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120 CHAPITRE 6. ESTIMATIONp n0.5 300.4 500.3 800.2 2000.1 6000.05 1400Tab. 6.3 – valeurs minimales de n en fonction de p pour pouvoir utiliser la loi normale dans le calcul de l’intervallede confiance d’une proportion(iii) Quand l’échantillonnage est sans remise, ce qui est toujours le cas en pratique ! ! !, et quand n/N > 0.1, nousdevons travailler avec la loi hypergéométrique, ce qui complique les calculs. Il faut pour répondre à la questionalors se tourner vers les logiciels spécifiques.Exemple 3.3.4. 5 A la fin de l’été et au cours de l’automne 1975, une épidémie virale provoqua la mort d’environ1000 cerfs de Virginie (Odocoileus virginianus) dans le New Jersey ([4]). L’analyse d’un échantillon de 146 victimes,dont le sexe a pu être identifié, révéla que seulement 41 mâles dont 10 faons composaient l’échantillon.Quel est l’intervalle de confiance au niveau 0.95 du pourcentage de mâles morts de cette maladie lors del’épidémie de 1975 ?L’échantillon se compose de 146 animaux et l’estimation ponctuelle de la proportion est ˆp = 41146= 0.28 Commecette valeur est proche de 0.3 et que l’effectif de l’échantillon n est supérieur à 80, nous pouvons utiliser l’approximationnormale. L’effectif de la population est ici environ N = 1000, doncˆσ p =√0.28 × 0.721451000 − 1461000= 0.0344par suite l’intervalle de confiance est :[p ∈ 0.28 − 1.96 × 0.034 − 1]1; 0.28 + 1.96 × 0.034 + = [0.21; 0.35]292 292au niveau (1 − α)4 Compléments4.1 Lien entre intervalle de confiance et testL’intervalle de confiance de la moyenne dans le cas où l’on connaît la variance σ 2 et où la variable aléatoire X est normale est donnée par :»–σσȳ − u 1−α/2 √n ; ȳ + u 1−α/2 √nau niveau1 − αConsidérons maintenant, toujours sous les mêmes postulats, le test bilatéral suivant :H 0 : µ = µ 0H 1 : µ ≠ µ 0Nous aurons alors»la règle de décision suivante :–σσ– si ȳ ∈ µ 0 − u 1−α/2 √n ; µ 0 + u 1−α/2 √n alors on accepte l’hypothèse nulle H 0 au risque α ;»–σσ– si ȳ ∉ µ 0 − u 1−α/2 √n ; µ 0 + u 1−α/2 √n alors on accepte l’hypothèse alternative H 1 au risque α.Ce qui est equivalent»à :–σσ– si µ 0 ∈ ȳ − u 1−α/2 √n ; ȳ + u 1−α/2 √n alors on accepte l’hypothèse nulle H 0 au risque α ;»–σσ– si µ 0 ∉ ȳ − u 1−α/2 √n ; ȳ + u 1−α/2 √n alors on accepte l’hypothèse alternative H 1 au risque α.En d’autres termes, on peut considérer l’intervalle de confiance comme l’ensemble des valeurs de la moyenne µ 0 pour lesquelles on accepteraitl’hypothèse nulle dans le test bilatéral.4.2 IllustrationSoit P e un problème d’estimation où la loi de la variable aléatoire X est continue et où θ ∈ R. Soit T un estimateur de θ.Fixons θ ′ dans R. Si nous connaissons la loi de T pour ce paramètre θ ′ , nous pouvons déterminer les valeurs h 1(θ ′ ) et h 2(θ ′ ) telles que :5 Exemple provenant de B. Scherrer [5] page 351P (T < h 1(θ ′ )) = α/2P (T < h 2(θ ′ )) = 1 − α/2