Les TD - Université Jean Monnet

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean MonnetExercice 1 : Interférences entre deux ondes planes1- Soient deux ondes planes cohérentes de longueurd’onde et de même intensité définies par leur vecteurk zd’onde k 1et k 2. Ces vecteurs d’onde appartiennent auplan (yOz) et font entre eux un angle . Ces deux ondes sek 21Oécranysuperposent et interfèrent sur l’écran (plan xOz).a- Donner l’expression de l’intensité résultante dans lazone de recouvrement en fonction de et . En déduirel’expression de l’intensité en n’importe quel point du plan(xOz).b- Quelle sont la forme et l’orientation des franges d’interférence sur l’écran ? Faire unschéma.c- Déterminer l’expression de l’interfrange en fonction de et .2- On a représenté, sur les schémas ci-dessous, des ondes planes polarisées linéairement parleur vecteur d’onde et leur champ électrique. Tracez dans chaque cas l’allure des frangesd’interférence dans le plan de la feuille.E 1 E 2k E E k 12k 122k 1E 1E 2E k 1E k 212k 2k 1Comment varie l’interfrange lorsque l’angle entre les deux faisceaux augmente ?Comment varie l’interfrange lorsque la longueur d’onde augmente ?Exercice 2 : Fabrication d’un réseau de diffraction par insolation interférométriquelaserSystèmeafocalLame semiréfléchissantemiroiryxmiroirEchantillon comportant unecouche photo-sensible

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean MonnetOn utilise le montage schématisé ci-dessus pour éclairer un échantillon comportant unecouche photo-sensible par un interférogramme.Le montage optique est constitué d’une source laser émettant un faisceau de longueur d’onde = 244 nm, d’un système afocal permettant d’élargir le faisceau laser, d’une lame semiréfléchissantequi sépare le faisceau élargi en deux parties de même amplitude, de deuxmiroirs identiques qu’on supposera parfaitement réfléchissants et de l’échantillon sur lequelon souhaite inscrire un réseau de diffraction.1- Le système afocal permet de multiplier le diamètre du faisceau par 10, donner la relationliant les distances focales des deux lentilles.2- La lame semi-réfléchissante est inclinée de 45° par rapport au faisceau incident, l’angled’incidence sur chacun des miroirs est de 45° et les deux miroirs sont placés à égale distancede la lame semi-réfléchissante. L’échantillon intercepte les deux faisceaux dans leur zone derecouvrement et est positionné de telle sorte que les angles d’incidence de chacun desfaisceaux sur l’échantillon sont égaux et opposés. Quelle est la valeur de l’angle d’incidencede chacun des faisceaux sur l’échantillon ? On notera ces angles respectivement i et –i.3- Soit k 1 et k 2 (les grandeurs vectorielles sont notées en gras) les vecteurs d’onde des deuxondes planes incidentes sur l’échantillon. Donner les coordonnées de k 1 et k 2 dans le repère(x,y) en fonction de i.4- On note ~ j(t 1 )S1M, t S01el’amplitude complexe de l’onde de vecteur d’onde k 1 .Exprimer S 01 en fonction de l’amplitude S 0 de l’onde en sortie du laser. Donner l’expression~de 1 . En déduire l’expression S2M, tde l’amplitude complexe de l’onde de vecteur d’ondek 2 .5- Justifier le fait que les deux ondes interfèrent dans leur zone de recouvrement.6- Quelle est l’expression de l’intensité I(x) dans la zone de recouvrement ?7- Représenter sur un schéma : l’échantillon, le repère (x,y), les deux faisceaux incidents, lazone de recouvrement des deux faisceaux et la direction des franges d’interférence.8- Quelle est l’expression de l’interfrange d en fonction de et de i? On ne fera pasl’approximation des petits angles car i n’est pas petit.9- En réalité la lame n’est pas 50/50 mais elle réfléchit 40% et transmet 60%. Quelle estl’expression de l’intensité I’(x) du signal d’interférence.10- En déduire la valeur du contraste du signal d’interférence.11- Pour inscrire l’interférogramme dans la couche photo-sensible de l’échantillon, ce dernierdoit être exposé durant 5 minutes à l’intensité I’(x). Pendant ce temps il est possible d’induireune variation de phase entre les deux bras de l’interféromètre. En effet, si quelqu’un parle àproximité du montage, les ondes acoustiques émises peuvent induire des variations localesd’indice de réfraction sur le montage et modifier le trajet optique des faisceaux. Supposonsainsi que le trajet optique d’un des deux faisceaux soit augmenté de la quantité e(n-1). Quelleinfluence cela a-t-il sur l’expression de l’amplitude complexe du signal d’interférence ?Quelle est alors l’expression I’’(x) de l’intensité du signal d’interférence ? Quel commentairepouvez-vous faire sur l’expérience d’insolation ?Exercice 3 : Miroir de FresnelUne source ponctuelle S est placée à la distance d = SO de l’arête O entre deux miroirs M 1 etM 2 faisant entre eux un petit angle . M 1 et M 2 ont le même coefficient de réflexion.Les faisceaux réfléchis par les deux miroirs sont représentés sur la figure ci-dessus. Tout sepasse comme si les faisceaux réfléchis respectivement par M 1 et M 2 provenaient de deuxsources secondaires virtuelles S 1 et S 2 .

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean MonnetLa superposition des ondes lumineuses, ainsi générées, produit des interférences que l’onobserve sur un écran positionné à une distance D = OO’ de l’arête entre les deux miroirs.SxM 1O’O M 21-Tracer les rayons issus de S et réfléchis par M 1 et M 2 . En déduire que la figured’interférence observée sur l’écran est celle produite par deux sources ponctuelles S’ 1 et S’ 2émettant des ondes sphériques.2-Soit M un point sur l’écran, donner l’expression complexe des deux fonctions d’onde sesuperposant en M.3-Déterminer l’intensité de l’onde résultante au point M en fonction de D, d = SO et , enfaisant l’hypothèse suivante : OO’ >> O’M et S’ 1 S’ 24-Quelle est la forme des franges d’interférence ? quelle est l’expression de l’interfrange i enfonction de D, d, et ?Exercice 4 : Trous d’Young1- Considérons l’expérience des trous d’Young suivante où les trous, supposés très petits, sontéclairés par une onde plane monochromatique de longueur d’onde en incidence normale surle plan des trous. Les deux trous sont distants de a. On observe les interférences sur un écran(plan xOz) situé à une distance D du plan des trous.zT 1T 2r 2r 1MOya- Quel type d’onde émerge des trous ?b- Donner l’expression de l’intensité en M en fonction de r 1 , r 2 et .c- On suppose à partir de maintenant que D >> a et D >> OM. Déterminer l’expression del’intensité en M en fonction des coordonnées du point M, de a, D et de en détaillant votredémarche.d- Tracer les franges d’interférence dans le plan de l’écran en indiquant bien sur votre schémal’orientation des différents axes.2-On reprend l’expérience de la question précédente mais cette fois l’onde plane qui éclaire leplan des trous n’est plus en incidence normale. Elle fait un angle avec l’axe y.a- Déterminer le déphasage entre les deux ondes qui interfèrent en M en fonction de y, a, D, et de b- Comment le diagramme d’interférence est-il modifié par rapport à la question 5 ?3- On remplace l’onde plane monochromatique par une onde plane polychromatique.Expliquer les changements observés sur l’écran en les justifiant succinctement.

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean MonnetExercice 5 : Fentes d’YoungConsidérons l’expérience des fentes d’Young. Observerait-on un diagramme d’interférence enremplaçant la fente S par une lampe à long filament ? Que se passerait-il si on remplaçait lesfentes S 1 et S 2 par deux lampes à filament ?Exercice 6 : Ordres de grandeur de longueur de cohérence pour différentes sources.a) Déterminer la longueur et le temps de cohérence d’une lampe à vapeur de mercure delargeur spectrale Δλ 1/2 = 10 nm autour de λ 0 = 546 nm. Quelle est l’effet de la pression de lavapeur de mercure sur le temps de cohérence?b) Déterminer la longueur et le temps de cohérence d’un laser hélium-néon émettant uneradiation dans le rouge à λ 0 =632.8 nm et de largeur spectrale Δν 1/2 = 1.4 GHz.Exercice 7 : Raie spectrale à profil GaussienOn considère un dispositif interférentiel donnant d’une source lumineuse ponctuelle S deuximages S 1 et S 2 , telles que S 1 S 2 = s, se comportant comme deux sources lumineuses vibranten phase.On observe les interférences sur un écran E parallèle au segment S 1 S 2 et situé à la distance Dde celui-ci, telle que D >> s.1- La source émettant une radiation monochromatique de longueur d’onde 0 , décrirebrièvement les phénomènes observés sur E. Donner l’expression de l’intensité au point M deE d’abscisse x en fonction de la différence de marche (x) en M et du nombre d’onde = 1/.2- Du fait de l’agitation thermique, le flux énergétique émis par la source est réparticontinûment dans un intervalle de nombres d’onde centré autour d’une valeur 0 . Onadmettra que pour une bande infinitésimale de nombres d’onde compris entre et + d, lasource se comporte comme si elle était monochromatique, de nombre d’onde et d’intensitéde la forme dI = I 0 () d.I 0 (),densité spectrale d’intensité, est telle que :2 0 I0I0exp pour > 0 a I 0 () = 0 pour < 0.Calculer l’intensité produite au point M par la source.On sera amené à évaluer des intégrales entre les bornes 0 et +.On admettra que la fonction I 0 () décroît de façon suffisamment rapide (raie « fine ») pourqu’on puisse les assimiler aux intégrales analogues entre les bornes - et +.On donne : 2xe 2 2x 4 dx , e cosxdx e 2x , e sin x dx 0.3- Retrouver les résultats obtenus pour une radiation monochromatique.4- Indiquer l’allure des courbes représentatives I 0 () et V(), visibilité, pour différentesvaleurs de a. donner une définition de la largeur de la raie. Calculer la finesse F = 0 / .5- On donne 0 = 2. 10 6 m -1 , soit 0 = 0,5 µm. Quelle doit être la finesse de la raie pourqu’on puisse observer 10 franges de part et d’autre de la frange centrale avec un contraste égalà 1 à 10 -3 près ?Exercice 8 : Mesure de la distance angulaire des composantes d’une étoile doubleUne lunette astronomique est constituée d’un objectif L 1 , assimilable à une lentille mince dedistance focale f = 1 m, et d’un oculaire L 2 mis au point sur le plan focal de L 1 . Par une nuit

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean Monnetclaire on la dirige vers un groupe de deux étoiles très voisines S 1 et S 2 qu’on supposeraponctuelles étant donné leur éloignement ; elles émettent une même lumièremonochromatique de longueur d’onde et leurs intensités sont respectivement I 0 et I 0 ’.La face d’entrée de l’objectif est masqué par un écran E percé de deux fentes fines etparallèles F 1 et F 2 dont on peut faire varier la distance e.1- Montrer que, pour une valeur donnée de e, on observe en général des frangesd’interférence rectilignes dans le plan focal image P de L 1 . Déterminer l’interfrange. Onprendra e = 6 mm et = 0,6 µm.2- On suppose S 1 et S 2 de même intensité. Montrer que les franges d’interférencedisparaissent pour certaines valeurs de e.3- La plus petite distance entre F 1 et F 2 pour laquelle les franges disparaissent est e m = 52mm. Quelle est la distance angulaire entre les deux étoiles ?4- On ne suppose plus que S 1 et S 2 ont même intensité. Montrer que le contraste du systèmede franges observé passe malgré tout par des minima pour les valeurs de e trouvées à laquestion 2.Exercice 9 : Frange achromatiqueDeux fentes d’Young F 1 et F 2 percées dans un plan opaque P et séparées d’une distance asont éclairées à l’aide d’une source ponctuelle placée au foyer d’une lentille convergente L. lasource est une source de lumière blanche et la distance focale de la lentille est indépendantede la longueur d’onde de la lumière.1- Décrire l’aspect d’un écran E placé après P, à une distance D (D>>a) de ce dernier.L’indice de l’air où se déroule l’expérience est n 0 = 1.2- On place devant F 1 une lame à face parallèle d’épaisseur e = 0,1 mm et d’indice n = 1,5indépendant de la longueur d’onde de la lumière. Décrire le phénomène observé sur l’écran.On prendra D = 1 m e a = 1 mm.3- L’indice de la lame dépend en fait de la longueur d’onde la lumière suivant laBloi : n A , A et B étant des constantes. L’observation montre alors sur l’écran une2frange qui paraît blanche ; c’est la frange « achromatique ». dans ce cas en effet la différencede marche relative à chaque point de E dépend de la longueur d’onde ainsi que l’ordred’interférence et il n’y a plus a priori de frange blanche. L’ordre d’interférence peut êtrestationnaire en un certain point de l’écran si la longueur d’onde est voisine d’une valeurdonnée ; une petite variation de longueur d’onde à partir de cette valeur ne fait alorspratiquement pas varier l’ordre d’interférence au point considéré. Si la longueur d’onde enquestion est = 0,56 µm, pour laquelle l’efficacité visuelle passe par un maximum trèsmarqué, on observe la frange achromatique. Quelle est la position de la frange achromatique .On a n = 1,5 pour = 0,56 µm et B = 10 -2 µm²4- Pour déterminer l’épaisseur e d’une lame à faces parallèles d’indice n on mesure enlumière blanche sur l’écran E le déplacement de la frange blanche (ou qui paraît telle) produitpar l’introduction de la lame devant F 1 . quelle erreur relative commet-on sur la mesure de een considérant que n ne dépend pas de la longueur d’onde ?Exercice 10 : Interféromètre de Mach-ZenderUn interféromètre est représenté en coupe sur la figure ci-dessous. B et D sont deux miroirsplans. A et C sont deux lames semi-réfléchissantes d'épaisseur négligeable. Une sourceponctuelle S de lumière monochromatique est placée au foyer de l'objectif L 1 . La longueurd'onde de la radiation émise est = 0,5 µm. Les séparatrices A et C sont identiques et sontparallèles aux miroirs B et D. L'angle d'incidence des rayons lumineux est de 45° sur chacunede ces quatre pièces optiques. AB = DC = BC = AD.

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean Monnet1- Sur le trajet BC, normalement aux rayons lumineux, est interposée une lame N d'épaisseure et d'indice n, à faces planes et parallèles.a- Montrer qu'à la sortie de l'interféromètre, on obtient deux ondes planes cohérentes.b- Calculer la différence de phase 0 qui existe entre ces deux ondes en fonction de e et de n.Ces deux ondes peuvent-elles interférer?c- L'intensité I 0 de la source est la même dans toutes les directions. Calculer l'intensité duphénomène d'interférence sachant que le facteur de réflexion des miroirs est égal à 1 et que lesfacteurs de transmission et de réflexion en intensité des séparatrices sont égaux à 0,5.2- Le champ d'interférences est observé en plaçant l'œil au foyer image de l'objectifconvergent L 2 . En son foyer objet, est placée la lame N qui est recouverte en partie par unelame P à faces planes et parallèles d'épaisseur e' et d'indice n '.a- Quelle est la valeur de la différence de phase qui existe entre deux ondes qui émergent del'interféromètre au niveau de la lame P ?b- Quel est l'aspect du champ? Montrer que la lame P est visible avec un contraste tel que = (I objet - I fond ) / (I objet + I fond ).Avec I fond : intensité du phénomène d'interférence pour les rayons qui ont traversé seulementN et I Objet : intensité du phénomène d'interférence au niveau de la lame P. On donne n = 1,5;n' = 1,4 et e = 10 mm ;Etudier les trois cas suivants: e' = 1,25 µm, e' = 0,625 µm et e' = 0,31 µm.3- On fait tourner D d'un angle de deux minutes d'arc.a- Que devient l'aspect du champ (P n'existe pas). Calculer l'interfrange.b- La lame N est recouverte par la lame P. Décrire le nouvel aspect du champ.Exercice 11 : Anneaux de NewtonLa surface convexe (de grand rayon R) d'une lentille plan-convexe est au contact dans l'airavec une lame de verre. Le système est éclairé à l'incidence normale par un faisceau delumière monochromatique de longueur d'onde .Une glace sans tain inclinée à 45 ° sur l'axe du système permet d'observer la lame.1) Expliquer pourquoi on observe des anneaux d'interférences. Où se trouvent cesinterférences ? Quel est l'aspect du centre de la figure ?2) Montrer que le rayon du k ème anneau sombre est donné par la relation r k kR. Quelssont les rayons des anneaux brillants?3) La mesure des rayons se fait à partir de l'image de la figure d'interférence obtenue sur unécran ou sur une plaque photographique avec une lentille convergente auxiliaire.Quand on utilise une radiation bleue de longueur d'onde = 450 nm on mesure 1.5 mm pourle troisième anneau brillant. Calculer le rayon de courbure R.4) On remplace la source bleue par une source rouge et on trouve 2,6 mm pour le 5 è anneausombre. Quelle est la longueur d'onde de la radiation rouge?5) L'interstice entre la lentille et la lame de verre est maintenant rempli de disulfure decarbone. Les indices de la lentille, du disulfure de carbone et de la lame sont respectivementn 1 = 1,50, n 2 = 1,63 et n 3 = 1,68. Quel est le nouveau rayon du troisième anneau brillantobtenu avec la radiation bleue précédente?

Cours interférence diffractionLicences P et PC 3AUniversité de LyonUniversité Jean MonnetExercice 12 : Michelson interferometerConsider the following configuration of the Michelson interferometer where L 1 = L 2 andmirror M 2 is tilted of an angle .1- Give the expression of the intensity in the (x,y) plane (the screen) if the source ismonochromatic.2- Actually, the source emits two close wavelengths 1 and 2 such that 2 1 +What isthe expression of the intensity on the screen in that case. Draw the function I(x).3- What happens (on the screen) if the mirror M is translated along the x axis?4- Consider now a white light source and calculate the expression of the intensity on thescreen. Draw a sketch of the interference pattern observed on the screen. How would be theinterference pattern without the compensator plate ?5- We introduce a thin film of polymer in one arm of the interferometer illuminated withwhite light. What happens on the screen. How can we measure the film thickness ?

Partie 2.Exercice 1 : Fabry-Pérot etalon with tilted mirrors(L)Angle (L’)screenSP P’f f’S 0 ’S 1 ’S 2 ’S 3 ’The Fabry-Pérot interferometer is made of two identical thin slides, silver coated andseparated by a thin layer of air.A series of images S 0 ’, S 1 ’, S 2 ’, … are observed in the focal plane of the second lens.A photodetector measures the total intensity in that focal plane.When one of the slides of the Fabry-Pérot interferometer is removed the photodetectormeasures an intensity I’.When the interferometer is totally removed the photodetector measures I 0 .The focal length f’ = 1m.1- Draw the rays that explain the formation of the different images on the screen.Calculate the value of when the distance between S 0 ’and S 1 ’ equals 0.92 mm.2- Give the expression of the transmission coefficient T, the reflection coefficient R andthe absorption coefficient A of each of the slides of the interferometer as a function ofX = I / I 0 and X’ = I’ / I 0 . The measurements gives X = 2.3 % and X’ = 7 %, calculatethe values of T, R and A.3- The intensities are measured with an accuracy = 0.5 %. Calculate R / R. Is itdifferent from the value deduced from the direct measurement of R with one of theslides ?4- The slides being absorbent, each slide is characterized by its complex refractive indexn n0 1ja. Give the expression of the extinction coefficient a (R, n0) (>0).Exercice 2 : Etalon de Fabry PérotOn considère ici un étalon de Fabry-Pérot d'épaisseur e = 8 mm, placé entre deux lentillesconvergentes (L 1 ) et (L) de distances focales f 1 = 40 cm et f = 120 cm. Dans le plan focalobjet de (L 1 ) est disposé un diaphragme circulaire de diamètre d = 2 cm éclairé par uneradiation de longueur d'onde = 546, l nm. On observe les anneaux d'égale inclinaison surun écran placé dans le plan focal image de (L).1) Quel est l'ordre d'interférence p 0 au centre du champ? Celui du premier anneau brillant?2) Calculer l'ordre d'interférence au bord du champ, celui du dernier anneau brillant et endéduire le nombre d'anneaux brillants visibles dans le champ.3) Donner l'expression du rayon du k ème anneau brillant en fonction de l'excédentfractionnaire au centre et calculer leur épaisseur (l'interfrange). Comparer celles des deuxpremiers anneaux et du dernier anneau visible.

4) On considère que lorsque l'appareil est éclairé par deux radiations de longueurs d'ondevoisines et + , on peut distinguer les franges correspondantes si la distance entre lesdeux maxima d'intensité est supérieure à la distance qui sépare ce maximum du minimum nulle plus proche (critère de Rayleigh). Calculer la limite de résolution spectrale (on utiliserala fonction d'Airy) et en déduire la valeur du pouvoir de résolution R = / de l'appareilsachant que le coefficient de réflexion de ses faces est R = 0, 95.Exercice 3 : Couche anti-reflet, lame semi-réfléchissante1) Sur un milieu d’indice N limité par un plan, on dépose une lame mince à faces parallèlesd’épaisseur e, d’indice n baignant d’un côté seulement dans l’air.a) Rappeler les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude desdioptres ainsi formés pour une incidence voisine de l’incidence normale. Quelles relations ya-t-il entre certains de ces coefficients ?Les différents milieux seront supposés non absorbants.b) On éclaire le dispositif sous incidence quasi normale par une radiation monochromatiquede longueur d’onde . Calculer l’intensité I T transmise dans le milieu d’indice N.c) A quelles conditions cette intensité est-elle maximale ? calculer les valeurscorrespondantes de I T et du pouvoir réflecteur R m du dispositif. Comparer celui-ci aupouvoir réflecteur R 0 qu’on obtiendrait en l’absence de la couche d’indice n. Pour quellevaleur de n R m est-il nul ? Conclure.d) Déterminer la valeur de n et les valeurs de e annulant R m pour N = 1,50 et = 0,5890 µm2) Calculer dans le cas général le pouvoir réflecteur R du dispositif en fonction du déphasage existant entre deux rayons transmis consécutifs. En étudiant succinctement les variations deR en fonction de , tracer les courbes représentant les variations de R en fonction de e.3) Montrer que pou n > N on peut trouver des valeurs particulières de e pour lesquelles Rpasse par un maximum. Calculer les valeurs de n et de e pour N = 1,50 et = 0,5890 µm, siR = 0,5 est un maximum de la fonction R(e).Exercice 4 : Contraste interférentielOn dispose de l’huile de cèdre transparent d’indice n = 1,515 entre deux lames de verreplanes identiques dont les faces en regard A 1 B 1 et A 2 B 2 , semi-argentées, sont parallèles.Leur distance est e.On éclaire l’ensemble sous incidence normale par un faisceau de lumière monochromatiquede longueur d’onde . On observe la lumière transmise par la lame d’indice n ainsi formée ettombant sur un écran E parallèle à A 1 B 1 et A 2 B 2 .Dans la suite on ne tiendra pas compte de l’épaisseur des lames de verre et on admettraqu’une réflexion d’un rayon lumineux sur A 1 B 1 ou A 2 B 2 introduit un déphasage égal à .1) Quelle est la différence de phase entre deux rayons consécutifs ransmis R n et R n+1 ?Le coefficient de transmission en amplitude des lames semi-argentées est égal à , leurcoefficient de réflexion en amplitude est égal à ; elles ne sont pas absorbantes. Calculerl’amplitude complexe de l’onde résultante.Calculer l’éclairement E de l’écran. Etudier brièvement ses variations en fonction de e. Pourquelle variation de e à partir d’une valeur correspondant au maximum E 0 de E celui-ci est-ildivisé par 2 ?A.N. : = 546,0 nm, ² = 0 ,8

2) Dans l’huile de cèdre on suppose maintenant qu’est placé parallèlement à A 1 B 1 et A 2 B 2un film très mince à faces parallèles, d’épaisseur h, d’indice n’ peu différent de n. Il n’est pasabsorbant et ses faces ne réfléchissent pas la lumière.Montrer que ce film introduit une variation de la différence de phase entre deux rayonsconsécutifs transmis. Sachant que est très petit par rapport à 2, calculer en fonction de ,n, n’ et h la variation relative de l’éclairement de l’écran due à la présence du film(contraste), soit = |E|/E.Pour un film d’épaisseur e donnée, quelles sont les distances entre A 1 B 1 et A 2 B 2 pourlesquelles le contraste passe par un maximum ? donner la valeur de maximum.3) Le film de la question précédente est remplacé par des objets transparents de petitedimensions, de même indice n’, de même épaisseur h, assimilables à des lames à facesparallèles disposées parallèlement à A 1 B 1 et A 2 B 2 . On reçoit la lumière sortant de la lamesur une lentille convergente L placée parallèlement à A 1 B 1 et A 2 B 2 . L’écran est placéderrière L dans un plan conjugué de certains petits objets.La distance e est telle que le contraste est maximum.Décrire l’aspect de l’écran. Si l’on admet que l’image des petits objets n’est visible que si lecontraste est au moins égal à 0,1, quelle épaisseur doivent-ils avoir pour pouvoir êtreobservés ? on prendra n’ = 1,520.Exercice 5 : Diffraction par N fentes de largeur non nulleUn écran comporte N fentes identiques de largeur b, de longueur l, équidistantes et séparéesles unes des autres par la distance a>>b. On numérote les fentes de 0 à N-1 et on repère lespoints de la fente n par leurs corrdonnées cartésiennes x, y dans le plan de l’écran.na-b/2

est éclairé sous incidence normale par un faisceau parallèle de lumière blanche. On considèreque le spectre visible s’étend de 400 à 800 nm.1- Déterminer la position et l’étendue angulaire des spectres d’ordre 1, 2, 3.2- Combien de spectres peut-on observer si l’on fait varier l’angle de la directiond’observation avec la normale de 0° à 90°.3- Pour quelle longueur d’onde dans le spectre du second ordre commence le spectre dutroisième ordre.4- Dans quels ordres peut-on, suivant le critère de Rayleigh, séparer le doublet jaune dusodium ( =589.0 nm et =589.6 nm) ? on pourra utiliser les résultats de l’exerciceprécédent donnant la demi-largeur angulaire d’un pic principal, soit sinL.5- Quel doit être le nombre minimal de traits sur un réseau de largeur 4 cm pour que ledoublet du sodium puisse être séparé au premier ordre ?Exercice 7 : réseau échelette1- Etablir la condition pour avoir un maximum de diffraction dans une direction faisantl’angle avec la normale au plan d’un réseau par réflexion de pas a, modélisé par desfentes infiniment fines, pour une incidence i.On considère maintenant un réseau utilisé en réflexion dont le profil est celui de la figureci-dessous et comportant N traits en forme de facettes faisant un l’angle avec le plan duréseau. Ce réseau est éclairé par une radiation de longueur d’onde et l’incidence estnormale aux facettes planes. On observe la lumière diffractée dans la direction faisantl’angle avec la normale aux facettes, qui jouent ici le rôle de fentes diffractantes.2- Montrer un utilisant les résultats obtenus pour une fente (un exercice précédent), quel’intensité diffractée est de la forme : I()=I 0 D() J() où 2sin a cos sin /D( ) acossin /Et où J) caractérise les interférences que produiraient des fentes infiniment finescentrées sur les facettes.3- A quelle condition la direction d’observation normale aux plans des facettes(correspond-elle à un maximum principal de diffraction d’ordre donné k=k 0 ?Comparer la valeur de la fonction de diffraction D(pour k=k 0 et pour kk 0 àl’approximation où est petit. Conclure.a