Cours 7 : La géométrie de schwarzschild

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 1Cours 7 : La géométrie de schwarzschild

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 2Résumé du cours d’aujourd’hui– Le tenseur métrique symétrique et statique – géométrie deSchwarzschild.– Solution d’équations d’Einstein dans le vide avec la géométrie deSchwarzschild. (Nous ferons vraiment la physique de relativitégénérale aujourd’hui !)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 3Le tenseur métrique symétrique etstatique – géométrie de Schwarzschild.– Je trouve que les manuels ne sont pas très claire pour ce sujet,donc j’ai utilisé un peu de (Hobson et al., 2010, Chapitre 9) et unpeu de (Schutz, 2009, chapitre 10).– Si vous lisez (Hobson et al., 2010), faites attention parce que :– le R α βµν de (Hobson et al., 2010) = −Rα βµνde (Schutz, 2009),– et donc R µν de (Hobson et al., 2010) = −R µν de (Schutz,2009),– et aussi le g µν de (Hobson et al., 2010) = −g µν de (Schutz,2009).– Une solution des équations d’Einstein consiste à trouver letenseur métrique dans la région.– En générale c’est difficile à cause des non-linéarités, mais nous

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 4cherchons la plus simple solution.– Considérons un objet massive sphérique qui ne change pas avecle temps.– Donc, nous attendons un tenseur métrique isotrope et statique.– Un tenseur métrique statique est un :1. qui a tout composants indépendant de temps :C’est-a-dire « stationnaire ».∂ t g αβ = 02. pour lequel l’élément de longueur ne change pas sous latransformation t → −t :ds 2 (t) = ds 2 (−t)– La deuxième condition implique que si on déroule un film avecretournement temporel, on voit aucune différence. Ce n’est pas lamême condition de la première. Nous pouvons le comprendre

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 5considérant une planète qui se tourne à un tau constant.

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 6Le tenseur métrique avec une symétriesphérique– Nous utiliserons les spatiale coordonnes sphérique(x 1 = r, x 2 = θ, x 3 = φ) dont l’élément de longueur dansl’espace-temps plate (Minkowski espace-temps) estds 2 = −dt 2 + dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )– Fixant dt = dr = 0, nous avons l’élément de longueur sur lasurface d’une deux-sphère :dl 2 = r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (1)– Un espace-temps a une symétrie sphérique si chaque point est sur

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 7la surface d’une deux-sphère, donc l’élément de longueur est :dl 2 = f(t, r) (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )où f(t, r) est une fonction arbitraire et le tenseur métrique estindépendant de position sur la sphère (g αβ n’est pas une fonctionde θ et φ).– Nous pouvons définir une nouvelle coordonnée r ′ dontr ′2 = f(t, r)et nous récupérons la forme du élément de longueur (1), maisdans l’espace-temps courbe, bien entendu r ′ n’est forcement pasla distance radiale du centre de symétrie.– A un point P nous pouvons toujours choisir l’axe de r ′orthogonal des axes θ et φ, donc⃗e r · ⃗e θ = 0⃗e r · ⃗e φ = 0. (2)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 8Mais si ci-dessus est vérifie a un point sur la surface de ladeux-sphère puis c’est forcement vérifié a chaque point sur lasurface de la deux-sphère dû de la symétrie sphérique.– Les deux condition (2) impliquent queg rθ = g θr = 0g rφ = g φr = 0. (3)– Aussi, nous aurions pu arguer que si g rθ ≠ 0 puis nous aurionsavoir une direction préférable sur la surface de deux-sphère (pasla même des autre directions). C’est-a-dire un déplacement de θ àθ + dθ ne serrait pas le même d’un déplacement dans l’autre sens.Mais ça contredirait la symétrie sphérique, et donc g rθ = 0. Et dela même façon, g rφ = 0.– Donc, l’élément de longueur dans l’espace-temps avec la symétrie

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 9d’une sphère n’est plus compliqué que :ds 2 = g tt dt 2 + 2g tr dt dr + 2g tθ dt dθ + 2g tφ dt dφ (4)+g rr dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (5)où nous avons omis le prime sur r ′ pour raisons de commodité.Mais nous pouvons le simplifier plus.– Pour la même raison que nous pouvons choisir les coordonnes où(3) sont vérifiés, nous avons dans l’espace-temps avec la symétriesphériqueg tθ = g θt = 0g tφ = g φt = 0. (6)Sinon, nous aurions avoir une direction préférable sur la surfacede deux-sphère (pas la même des autre directions).– En fin, avec (6), nous avons l’élément de longueur dans

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 10l’espace-temps avec la symétrie d’une sphère estds 2 = g tt dt 2 + 2g tr dt dr + g rr dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (7)voyez (Schutz, 2009, Eq. (10.5) dans autre notation).

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 11Le tenseur métrique statique avec unesymétrie sphérique– Maintenant nous imposons la deuxième condition, nous exigeonsque la métrique doit être statique aussi.– Rappelez-vous qu’il y a deux aspects du statique : 1) le tenseurmétrique doit être stationnaire, 2) le changement t → −t nechange rien :∂ t g αβ = 0 (8)ds 2 (t) = ds 2 (−t) (9)– Que le tenseur métrique doit être stationnaire implique pour (7)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 12que :ds 2 = g tt (r)dt 2 + 2g tr (r)dt dr + g rr (r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )(10)– Que le changement t → −t ne change rien implique g rt = 0.Sinon, si nous déroulons un film avec retournement temporel, onverrait une différence.– Donc, nous sommes arrivé à la plus générale forme du tenseurmétrique statique et avec la symétrie sphérique :ds 2 = g tt (r)dt 2 + g rr (r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (11)C’est le même que (Hobson et al., 2010, Eq. (9.4)) et (Schutz,2009, Eq. (10.7) dans autre notation).

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 13Le système d’équations aux dérivéespartielles– Jusqu’à ce moment, nous n’avons pas utilisé les équationsd’Einstein ! Nous avons trouvé la forme de la solution.– Pour trouver les fonctions g rr (r) et g tt (r) nous utilisons leséquations d’Einstein.– Au début nous cherchons la structure d’espace-temps vide autourd’un étoile sphérique ou un trou noire sans rotation, pour lequelles équations d’Einstein sontR µν = 0 (12)comme nous avons vu dans Cours 5 et Cours 6.

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 14– Et comme nous avons dérivé dans Cours 6,R αβ = ∂ σ Γ σ αβ − ∂ β Γ σ ασ + Γ λ αβΓ σ λσ − Γ λ ασΓ σ λβetΓ σ µν = 1 2 gσρ (∂ ν g ρµ + ∂ µ g ρν − ∂ ρ g µν )[Faites attention, le R µν de (Hobson et al., 2010) = −R µν de(Schutz, 2009).]– Donc (12) nous donne un système d’équations aux dérivéespartielles. Seulement 3 de les 4 × 4 équations sont intéressantes.– Les étapes ne sont pas difficiles, mais il y a beaucoup des étapes !

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 15– Pour notre statique métrique avec symétrie spherique,⎡⎤g 00 (r) 0 0 00 g rr (r) 0 0(g αβ ) =⎢⎣ 0 0 r 2 0 ⎥⎦0 0 0 r 2 sin 2 (θ)– L’inverse est simple parce qu’il est diagonal⎡⎤1g 00 (r)0 0 01(g αβ 0g) =rr (r)0 0⎢⎣ 0 0 r −2 0 ⎥⎦0 0 0 r −2 sin −2 (θ)(13)(14)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 16Les symboles de Christoffel– Des 40 possibles symbole de Christoffel indépendants, seulement9 ne sont pas à zéro.– TD 7-1 : Chacun prend un de :Γ 0 αβΓ 1 αβΓ 2 αβΓ 3 αβ(15)et calculez pour tous les α, β ∈ {0, 1, 2, 3}. Ne oubliez pas quedonc chacun a 10 à calculer.Γ µ αβ = Γµ βα

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 17Les symboles de Christoffel– Il y a seulement les 9 ci-dessous, plus ceux que l’on peut obtenird’eux de la symétrie Γ µ αβ = Γµ βα :Γ 0 01 = A ′ /(2A), Γ 1 00 = A ′ /(2B), Γ 1 11 = B ′ /(2B)Γ 1 22 = −r/B, Γ 1 33 = −(r sin 2 θ)/B, Γ 2 12 = 1/rΓ 2 33 = − sin θ cos θ, Γ 3 13 = 1/r, Γ 3 23 = cot θoù A ≡ g 00 et B ≡ −g rr .– Tous les autres sont nuls.(16)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 18Le tenseur de Ricci : R αβ– TD 7-2 : Chacun prend un rang du tenseur de Ricci :R 00 R 01 R 02 R 03R 10 R 11 R 12 R 13(17)R 20 R 21 R 22 R 23R 30 R 31 R 32 R 33– TD : Vérifiez avec les autres les terme en commun. [Ne oubliezpas que R αβ = R βα .]– TD : Solution : Pour R 00 par exemple :−R µν = ∂ ν Γ σ µσ − ∂ σ Γ σ µν + Γ ρ µσ Γ σ ρν − Γ ρ µν Γ σ ρσen générale−R 00 = ∂ t Γ σ 0σ − ∂ σ Γ σ 00 + Γ ρ 0σ Γσ ρ0 − Γ ρ 00 Γσ ρσ (18)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 19Et on peut le simplifier comme le suivant :∂ t Γ σ 0σ = 0notre métrique est stationaire par choixEn regardant dans Eq. (16), nous voyons que le seule symbole deChristoffel avec double zéro un bas est Γ 1 00 = A ′ /(2B) et doncnous prenons σ = 1 dans le deuxième terme :−∂ σ Γ σ 00 = −∂ r Γ 1 00= −∂ r (A ′ /(2B)) = −A ′′ /(2B) + A ′ B ′ /(2B 2 ) (19)Pour le troisième terme Γ ρ 0σ Γσ ρ0 nous devons avoir un zéro enbas. Il y a seulement deux termes dans Eq. (16) avec ça, Γ 0 01 et

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 20Γ 1 00. Et donc,Γ ρ 0σ Γσ ρ0 = Γ 0 01Γ 1 00 + Γ 1 00Γ 0 10 = 2Γ 0 01Γ 1 00= 2A ′ /(2A)A ′ /(2B)= A′22ABEt finalement le quatrième terme nous donne(20)−Γ ρ 00 Γσ ρσ = −Γ 1 00Γ σ 1σ()= −Γ 1 00 Γ 0 10 + Γ 1 11 + Γ 2 12 + Γ 3 13()= −A ′ /(2B) A ′ /(2A) + B ′ /(2B) + 1/r + 1/r(21)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 21– Et donc,−R 00 = −A′′(2B) + A′ B ′− A′(2B)(2B 2 ) + A′22AB( A′(2A) + B′(2B) + 2 r= − A′′2B + A′ B ′4B 2 + A′24AB − A′rB)(22)Remarquez qu’il y a une faute dans (Hobson et al., 2010,Eq. (9.8)) ; le B ′ dans le dernier terme devrait être B.

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 24Résoudre les equations– Hobson et al. (2010) trouvent la solution avec les première 3équations.– Ici, nous trouverons la solution avec seulement les première 2équations. (Mais bien sur on peut vérifier que les 2 autres sontvérifie aussi.)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 25– Prenons R 00 B/A + R 11 et trouvons− A′rA − B′rB = 0A ′A + B′B = 0,=d(AB)drABoù j’ai multiplié par : (−r)d(AB)= 0drAB = constant = α (24)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 26– Remplacez B avec α/A dans l’équation R 00 , nous trouvons[ ]0 = − A′′ A2α+ A′ A A′4α A − αA′ − A′ AαA rα0 = − A [ ] A′′α 2 + A′r[ ] A′′0 =2 + A′pour solution non-trivialer0 = 2A ′ + rA ′′d(rA ′ )= −A ′drrA ′ + A + β = 0β est un constant d’integrationdAdr = −A + βrdAA + β = −dr rln(A + β) + ln(r) + γ = 0 γ est un constant d’integration(25)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 27– continuation . . .ln(A + β) + ln(r) + γ = 0(A + β)r = − exp(γ)(A(r) = α 1 + k )rγ est un constant d’integrationnouvelles constantes– Parce que A B = α,B(r) = 11 + k r– TD : Vérifiez que la solution pour A(r) et B(r) ci-dessus résoutles 4 équations pour R αα = 0. Chacun choisissez une.– Ils devraient résoudre−R 22 = 1 B − 1 + r ( ) A′2B A − B′B(26)R 33 = sin 2 θR 22 (27)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 28Interpretation des constants– Rappelez-vous de la limite newtonienneA(r) = g 00 ≈ c 2 + 2Φ = c 2 − 2 G M roù Φ est le potentiel gravitationnel newtonien, M est la masse del’étoile, G est le constant gravitationnel, r est la distance ducentre de masse. Donc,α = c 2– Finalement, l’intervalle est(ds) 2 = −c 2 (1 − 2 G Mc 2 r)(dt) 2 +k = −2 G Mc 2(1 − 2 G Mc 2 r) −1(dr) 2 (28)r 2 (dθ) 2 + r 2 sin 2 θ (dφ) 2 (29)

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 29Ceci est le métrique de Schwarzschild.– TD : Qu’est-ce-que vous pensez se produit lorsquer = 2 G Mc 2 ?

Cours 7: La géométrie de schwarzschild 30RéférencesHobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), RelativitéGénérale, de boeck, Bruxelles.Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, CambridgeUniversity Press, Cambridge UK.