cours et TD - Enseeiht

52 CHAPITRE 3. PROBABILITÉSDémonstrationNous n’allons démontrer que la formule ci-dessus sans démontrer totalement le théorème. Posons µ = E(X)✷Exemple 5.3.6. Soit X et Y de loisV ar(X) = E[(X − µ) 2 ] = E[X 2 − 2µX + µ 2 ]= E(X 2 ) − 2µE(X) + µ 2= E(X 2 ) − µ 2P (X = 1) = 1 2P (X = −1) = 1 2P (Y = 100) = 1 2alors E(X) = E(Y ) = 0 etP (Y = −100) = 1 2V ar(X) = E(X 2 ) = 1 2 × 1 2 + (−1)2 × 1 2 = 1V ar(Y ) = E(Y 2 ) = 100 2 × 1 2 + (−100)2 × 1 2 = 10000Cet exemple illustre bien la remarque (5.3.3) ci-dessus : les variables X et Y ont la même espérance mathématiquemais la dispersion des valeurs par rapport à cette espérance mathématique est plus grande pour Y que pour X.Théorème 5.3.7. Soit X une variable aléatoire réelle qui possède une variance alors Y = aX + b a une variancepour tout (a, b) ∈ R 2 et on a :V ar(Y ) = a 2 V ar(X)Théorème 5.3.8. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles indépendantes alorsE(XY ) = E(X)E(Y )Remarque 5.3.9. Il faut bien faire attention à la signification de l’égalité ci-dessus. (X, Y ) est un couple devariables aléatoires réelles, c’est-à-dire que(X, Y ) : Ω −→ R 2et XY est la variable aléatoire réelle Z = g ◦ (X, Y ) oùω ↦−→ (X(ω), Y (ω))g : R 2 −→ R(x, y) ↦−→ g(x, y) = xyEn d’autre terme Z est la variable aléatoire réelle suivante :E(XY ) n’est alors que E(Z).Z : Ω −→ Rω ↦−→ Z(ω) = X(ω)Y (ω)Remarque 5.3.10. La réciproque du théorème précédent est fausse, on peut avoirE(XY ) = E(X)E(Y ) sans avoir des variables indépendantes.Définition 5.3.11 (Covariance). Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles admettant des espérancesmathématiques. On appelle covariance de X et de Y la quantité, si elle existe définie par :Remarque 5.3.12. On a V ar(X) = Cov(X, X).Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]