ANALYSE FACTORIELLE MULTIPLE PROCRUSTEENNE

La coordonnée, sur l’axe principal de rang s, de l’individu i vu par le groupe j,notée F s(i j ), s’exprime comme combinaison linéaire des coordonnées des seulesvariables du groupe j sur ce même axe. Ceci se traduit par la formule detransition suivante, dans laquelle on reconnaît la restriction au groupe j de larelation de transition classique :j j 1 1Fs( i ) = Fs( i)= ∑ xikGs( k)jλsλ1k∈Kjen notant :F s(i j )projection de l’individu i j sur l’axe principal de rang s du nuage desindividus N I ;G s(k) projection sur l’axe de rang s de la variable k ;λ s est l’inertie projetée du nuage N I .En contrepartie de cette précieuse propriété, cette représentation présente desdéformations autres que celles induites par les projections. En effet, chaquenuage partiel est projeté sur deux axes n’appartenant pas à son sous-espaceinitial (figure 2).⊕R K= R K jθ sji ju su sjR K jFigure 2. Projection de l’individu i du nuage j dans N Iu s: axe principal de rang s du nuage des individusu sj: composante de u sdans l’espace du nuage partiel j.i j , i ème ligne de X ~jet appartenant à R Kj , est dans unjpremier temps projeté sur u spuis, en multipliant lescoordonnées par cos( θ ), sur u sisNous proposons ci-après une représentation procrustéenne à la fois intégrée àl’AFM, d’où la dénomination d’analyse factorielle multiple procrustéenne (AFMP),et telle que les nuages initiaux ne subissent aucune autre déformation que cellesrésultant des projections.Toutefois, il est à noter que dans le cas où les nuages partiels sont dans unespace à plus de deux dimensions, la représentation procrustéenne, bien que nondéformée dans l’espace total, le sera lors de sa représentation finale en deuxdimensions, par projection sur un espace de dimension inférieure.MéthodePrincipejChaque nuage partiel NIest ajusté, à l’aide d’une rotation procrustéenne, sur lenuage moyen N I de l’AFM.Du point de vue de l’algorithme, on utilise les S premières composantes de lareprésentation moyenne de l’AFM. Le choix de la dimension, S, est à discuter3