ANALYSE FACTORIELLE MULTIPLE PROCRUSTEENNE

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suivant les cas. Le tableau ainsi obtenu, de dimension (I, S), est noté F ~ . Onconsidère ensuite, pour chaque groupe j, les tableaux X j pondérés comme en1AFM, soit les tableaux Xjj. Nous cherchons à les rapprocher de F ~ par uneλrotation procrustéenne de1⎡⎛⎞⎛transformation géométrique T jtel que ⎢⎜~ 1 ⎟⎜~Trace F − XjTjF −⎢⎜j ⎟⎜⎣⎝λ1⎠⎝et ce sous la contrainteT jT j′=I.On obtient alors les tableaux ‘‘ procrustéanisés ”,1λj1XjXˆjsur F ~ . Cela revient donc à chercher une=1λj1XjTj'⎤1 ⎞X ⎟ ⎥jTsoit minimumjjλ ⎟ ⎥1 ⎠ ⎦Xˆ jpar les relations suivantes.Où T j=V jU j′ avec :V jla matrice orthogonale des vecteurs propres normés de la matrice :1 ' ~~ 'Xj jFFXjλ1U jla matrice orthogonale des vecteurs propres normés de la matrice :1 ~ ' ' ~F X X Fjλ 1jjCe calcul revient à effectuer la dernière boucle de l’algorithme de Gower (1975) enprenant comme consensus le nuage moyen issu de l’AFM.PropriétésPour la représentation des nuages partiels ainsi obtenue, il n’y a plus de relationsde transition partielles. En contrepartie, les nuages partiels n’ont subi aucunedéformation autre que les rotations orthogonales.Remarque. Cette représentation est particulièrement intéressante dans le casbidimensionnel, puisque la représentation des nuages partiels n’est absolumentpas déformée.ExempleOn présente ici un exemple dans le cadre bidimensionnel pour illustrer l’intérêtde la nouvelle méthode par rapport à la représentation superposée usuelle del’AFM.DonnéesOn a demandé à 11 dégustateurs de fournir chacun une représentationeuclidienne de 10 vins blancs de Val de Loire (5 Chenins, numérotés de 1 à 5, et5 Sauvignons, numérotés de 6 à 10) en les positionnant sur une nappe. Ondispose alors de J=11 représentations euclidiennes. Ainsi, des vins proches surune nappe sont des vins qui paraissent similaires au juge. Les données analyséessont les coordonnées X j(i) et Y j(i) de chaque vin i, mesurées sur la nappe du juge j.4
1Juge1 Juge j Juge 11X 1Y 1X jY jX 11Y 11vins i X 1(i) Y 1(i) X j(i) Y j(i) X 11(i) Y 11(i)I=10RésultatsA titre d’exemple, nous représentons ici la nappe fournie par le juge 9.Remarquons en particulier sur cette nappe les vins 7 et 10 relativementexcentrés.37.5Y93 T Trotignon30.022.56 V Aub. Silex2 T Renaudie4 T Buisse Domaine8 V Font. Domaine15.010 V Font Coteaux7 V Aub. Marigny5 T Buisse Cristal7.59 V Font. Brûlés1 T MichaudX900 15 30 45 60Figure 3 : Représentation des 10 vins par le juge 9Ces données sont traitées par une AFM dans laquelle chaque nappe constitue ungroupe de deux variables non réduites.8Facteur 2 - 26.68 %8Facteur 2 - 26.68 %40318294 567 10403G91G98G99G95G94G92G96G910G97G9-4-4-4 0 4Facteur 1 - 39.39 %Figure 4a. Représentation du nuagemoyende l’AFM-4 0 4 Facteur 1 - 39.39 %Figure 4b. Représentation du nuagepartiel du juge 9 pour l’AFMSur la représentation moyenne des individus ainsi obtenue (figure 4a) il estcommode d’orienter les commentaires selon les deux bissectrices. La premièrebissectrice sépare les Sauvignons (vins 1 à 5) des Chenins (vins 6 à 10). La5
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