M une relation d’équivalence ∼,par : E ∼ F s’il existe V ∈ M (nécessairement une isométrie partielle) telle que E = V ∗ Vet F = V V ∗ . Si E ∼ F et si R ∈ Z est une projection centrale, RE ∼ RF . Onnote E F si E est équivalente à une sous-projection de F et E ≺ F si E F etE n’est pas équivalente à F . On a vu que la relation est une relation d’ordre surl’ensemble des classes d’équivalence de projections de M. On dispose du théorème decomparaison : si E, F sont des projections de M, il existe des projections centralesP, Q, R de M, avec P + Q + R = 1, et telles que si G est une projection centrale de M,GE ∼ GF si G ≤ P , GE ≺ GF si G ≤ Q et GF ≺ GE si G ≤ R. Les relations ∼ et sont complètement additives au sens suivant : si (E α ) α et (F α ) α sont deux famillesorthogonales de projections de M telles que pour tout α, E α ∼ F α (resp. E α F α ),alors ∑ α E α ∼ ∑ α F α (resp. ∑ α E α ∑ α F α).Une algèbre de von Neumann est dite finie si la projection 1 n’est équivalente àaucune projection de M différente de 1. Voici une observation importante pour la suite :si E 1 ≤ E, F 1 ≤ F sont des projections d’une algèbre de von Neumann finie, et siE F et F 1 E 1 , alors E − E 1 F − F 1 . Pour le voir, on applique le théorème decomparaison : soit Z une projection centrale telle que Z(F − F 1 ) ≺ Z(E − E 1 ). On veutmontrer que Z = 0. Comme F 1 E 1 et Z est centrale, on a ZF 1 ZE 1 . Comme Z estune projection finie ( !), on est ramené à la situation : F 1 E 1 , F − F 1 ≺ E − E 1 dansune algèbre de von Neumann finie. Soit G < E − E 1 telle que F − F 1 ∼ G. Alors paradditivité, F = (F − F 1 ) + F 1 G + E 1 . Comme E est une projection finie, G + E 1n’est pas équivalente à E, et donc F ≺ E. Ceci contredit l’hypothèse F E. Il fautbien noter que ceci est faux si on ne suppose pas M finie : prendre E = F = F 1 = 1 etE 1 = P dans ce qui précède avec P une projection de M différente de 1 et équivalenteà 1.Désormais, la notation M désigne une algèbre de von Neumann finie.Lemme 7. Soient E, F, E 1 , E 2 , . . . des projections de M, avec pour tout k, E k F ,E k ≤ E k+1 et E = ∨ k E k. Alors E F .Démonstration. On construit par récurrence une suite orthogonale (F k ) k de projectionsde M telle que pour tout k, F k ≤ F , F 1 ∼ E 1 et F k ∼ E k − E k−1 pour tout k > 1.L’existence de F 1 découle de l’hypothèse E 1 F . Soit k > 0. Supposons F 1 , . . . , F kconstruits. On a E k ≤ E k+1 F et E k = E 1 + (E 2 − E 1 ) + . . . + (E k − E k−1 ) ∼F 1 + . . . F k ≤ F , donc par la remarque précédant l’énoncé du lemme,E k+1 − E k F − (F 1 + . . . + F k ).7

On peut donc choisir F k+1 ≤ F − (F 1 + . . . + F k ) telle que F k+1 ∼ E k+1 − E k . Cecitermine la construction.On a alorsE = E 1 + ∑ (E k − E k−1 ) ∼ ∑ F k ≤ F.k>1k≥1A tout élément U ∈ U, on peut associer l’opérateur L U : M ∗ → M ∗ , défini par laformuleL U (ω(R)) = ω(U ∗ RU),pour tout ω ∈ M ∗ et R ∈ M. On note K ω := {L U (ω), U ∈ U} ⊂ M ∗ et Q ω l’adhérencenormique de l’enveloppe convexe de K ω dans M ∗ .Proposition 1. Soit (E n ) n∈N une suite orthogonale de projections de M et ω ∈ M ∗ .Alors τ(E n ) → n 0 uniformément en ω ∈ Q ω .Démonstration. Il suffit évidemment de montrer que τ(E n ) → 0 uniformément en τ ∈K ω . Par l’absurde, soient δ > 0, (F n ) une sous-suite de (E n ) et (τ n ) une suite d’élémentsde K ω tels que pour tout n, |τ n (F n )| ≥ δ. On peut écrire τ n = L Un (ω), et on poseG n = U ∗ nF n U n . Alors, G n est une projection de M, G n ∼ F n et |ω(G n )| ≥ δ pour toutn. Ce qu’on a gagné : on n’a plus qu’une forme linéaire à considérer ; ce qu’on a perdu :les G n ne forment plus une suite orthogonale. Mais on en est pas très loin !La preuve qui suit est assez similaire à celle de la loi du tout ou rien en probabilités.Posons, pour m ≥ n, P m,n = ∨(G n , . . . , G m ), P n = ∨ m≥n P m,n et P = ∧ n P n . Je dis quepour m ≥ n,P m,n F n + . . . + F m .C’est vrai pour m = n par construction de G n . Soit m ≥ n. Supposons le résultat prouvépour m. AlorsP m,n F n + . . . + F metEn additionnant,G m+1 ∨ P m,n − P m,n ∼ G m+1 − G m+1 ∧ P m,n ≤ G m+1 ∼ F m+1 .P m+1,n = G m+1 ∨ P m,n F n + . . . + F m+1 .Ceci termine la récurrence. On a donc pour m ≥ n, P m,n ∑ k≥n F k et donc, en vertudu lemme 7, P n ∑ k≥n F k. Comme M est finie, on sait aussi (voir encore la remarqueprécédant le lemme 7) que 1 − ∑ k≥n F k 1 − P n ≤ 1 − P . En appliquant encore lelemme 7, on a donc1 = ∨ (1 − ∑ F k ) 1 − P.n k≥nDonc, comme M est finie, P = 0. Comme pour tout n, G n ≤ P n , la suite (G n ) n convergedonc fortement, et donc ultrafaiblement, vers 0. Comme ω ∈ M ∗ , on devrait donc avoirω(G n ) → 0, ce qui n’est pas. On a la contradiction cherchée.8

Corollaire 4. Soit ω ∈ M ∗ . L’ensemble Q ω est σ(M ∗ , M)-compact.Démonstration. La proposition précédente nous dit exactement que Q ω vérifie la condition(∗) du théorème 2. Donc, Q ω est relativement compact pour la topologie σ(M ∗ , M)(car il est aussi borné). Comme la topologie σ(M ∗ , M) est la topologie faible (au sens desespaces de Banach) sur M ∗ , Q ω qui est fermé pour la norme et convexe est σ(M ∗ , M)-fermé. Ainsi, Q ω est σ(M ∗ , M)-compact.4) Traces sur les algèbres de von Neumann finies : existence, unicité etapplicationsOn a maintenant tout ce qu’il faut pour démontrer le théorème principal de cetexposé. Rappelons que M est une algèbre de von Neumann finie, de centre Z, et donton note U le groupe des unitaires.Théorème 3. (i) Tout ω ∈ Z ∗ s’étend de façon unique en τ ∈ M ∗ tel que∀R ∈ M, ∀U ∈ Uτ(U ∗ RU) = τ(U).De plus, τ ∈ M ∗ , ||τ|| = ||ω||, et τ est positive si ω l’est.(ii) Il existe une unique application linéaire T : M → Z, continue pour la norme, etvérifiant∀R ∈ M, ∀U ∈ U T (U ∗ RU) = T (R) ; ∀C ∈ Z T (C) = C.De plus, T est de norme inférieure ou égale à 1, est ultrafaiblement continue, vérifieT (CR) = CT (R) pour tous R ∈ M et C ∈ Z, et T (R) ≥ 0 dès que R ≥ 0, avec égalitési et seulement si R = 0.Démonstration. Occupons-nous pour commencer de l’unicité dans (i) et (ii). Elle résulted’un fait que nous admettrons (voir par exemple J. Dixmier, Les algèbres d’operatéursdans l’espace hilbertien, p.251-253) : si R ∈ M, l’adhérence normique de l’enveloppeconvexe de l’ensemble {U ∗ RU, U ∈ U} rencontre Z. Ici, donnons-nous ω ∈ Z ∗ et τ ∈ M ∗avec τ|Z = ω et τ(U ∗ RU) = τ(R) pour tous R ∈ M et U ∈ U. Soit R ∈ M et C dansl’intersection de l’adhérence normique de l’enveloppe convexe de l’ensemble {U ∗ RU, U ∈U} et de Z. On a donc ||C|| ≤ ||R||, et C ≥ 0 si R ≥ 0. On a nécessairementτ(R) = τ(C) = ω(C) ; |τ(R)| ≤ ||ω||||C|| ≤ ||ω||||R||et τ(A) ≥ 0 si ω est positive et A ≥ 0. Cela montre que τ est uniquement déterminée,que ||τ|| ≤ ||ω||, d’où ||τ|| = ||ω|| puisque τ prolonge ω, et que τ est positive si ω l’est.Un argument semblable montre que T , si elle existe, est unique, décroît la norme et estpositive. En outre, si C ∈ Z ∩ U, la fonctionnelle T ′ définie par T ′ (R) = C ∗ T (CR),R ∈ M, vérifie les mêmes hypothèses que T , donc lui est égale. Autrement dit, pour toutR ∈ M, T (CR) = CT (R). Par linéarité, c’est encore vrai pour un élément quelconqueC du centre.9

Montrons maintenant l’existence et la continuité ultrafaible. Si ω ∈ Z ∗ , il existeρ ∈ M ∗ tel que ρ|Z = ω, par le corollaire 2. Reprenons les notations de la section 3.Pour U ∈ U, l’application L U : M ∗ → M ∗ est σ(M ∗ , M)-continue, et laisse invariant leσ(M ∗ , M)-compact convexe Q ρ de M ∗ . De plus, la topologie σ(M ∗ , M) est la topologiefaible (au sens des espaces de Banach) sur M ∗ . Or, on dispose du théorème de point fixesuivant dans ce cadre :Théorème 4 (Ryll-Nardzewski). Soient E un espace vectoriel normé, K un convexenon vide de E, compact pour la topologie faible. Tout groupe d’isométries affines de Kadmet au moins un point fixe.Appliquant ce théorème à la situation qui nous intéresse, on en déduit l’existence deτ ∈ Q ρ ⊂ M ∗ , telle que L U τ = τ, pour tout U ∈ U. Pour conclure la preuve du point(i), il ne reste donc plus qu’à vérifier que τ prolonge ω. Or,∀C ∈ Z, ∀U ∈ U(L U ρ)(C) = ρ(U ∗ CU) = ρ(C) = τ(C).Comme τ est limite en norme d’une suite de combinaisons convexes d’éléments de laforme L U ρ, on a bien τ(C) = ω(C), pour tout C ∈ Z.Si ω ∈ Z ∗ , notons Sω l’unique élément τ ∈ M ∗ construit en (i). Alors, comme on l’avu, S est une application linéaire bornée de Z ∗ dans M ∗ . Comme M (resp. Z) s’identifieau dual de M ∗ (resp. de Z ∗ ), l’opérateur adjoint S ∗ est un opérateur borné de M dansZ. Notons-le T . On a donc ω(T (R)) = (Sω)(R), pour tous ω ∈ Z ∗ et R ∈ M. Cetteformule montre déjà que T : M → Z est ultrafaiblement continu (par les propriétés destopologies initiales). De plus, si R ∈ M, U ∈ U, C ∈ Z,ω(T (U ∗ RU)) = (Sω)(U ∗ RU) = (Sω)(R) = ω(T (R)) ; ω(T (C)) = (Sω)(C) = ω(C),d’après (i). Ceci valant pour tout ω ∈ Z ∗ , on en déduit (ii), à l’exception de la dernièreassertion.Notons que, pour tous R 1 , R 2 ∈ M, T (R 1 R 2 ) = T (R 2 R 1 ) : on le voit en décomposantR 1 en somme d’unitaires ( !). Considérons l’ensemble N = {R ∈ M, T (R ∗ R) = 0}. N estun idéal bilatère de M par ce qu’on vient de dire ; cet idéal est de plus ultrafaiblementfermé : en effet, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, dire que R ∈ N équivaut à dire queT (RS) = 0 pour tout S ∈ M. On conclut par continuité ultrafaible de T (attention, apriori, on ne peut pas conclure directement, car on ne sait pas si ∗ est ultrafaiblementcontinue). Un résultat déjà vu (exposé de Chen Huan) implique alors que N s’écritN = ME, avec E une projection centrale. Mais alors E = ET (1) = T (E) = 0. DoncN = 0, et on a bien que T est fidèle. Ceci achève la preuve du théorème.Définition 2. L’opérateur T : M → Z construit dans le théorème précédent est appelétrace centrale (canonique) sur M.Voici deux remarques importantes. La première a déjà été faite au cours de la preuvedu théorème 3 : l’application T construite vérifie∀R, S ∈ MT (RS) = T (SR).10

Ceci justifie la terminologie.Deuxièmement, l’existence d’une trace centrale T sur une algèbre de von Neumann Mde centre Z, i.e. l’existence d’une application linéaire T : M → Z vérifiant les conditionsdu point (ii) du théorème 3, implique que M est finie. En effet, soit V une isométriepartielle de M telle que V ∗ V = 1. Dire que M est finie signifie exactement qu’une telleV doit vérifier V V ∗ = 1. Or 1 − V V ∗ ≥ 0, et T (1 − V V ∗ ) = T (1 − V ∗ V ) = 0, et donc,T étant fidèle, V V ∗ = 1. Ainsi, on a obtenu une caractérisation nouvelle des algèbres devon Neumann finies.Le corollaire suivant est utile.Corollaire 5. Soit M une algèbre de von Neumann finie, de trace centrale T . Soient Eet F des projections de M. Alors E F si et seulement si T (E) T (F ).Démonstration. C’est une conséquence directe des propriétés de T et du théorème decomparaison rappelé à la section 3.On sait (cf. l’exposé de Diego) que toute algèbre de von Neumann abélienne estisomorphe (en tant que C ∗ -algèbre) à un certain L ∞ (X, ν) avec X compact, ν mesurepositive sur X. Par conséquent, en identifiant le centre Z d’une algèbre de von Neumannfinie M avec un tel espace L ∞ (X, ν) et en composant la trace centrale T sur M avecl’application f ↦→ ∫ Xfdν, on obtient une forme ultrafaiblement continue tr : M → C,vérifiant tr(RS) = tr(SR), tr(R ∗ R) ≥ 0 pour tous R, S ∈ M. Si M est un facteur, latrace ainsi construite s’identifie à la trace centrale.Dans la même veine que la caractérisation des algèbres de von Neumann finies, voiciune nouvelle caractérisation des facteurs de type II 1 .Proposition 2. Soit M un facteur. Alors M est un facteur de type II 1 si et seulementM est de dimension infinie et s’il existe une application linéaire tr : M → C commeci-dessus et de plus fidèle.Démonstration. Supposons que M est un facteur de type II 1 . Alors M est une algèbrede von Neumann finie, munie d’une trace centrale T . La construction du paragrapheprécédent nous donne l’application tr : M → C cherchée, à ceci près qu’il faut s’assurerque tr est fidèle. Pour cela, on repète l’argument de la preuve du théorème 3 pour voirqu’il existe une projection centrale E de M telle que N := {R ∈ M, tr(M ∗ M) = 0} =ME. Comme M est un facteur, et tr non nulle, E = 0. Ainsi, tr est fidèleMontrons la réciproque. Comme M est un facteur, M est de type I, II ou III (cf.Chen Huan). L’existence d’une trace fidèle sur M implique que M est finie par le mêmeargument que celui que l’on a donné juste après la définition 2. Donc M est de type Iou II. Vu la structure des facteurs de type I finis, on a terminé (mais on pourrait s’enpasser ici).Corollaire 6. Soit M un facteur de type II 1 . Choisissons une trace tr sur M. SoientE, F deux projections de M. Alors E F si et seulement si tr(E) ≤ tr(F ).11

Démonstration. C’est la même chose que pour le corollaire 5, et c’est même encoreplus simple, puisque l’on sait que la relation est un ordre total sur M, si M est unfacteur !Ce corollaire est très agréable, quand on se souvient à quel point la relation estpénible à manipuler (cf. les preuves du lemme 7 et de la proposition 1)...On peut encore préciser les choses dans le cas des facteurs de type II 1 .Lemme 8. Soit M un facteur de type II 1 . Il existe des projections non nulles dans Mde trace arbitrairement petite.Démonstration. Soit δ = inf{tr(E), E ∈ M − {0}, E = E ∗ = E 2 }. Supposons δ > 0.Choisissons une projection non nulle E de M telle que tr(E) < 2δ. Comme M ne contientpas de projection minimale non nulle, il existe F projection non nulle de M telle quetr(F ) ≤ tr(E). Mais alors tr(E − F ) < 2δ − tr(F ) ≤ δ. C’est absurde : donc δ = 0.Proposition 3. Soit M un facteur de type II 1 . On suppose la trace tr normalisée, desorte que tr(1) = 1. On a alors l’égalité{tr(E), E ∈ M, E = E ∗ = E 2 } = [0, 1].Démonstration. Soit r ∈ [0, 1]. L’ensemble S = {E ∈ M, E = E ∗ = E 2 , tr(E) ≤ r}est non vide et admet un élément maximal E par le lemme de Zorn (applicable, car trest ultrafaiblement continue). Supposons s = r − tr(E) > 0. Soit F une projection deM. J’affirme que F MF est encore un facteur de type II 1 , sur le Hilbert F H (si M estun facteur sur le Hilbert H). Montrons que c’est un facteur : c’est immédiat puisqueF MF = (M ′ F ) ′ et (F MF ) ′ = M ′ F . Le reste découle de la proposition 2 : une tracefidèle sur M donne une trace (non nulle par fidélité) sur F MF ; une projection minimalede F MF reste minimale dans M, donc F MF est de dimension infinie. Mais alors, onpeut appliquer le lemme précédent à F MF , en particulier pour F = 1 − E. Cela nousdonne une projection G ≤ 1 − E tel que, disons, 0 < tr(G) < s/2. Alors E + G est uneprojection de M et tr(E) < tr(E +G) < r. Contradiction et fin de la démonstration.Ainsi, on dispose, dans le cas des facteurs de type II 1 , d’un isomorphisme croissantentre l’ensemble totalement ordonné des classes d’équivalence de projections et l’intervalle[0, 1]. La grassmannienne des projections ne décrit plus les droites, les plans, etc.de la géométrie usuelle, mais des espaces de dimension réelle comprise entre 0 et 1, doncune ”géométrie continue”.Je termine en donnant deux exemples simples (on aura l’occasion d’en voir d’autres)et une construction importante (sans en dire grand chose).Exemples. (i) Soit (X, µ) un espace de probbabilité standard. L’algèbre de von NeumannL ∞ (X, µ) est munie de la trace tr = ∫ X .dµ.(ii) Soit Γ un groupe discret dénombrable. La représentation régulière gauche λ :Γ → U(l 2 (Γ)) est définie parλ s δ t = δ st .12

L’algèbre de von Neumann associée à Γ est alorsλ(Γ) = {λ s , s ∈ Γ} ′′ .L’algèbre λ(Γ) est munie d’une trace tr définie par tr = 〈.δ e , δ e 〉.Exercice 1. Avec les notations de l’exemple (ii), vérifier que λ(Γ) est un facteur detype II 1 ssi Γ a des classes de conjugaison infinies, i.e. pour tout t ≠ e, l’ensemble{sts −1 , s ∈ Γ} est infini.Soit M une algèbre de von Neumann finie, tr une trace fidèle ultrafaiblement continuesur M. Appliquons à tr la construction GNS. On obtient une représentation fidèle (cartr l’est), π : M → B(L 2 (M, tr)), où L 2 (M, tr) est une notation pour désigner l’espacede Hilbert de la construction GNS. L’espace L 2 (M, tr) est le complété de M pour leproduit scalaire défini par 〈R, S〉 tr := tr(S ∗ R) (tr étant fidèle). En outre, comme tr estultrafaiblement continue, π l’est aussi.Lemme 9. Soient M une algèbre de von Neumann et π : M → B(H) un morphismeinjectif de C ∗ -algèbres ultrafaiblement continu. Alors π(M) est une algèbre de von Neumann.Démonstration. En effet, la boule unité de π(M) est l’image de la boule unité de M,puisqu’un morphisme injectif de C ∗ -algèbres est isométrique. Donc la boule unité deπ(M) est l’image par l’application ultrafaiblement continue π de la boule unité de M,qui est un compact ultrafaible (car la boule unité de l’espace des opérateurs bornés surun Hilbert est faiblement compacte et car M est faiblement fermé dans un tel espace ;puis on utilise le lemme 2). Donc la boule unité de π(M) est ultrafaiblement fermée (oufaiblement fermée, cela revient au même). Soit R dans l’adhérence faible de π(M). Onpeut supposer ||R|| = 1. Le théorème de Kaplansky nous donne une suite généralisée(R α ) α , avec pour tout α, R α ∈ π(M), ||R α || ≤ 1 et R α → R. On en déduit que R ∈ π(M).Donc π(M) est une algèbre de von Neumann.Ainsi, on peut non seulement identifier M et π(M) comme C ∗ -algèbres, mais aussicomme algèbres de von Neumann. On a construit un nouvel espace de Hilbert avec uneaction privilégiée de M, à savoir L 2 (M, tr).13