TD de Physique no 7 : Optique géométrique

E.N.S. de CachanDépartement E.E.A.M2 FE3 e annéePhysique appliquée 2011-2012TD de Physique n o 7 :Optique géométriqueExercice n o 1 : Dispersion angulaire d’un prismeI- Déviation par un prismeOn considère un prisme isocèle d’angle au sommetA = 60˚, en verre d’indice de réfraction n (cf figure cicontre).On envoie sur la face d’entrée de ce prisme unfaisceau laser de longueur d’onde dans le vide λ 0 . Leplan d’incidence est dans un plan de section principaledu prisme. On note i et r (resp. r ′ et i ′ ), les angles incidentet réfracté à l’entrée (resp. à la sortie) du prisme.1. Équation du prisme. Définir la déviation D etdonner les 4 équations permettant de déterminer cettedéviation.2. Condition d’émergence du rayon incident. L’indice de réfraction du prisme a une valeur proche de 1,5.Déterminer la plage d’angles d’incidence permettant au rayon lumineux d’émerger du prisme. Faire l’applicationnumérique.3. Minimum de déviation.a) À l’aide des 4 équations de la question 1, montrer que la déviation présente un minimum en fonction del’angle d’incidence i. Pour cela, on montrera au préalable que r = r ′ = r m au minimum de déviation. Exprimerr m en fonction de A.b) On note D m la valeur de la déviation au minimum de déviation. Exprimer l’angle d’incidence i m au minimumde déviation en fonction de D m et A.4. Application à la mesure d’un indice de réfraction.a) Déduire des résultats précédents la valeur littérale de l’indice de réfraction en fonction de A et D m .b) Pour la longueur d’onde λ 0 , on mesure D m = 36˚20 ′ . Calculer la valeur de l’indice de réfraction pour cettelongueur d’onde.II- Dispersion par un prismeL’angle d’incidence est maintenu fixe, mais la longueur d’onde de la lumière incidente peut varier et l’indicede réfraction du prisme, n, dépend de la longueur d’onde.1. Dispersion angulaire pour un angle d’incidence quelconque. Pour un angle d’incidence quelconque,calculer la dispersion angulaire, dD/dλ. Exprimer cette dispersion en fonction de A, r, i ′ et dn/dλ.2. Dispersion angulaire au minimum de déviation. On se place au minimum de déviation. Exprimer ladispersion angulaire en fonction de A, D m , dn/dλ.III- Application : mesure de la longueur d’onde de la lumière du laser à l’aide du prismeLe prisme précédent est monté sur un goniomètre. La fente source est dans le plan focal objet d’une lentilleconvergente L 1 . La lumière sortant du prisme est captée par une lentille convergente L 2 . On observe les spectressur un écran placé dans le plan focal image de L 2 .La fente source est éclairée par deux faisceaux lasers colinéaires, de longueurs d’onde voisines λ 0 = 632, 8 nm etλ (longueurs d’onde dans le vide). Le prisme est réglé au minimum de déviation. La lentille L 2 a une distancefocale f ′ 2 = 40 cm. Le verre du prisme a une dispersion dn/dλ = −1, 0 ∗ 10 −4 nm −1 .Les deux images de fentes sont séparées de 0, 60 mm sur l’écran, la déviation la plus importante correspondantà la longueur d’onde λ. En déduire la longueur d’onde λ du second laser.1

4. Sachant que l’intensité de la lumière émergeant de la goutte est maximale au minimum de déviation,expliquer la formation de l’arc-en-ciel lorsque la lumière est blanche. On admet que la variation de l’indice navec la longueur d’onde dans le vide satisfait la loi de Cauchy :n = n 0 + C λ 2 0n 0 et C étant deux constantes positives.5. On observe souvent un second arc-en-ciel d’intensité plus faible et inversé par rapport au premier.Calculer β = D − π. Interpréter sa formation en considérant une seconde réflexion dans la goutte d’eau.Exercice n o 5 : Lentilles minces1. Rappeler la définition d’une lentille mince.2. Construire l’image B’ par une lentille mince d’un point objet B situé en dehors de l’axe optique.3. Rappeler comment est construit le rayon transmis correspondant à un rayon incident sur une lentillemince.4. Démontrer les formules de conjugaison de Newton et de Descarte.Problème : Télescope de CassegrainI- Étude d’un miroir sphérique.On considère le miroir sphérique de rayon R > 0, de centre C et de sommet S représenté sur la figure n˚1.Figure n o 1 : Miroir sphérique de centre C et de sommet S.1. Montrer que, dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison reliant la position d’un pointobjet A sur l’axe à celle de son image A ′ est donnée par :1SA + 1SA ′ = 2SC .Les valeurs algébriques horizontales et verticales sont comptées positivement dans le sens des axes représentéssur la figure n˚1. Cette relation de conjugaison est valable quels que soient les signes des valeurs algébriquesSA, SA ′ ou SC.2. Définir et donner la position des foyers objet F et image F ′ de ce miroir sphérique. On appelleradistance focale f de ce miroir la quantité f = SF . Exprimer f en fonction de SC.3. On considère un petit objet AB dans un plan perpendiculaire à l’axe optique (cf annexe 1). La positiondu point B est repérée par la valeur algébrique AB, qui est positive puisque B est au-dessus de l’axe optique.Construire, sur l’annexe 1, soigneusement l’image A ′ B ′ de AB par le miroir de la figure n˚1.4. Définir le grandissement transversal γ et l’exprimer en fonction de SA et de SA ′ .5. Dans le cas des observations astronomiques, les objets (étoiles) sont situés à l’infini. Quelle grandeurcaractérise alors la position relative de deux étoiles ?3

Figure n o 2 : Utilisation d’un miroir sphérique pour l’observation de deux étoiles.Les pointillés indiquent la direction de l’étoile B.6. On désire observer deux étoiles A et B à l’aide du miroir sphérique de la figure n˚2. L’étoile A se situedans la direction de l’axe optique et B dans une direction formant un angle α avec l’axe optique. Commele montre la figure n˚2, on prendra un angle α non orienté. Sur l’annexe 2, déterminer les positions de leursimages respectives A ′ et B ′ .7. Exprimer A ′ B ′ en fonction de α et des caractéristiques du miroir. Comment a-t-on intérêt à choisir lerayon de courbure du miroir utilisé ?8. Discuter des avantages de l’emploi des miroirs dans les télescopes par rapport aux lentilles utiliséesdans les lunettes astronomiques.II- Étude d’un des télescopes Cassegrain du VLT.Pour l’observation d’objets célestes, on n’utilise pas un simple miroir sphérique, mais une combinaison deplusieurs d’entre eux avec des formes différentes. L’objet de cette section est d’étudier un des quatre télescopesde type Cassegrain faisant partie du Very Large Telescope (VLT). Ce dernier est composé de deux miroirs dontla surface est une conique :• un miroir primaire concave de forme parabolique,• et un miroir secondaire hyperbolique convexe.Dans un souci de simplification, on peut modéliser chaque miroir par la calotte sphérique tangente à la surfaceréelle du miroir. Ainsi, dans les conditions de Gauss, le système réel est équivalent à un télescope formé dedeux miroirs sphériques, dont l’agencement et les caractéristiques numériques sont représentés sur la figuren˚3.Figure n o 3 : Télescope du VLT en configuration Cassegrain. Le foyer F 1 se trouve entre S 2 et F 2 .– Le miroir primaire M 1 , percé d’un trou de diamètre D, en son centre, est concave, de sommet S 1 et defoyer F 1 . On notera f 1 sa distance focale, R 1 son rayon de courbure et D 1 son diamètre.– Le miroir secondaire M 2 est convexe, de sommet S 2 et de foyer F 2 , situé à une distance e du sommetS 1 . On notera f 2 sa distance focale, R 2 son rayon de courbure et D 2 son diamètre.Dans toute cette partie, on considère deux étoiles A et B, séparées d’un angle α non orienté, l’étoile A étantdans la direction de l’axe du télescope et B étant située au-dessus de celui-ci dans le plan de la figure.1. Déterminer la position des images successives de A par chaque miroir, notées respectivement A ′ et A ′′ .En particulier, exprimer S 2 A ′′ en fonction de f 1 , f 2 et e.4