macros minitab pour le calcul des courbes…

StatistiqueInformatiqueMathématiqueappliquées 2003MACROS MINITAB POUR LE CALCUL DES COURBESD'EFFICACITÉ LORS DU CONTRÔLE QUALITATIFÀ LA RÉCEPTION (ÉCHANTILLONNAGE SIMPLE)R. PALM *1. IntroductionLe contrôle à la réception a pour but de vérifier si un lot fourni par un producteur est dequalité satisfaisante ou si, au contraire, cette qualité est insuffisante. Concrètement, lorsquel'acheteur reçoit un lot, il prélève au hasard un échantillon d'articles et, en fonction desrésultats de l'examen de ces articles, l'acheteur accepte ou rejette le lot.Lors du contrôle qualitatif, on détermine, selon le cas, le nombre x d'articles nonconformes dans l'échantillon par rapport à des spécifications préalablement définies, ou bienle nombre de non-conformités présentes sur les articles de l'échantillon. Le lot est accepté sice nombre x est inférieur ou égal à une valeur a préalablement fixée.La taille n de l'échantillon et le nombre maximum a d'articles non conformes ou de nonconformitéssont définis avant le contrôle, en fonction du risque du producteur et du risque del'acheteur.Le risque du producteur correspond à la probabilité de rejeter le lot, alors que la qualitéde ce lot est satisfaisante. Le risque de l'acheteur est la probabilité d'accepter le lot, alors quela qualité du lot n'est pas satisfaisante.Ces notions de risque sont directement liées à la courbe d'efficacité du pland'échantillonnage qui donne la probabilité d'accepter le lot, en fonction de la qualité réelle dulot. Selon la situation envisagée, l'établissement de la courbe repose sur l'utilisation d'une destrois lois de probabilité suivantes : la distribution binomiale, la distribution hypergéométriqueou la distribution de POISSON.L'Unité de Statistique et Informatique de la FUSAGx 1 propose aux utilisateurs dulogiciel Minitab trois macros permettant le calcul de ces courbes d'efficacité pour les trois loisde probabilité. Ces macros, ainsi que les notices d'utilisation, sont disponibles depuis le siteWeb de l'Unité :www.fsagx.ac.be/si/en cliquant sur le lien Macros, puis sur le thème en question.* Professeur associé à la Faculté universitaire des Sciences agronomiques de Gembloux.1 Faculté universitaire des Sciences agronomiques de Gembloux (Belgique). Les macros présentées dans cettenote ont été mises au point par M. Guillaume M. NDOUMBE.- 1 -

SIMA 2003 FUSAGxLe principe de calcul et des exemples de résultats fournis par les macros sont donnésdans les paragraphes 2, 3 et 4 et une annexe reprend la liste des commandes permettantd'établir les différentes figures présentées dans le document.Des informations concernant les plans d'échantillonnage pour le contrôle à la réceptionsont données dans de nombreux ouvrages traitant du contrôle statistique de la qualité. Nousciterons uniquement l'ouvrage de SCHILLING [1982], entièrement consacré à l'échantillonnageà la réception.2. Macro CEFBIN : courbe d'efficacité pour la distribution binomialeOn prélève un échantillon d'effectif n dans un lot de taille supposée infinie et ondétermine le nombre d'articles non conformes x présents dans l'échantillon. Le lot est acceptési x ≤ a; il est rejeté si x > a, a étant fixé.La courbe d'efficacité donne, pour différentes valeurs de p, la probabilité :P ( X ≤ a p),en considérant que la variable aléatoire X suit une distribution binomiale de paramètres n et p.A titre d'illustration, soit n = 200 et a = 7. La courbe d'efficacité de ce plan est donnéedans la figure 1 et la figure 2 reprend les probabilités d'accepter le lot en fonction du niveaude qualité du lot.Figure 1. Courbe d'efficacité du plan d'échantillonnage défini par n = 200 et a = 7(distribution binomiale).- 2 -

SIMA 2003 FUSAGxECHANT 200.000A 7.00000Row P EFFICA1 0.00 1.000002 0.01 0.998993 0.02 0.950664 0.03 0.746105 0.04 0.450106 0.05 0.213307 0.06 0.082888 0.07 0.027429 0.08 0.00794Figure 2. Quelques valeurs de l'efficacité du plan d'échantillonnage défini par n = 200 et a = 7(distribution binomiale).On constate notamment que la probabilité d'accepter le lot est de 0,95066 si p = 0,02 etde 0,08288 si p = 0,06. Ces deux probabilités sont proches, d'une part, de 0,95 et, d'autre part,de 0,10. Le plan d'échantillonnage, défini par n = 200 et a = 7, avait précisément été établi demanière à ce que la courbe d'efficacité passe par les deux points mentionnés ci-dessus. Pource plan, le risque du producteur est donc de 5 % environ pour p = 0,02 et le risque del'acheteur est de l'ordre de 10 % pour p = 0,06.3. Macro CEFHYPG : courbe d'efficacité pour la distributionhypergéométriqueOn prélève un échantillon d'effectif n dans un lot de taille N et on détermine le nombred'articles non conformes x présents dans l'échantillon. Le lot est accepté si x ≤ a; il est rejeté six > a, a étant fixé.La courbe d'efficacité donne, pour différentes valeurs du nombre N1d'articles nonconformes dans le lot, la probabilité :( X )P ≤ a N 1en considérant que la variable aléatoire X suit une distribution hypergéométrique dont lesparamètres sont N, N1 et n.A titre d'illustration, soit le plan défini par n = 200 et a= 7. La figure 3 reprend lesprobabilités d'accepter le lot en fonction de N1 , et ce, pour trois valeurs croissantes de N. Lesvaleurs qui ont été retenues pour N1 sont fonction de N, de manière à obtenir les mêmesproportions de non conformes dans le lot (de 0 à 8 %, par pas de 1 %). On constate que pourN = 5000, les efficacités sont tout à fait comparables aux efficacités calculées, pour le mêmeplan d'échantillonnage, à partir de la loi binomiale (figure 2). Cette situation s'explique par la- 3 -

SIMA 2003 FUSAGxpropriété de convergence des lois hypergéométriques vers les lois binomiales lorsque Naugmente. Il résulte notamment de cette propriété que l'on peut, en pratique, remplacer la loihypergéométrique par la loi binomiale lorsque la fraction sondée n/N est inférieure à 10 % etque les nombres d'articles non conformes N1 et conformes N2= N − N1 sont supérieurs à n.Row N1/500eff/500 N1/1000 eff/1000 N1/5000 eff/50001 0 1.00000 0 1.00000 0 1.000002 5 1.00000 10 0.99993 50 0.999283 10 0.98842 20 0.96928 100 0.954234 15 0.79027 30 0.76351 150 0.749075 20 0.41368 40 0.43459 200 0.447306 25 0.14717 50 0.18371 250 0.207847 30 0.03889 60 0.06118 300 0.078648 35 0.00817 70 0.01686 350 0.025209 40 0.00143 80 0.00399 400 0.00705Figure 3. Quelques valeurs de l'efficacité du plan d'échantillonnage défini par n = 200 et a = 7pour des lots de taille 500, 1000 et 5000 (distribution hypergéométrique).4. Macro CEFPOISS : courbe d'efficacité pour la distribution de POISSONOn prélève un échantillon d'effectif n dans un lot de taille supposée infinie et ondénombre les non-conformités présentes sur les articles de l'échantillon. Le lot est accepté six ≤ a; il est rejeté si x > a, a étant fixé, x étant le nombre de non-conformités.La courbe d'efficacité donne, pour les différentes valeurs de m, la probabilité :( X a m)P ≤ ,en considérant que la variable aléatoire X suit une distribution de POISSON de paramètre m.A titre d'illustration, la figure 4 donne les probabilités d'acceptation du lot en fonctiondes valeurs de m et ce, pour trois valeurs de a.Row m/a=1 eff/a=1 m/a=7 eff/a=7 m/a=14 eff/a=141 0.0 1.00000 0 1.00000 0 1.000002 0.5 0.90980 2 0.99890 4 0.999983 1.0 0.73576 4 0.94887 8 0.982744 1.5 0.55783 6 0.74398 12 0.772025 2.0 0.40601 8 0.45296 16 0.367536 2.5 0.28730 10 0.22022 20 0.104867 3.0 0.19915 12 0.08950 24 0.019838 3.5 0.13589 14 0.03162 28 0.002739 4.0 0.09158 16 0.01000 32 0.00029Figure 4. Quelques valeurs de l'efficacité du plan d'échantillonnage pour a = 1, a = 7 et a = 14(distribution de POISSON).- 4 -

SIMA 2003 FUSAGxPour une valeur fixée de m, par exemple m = 4, on constate que la probabilité d'accepterle lot augmente avec a. Elle est de 0,09158 pour a = 1, de 0,94887 pour a = 7 et de 0,99998pour a = 14. Cette situation est évidemment logique, puisqu'on est d'autant moins sévère pourl'acceptation du lot que a est grand.On constate également que la taille de l'échantillon n'intervient pas de manière explicitedans l'établissement de la courbe d'efficacité. Son incidence est indirecte puisqu'elle semarque par l'intermédiaire de la moyenne m. Considérons, en effet, les deux plansd'échantillonnage suivants :n = 200, a = 7, et n = 400, a = 14.Dans les deux cas, on tolère au maximum 3,5 non-conformités pour 100 articlesexaminés. La comparaison de l'efficacité de ces deux plans doit se faire pour des niveaux dequalité identiques des deux lots. Ainsi, par exemple, à une moyenne m = 10 dans le cas dupremier plan doit correspondre une moyenne m = 20 dans le cas du second plan. En effet, unemoyenne de 10 non-conformités pour 200 articles signifie que le nombre moyen de nonconformitéspar article est de 0,05 ou encore de 5 non-conformités pour 100 articles. Pour ledeuxième plan, un nombre moyen de 5 non-conformités pour 100 pièces correspond donc àun nombre moyen de 20 non-conformités pour 400 articles. Les moyennes reprises dans lafigure 4 pour a = 7 et a = 14 sont donc comparables pour des échantillons de 200 et de400 unités. A qualité équivalente des lots, la probabilité d'accepter le lot pour n = 400 estsupérieure à celle pour n = 200 si la qualité est bonne (nombre moyen de non-conformités par100 articles inférieur à 3,5). La probabilité est par contre plus faible dans le cas n = 400 si laqualité du lot est moins bonne (nombre moyen de non-conformités par 100 articles supérieur à3,5).Enfin, si on compare, pour a = 7, les efficacités calculées à partir de la loi de POISSON(figure 4) et les efficacités calculées par la loi binomiale pour n = 200 et a = 7 (figure 2), onconstate que les résultats sont très proches, à qualité de lot équivalente. Pour la loi binomiale,cette qualité est exprimée sous la forme du nombre moyen d'articles non conformes pour100 articles et pour la loi de POISSON, la qualité est exprimée en nombre moyen de nonconformitéspour 100 articles. Par exemple, l'efficacité pour la loi binomiale est de 0,45010 sip = 0,04. Pour la loi de POISSON la qualité équivalente (moyenne de 4 non-conformités pour100 articles) correspond à m = 8, puisque n = 200. L'efficacité, dans ce cas, est de 0,45296.Cette similarité dans les résultats s'explique par la convergence des distributions binomialesvers les distributions de POISSON. Cette propriété de convergence justifie qu'on peut calculer,dans certaines conditions, de manière approchée les probabilités liées aux distributionsbinomiales par les distributions de POISSON :P( X a) ≈ P( Y ≤ a)≤ ,X étant une variable binomiale de paramètre n et p et Y étant une variable de POISSON deparamètre m = np. En pratique, on considère généralement que l'approximation estsatisfaisante si p < 0,10 et np < 5. Pour les cas envisagés ci-dessus, la seconde condition n'estpas toujours remplie, puisque m varie de 0 à 16. Il en résulte que les écarts relatifs sont plusimportants lorsque m est grand, l'approximation étant alors moins bonne.- 5 -

SIMA 2003 FUSAGx5. BibliographieSCHILLING E.G. [1982]. Acceptance sampling in quality control. New York, Dekker, 775 p.- 6 -

SIMA 2003 FUSAGx# FIGURE 1ANNEXECommandes utilisées pour l'établissement des figures 1 à 4%CEFBIN 200 7;prop 0 .08 .001;noprint.# FIGURE 2%CEFBIN 200 7;prop 0 .08 .01;noplot.# FIGURE 3%CEFHYPG 500 200 7;pop 0 40 5;out c1 c2;noplot;noprint.%CEFHYPG 1000 200 7;pop 0 80 10;noplot;out c3 c4;noprint.%CEFHYPG 5000 200 7;pop 0 400 50;out c5 c6;noplot;noprint.name c1 'N1/500' c2 'eff/500'name c3 'N1/1000' c4 'eff/1000'name c5 'N1/5000' c6 'eff/5000'print c1-c6# FIGURE 4%CEFPOISS 1;moy 0 4 .5;out c1 c2;noplot;noprint.%CEFPOISS 7;moy 0 16 2;out c3 c4;noplot;noprint.%CEFPOISS 14;moy 0 32 4;out c5 c6;noplot;noprint.name c1 'm/a=1' c2 'eff/a=1'name c3 'm/a=7' c4 'eff/a=7'name c5 'm/a=14' c6 'eff/a=14'print c1-c6- 7 -