cours et TD - Enseeiht

3. ESTIMATIONS DES PRINCIPAUX PARAMÈTRES 1153 Estimations des principaux paramètres3.1 Estimation d’une varianceThéorème 3.1.1. Soit (P e ) le problème d’estimation de la variance θ = σ 2 où X est une variable aléatoire réellecontinue. Alorsnn − 1 S2 (Y ) : P n −→ Rω = (ω 1 , . . . , ω n )↦−→1n − 1n∑(X(ω i ) − Ȳ (ω))2(i) est un estimateur sans biais de σ 2 . On notera ˆσ 2 l’estimation ponctuelle.(ii) si X suit une loi normale, c’est un estimateur convergent et asymptotiquement efficace.DémonstrationLe point (i) a été vu à la section précédente et le point (ii) sera admis. ✷Théorème 3.1.2. Soit (P e ) le problème d’estimation de la variance θ = σ 2 où X est une variable aléatoire réellecontinue de loi normale alors l’intervalle de confiance au niveau (1 − α) est donné par :[]σ 2 SCE∈χ 2 ; SCE1−α/2χ 2 au niveau (1 − α)α/2Corollaire 3.1.3. Sous les mêmes hypothèses que le théorème précédent l’estimation ponctuelle de l’écart type σest ˆσ = √ˆσ 2 et, si la loi de la variable aléatoire de départ X est normale, l’estimation par intervalle est :[√ √ ]SCE SCEσ ∈χ 2 ;1−α/2χ 2 au niveau (1 − α)α/2DémonstrationCela provient du théorème (4.4.2.1) qui dit entre autre que la variable aléatoire :K(Y ) = nS2 (Y )σ 2 : P n −→ Ri=1ω = (ω 1 , . . . , ω n ) ↦−→ 1 ∑ nσ 2 (X(ω i ) − Ȳ (ω))2suit une loi du Khi-2 à ν = (n−1) degré de liberté si l’échantillon aléatoire est Bernoullien et si la variable aléatoireX suit une loi normale. Par suite, si nous définissons les valeurs de χ 2 α/2 et χ2 1−α/2 par :P (K(Y ) < χ α/2 ) = α/2 et P (K(Y ) < χ 2 1−α/2 ) = 1 − α/2i=1nous avons (cf. figure (6.5))⇔()P χ α/2 < nS2 (Y )σ 2 < χ 2 1−α/2()nS 2 (Y )P < σ 2 < nS2 (Y )χ 1−α/2 χ 2 α/2= 1 − α= 1 − αOr à partir des données nous avons une observation de la variable aléatoire nS 2 qui est donnée par la sommedes carrés des écarts SCE. D’où le résultat. ✷Exemple 3.1.4. Reprenons les données de la table 4.1 où l’on s’intéressait à la longueur de la rectrice centrale dela gélinotte huppée mâle, juvénile. On désire ici avoir une estimation de la variance. La variable aléatoire étudiéeest :X : Ω −→ Rune gélinotte ↦−→ la longueur de sa rectrice