correction maths s2

M A T H E M A T I Q U E S 1/5 12 G 26 A RSéries : S2-S2A-S4-S5Epreuve du 1 er groupeEXERCICE 1C O R R I G E1) √ = - i2) a) z 3 – 1 = 0 ⇔ z = 1 ou z = j = π ou z = j 2 = π .b) z 3 = - i⇔ z = √ou z = j √32ou z = j 2 √c) u 2 – (1 – i)u – i = 0 ⇔ u = 1 ou u = - id) z 6 - (1 – i )z 3 – i = 0.⇔ u2 – 1 – iu – i 0 ⇔ z 3 = 1 ou z 3 = - I⇔ z = 1EXERCICE 2ou z = j ou z = j 2 ou z = √ou z = j √32ou z = j 2 √1) b) 2) c) 3) a) 4) d)EXERCICE 31) a) p(A 1 ) = 0,7p(A n+1 /A n ) = 0,8p(A n+1 /A) = 0,6b) p(A n+1 ∩ A n ) = p(A n ) x p(A n+1 /A n ) = 0,8 p(A n )p(A n+1 ∩ A ) = p(A ) x p(A n+1 /A ) = 0,6 pA c) p(A n+1 ) = p(A n+1 ∩ A n ) + p(A n+1 ∩ A )p(A n+1 ) = 0,2 p(A n ) + 0,62) a) U n+1 = p n +1 – 0,75U n+1 = 0,2 p n + 0,6 – 0,75U n+1 = 0,2 p n – 0,15U n+1 = 0,2 (p n – 0,75)U n+1 = 0,2 U ndonc (U n ) n≥1 est une suite géométrique de raison q = 0,2 et de 1 er terme U 1 = 0,05b) U n = U 1 x q n–1U n = (- 0,05) (0,2) n–1pour n ≥ 1

…/… 2M A T H E M A T I Q U E S 2/5 12 G 26 A RSéries : S2-S2A-S4-S5p n = U n + 0,75p n = (- 0,05) (0,2) n–1 + 0,75Epreuve du 1 er groupePROBLEMEPARTIE Aa) c) lim Un = 0 car q ∈ ] –1, 1[x→ +∞par sommex→ lim +∞p n = 0,75g(x) = lnx 1, x ∈ [0, +∞[1) a)x→ lim +∞(x2 + 1) =x→ lim +∞x2 = +∞ etpar composéed’autre partpar sommex→ lim +∞ln(x2 + 1) = +∞x→ lim +∞ 2lim g(x) = -∞x→ +∞lim ln h = +∞h→ +∞b) la fonction x x 2 + 1 est dérivable sur [0, +∞[.(comme restriction d’un polynôme du 2 nd degré) et à valeurs strictement positives sur [0,+∞[ or h → ln h est dérivable sur ]0, +∞[. Par composé x ln (x 2 + 1) est dérivable sur [0, +∞[D’autre part x est dérivable sur [0, +∞[ car quotient de deux fonctions dérivables sur [0, +∞[ où le dénominateur ne s’annule paspar somme g dérivable sur [0, +∞[Calcul de g’(x)Le calcul donne en fing’(x) = x 0 1+∞g’(x) 0+ 0 -g02) Si x ∈ ]0, 1[, g(x) > 0 et g(0) = 01 – ln 2- La restriction de g à [1, +∞[ est continue et strictement décroissante donc elle réalise unebijection continue de [1, -∞[ dans ]-∞, 1 – ln 2] et 0 ∈ ]-∞, 1 – ln 2] d’où l’équation g(x) = 0admet une unique solution α ∈ [1, +∞[- ∞

…/… 3M A T H E M A T I Q U E S 3/5 12 G 26 A RSéries : S2-S2A-S4-S5Montrons que 1,9 < α < 2Epreuve du 1 er groupeL’intervalle [1,9 ; 2] est contenu dan l’intervalle [1, +∞[ donc la restriction de g à [1,9 ; 2]est bijective avec g(1,9) x g(2) < 0 d’où 1,9 < α < 23) X 0 1 α +∞g01 – ln 2-∞si x ∈ ]0, α[, g(x) > 0si x ∈ ]α, +∞[, g(x) < 0si x ∈ {0, α}, g(x) = 0PARTIE Bf(x) = x e , si x < 0f(0) = 0f(x) = , si x > 01) Continuité de f en 0.1eh0x lim = − ∞a 0−xeth → lim−∞=Par produitx lim 0 −par composéex alim'0 −1e x = 0 d’autre partx a lim 0 − x = 0a f(x) = 0 ln (1 x2)x0 x 1 0x lim f(x)x lim +=a 0+ a0+x2= =Conclusionf(x) f(0)xalim 0=d’où f continue en 0Dérivabilité de f en 01f(x) f(0)ex0x lim −=a0−x − 0 xalim0−=donc f est dérivable en 0 à gauche f’g(0) = 0f(x) − f(0) ln (1+x2)lim = lim= 1xa0+ x − 0 xa0+x2donc f est dérivable en 0 à droite f’d(0) = 1Conclusion f’g(0) ≠ f’d(0) donc f non dérivable en 02) f(x) – (x + 1) = x e x 1 posons h =

…/… 4M A T H E M A T I Q U E S 4/5 12 G 26 A RSéries : S2-S2A-S4-S5Epreuve du 1 er groupeeh1x lim h lim' −a+∞→0h=droite asymptote à (C ) en -∞[ f(x) − (x + 1) ] =− 1 0d’où la droite d’équation y = x + 1 est une3) pour x > 0, f(x) peut s’écrire f(x) = 2 si x +∞, 1 + 0 et si x 1, ln x 0 par composé f(x)0x a lim +∞=4) si x < 0, f’(x) = e x e si x > 0, f’(x) =f’(x) = e 1 si x > 0, f’(x) = 5) on sait que α vérifie g(α) = 0donc αα lnα 1 0donc ln(α 2 + 1) = αα d’où f(α) = α f(α) =α α αααα f(α αα Encadrement de α1,9 ≤ α ≤ 2 d’autre part3,61 ≤ α 2 ≤ 4 3,8 ≤ 2α ≤ 44,61 ≤ α 2 + 1 ≤ 815 1α 1 14,61Par produit membre à membre3,85 fα 44,616) Si x < 0, f’(x) > 0Si x > 0, f’(x) a même signe que g(x) donc on obtient le tableau suivantx -∞ 0 α +∞f’(x) + 0 1 + 0 -f-∞0f(α)0

…/… 5M A T H E M A T I Q U E S 5/5 12 G 26 A RSéries : S2-S2A-S4-S5Epreuve du 1 er groupe1) Soit h la restriction de f à ]-∞, 0[ h étant continue et strictement croissante sur ]-∞, 0[donc elle réalise une bijection de ]-∞, 0[ sur un intervalle J = ]-∞, 0[′2) Voir courbe (C et (C h ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice