Colles MP*2 - Ens

Colles MP*2Paulien Jeunesse (paulien.jeunesse@ens.fr)25 septembre 2012Exercice 1 (Type mines). ˙Soit u n la suite défini par :Étudier la série de terme général u n .u n+1 = u n1 + 2u n1 + 3u nDemonstration de l’exercice 1. on étudie la fonction...Exercice 2 (ECP). ˙Soit s(n) le nombre de chiffre de l’écriture de n en base 2, étudier la convergence et calculer lasomme ∑ nk=1s(n)n(n+1)Demonstration de l’exercice 2. Il suffit de regrouper par paquet, apres on a le droit car tout estpositif.Exercice 3. ˙Soit p(n) le nombre de chiffres de l’écriture décimale de n, étudier la série de terme général( ) p(n)u n =1p(n)Demonstration de l’exercice 3. Il suffit de regrouper par paquet, apres on a le droit car tout estpositif.Exercice 4. ˙Étudier la série de terme géneral a n = n√ n + 1 − n√ nDemonstration de l’exercice 4. On remarque qu’un dl marche ou on utilise le taf et on reflechitun peu.Exercice 5. ˙Soient a n et b n deux suites tendant respectivement vers a et b.Montrer que 1 n (a 0b n + ... + a n b 0 ) → abDemonstration de l’exercice 5. Cesaro un peu partout.Exercice 6. ˙Étudier la série de terme général u n = sin(2π √ )n 2 + (−1) n1

Demonstration de l’exercice 6. Un développement limité suffira à vous faire comprendre ca.Exercice 7. ˙Soit f de l’intervalle [0, 1] dans lui-même, continue et u n une suite définie par f(u n ) = u n+1 et u 0dans [0, 1]. Montrer que u n converge si et seulement si u n+1 − u n → 0.indication : Soit a n une suite réel, on suppose que a n+1 − a n → 0, montrer que l’ensemble deses valeurs d’adhérence est un intervalle.Demonstration de l’exercice 7. Avec l’indication, on rajoute juste le fait qu’il faut voir que lesvaleurs d’adhérence sont alors point fixe de f et donc si on tombe dans l’intervalle alors u n convergece qui est absurde si on suppose l’intervalle non réduit à un point.Exercice 8. ˙Étudier la série de terme général u n =Demonstration de l’exercice 8. dlExercice 9. ˙Donner un équivalent de ∑ ∞k=n (−1)k ln(k)k(−1)nn 3/4 +cos(n)Demonstration de l’exercice 9. on regroupe deux par deux, et on utilise les sommations desrelations de comparaisonsExercice 10. ˙Étudier la nature de l’intégrale ´ +∞ | sin(2πt)|1 tdt et de la série ∑ | sin(2πk)|k>0 kDemonstration de l’exercice 10. un comparaison série intégrale est fortement recommandé.Exercice 11. ˙( )Étudier la série de terme général u n = ln (ln(n+1))2ln(n)ln(n+2)Demonstration de l’exercice 11. Avec de multiples dl ou en reflechissant un peu.Exercice 12. ˙Soit σ une bijection de N ∗ dans lui-même . Montrer que la série ∑ σ(n)nDemonstration de l’exercice 12. on minore une tranche de cauchy.Exercice 13. ˙Soit a n la suite dénfinie par a 0 > 0 et ∀n, a n+1 = ln(1 + a n ).Étudier la série de terme général a nindication : On pourra regarder le suite1a n+1− 1a nDemonstration de l’exercice 13. Avec l’indication,diverge.et se dire que cesaro est gentil.Exercice 14. ˙Soient (a n ) et (b n ) des suites réelles positives, on suppose que la série de terme général b n diverge.1 aOn suppose de plus que lim nn→∞ b n a n+1− 1b n+1= l. Montrer que si l > 0 alors la série de termegénéral a n converge et si l < 0 elle diverge.2

indication :on peut réécrire l’hypothèse sous la forme anb n− an+1b ∼ la n+1 n+1Demonstration de l’exercice 14. Avec l’indication+des petites reflexions et sommations desrelations de comparaison.Exercice 15. ˙Soit λ ∈]0, 1].Étudier la suite (x n ) n∈N défini par x 0 ∈ ]0, 1[ et pour tout n ∈ N, x n+1 = 1 − λx 2 n.Demonstration de l’exercice 15. p85 oraux xensExercice 16. ˙Soit∑a n une suite de réels strictement positifs qui décroit vers 0. Étudier la nature de la sériean−a n+1a n.Demonstration de l’exercice 16. p 134Exercice 17. ˙Soit u n une suite de réels strictement positifs. On pose S n sa some partielle et R n son reste (si celaa un sens).On suppose tout d’abord que la série de terme général u n diverge. Montrer que∑ unS α nconverge ⇐⇒ α > 1On suppose maintenant que la série converge. Montrer que∑ unR α nconverge ⇐⇒ α < 1Demonstration de l’exercice 17. p128Exercice 18. ˙Soit u n une suite de réelle décroissante de limite nulle.Montrer que si la série converge alors la suitenu n tend vers 0.Demonstration de l’exercice 18. p135Exercice 19. ˙Soit u n une suite de réels strictement positifs et S n sa somme partielle. On suppose que Snnu ntend∑1vers α > 0. Étudier la convergence et la limite den 2 u kukn.Soit u n et v n deux suitesde réels strictement positifs, S n la somme partielle des u n et T n celle deu. On suppose que Snnu n(resp Tnnv n) tend vers une limiteα > 0 (resp β). Étudier la convergence et la∑1limite den 2 u kuk nv nv k .Demonstration de l’exercice 19. p141Exercice 20 (centrale Mp). ˙Soit u n = ∑ np 1k=0 n+k où p ∈ N∗ est fixé.Montrer que u n converge vers une limite noté par la suite l.Soit f de R + dans C de classe C 1 et telle que f(0) = 0, montrer que v n = ∑ ( )npk=0 f 1n+kconvergevers une limite que l’on expirmera grâce à l.On prend maintenant f(x) = ln(1 + x) , calculer l.Pour terminer si on suppose seulement f continue, montrer que v n peut diverger.3

Demonstration de l’exercice 20. a) u n est décroissante, et majorée par pb) Par le théorème des accroissements finis, on montre que v n tend vers lf ′ (0)c)telescopage...d)prendre f(x) = √ x, surement d’autre marche mais bon.Exercice 21 (centrale Mp). ˙Soit f une fonction d’un intrevalle fermée I dans lui même,c 1 de dérivée inférieur à 1 en tout pointde l’intérieur.Montrer que f a un unique point fixe et avec une suite itéré définie à paritr de f elleconverge vers ca.4