58 CHAPITRE 3. PROBABILITÉS10.80.60.40.200 5 1010.80.60.40.200 5 1010.80.60.40.200 5 10Fig. 3.9 – Théorème limite centrale dans le cas d’une loi uniforme sur [0, 12] (n = 10, 20, 50).
Chapitre 4Théorie de l’échantillonnage1 Modélisation des variables1.1 IntroductionL’obj<strong>et</strong> de c<strong>et</strong>te section est la modélisation des données. Il faut ici entendre le terme modélisation dans le sensde la modélisation mathématique ou de la formalisation mathématique 1 . On s’intéresse donc à l’art de représenterà l’aide d’obj<strong>et</strong>s mathématiques des situations concrètes. Nous n’aborderons ici la modélisation mathématique quedans le cadre très restreint de l’estimation <strong>et</strong> de la théorie des tests statistiques 2 . Le premier point à aborderconcerne donc le passage de la question de départ à son écriture mathématique ; par exemple comment écrivonsnous le problème de l’estimation d’un taux de germination <strong>et</strong> par quel obj<strong>et</strong> mathématique représentons nous c<strong>et</strong>aux de germination.1.2 Variable aléatoireExemple 1.2.1. Taux le germinationConsidérons l’exemple d’un taux de germination. Soit donc T une variété fixée de tournesol. Le taux de germinationest le pourcentage de graines qui germent quand on m<strong>et</strong> à germer les graines de c<strong>et</strong>te variété T . Il nous faut pourdéfinir rigoureusement ce taux de germination bien définir la population G sur laquelle nous travaillons. En eff<strong>et</strong>les conditions dans lesquelles on m<strong>et</strong> à germer les graines comme la température, l’éclairage, ... peuvent influencerce taux de germination. Définir G, c’est donc non seulement définir rigoureusement la variété, mais aussi lesconditions expérimentales. C<strong>et</strong>te population est a priori infinie car on peut considérer les graines qui existentaujourd’hui, mais aussi celle à venir dans un an, dans 2 ans, ... Une fois la population G définie, on peut écrire lafonction de G à valeurs dans {0, 1} suivante :X : G −→ {0, 1}g ↦−→ 0 si g ne germe pasg ↦−→ 1 si g germe.C<strong>et</strong>te fonction est une variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètre p = P (X = 1) = E(X) où p exprimé enpourcentage n’est autre que le taux de germination. On peut donc définir le taux de germination, exprimé commeun nombre dans l’intervalle [0, 1], comme étant l’espérance mathématique, c’est-à-dire la valeur moyenne, de lavariable aléatoire X. Estimer un taux de germination, c’est donc trouver une ”valeur approchée” du paramètre pde la loi de Bernoulli de la variable aléatoire X.Exemple 1.2.2. Le 29 mai 2005 les électeurs français seront appelés à se prononcer pour ou contre le proj<strong>et</strong> d<strong>et</strong>raité établissant une constitution pour l’Europe 3 . Si notre objectif est de savoir si la constitution sera acceptée ounon, il faut considérer comme population l’ensemble des bull<strong>et</strong>ins exprimés, c’est-à-dire l’ensemble des bull<strong>et</strong>ins oui1 Le terme de modélisation mathématique est, à notre grand regr<strong>et</strong>, souvent galvaudé. Il signifie souvent l’utilisation de modèlesdéjà établis. Mais l’art de la modélisation, c’est-à-dire l’art de construire des modèles mathématiques, est difficile. Newton a dû, pourtrouver la loi de la gravitation universelle, construire la notion de dérivée !2 La modélisation mathématique intervient aujourd’hui dans tous les domaines scientifiques : l’environnement, la science du climat, labiologie, l’économie, ... Elle utilise des notions mathématiques très variées <strong>et</strong> parfois très complexes : équations différentielles ordinaires<strong>et</strong> stochastiques, équations aux dérivées partielles, chaînes de Markov, ... La modélisation étudiée ici est donc un cas très particulier.3 Nous avons fini de rédiger ce chapitre une semaine avant le référendum59
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