Nombres naturels - L'@telier

Il existe un lien important entre la distributivité et l’algorithme usuel de multiplication.Par exemple, pour calculer 3 × 15, le 15 est décomposé pour obtenir (10 + 5) :3 × (10 + 5), soit (3 × 10) + (3 × 5) 15× 345Pour calculer 13 × 24, les deux facteurs sont décomposés :10× 3305× 31524× 1372+ 240312(3 × 4) + (3 × 20) + (10 × 4) + (10 × 20)Seule la multiplication est distributive. On pourrait reconnaître que la division estpartiellement distributive. Par exemple, pour calculer 32 ÷ 8, il est possible dedécomposer le dividende 32 pour obtenir 16 + 16. On a alors (16 + 16) ÷ 8 etla division par 8 est distribuée sur l’addition. On obtient (16 ÷ 8) + (16 ÷ 8) = 2 + 2,soit 4. Cependant si le diviseur est décomposé, la distributivité ne fonctionne pas.Par exemple, 32 ÷ 8 ≠ (32 ÷ 4) + (32 ÷ 4). C’est la raison pour laquelle la distributivitén’est pas une propriété de la division.AssociativitéL’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permetde combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifierla valeur. Par exemple, dans l’expression 15 + 13 + 17, il est possible d’associer 13et 17 pour obtenir 15 + (13 + 17), ce qui donne 15 + 30, soit 45. On peut aussiassocier 15 et 13 pour obtenir (15 + 13) + 17, ce qui donne 28 + 17, soit 45.L’associativité de la multiplication [p. ex., 3 × 2 × 5 = 3 × (2 × 5) ou3 × 2 × 5 = (3 × 2) × 5] n’est pas facile à comprendre. Certes, on peut laconstater en vérifiant les résultats des multiplications, mais cela ne constituepas une compréhension. Pour comprendre, on peut utiliser un prolongementdu modèle d’une disposition rectangulaire à l’aide de cubes.Grande idée 2 – Sens des opérations105