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64 CHAPITRE 4.THÉORIE DE L’ÉCHANTILLONNAGEOn considère maintenant la fonction M définie parM : R n −→ {0, 1/n, . . . , n/n}y = (y 1 , . . . , y i ) ↦−→ M(y) = ȳ = 1 n∑y i .nOn peut alors écrire la variable aléatoire Ȳ comme la composée des fonctions M et Y : Ȳ = M ◦ Y = M(Y ).Ce qui donne ici :Ȳ = 1 n∑Y inLe tirage étant avec remise, les variables aléatoires (Y i ) ont la même loi que X et sont indépendantes. Par suitenȲ = ∑ ni=1 Y i suit une loi binômiale de paramètre n et p = 1/4 et la loi de Ȳ est donnée par P (Ȳ = k/n) =P (nȲ = k) = Ck n(1/4) k (3/4) n−k .Remarque 2.2.1. (i) Rappelons que dire que les variables aléatoires (Y i ) i et X ont la même loi signifie que leslois de probalilités définies par ces variables aléatoires sur leur espace d’arrivée, ici sur {0, 1} sont identiques.Cela ne signifie en aucun cas que ces variables aléatoires sont égales (si tel était le cas elles ne pourraientpas être indépendantes).i=1(ii) Les variables aléatoires Y i et Y sont toutes définies sur le même espace de départ. C’est l’espace d’échantillonnage,l’ensemble de tous les tirages avec remise de n boules ici, c’est-à dire U n . L’écriture Ȳ = (1/n) ∑ ni=1 Y i adonc bien un sens ; il s’agit de l’égalité de deux fonctions.Les théorèmes de la théorie des probabilités nous permet alors d’obtenir simplement l’espérance mathématiqueet la variance de Ȳ .i=1E(Ȳ ) = 1 n∑E(Y i ) = 1 n∑p = pnni=1i=1(V ar(Ȳ ) = 1 n)n 2 V ar ∑Y ii=1= 1 ∑ nn 2 V ar(Y i )i=1= 1 n 2 n∑i=1pq = pqncar les (Y i ) i sont indépendantesTirage sans remiseOn considère maintenant le cas où le tirage est sans remise. Le nombre de boules n tirées est alors bienévidemment inférireur au nombre N = 20 de boules totales dans l’urne. Dans ce cas, nous avons les mêmes expressionspour les variables aléatoires Y , (Y i ) i et Ȳ excepté que l’espace de départ, c’est-à-dire l’espace déchantillonnage,n’est plus U n mais estΩ = {b = (b 1 , . . . , b n ) ∈ U|b i ≠ b j pour tout i ≠ j}.Les (Y i ) i ont toujours la même loi que X, mais elles ne sont plus indépendantes. En effet la probabilité d’avoirune boule blanche à la deuxième boule diffère suivant le résultat de la première boule. La loi de nȲ est alors la loihypergéométrique de paramètre N = 20, n, p = 1/4. Par suite la loi de Ȳ est donnée parP(Ȳ = k )= Ck n−1Cn n−k2.nNous avons toujours pour l’espérance mathématique E(Ȳ ) = p, mais la variance n’a plus la même valeur. Ondémontre qu’elle est égale à :V ar(Ȳ ) = N − n pqN − 1 n .La figure 4.2 représente les lois de Ȳ pour différentes valeurs de n et de p pour les échantillonnage avec remiseet sans remise.C k N