cours et TD - Enseeiht

5. EXERCICES 125(b) u 0.995 = 2.576 donc[√ √ ]0.299 × 0.7010.299 × 0.701p ∈ 0.299 − 2.576; 0.299 + 2.57632373237p ∈[0.28; 0.32] à 99%à 99%✷Exercice 5.1.3. 8Les sondages sont largement utilisés dans le marketing direct : il arrive souvent, en effet, que l’on estime parsondage le rendement d’un fichier donné, que l’on souhaite comparer les rendements de plusieurs fichiers, ou encoreque, disposant de plusieurs fichiers, l’on souhaite estimer par sondage le rendement global de l’ensemble des fichiers.Dans cet exercice, on suppose l’existence d’un fichier de N =200 000 adresses. On note p le rendement inconnu dufichier à une offre d’abonnement à prix réduit avec calculette offerte en prime ; c’est donc la proportion d’individusqui s’abonneraient si l’offre était faite à tous les individus du fichiers. On prélève au hasard, sans remise, n individus.On note :– P la population des 200 000 individus ;– f = n N ;– σ 2 = pq ;– Ȳ la variable aléatoireȲ : P n −→ Rnombre d’individus qui s’abonnentn individus ↦−→nNous pouvons dans ce cas approximer la loi de la variable Ȳ par une loi normale N (p, (1−f)σ2 ). (L’échantillonnagenest sans remise et nous ne pouvons ici l’approximer par un échantillonnage avec remise).(i) On suppose que p = 0.02. Quelle taille d’échantillon doit-on prendre pour estimer p avec une précision absoluede 0.5% et un degré de confiance de 95% ;(ii) Même question pour des précisions de 0.3% et 0.1% ;(iii) Le test a porté sur 10 000 adresses, et on a noté 230 abonnements. Donner l’intervalle de confiance à 95% dep et du nombre total d’abonnements si l’offre était faite sur l’ensemble du fichier.correction.Remarque. Dans le cours, théorème 4.1.1, on dit quealors qu’ici on aV ar(Ȳ ) = N − n σ 2N − 1 n(1 − f)(1 σ2n = − n ) σ2Nn = N − nNLa bonne formule est bien sûr celle du cours, mais ici N est suffisamment grand pour confondre N et N − 1.(i) La variable de départ est iciX : P −→ {0, 1}1 individu ↦−→ 1 s’il s’abonneσ 2n1 individu ↦−→ 0 s’il ne s’abonne pasX suit une loi de Bernoulli de paramètre p et a donc pour variance pq. On cherche donc a estimer p et onnous dit que Ȳ peut être approximée par une loi normale de paramètre N (p, (1 − f)pq/n). Nous pouvonsdonc écrire√P(p − u 1−α/2 (1 − f) pq√n ≤ Ȳ ≤ p + u 1−α/2 (1 − f) pq )= 1 − αnOr ici on veut P (p − d ≤ Ȳ ≤ p + d) = 1 − α avec– p = 0.02 ;– d = 0.005 ;8 Exercice 5 page 8 de l’ouvrage ”Exercices de sondages” A.N. Dussaix et J.M. Grosbras, Ed. Economica 1992