Nombres naturels - L'@telier

En général, la divisibilité d’un nombre est déterminée en effectuant une division eten vérifiant s’il y a un reste ou non. Il existe cependant des règles qui permettent dedéterminer rapidement la divisibilité d’un nombre par un autre nombre. L’étudesystématique de ces règles ne fait pas partie du programme-cadre de mathématiquesau cycle moyen. Cependant, certaines d’entre elles (p. ex., divisibilité par 2, 5ou 10) peuvent être découvertes assez facilement par les élèves dans le cadre desituations d’apprentissage qui misent sur une analyse des multiples d’un nombre etsur la recherche de régularités et de généralisations, ce qui contribue au développementdu sens du nombre. À l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante, lesrègles de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 sont décrites dans ce qui suit. Lesexplications données pour chacune visent à faire ressortir la justification mathématiquederrière la règle. Il existe des règles de divisibilité pour d’autres nombres queles élèves pourraient prendre plaisir à découvrir en analysant les multiples possiblesde ces nombres (p. ex., divisibilité par 9, 11, 20, 25, 50).Règle de divisibilité par 2 : Un nombre naturel est divisible par 2 si c’est unnombre pair.Par définition, un nombre pair est un nombre divisible en deux parties égales. Puisquetout nombre pair a le chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8 dans la position des unités, il est facile dereconnaître, par exemple, que 23 674 est divisible par 2 alors que 25 149 ne l’est pas.Règle de divisibilité par 3 : Un nombre naturel est divisible par 3 si la sommedes chiffres qui le composent est divisible par 3.Prenons par exemple le nombre 756. La somme des chiffres qui le composent(7 + 5 + 6) donne 18, un nombre qui est divisible par 3 puisque 18 ÷ 3 = 6.On peut donc conclure que 756 est divisible par 3. En appliquant ainsi la règlemécaniquement, il est difficile de saisir pourquoi elle fonctionne. Il faut analysercomment la division par 3 s’opère pour mieux comprendre.Premièrement, il faut reconnaître que si on divise 1 000, 100 ou 10 par 3, il y auratoujours un reste de 1 (p. ex., 100 ÷ 3 = 33, reste 1). Si on analyse maintenant ladivision de 756 par 3, il suffit de décomposer le dividende en centaines, en dizaineset en unités, et d’examiner les restes qui résultent de chacune des divisions :756 = 700 + 50 + 6756 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 6r 7 +r 5 + r 6 = r 1860Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4 e à la 6 e annéeNumération et sens du nombre – Fascicule 1