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Conséquences des opérations d’initiés sur la composante d’asymétrie d’information de la fourchette 19Le prix de transaction est égal au vrai prix augmenté de la part de la fourchettedue aux coûts de passage des ordres.SqiMit = Eit + Mit −1 + ( 1 − π i)Qit+ Uit(2)2Le vrai prix en t est égal au vrai prix en t-1 augmenté de la rentabilité anticipéeentre les deux transactions, de la composante de la fourchette due à la sélectionadverse et de la révision du prix due à l'arrivée d'une nouvelle informationpublique. La composante de sélection adverse est en fait la révision del'anticipation sur la valeur de l'actif faite suite à un ordre reçu : après un ordred'achat (de vente), les anticipations sont revues à la hausse ( à la baisse). Cesrévisions sont directement incorporées dans les prix offerts (demandés).Des équations (1) et (2), on déduit l'équation suivante :SqiPit = Mit -1 + Eit+ Q it + U it2(3)Soit Rit la rentabilité continue du titre i entre les transactions t-1 et t, des équationsprécédentes, on obtient :Rit = Pit - Pit -1 = + Eit + Bit + U it (4)⎛ Sqi⎞⎛ S qi ⎞avec Bit= πi⎜⎟( Qit − Qit −1) + ( 1−πi)⎜ ⎟Qit⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠La covariance sérielle des rentabilités devient :S2qiCov( Rit, Rit−1) = Cov( Eit , Eit−1)− π i4(5)car Eit et Qt ne sont pas corrélés ; la probabilité de la réalisation d'un achat estégale à la probabilité d'une vente, et Cov( Qt; Qt-1)=0 ce qui reflète une absence depersistance dans le sens des ordres et enfin VAR(Qt)=1.Etant donnée l'équation (5), la relation entre la covariance sérielle des rentabilitésréalisées et la fourchette cotée est :[( ( − )) ( ( − ))]2 − Cov Rit Rit 1 − Cov Eit Eit 1 = Sqi i, , π (6)Roll (1984) déduit une mesure simple de la fourchette basée sur deuxhypothèses importantes:- La rentabilité espérée d'un titre au cours du temps est fixe, ,i.e. Eit= Ei∀t- Il n'y a pas de sélection adverse sur le marché des titres, i.e. π i = 1Sous ces deux hypothèses, la mesure de Roll se déduit directement de l'équation(6).[( ( ))]Si = 2 − Cov Rit, Rit−1(7)