cours et TD - Enseeiht

4. STATISTIQUE DESCRIPTIVE À 2 DIMENSIONS 2325y20151050← r 1← r 2← r 3← r 4 ← r 5← r 6← r 7← r 8← r 9← r 100 2 4 6 8 10xFig. 2.20 – Moindres carrés.Théorème 4.5.2. La solution du problème (P ) est :ˆβ 0 = ȳ − ˆβ 1¯x (2.9)∑ ni=1 ˆβ 1 =i − ȳ)(x i − ¯x)∑ ni=1 (x = SP Ei − ¯x) 2 SCE x(2.10)DémonstrationOn démontre qu’une condition nécessaire et suffisante de solution du problème d’optimisation est f ′ (β) = (0, 0).D’où le système linéaire suivant :⎧∑ n n∑nβ ⎪⎨0 + β 1 x i = y ii=1 i=1∑ n n(2.11)∑ n∑⎪⎩ β 0 x i + β 1 x 2 i = x i y i✷i=1i=1i=1⎧⎨ ȳ = β 0 + β 1¯x⇔n∑⎩ nβ 0¯x + β 1 x 2 i = ∑ n x i y ii=1i=1⎧⎨ ȳ = β 0 + β 1¯x⇔n∑⎩ n(ȳ − β 1¯x)¯x + β 1 x 2 i = ∑ n x i y ii=1i=1⎧⎨ ȳ = β 0 + β 1¯x⇔ ∑⎩ β 1 ( n x 2 i − ∑n¯x2 ) = n x i y i − n¯xȳi=1i=1⎧⎨ ȳ = β 0 + β 1¯x⇔⎩ β 1 = SP ESCE xRemarque 4.5.3. On a supposé dans le calcul que SCE x ≠ 0, c’est-à-dire que tous les x i ne sont pas identiques.Nous noterons dans la suite ˆβ 0 et ˆβ 1 ces solutions.Exemple 4.5.4. Reprenons l’exemple (4.5.1). Lorsque l’on effectue les calculs à la main il est utile de calculer letableau préliminaire 2.6.Les estimations ponctuelles sont alors1445 × 90.14103.5 −ˆβ 1 =33 = 158.269625 − 14452 6351.533ˆβ 0 = 2.73 − 0.025 × 43.79 = 1.64= 0.025