Electromagnétisme - Mes coordonnées

E.N.S. de CachanDépartement E.E.A.M2 FE3 e annéePhysique appliquée 2011-2012TD de Physique n o 3 :ÉlectromagnétismeExercice n o 1 : Champ sur l’axe d’un doublet de charges égalesDeux charges ponctuelles identiques q sont placées en A et B sur l’axe(Ox) à une distance a de part et d’autre du point O. On note E(M) ⃗ lechamp créé par ces deux charges en un point M de de l’axe (Ox).1. Comment est dirigé le champ E(M) ⃗ ? Justifier.2. Exprimer la composante algébrique Ē de ce champ, en fonctionde q, a et x.3. Tracer l’allure de la courbe Ē(x). La commenter.4. Déterminer un équivalent à Ē(x), lorsque x → ±∞Exercice n o 2 : Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargéUn segment [A, B], situé sur l’axe (Oz) et de milieu O, porte une chargeuniformément répartie sur sa longueur AB = 2l, avec une densité linéique λ.On note ⃗ E(M) le champ créé en un point M(x) de l’axe (Ox).1. Quelle est la direction de champ ⃗ E(M) ? Justifier.2. En repérant la position d’un point P de la distribution de charges parl’angle α indiqué sur le dessin ci-contre, établir l’expression de ⃗ E(M) en fonctionde λ, l et x.3. En déduire le champ ⃗ E ∞ créé par un fil rectiligne infini.Exercice n o 3 : Couronne uniformément chargéeOn considère une couronne, portion du plan (Oxy) comprise entre lescercles concentriques de centre O de rayons a et b > a, portant la chargetotale Q uniformément répartie sur sa surface. On s’intéresse au champ ⃗ E(M)créé en un point M(z) de l’axe (Oz).1. Quelle est la direction du champ ⃗ E(M) ? Justifier.2. En paramétrant la position d’un point P de la couronne par sescoordonnées polaires (r, θ), déterminer l’expression de ⃗ E(M) en fonction deQ, a, b et z.3. Quelle est l’expression du champ ⃗ E ∞ créé par un plan (Oxy) infiniportant la densité surfacique uniforme σ ?Exercice n o 4 : Le potentiel électrostatique (cours)1. Montrer que pour une charge ponctuelle q, il existe un champ scalaire V (M) appelé potentiel électrostatiquetel que δC = −dV où δC est la circulation élémentaire du champ électrostatique. Donner sonexpression dans le cas où il est pris nul infiniment loin de la charge.2. Justifier que l’on a également δC = −dV pour toute distribution de charges. Donner les expressionsde V (M) pour les distributions de charges ponctuelles, volumique, surfacique et linéique dans le cas où il estpris nul infiniment loin de la distribution.3. Montrer que E ⃗ = − −−→ grad(V ). En déduire l’expression de l’énergie potentielle associée à la force électrostatiquequi s’exerce sur une charge q soumise au champ E. ⃗1

4. Déterminer l’énergie potentielle électrostatique d’interaction entre deux charges ponctuelles q 1 et q 2 .5. On reprend la couronne uniformément chargée de l’exercice n o 3. Calculer le potentiel électrostatiqueau point M de l’axe (Oz). En déduire l’expression du champ électrostatique.Exercice n o 5 : Pression électrostatiqueConsidérons un morceau de métal de conductivité électrique σ e chargé électriquement.1. (Programme de deuxième année) Comment évolue dans le temps la densité volumique de charge àl’intérieur du métal ? Exhiber un temps caractéristique et faire l’application numérique avec σ e = 63.10 6 S.m −1(cas de l’argent). Que peut-on, à l’équilibre électrostatique et dans le morceau de métal, en conclure sur :• la répartition des charges,• la valeur du champ électrostatique,• le potentiel électrostatique ?2. Considérons un élément de surface d ⃗ S = dS⃗n ext orienté vers l’extérieur du métal et autour du pointM de l’interface métal-air. Notons σ la densité surfacique de charge en M. Montrer que la force électrostatiquequi s’exerce sur l’élément de surface est de la forme :d ⃗ f = P e dS⃗n extavec P e la pression électrostatique dont on donnera l’expression en fonction de σ et ɛ 0 la permittivité du vide.Pour cela il est conseillé de décomposer le champ électrostatique comme suit :⃗E = ⃗ E σ + ⃗ E aavec ⃗ E σ le champ créé par la charge σdS et ⃗ E a le champ créé par le reste de la distribution de charge. Onrappelle également qu’à la traversée d’une distribution surfacique de charges de densité surfacique σ séparantun milieu 1 et un milieu 2 on a :⃗E 2 − ⃗ E 1 = σ ɛ 0⃗n 1→23. Soit condensateur plan de capacité C = 10 nF et dont la surface en regard des armatures est S =0, 5 cm −2 . Déterminer la force électrostatique qui s’exerce sur une armature lorsque le condensateur est soumisà une tension U = 10 V .Exercice n o 6 : Le dipôle électrostatique (cours)Soit un repère cartésien d’origine O. Un dipôle électrostatique est formé d’une charge −q en M 2 (0, 0, −d/2)et d’une charge q en M 1 (0, 0, d/2).1. Rappeler l’expression du moment dipolaire. Déterminer, dans le cadre de l’approximation dipolaire,l’expression sous sa forme intrinsèque du potentiel électrostatique créé par ce dipôle. Puis donner les composantesdu champ électrostatique dans la base des coordonnées sphériques.2. Déterminer les équations des équipotentielles et des lignes de champ. Tracer les allures correspondantes.Le dipôle supposé rigide est maintenant plongé dans un champ électrostatique ⃗ E(M) non uniforme tel que ladistance caractéristique de variation est grande devant d. Enfin O est maintenant le milieu du segment formépar les deux charges.3. Déterminer le moment en O des actions qui s’exercent sur le dipôle. Comment s’oriente le dipôle ?4. Quelle l’énergie d’interaction entre le dipôle et le champ extérieur ? En déduire la résultante des actionsqui s’exercent sur le dipôle. Vers quelles zones le dipôle se déplace t-il ?Exercice n o 7 : Tapis de dipôlesOn considère une population de dipôles identiques, groupés suivant un disquede centre O, de rayon R et d’axe (Oz), les moments dipolaires étant tous orientéssuivant ⃗u z . On définit la densité surfacique de moment dipolaires Ω ⃗ = d⃗pdS , uniformesur le disque. On s’intéresse au champ et au potentiel créés en un point M de l’axe(Oz).1. Exprimer le potentiel élémentaire dV créé en M par un dipôle de momentd⃗p situé au voisinage du point P (r, θ).2. En déduire le potentiel créé par le tapis de dipôle en M.3. Exprimer le champ électrostatique E ⃗ créé en M par le tapis de dipôles.2

Exercice n o 8 : Champ dans une cavité creusée dans une bouleUne boule B de centre O 1 est creusée d’une cavité sphérique de centre O 2 . Elle estchargée avec une densité volumique ρ uniforme, exception faite de la cavité qui est videde charge. On note ⃗ E le champ électrostatique créé par cette distribution D en un pointintérieur à la cavité. Déterminer ⃗ E.Exercice n o 9 : Condensateur cylindriqueUn condensateur est formé par deux cylindres coaxiaux infinis C 1 et C 2 , d’axe (Oz), derayon R 1 et R 2 > R 1 , chargés en surface avec des densités σ 1 et σ 2 uniformes et telles quele condensateur est globalement neutre. On note ⃗ E(M) le champ électrostatique créé par cecondensateur en un point M de l’espace, repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).1. Déterminer l’expression du champ ⃗ E(M) en tout point M situé entre les deux cylindres(R 1 < r < R 2 ).2. En déduire la différence de potentiel V 1 −V 2 entre les deux armatures du condensateur.3. Quelle est l’expression de la capacité linéique C de ce condensateur ? Faire l’applicationnumérique pour R 1 = 10 cm et R 2 = 20 cm. Donnée : ɛ 0 = 8, 85.10 −12 F.m −1 .Exercice n o 10 : Potentiel de YukawaOn se propose de déterminer la distribution de charges qui crée en tout point M de l’espace ( OM ⃗ = r⃗e r ,r = || OM||) ⃗ un potentiel électrostatique de la forme :V = 1 e4πɛ 0 r exp ( − r )ae étant la charge élémentaire (e = 1, 6.10 −19 C) et a une distance (a = 10 −10 ).1. Déterminer le champ électrostatique ⃗ E(M) en tout point M (différent de l’origine O).2. Calculer le flux de ce champ à travers la surface d’une boule de centre O et de rayon r, et en déduirela charge Q(r) contenue dans cette boule. Étudier les cas limites r → ∞ et r → 0 : quelles conclusions peut-onen tirer ?3. Déterminer la densité de charge volumique ρ(r) répartie dans l’espace autour de O. La distribution decharges étudiée peut être prise comme modèle électrostatique d’un atome. Qu’en pensez-vous ?Exercice n o 11 : Champ sur l’axe d’un solénoïde (cours)Soit une spire de centre O et de rayon R parcourue parun courant I.1. Déterminer le champ magnétostatique ⃗ B créé parcette spire en un point M de son axe en faisant intervenirl’angle α défini sur le schéma ci-contre.On considère maintenant un solénoïde d’extrémité O 1et O 2 parcouru par le courant I et dont le nombre de spirespar unité de longueur est n. Soit M un point de l’axe du solénoïde.2. Déterminer le champ magnétostatique créé en M par le solénoïdeen fonction de µ 0 , n, I et des angles α 1 et α 2 définis sur leschéma ci-contre.3. Quelle est l’expression du champ magnétique sur l’axe dusolénoïde infini ?3

Exercice n o 12 : Disque de RowlandL’expérience de Rowland visait à établir l’identité des électricités statique etdynamique, en vérifiant que les courants de convection (charges électrostatiquesen mouvement) créaient un champ magnétique. Pour cela, on considère undisque de centre O, de rayon R et d’axe (Oz), portant des charges répartiesen surface avec la densité uniforme σ, et mis en rotation autour de (Oz) à lavitesse angulaire constante ω. Ce dispositif électrostatique est alors équivalentà une distribution de courants électriques. On note ⃗ B le champ créé en un pointM(z) de l’axe (Oz).1. Exprimer l’intensité dI qui traverse une spire élémentaire compriseentre les rayons r et r + dr, en fonction de σ, ω et dr.2. En déduire par intégration l’expression de ⃗ B.Exercice n o 13 : Courants de convectionUne sphère de centre O et de rayon R porte une charge totale Q uniformémentrépartie sur sa surface. Elle est mise en rotation autour de l’axe (Oz) à la vitesseangulaire constante ω, de telle sorte qu’on peut considérer avoir affaire, dans le référentieldu laboratoire, à une distribution de courants électriques. On note ⃗ B O lechamp magnétostatique créé au centre de la sphère. La position d’un point P sur lasphère est repérée par ses coordonnées sphériques (R, θ, ϕ).1. Exprimer l’intensité dI dans la "spire élémentaire" comprise entre les anglesθ et θ + dθ, en fonction de Q, ω, R et dθ.2. En déduire par intégration l’expression du champ ⃗ B O .Exercice n o 14 : Moment magnétique d’une sphère chargée en rotationExprimer le moment magnétique de la sphère de l’exercice précédent.Exercice n o 15 : Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestreUn petit aimant, ou une petite aiguille aimantée, assimilable à un dipôle magnétique de moment M⃗(rigidement lié à l’aimant) subit, lorsqu’il est plongé dans un champ magnétique B, ⃗ un couple de moment⃗ Γ = M ⃗ × B(O) ⃗ avec O le point où est placé l’aimant.On se propose de mesurer la norme de la composante horizontale B ⃗ H du champ magnétique terrestre enun lieu. À Paris B H est de l’ordre 2.10 −5 T . Pour cela on dispose d’une petite aiguille aimantée montée surpivot, donc mobile autour d’un axe vertical sans frottements. Ce petit aimant est placé au centre O d’unebobine plate contenant N spires circulaires de rayon R chacune (on néglige la section des fils) contenue dansun plan vertical et alimentée par un courant continu d’intensité I réglable.Les rotations éventuelles de l’aiguille sont mesurables sur un cercle gradué, la graduation 0 correspondantà la position de l’aiguille dans le plan de la bobine.1. Méthode de la boussole des tangentes.a) Sachant que l’on peut choisir le plan de la bobine, proposer un protocole de mesure de la composante B ⃗ Hdu champ magnétique terrestre.b) L’expérience a été réalisée avec B ⃗ H contenue dans le plan de la bobine. Lorsque l’intensité passe d’unevaleur nulle à la valeur I l’aiguille tourne d’un angle α. En déduire B ⃗ H .Données : N = 5, R = 12 cm, I = 0, 381 A et α = 20˚.2. Méthode des oscillations. On utilise le même matériel que précédemment mais cette fois la position deréférence (ou d’équilibre) de l’aiguille est perpendiculaire à la bobine. On désigne par B C la norme du champmagnétique créé par ce circuit. On suppose I tel que : B C < B H .a) Montrer que la position d’équilibre de l’aiguille aimantée n’est pas modifiée par l’existence d’un tel courantdans la bobine.b) Montrer que la période des petites oscillations de l’aiguille, préalablement écartée de sa position d’équilibre,dépend du sens du courant dans le circuit. En désignant par T ′ et par T les périodes des oscillations quasisinusoïdales observées pour les deux sens (à préciser), établir que :B H = T 2 + T ′2T ′2 − T 2 B C4

Exercice n o 16 : Applications directes du théorème d’Ampère1. Considérons une nappe de courant infinie dans le plan (xOy) telle que ⃗j S = j S ⃗e x . Cette distributionrésulte de la modélisation surfacique d’un ensemble de courants filiformes, rectilignes, infinis, jointifs, d’intensitéI, disposés parallèlement à l’axe (Ox). Nous noterons n le nombre de fils coupant, par unité de longueur, l’axe(Oy). Déterminer en fonction de n, I et µ 0 (la perméabilité du vide) le champ magnétostatique créé par cettedistribution de courants.2. Considérons une distribution à symétrie cylindrique d’axe (Oz). Le vecteur densité de courant associévérifie ⃗j = j⃗e z pour r < R et ⃗j = ⃗0 pour r > R. Cette distribution résulte de la modélisation volumiqued’un ensemble de courants filiformes, rectilignes, infinis, jointifs, d’intensité I, disposés parallèlement à l’axe(Oz). Nous noterons n le nombre de fils coupant, par unité de surface, le plan (xOy). Déterminer le champmagnétostatique créé par cette distribution de courants.Exercice n o 17 : Solénoïde en forme de toreN spires sont enroulées sur un tore de section carrée (coté delongueur a) et de rayon moyen R. Elles sont parcourues par unmême courant I. On supposera que la distribution de courants estinvariante dans toute rotation d’axe z ′ z (N grand . . .).1. Donner l’expression du champ magnétique ⃗ B en tout pointde l’espace.2. En déduire l’expression de l’inductance associée à cet enroulement.3. Que deviennent les résultats précédents lorsque R est trèsgrand devant a ? Commenter.Exercice n o 18 : Ligne de champUn solénoïde droit présente une section circulaire de rayon a. Salongueur 2l est très grande devant a et il possède n spires jointives parunité de longueur. Il est parcouru par un courant I. On s’intéresse àla ligne de champ qui coupe le plan z = 0 à une distance r 0 de l’axe.Elle ressort en traversant la face avant du solénoïde en un point A.1. Quelle relation simple relie r A et r 0 ?2. Dans le cas où r 0 est petit devant a, déterminer l’expressiondonnant l’angle θ A défini par θ A = (⃗u z , ⃗ B(A)).Exercice n o 19 : Déflexion électrostatique dans un condensateur planUn condensateur est constitué de deux armatures métalliquesplanes A et B parallèles séparées par une distance d (cffigure ci-contre). Les deux armatures sont carrées et on note Lla longueur de leurs côtés.Une différence de potentiel U = V A − V B > 0 appliquéeentre les deux armatures crée un champ électrostatique supposéuniforme et égal à E ⃗ = − U d ⃗e y dans l’espace entre les armatures.Le champ est supposé nul en dehors du condensateur.Un électron de masse m et de charge −e préalablement accélérépénètre dans le condensateur plan en O avec la vitesseinitiale ⃗v 0 = v 0 ⃗e x .1. Déterminer la trajectoire de l’électron dans l’espace entre les deux armatures. On rappelle que dansce genre de problèmes le poids de l’électron est parfaitement négligeable devant la force électrique à laquelle ilest soumis.Un écran plan est placé dans le plan d’équation x = D + L 2 (avec D > L 2). On note I le point d’impact del’électron sur l’écran.2. Montrer que l’ordonnée du point I est proportionnelle à U et exprimer la constante de proportionnalité.3. Citer une application.5

Exercice n o 20 : Champs ⃗ E et ⃗ B croisés avec vitesse initiale nulleUne particule (q = +e, m) se trouve à l’instant initial à l’origine O du repère trirectangulaire (O; ⃗e x , ⃗e y , ⃗e z )lié au référentiel R galiléen, avec une vitesse ⃗v(O) nulle.1. Étudier son mouvement ultérieur en présence des champs uniformes et constants E ⃗ = E⃗e y et B ⃗ = B⃗e z .On posera ω c = eB met R 0 = mEeB. 22. Déterminer, en fonction de R 0 et ω c , la vitesse de dérive de la particule définie par :⃗v D =< dxdt > ⃗e x+ < dydt > ⃗e y3. Exprimer ⃗v D en fonction de ⃗ E et ⃗ B. Nous admettrons le caractère général de cette formule.Problème : Magnétisme1. Préliminaires.a) Soit une spire de centre O, d’axe Oz et de rayon R. Cette spire, orientée corrélativement à l’axe (Oz), estparcourue par un courant I. Quelle est l’expression de son moment magnétique M ⃗ ?b) Déterminer, en fonction de M ⃗, le champ magnétostatique créé par cette spire en un point M(z) appartenantà l’axe (Oz) tel que z >> R (on pourra se référer au résultat de l’exercice n˚11).c) Retrouver alors, en utilisant le résultat de la question 1 de l’exercice n˚6, les correspondances de l’analogiede structure entre le dipôle électrostatique et le dipôle magnétique.d) Une boucle de courant de centre O et de moment magnétique M⃗est plongée dans un champ magnétiqueextérieur B ⃗ ext dont les dimensions caractéristiques de variation sont très grandes devant les dimensionscaratéristiques de la boucle de courant. Retrouver par analogie avec le dipôle électrostatique :• ⃗ Γ(O) le moment en O de l’action de B ⃗ ext sur la boucle de courant,• E p l’énergie potentielle d’interaction entre B ⃗ ext et la boucle de courant,• F ⃗ la résultante de l’action de B ⃗ ext sur la boucle de courant.2. Le magnéton de Bohr.a) Prenons le modèle classique de l’atome dans lequel un électron (masse m, charge −e) tourne autour dunoyau selon une orbite circulaire de rayon R. Déterminer le moment magnétique orbital 1 ⃗µ orb en fonction dem, e et L ⃗ orb son moment cinétique orbital.b) La mécanique quantique nous indique que L ⃗ orb = ⃗ l où ⃗ l (sans dimension) rend compte des propriétés dequantification de L ⃗ orb . Mettre ⃗µ orb sous la forme −µ B⃗ l. Donner l’expression de µB , le magnéton de Bohr, enfonction de , e et m.c) Faire l’application numérique de µ B en J.T −1 avec e = 1, 60.10 −19 C, m = 9, 11.10 −31 kg et h =6, 63.10 −34 J.s.Dans la suite, on s’intéresse aux propriétés magnétiques des solides. Pour cela on définit le vecteur aimantationM(P ⃗ ) au point P par :⃗M(P ) = d⃗µdτoù d⃗µ est la somme vectorielle des moments magnétiques contenus dans le volume mésoscopique dτ centré aupoint P . On définit également la suceptibilité χ selon l’axe (Oz) par :χ = M zH zoù M z (resp. H z ) est la composante du vecteur aimantation (resp. vecteur excitation magnétique imposé parl’extérieur) suivant l’axe (Oz).1 L’électron possède aussi un moment magnétique lié à son moment cinétique intrinsèque (i.e. son spin).6

3. Le diamagnétisme.a) Un électron est plongé dans un champ magnétique B ⃗ 0 = B 0 ⃗u z . Déterminer sa trajectoire sachant qu’à t = 0il est à l’origine O et que sa vitesse à t = 0 est ⃗v 0 = v 0 ⃗u x . On posera ω c = eB0mla pulsation cyclotron.b) Déterminer son moment magnétique ⃗µ e en fonction de e, v 0 et ω c .c) Un matériau diamagnétique est un matériau dont les atomes ont, pour des raisons que nous n’aborderons pas,un moment magnétique nul et dans lequel des porteurs de charge sont susceptibles d’être mis en mouvement 2 .Quel est le signe de la susceptibilité d’un matériau diamagnétique ?d) Pourquoi les supraconducteurs sont-ils dits diamagnétiques parfaits ?Les atomes d’un matériau magnétique (paramagnétique ou ferromagnétique) portent un moment magnétique⃗µ. Dans le cas d’un matériau paramagnétique ces moments magnétiques interagissent peu entre eux alorsque dans un matériau ferromagnétique ils interagissent fortement.4. Le paramagnétisme. Pour simplifier le raisonnement qui va suivre, on se place dans le cas du doubletmagnétique : la projection sur l’axe (Oz) de ⃗µ qui d’après la mécanique quantique est quantifiée peut prendreles valeurs +µ B ou −µ B . C’est à dire µ z = ±µ B .a) Appliquons le champ H ⃗ = H⃗u z à ce matériau. Quelle est l’énergie d’interaction magnétique entre un momentmagnétique ⃗µ et le champ H ⃗ dans les cas µ z = +µ B et µ z = −µ B .b) Notons n le nombre de moments magnétiques par unité de volume. Déterminer, à l’aide de la statistique deBoltzmann, n + (resp. n − ) le nombre de moments magnétiques par unité de volume dont la projection sur (Oz)est µ B (resp. −µ B ). On posera x = µ0µ BHkTavec µ 0 la perméabilité du vide et k la constante de Boltzmann.c) Exprimer alors la composante suivant (Oz) du vecteur aimantation.d) Calculer x pour un champ appliqué correspondant à 1 T à T = 300 K. Montrer alors qu’on retrouve la loide Curie : χ = C T. Donner l’expression de C.5. Le ferromagnétisme. Soit ⃗µ j un des moments magnétiques. Dans l’approximation du champ moléculaire,l’action des autres moments sur ⃗µ j est décrite par le champ fictif H ⃗ m = γM. ⃗ Pour une interactionferromagnétique γ est positif.a) Montrer, à partir de la loi de Curie vue à la question 4, la loi de Curie-Weiss : χ = CT −T coù T c est latempérature de Curie du matériau ferromagnétique considéré. Exprimer T c .b) La loi de Curie-Weiss est valable pour T > T c . En dessous de T c , χ n’est pas définie parce qu’il existeune aimantation M non nulle sans champ extérieur appliqué au matériau. Déterminer dans le cas du doubletmagnétique une équation dont M est solution.c) On pose m = Mnµ Bet t = T T c. Quelle relation existe t-il entre m et t ? Déterminer m en fonction de t lorsquet → 0 et lorsque t → 1. Tracer alors l’allure de M(T ).En réalité les matériaux ferromagnétiques sont constitués de domaines (domaines de Weiss) dans lesquels cequi vient d’être fait est valide : en dessous de la température de Curie, l’aimantation dans un domaine de Weissest non nulle. Cependant les directions des aimantations des différents domaines sont réparties aléatoirement,ce qui fait que globalement l’aimantation est nulle. Pour l’aimanter le matériau il faut lui appliquer un champ⃗H pour orienter les aimantations des domaines (matériaux durs) ou élargir les domaines dont l’aimantationest selon ⃗ H (matériaux doux).2 Le diamagnétisme apparaît dans tous les matériaux magnétiques mais en réalité il est masqué par les effetsbien plus importants du paramagnétisme et du ferromagnétique.7