THEOREME DE THALES I) Agrandissement et réduction
THEOREME DE THALES I) Agrandissement et réduction
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<strong>THEOREME</strong> <strong>DE</strong> <strong>THALES</strong>En classe de 4 e , on a étudié de nombreuses propriétés de géométrie dont le théorème de Thalès dansle triangle. C<strong>et</strong>te année, nous allons étudier sa généralisation <strong>et</strong> voir sa réciproque qui perm<strong>et</strong> d’avoirune nouvelle méthode pour montrer que deux droites sont parallèles.I) <strong>Agrandissement</strong> <strong>et</strong> réductionActivité : une propriété des longueurs d’un trianglePropriété : Proportionnalité des longueurs dans un triangleDans un triangle ABC, soit M un point situé sur le côté [AB], <strong>et</strong> N un point situé sur le côté [AC].Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les longueurs des côtés du triangle AMN sontproportionnelles aux longueurs des côtés du triangle AMN, <strong>et</strong> on a le tableau de proportionnalitésuivant :Côtés du triangle ABC AB AC BCCôtés du triangle AMN AM AN MNSur la figure : les points A, B <strong>et</strong> M sont alignésLes points A, C <strong>et</strong> N sont alignésLes droites (BC) <strong>et</strong> (MN) sont parallèlesLe triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN.Toutes les longueurs sont multipliées par le rapport d’agrandissement k, avec k>1.Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.Toutes les longueurs sont multipliées par le rapport de réduction k’, avec 0
II)Pour calculer une longueurActivité : propriété de Thalès (elle sert aussi pour montrer la conséquence)Théorème de Thalès :(d) <strong>et</strong> (d’) sont deux droites sécantes en un point A.B <strong>et</strong> M sont deux points de (d), distincts de A.C <strong>et</strong> N sont deux points de (d’), distincts de A.Si les droites (BC) <strong>et</strong> (MN) sont parallèles, alorsIl y a deux configurations possibles :1 er triangle: A M N2 e triangle: A B C -----III) Pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles.Conséquence du théorème de Thalès :Lorsque les droites (BM) <strong>et</strong> (CN) sont sécantes en A :Sialors les droites (BC) <strong>et</strong> (MN) ne sont pas parallèles.
IV) Pour montrer que deux droites sont parallèlesActivité : Réciproque de ThalèsVocabulaire :Sur chacune des figures, on dit que « les points A, B, M de la droite (d) <strong>et</strong> les points A, C, N de ladroite (d’) sont dans le même ordre ».Réciproque du théorème de Thalès :(d) <strong>et</strong> (d’) sont deux droites sécantes en A.B <strong>et</strong> M sont deux points de (d’), distincts de A.C <strong>et</strong> N sont deux points de (d), distincts de A.Si<strong>et</strong> si les points A, B, M <strong>et</strong> les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC)<strong>et</strong> (MN) sont parallèles.
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