cours et TD - Enseeiht

3. ESTIMATIONS DES PRINCIPAUX PARAMÈTRES 117où u 1−α/2 est défini par P (U < u 1−α/2 ) = 1 − α/2, U étant une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.On en déduit alors que : ()σP Ȳ − u 1−α/2 √n ≤ µ ≤ Ȳ + u σ1−α/2 √ = 1 − αnd’où le résultat.(ii) Lorsque X suit une loi normale N (µ, σ 2 ), il est toujours vrai que U = Ȳ − µ√σsuit une loi normale centréenréduite. Le problème est ici que σ est inconnue. L’idée immédiate est de remplacer σ par son estimation ˆσ. Cecinous conduit à construire le variable aléatoire suivante :T (Y ) : P n −→ Rω = (ω 1 , . . . , ω n ) ↦−→ T (ω) =Nous pouvons reécrire cette variable aléatoire de la façon suivanteT (Y ) =Ȳ −µσ/ √ n√nS 2 (Y )σ 2 /(n − 1)Ȳ (ω) − µ√ Pni=1 (X(ωi)−Ȳ (ω))2(n−1)n= U √Z/νoù U est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite, Z est une variable aléatoire de loi du Khi-2 àν = n − 1 degré de liberté, et ces deux variables aléatoires sont indépendantes. Par suite T suit une loi de Studentà ν = (n − 1) ddl.Par conséquent, si nous définissons t 1−α/2 par :P (T (Y ) < t 1−α/2 ) = 1 − α/2nous avons (cf. figure (6.6)) :P (−t 1−α/2 < T (Y ) < t 1−α/2 ) = 1 − α0.40.350.30.250.20.150.10.05α/2→0−4 4t 0.025t 0.975← α/2Nous en déduisons donc⇔P(P⎛Fig. 6.6 – Loi de Student à ν ddl⎝−t 1−α/2 < Ȳ − µ √S 2 (Y )n−1< t 1−α/2⎞⎠√ √S 2 (Y )S 2Ȳ − t 1−α/2n − 1 < µ < Ȳ + (Y )n − 1)= 1 − α= 1 − αNous avons à partir de nos données une observation deȲ − t 1−α/2√S 2 (Y )n − 1