Cours 7 : La géométrie de schwarzschild
Cours 7 : La géométrie de schwarzschild
Cours 7 : La géométrie de schwarzschild
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 1<strong>Cours</strong> 7 : <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong>
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 2Résumé du cours d’aujourd’hui– Le tenseur métrique symétrique et statique – géométrie <strong>de</strong>Schwarzschild.– Solution d’équations d’Einstein dans le vi<strong>de</strong> avec la géométrie <strong>de</strong>Schwarzschild. (Nous ferons vraiment la physique <strong>de</strong> relativitégénérale aujourd’hui !)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 3Le tenseur métrique symétrique etstatique – géométrie <strong>de</strong> Schwarzschild.– Je trouve que les manuels ne sont pas très claire pour ce sujet,donc j’ai utilisé un peu <strong>de</strong> (Hobson et al., 2010, Chapitre 9) et unpeu <strong>de</strong> (Schutz, 2009, chapitre 10).– Si vous lisez (Hobson et al., 2010), faites attention parce que :– le R α βµν <strong>de</strong> (Hobson et al., 2010) = −Rα βµν<strong>de</strong> (Schutz, 2009),– et donc R µν <strong>de</strong> (Hobson et al., 2010) = −R µν <strong>de</strong> (Schutz,2009),– et aussi le g µν <strong>de</strong> (Hobson et al., 2010) = −g µν <strong>de</strong> (Schutz,2009).– Une solution <strong>de</strong>s équations d’Einstein consiste à trouver letenseur métrique dans la région.– En générale c’est difficile à cause <strong>de</strong>s non-linéarités, mais nous
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 4cherchons la plus simple solution.– Considérons un objet massive sphérique qui ne change pas avecle temps.– Donc, nous attendons un tenseur métrique isotrope et statique.– Un tenseur métrique statique est un :1. qui a tout composants indépendant <strong>de</strong> temps :C’est-a-dire « stationnaire ».∂ t g αβ = 02. pour lequel l’élément <strong>de</strong> longueur ne change pas sous latransformation t → −t :ds 2 (t) = ds 2 (−t)– <strong>La</strong> <strong>de</strong>uxième condition implique que si on déroule un film avecretournement temporel, on voit aucune différence. Ce n’est pas lamême condition <strong>de</strong> la première. Nous pouvons le comprendre
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 5considérant une planète qui se tourne à un tau constant.
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 6Le tenseur métrique avec une symétriesphérique– Nous utiliserons les spatiale coordonnes sphérique(x 1 = r, x 2 = θ, x 3 = φ) dont l’élément <strong>de</strong> longueur dansl’espace-temps plate (Minkowski espace-temps) estds 2 = −dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )– Fixant dt = dr = 0, nous avons l’élément <strong>de</strong> longueur sur lasurface d’une <strong>de</strong>ux-sphère :dl 2 = r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (1)– Un espace-temps a une symétrie sphérique si chaque point est sur
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 7la surface d’une <strong>de</strong>ux-sphère, donc l’élément <strong>de</strong> longueur est :dl 2 = f(t, r) (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )où f(t, r) est une fonction arbitraire et le tenseur métrique estindépendant <strong>de</strong> position sur la sphère (g αβ n’est pas une fonction<strong>de</strong> θ et φ).– Nous pouvons définir une nouvelle coordonnée r ′ dontr ′2 = f(t, r)et nous récupérons la forme du élément <strong>de</strong> longueur (1), maisdans l’espace-temps courbe, bien entendu r ′ n’est forcement pasla distance radiale du centre <strong>de</strong> symétrie.– A un point P nous pouvons toujours choisir l’axe <strong>de</strong> r ′orthogonal <strong>de</strong>s axes θ et φ, donc⃗e r · ⃗e θ = 0⃗e r · ⃗e φ = 0. (2)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 8Mais si ci-<strong>de</strong>ssus est vérifie a un point sur la surface <strong>de</strong> la<strong>de</strong>ux-sphère puis c’est forcement vérifié a chaque point sur lasurface <strong>de</strong> la <strong>de</strong>ux-sphère dû <strong>de</strong> la symétrie sphérique.– Les <strong>de</strong>ux condition (2) impliquent queg rθ = g θr = 0g rφ = g φr = 0. (3)– Aussi, nous aurions pu arguer que si g rθ ≠ 0 puis nous aurionsavoir une direction préférable sur la surface <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux-sphère (pasla même <strong>de</strong>s autre directions). C’est-a-dire un déplacement <strong>de</strong> θ àθ + dθ ne serrait pas le même d’un déplacement dans l’autre sens.Mais ça contredirait la symétrie sphérique, et donc g rθ = 0. Et <strong>de</strong>la même façon, g rφ = 0.– Donc, l’élément <strong>de</strong> longueur dans l’espace-temps avec la symétrie
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 9d’une sphère n’est plus compliqué que :ds 2 = g tt dt 2 + 2g tr dt dr + 2g tθ dt dθ + 2g tφ dt dφ (4)+g rr dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (5)où nous avons omis le prime sur r ′ pour raisons <strong>de</strong> commodité.Mais nous pouvons le simplifier plus.– Pour la même raison que nous pouvons choisir les coordonnes où(3) sont vérifiés, nous avons dans l’espace-temps avec la symétriesphériqueg tθ = g θt = 0g tφ = g φt = 0. (6)Sinon, nous aurions avoir une direction préférable sur la surface<strong>de</strong> <strong>de</strong>ux-sphère (pas la même <strong>de</strong>s autre directions).– En fin, avec (6), nous avons l’élément <strong>de</strong> longueur dans
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 10l’espace-temps avec la symétrie d’une sphère estds 2 = g tt dt 2 + 2g tr dt dr + g rr dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7)voyez (Schutz, 2009, Eq. (10.5) dans autre notation).
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 11Le tenseur métrique statique avec unesymétrie sphérique– Maintenant nous imposons la <strong>de</strong>uxième condition, nous exigeonsque la métrique doit être statique aussi.– Rappelez-vous qu’il y a <strong>de</strong>ux aspects du statique : 1) le tenseurmétrique doit être stationnaire, 2) le changement t → −t nechange rien :∂ t g αβ = 0 (8)ds 2 (t) = ds 2 (−t) (9)– Que le tenseur métrique doit être stationnaire implique pour (7)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 12que :ds 2 = g tt (r)dt 2 + 2g tr (r)dt dr + g rr (r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )(10)– Que le changement t → −t ne change rien implique g rt = 0.Sinon, si nous déroulons un film avec retournement temporel, onverrait une différence.– Donc, nous sommes arrivé à la plus générale forme du tenseurmétrique statique et avec la symétrie sphérique :ds 2 = g tt (r)dt 2 + g rr (r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (11)C’est le même que (Hobson et al., 2010, Eq. (9.4)) et (Schutz,2009, Eq. (10.7) dans autre notation).
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 13Le système d’équations aux dérivéespartielles– Jusqu’à ce moment, nous n’avons pas utilisé les équationsd’Einstein ! Nous avons trouvé la forme <strong>de</strong> la solution.– Pour trouver les fonctions g rr (r) et g tt (r) nous utilisons leséquations d’Einstein.– Au début nous cherchons la structure d’espace-temps vi<strong>de</strong> autourd’un étoile sphérique ou un trou noire sans rotation, pour lequelles équations d’Einstein sontR µν = 0 (12)comme nous avons vu dans <strong>Cours</strong> 5 et <strong>Cours</strong> 6.
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 14– Et comme nous avons dérivé dans <strong>Cours</strong> 6,R αβ = ∂ σ Γ σ αβ − ∂ β Γ σ ασ + Γ λ αβΓ σ λσ − Γ λ ασΓ σ λβetΓ σ µν = 1 2 gσρ (∂ ν g ρµ + ∂ µ g ρν − ∂ ρ g µν )[Faites attention, le R µν <strong>de</strong> (Hobson et al., 2010) = −R µν <strong>de</strong>(Schutz, 2009).]– Donc (12) nous donne un système d’équations aux dérivéespartielles. Seulement 3 <strong>de</strong> les 4 × 4 équations sont intéressantes.– Les étapes ne sont pas difficiles, mais il y a beaucoup <strong>de</strong>s étapes !
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 15– Pour notre statique métrique avec symétrie spherique,⎡⎤g 00 (r) 0 0 00 g rr (r) 0 0(g αβ ) =⎢⎣ 0 0 r 2 0 ⎥⎦0 0 0 r 2 sin 2 (θ)– L’inverse est simple parce qu’il est diagonal⎡⎤1g 00 (r)0 0 01(g αβ 0g) =rr (r)0 0⎢⎣ 0 0 r −2 0 ⎥⎦0 0 0 r −2 sin −2 (θ)(13)(14)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 16Les symboles <strong>de</strong> Christoffel– Des 40 possibles symbole <strong>de</strong> Christoffel indépendants, seulement9 ne sont pas à zéro.– TD 7-1 : Chacun prend un <strong>de</strong> :Γ 0 αβΓ 1 αβΓ 2 αβΓ 3 αβ(15)et calculez pour tous les α, β ∈ {0, 1, 2, 3}. Ne oubliez pas quedonc chacun a 10 à calculer.Γ µ αβ = Γµ βα
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 17Les symboles <strong>de</strong> Christoffel– Il y a seulement les 9 ci-<strong>de</strong>ssous, plus ceux que l’on peut obtenird’eux <strong>de</strong> la symétrie Γ µ αβ = Γµ βα :Γ 0 01 = A ′ /(2A), Γ 1 00 = A ′ /(2B), Γ 1 11 = B ′ /(2B)Γ 1 22 = −r/B, Γ 1 33 = −(r sin 2 θ)/B, Γ 2 12 = 1/rΓ 2 33 = − sin θ cos θ, Γ 3 13 = 1/r, Γ 3 23 = cot θoù A ≡ g 00 et B ≡ −g rr .– Tous les autres sont nuls.(16)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 18Le tenseur <strong>de</strong> Ricci : R αβ– TD 7-2 : Chacun prend un rang du tenseur <strong>de</strong> Ricci :R 00 R 01 R 02 R 03R 10 R 11 R 12 R 13(17)R 20 R 21 R 22 R 23R 30 R 31 R 32 R 33– TD : Vérifiez avec les autres les terme en commun. [Ne oubliezpas que R αβ = R βα .]– TD : Solution : Pour R 00 par exemple :−R µν = ∂ ν Γ σ µσ − ∂ σ Γ σ µν + Γ ρ µσ Γ σ ρν − Γ ρ µν Γ σ ρσen générale−R 00 = ∂ t Γ σ 0σ − ∂ σ Γ σ 00 + Γ ρ 0σ Γσ ρ0 − Γ ρ 00 Γσ ρσ (18)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 19Et on peut le simplifier comme le suivant :∂ t Γ σ 0σ = 0notre métrique est stationaire par choixEn regardant dans Eq. (16), nous voyons que le seule symbole <strong>de</strong>Christoffel avec double zéro un bas est Γ 1 00 = A ′ /(2B) et doncnous prenons σ = 1 dans le <strong>de</strong>uxième terme :−∂ σ Γ σ 00 = −∂ r Γ 1 00= −∂ r (A ′ /(2B)) = −A ′′ /(2B) + A ′ B ′ /(2B 2 ) (19)Pour le troisième terme Γ ρ 0σ Γσ ρ0 nous <strong>de</strong>vons avoir un zéro enbas. Il y a seulement <strong>de</strong>ux termes dans Eq. (16) avec ça, Γ 0 01 et
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 20Γ 1 00. Et donc,Γ ρ 0σ Γσ ρ0 = Γ 0 01Γ 1 00 + Γ 1 00Γ 0 10 = 2Γ 0 01Γ 1 00= 2A ′ /(2A)A ′ /(2B)= A′22ABEt finalement le quatrième terme nous donne(20)−Γ ρ 00 Γσ ρσ = −Γ 1 00Γ σ 1σ()= −Γ 1 00 Γ 0 10 + Γ 1 11 + Γ 2 12 + Γ 3 13()= −A ′ /(2B) A ′ /(2A) + B ′ /(2B) + 1/r + 1/r(21)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 21– Et donc,−R 00 = −A′′(2B) + A′ B ′− A′(2B)(2B 2 ) + A′22AB( A′(2A) + B′(2B) + 2 r= − A′′2B + A′ B ′4B 2 + A′24AB − A′rB)(22)Remarquez qu’il y a une faute dans (Hobson et al., 2010,Eq. (9.8)) ; le B ′ dans le <strong>de</strong>rnier terme <strong>de</strong>vrait être B.
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 24Résoudre les equations– Hobson et al. (2010) trouvent la solution avec les première 3équations.– Ici, nous trouverons la solution avec seulement les première 2équations. (Mais bien sur on peut vérifier que les 2 autres sontvérifie aussi.)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 25– Prenons R 00 B/A + R 11 et trouvons− A′rA − B′rB = 0A ′A + B′B = 0,=d(AB)drABoù j’ai multiplié par : (−r)d(AB)= 0drAB = constant = α (24)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 26– Remplacez B avec α/A dans l’équation R 00 , nous trouvons[ ]0 = − A′′ A2α+ A′ A A′4α A − αA′ − A′ AαA rα0 = − A [ ] A′′α 2 + A′r[ ] A′′0 =2 + A′pour solution non-trivialer0 = 2A ′ + rA ′′d(rA ′ )= −A ′drrA ′ + A + β = 0β est un constant d’integrationdAdr = −A + βrdAA + β = −dr rln(A + β) + ln(r) + γ = 0 γ est un constant d’integration(25)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 27– continuation . . .ln(A + β) + ln(r) + γ = 0(A + β)r = − exp(γ)(A(r) = α 1 + k )rγ est un constant d’integrationnouvelles constantes– Parce que A B = α,B(r) = 11 + k r– TD : Vérifiez que la solution pour A(r) et B(r) ci-<strong>de</strong>ssus résoutles 4 équations pour R αα = 0. Chacun choisissez une.– Ils <strong>de</strong>vraient résoudre−R 22 = 1 B − 1 + r ( ) A′2B A − B′B(26)R 33 = sin 2 θR 22 (27)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 28Interpretation <strong>de</strong>s constants– Rappelez-vous <strong>de</strong> la limite newtonienneA(r) = g 00 ≈ c 2 + 2Φ = c 2 − 2 G M roù Φ est le potentiel gravitationnel newtonien, M est la masse <strong>de</strong>l’étoile, G est le constant gravitationnel, r est la distance ducentre <strong>de</strong> masse. Donc,α = c 2– Finalement, l’intervalle est(ds) 2 = −c 2 (1 − 2 G Mc 2 r)(dt) 2 +k = −2 G Mc 2(1 − 2 G Mc 2 r) −1(dr) 2 (28)r 2 (dθ) 2 + r 2 sin 2 θ (dφ) 2 (29)
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 29Ceci est le métrique <strong>de</strong> Schwarzschild.– TD : Qu’est-ce-que vous pensez se produit lorsquer = 2 G Mc 2 ?
<strong>Cours</strong> 7: <strong>La</strong> géométrie <strong>de</strong> <strong>schwarzschild</strong> 30RéférencesHobson, M., G. Efstathiou, and A. <strong>La</strong>senby (2010), RelativitéGénérale, <strong>de</strong> boeck, Bruxelles.Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, CambridgeUniversity Press, Cambridge UK.