THESE DE DOCTORAT - Toubkal

RésuméLes études de la pollution dans les milieux poreux ainsi que les transfertshydriques dans les sols non saturés ont retenu l’attention de nombreux chercheurs.Ces études se sont intensifiées depuis qu’on a constaté que la contamination dessols pouvait avoir de graves influences sur l’environnement, la flore et la faune.Dans ce travail, nous étudions le processus de la propagation du polluantdans un milieu poreux non saturé homogènes par couches (Zone stratifiés).L’écoulement des fluides dans les milieux poreux stratifiés non saturés estmodélisé par l’équation de Richards couplée par l’équation du transport des polluantset par l’équation du transfert thermique et complétée par des relations empiriquespour décrire les relations entre la pression du fluide, la saturation réduite du fluide etla perméabilité relative. A cause de la forte non-linéarité des équations, nousadoptons la méthode de résolution numérique des volumes finis pour discrétiser lesystème d’équations obtenues. Pour la résolution, nous utilisons la méthode d’ADI(Alternating Direction Implicit).L’étude numérique bidimensionnelle des transferts de masse apermisd’analyser les différents stades de l’évolution du processus de la propagation depolluant dans un milieu poreux non saturé ayant des caractéristiques zones stratifiés,notamment le comportement de la teneur en eau et de la concentration en fonctionde différentes couches étudiées.Mots ClésMilieu poreux, Zone non saturée, Zone stratifiée, Modélisation numérique, Transportdu Polluant, Transfert thermique, Volume finis.3

Liste des Communications1. GHOULI. A, GUERAOUI. K, TAIBI. M, El HAMMOUMI. A, KERROUM. MZEGGWAGH. G, HADDAD. Y.M (2009) ‘ Simulation Numérique Bidimensionnelledu Transport du Polluant en Milieu Poreux ‘AES – ATEMA’ 2009 ThirdInternational Conference on Advances and Trends in Engineering Materials andtheir Applications (Montreal, Canada: July 06 -10, 2009)2. GHOULI. A, GUERAOUI . K,. TAIBI. M, A. HIHI, (2009) « Numerical modelling fortransport of pollutant in a stratified porous unsaturated media » ICSAAMM 2009September7-10,2009 Tarbes, France3. DHIRI. A, GHOULI. A, TAIBI. M, GUERAOUI. K (2009) ‘ Influence of Soret effecton pollutants transport in porous unsaturated media’ . Proceedings of the Fourthinternational Conference on Thermal Engineering: Theory and ApplicationsJanuary 12-14, 2009, Abu Dhabi, UAE4. DHIRI. A, GUERAOUI. K, GHOULI. A, TAIBI. M, CHERRAJ .M (2009)”Caractérisation du transport des polluants dans un milieu non saturée Effet Soretet l’effet multi-constituant ». 9ème Congrès Internationale de Mécanique,Marrakech. Tome II . p-436-438.5

Table des matièresTable des MatièresListe des symboles utilisés ......................................................................................... 9Liste des Tableaux ................................................................................................... 10Liste des Figures ...................................................................................................... 10Introduction Générale ............................................................................................ 13CHAPITRE 1 : Aperçu Global sur le Transport de polluants en Milieu Poreux 17Introduction............................................................................................................... 17I- Propriétés du milieu poreux................................................................................... 18I-1 Définition .......................................................................................................... 18I-2 L’analyse texturale ........................................................................................... 19I-3 Intégration spatiale des propriétés .................................................................. 21I- 4 Le Volume Elémentaire Représentatif............................................................. 21I-5 Masse volumique sèche................................................................................... 22I-6 La porosité ....................................................................................................... 23I-7 La teneur en eau volumique............................................................................. 23I-8 La saturation .................................................................................................... 24I-9 Le potentiel de pression ................................................................................... 24I-10 La conductivité hydraulique........................................................................... 27a. Relation teneur en eau / potentiel de pression :............................................. 29b. Relation conductivité / potentiel de pression .................................................. 32c. Les paramètres dérivés (La capacité de rétention, la diffusivité hydraulique) 33II- La situation hydrique au Maroc ............................................................................ 34II-1 Eau souterraine............................................................................................ 34II-2 Qualité des Eaux souterraine au Maroc....................................................... 35II-3 Qualité de eaux et pollution agricole ............................................................ 38II-4 Qualité des eaux et pollution industrielle...................................................... 39II-5 Qualité des eaux et décharges .................................................................... 39II-6 Situation législative des eaux...................................................................... 406

Table des matièresIII- Faciès chimiques des eaux........................................................................... 42IV- Conclusion .......................................................................................................... 45Références ............................................................................................................... 46CHAPITRE 2 : Formulation Mathématique ........................................................... 49Introduction............................................................................................................... 49I- Équations de Base ................................................................................................ 51I-1 Équation de continuité en milieu poreux .......................................................... 51I-2 La Loi de Darcy ............................................................................................... 51I-3 Équation générale des écoulements en zone non saturé ................................ 54a. Convection ........................................................................................................ 57b. Dispersion hydrodynamique.............................................................................. 58c. Diffusion ............................................................................................................ 58d. Dispersion mécanique....................................................................................... 59II- Processus de transfert de chaleur et propriétés thermiques ............................. 61II-1 Définition des modes de transfert.................................................................... 61II-2 Equation Transfert thermique......................................................................... 62a. Capacité thermique volumique ....................................................................... 63b. Conductivité thermique ................................................................................... 64III- Conditions initiales et aux limites ..................................................................... 66IV- Condition à la limite inférieure.......................................................................... 67V- Pollution des sols.............................................................................................. 67V-1 Adsorption sur les particules de sol ................................................................ 68V-2 Conditions initiales et aux limites .................................................................... 69VI- Conclusion .......................................................................................................... 71Références ............................................................................................................... 73Chapitre 3 : Résolution Numérique....................................................................... 77Introduction............................................................................................................... 77I . Volume de contrôle.............................................................................................. 777

Table des matièresII. Discrétisation et méthode de résolution................................................................ 78II-1. Discrétisation de l’équation d’écoulement ......................................................... 78II-2 Méthode de résolution........................................................................................ 81a) 1ére demi pas .................................................................................................... 81b) 2éme Demi pas.................................................................................................. 85II-3 Discrétisation de l’équation de Transport des Polluants en Milieux Poreux........ 88II-3-1 Méthode de résolution..................................................................................... 90a. 1ére demi pas ................................................................................................. 90b. 2éme Demi pas.................................................................................................. 98II-4 Equation de la Température ............................................................................ 105II-4-1 Méthode de résolution................................................................................... 106a. 1ère demi pas .................................................................................................. 106b. 2éme Demi pas................................................................................................ 107IV- Critère de convergence..................................................................................... 109V- Validation du code de calcul .............................................................................. 110VI- Conclusion ........................................................................................................ 110Références ............................................................................................................. 112Chapitre 4 : Résultats et Discussions................................................................. 113Introduction............................................................................................................. 113I- Propagation du polluant dans un milieu poreux homogène non saturé. .......... 114a. Description du sol étudié............................................................................... 114b. Résultats et discutions (Cas d’un milieu poreux non saturé homogène) ..... 115II- Propagation du polluant dans un milieu poreux stratifié non saturé................. 129a. Description du sol stratifié étudié .................................................................. 130b. Les conditions aux interfaces........................................................................... 130c. Résultats et discutions (Cas d’un milieu poreux non saturé stratifié) ............... 131III- Conclusion.................................................................................................... 139Références ............................................................................................................. 140Conclusion Générale............................................................................................ 1448

Liste des symboles utilisésListe des symboles utilisésβ : Paramètre d’évolution temporelle de la masse volumique de la croûte [T -1 ]λ :Paramètre de structure du formalisme des propriétés hydrodynamiques deBrooks et Corey (1964) (noté λ cpour la croûte de battance) [-]ρ : Masse volumique (notée ρ c: pour la croûte de battance) [M.L -3 ]θ : Teneur en eau volumique [-]θ s: Teneur en eau volumique à saturationθ r: Teneur en eau volumique résiduelleρ i: Masse volumique initialeρ s: Masse volumique des particules solides du sol [M.L -3 ]H : Charge hydraulique [L]h : Potentiel de pression [L]z : Potentiel gravitaire (altitude) [L]P : Eau pression de l.eau dans le sol [M·L-1·T-2]g : Accélération de la pesanteur [L·T-2]K(h) ou K(θ) : Conductivité hydraulique ou perméabilité [L·T-1]Ks : Conductivité hydraulique à saturation [L·T-1]q : Flux d.eau [L·T-1]ω : Porosité [L3·L-3]α, n, m : Paramètres d’ajustement du modèle de Mualem . Van GenutchenC(h) : Capacité capillaire [L-1]D(θ) : Diffusivité hydraulique [L2·T-1]C : Concentration totale en solutéD : Coefficient de dispersionDm : Coefficient de dispersion dans la phase mobileKso : Produit de solubilité sans dimensionq : Vitesse de Darcyz : Profondeur9

Liste des tableaux et des figuresListe des TableauxTableau 1 : Classification texturale USDA par classes de tailles de grains(Guymon1994).......................................................................................................... 20Tableau 2 : la conductivité hydraulique de plusieurs matériaux en fonction de leurtexture (De Marsily, 1981). ....................................................................................... 28Tableau 3 : Valeurs moyenne pour les paramètres de rétention de van Genuchtenpour quelques texteures définies par USDA, d’après Guymon (1994), en cm -1 . .. 31Tableau 4 : Classe de qualité. .................................................................................. 35Tableau 5 : Conductivités thermiques de quelques constituants du sol. .................. 65Tableau 6 : Paramètres hydrodynamique, texturales et thermique du sol modélisé................................................................................................................................ 114Tableau 7 : Paramètres hydrodynamique, texturales et thermique du sol modélisé131Liste des FiguresFigure 1 : Triangle des textures selon USDA (Clapp et al 1978 ; Morel 1989) ........ 19Figure 2 : La propriété P liée à la taille de VER mesurée par une de ses dimensionscaractéristiques L. (Bear 1972)................................................................................. 22Figure 3 : Influence de la texture et de la structure sur la relation h(θ). Effetd’hystérèse : branches principales et courbes de passage (Thony 1970 ; Hillel 1974)................................................................................................................................. 26Figure 4 : Allure générale des fonctions K(h) et K(θ) (Campbell 1974 ; Gardenr et al1970) ........................................................................................................................ 27Figure 5 : Interprétation physique des paramètres de Brooks & Corey. ................... 30Figure 6 : Interprétation physique des paramètres de Van Genuchten .................... 31Figure 7 : Courbes de capacité de rétention lorsque les courbes de rétention en eausont décrites par les fonctionnalités de Van genuchten ou Brooks et Corey. ........... 33Figure 8 : Situation hydrique au Maroc..................................................................... 3410

Liste des tableaux et des figuresFigure 9 : Répartition des stations d’eau de souterraines par niveau de qualité....... 36Figure 10 : Carte de classification des principales nappes phréatiques selon laqualité globale de leurs eaux.................................................................................... 37Figure 11 : Principaux oueds et sources alimentés par la dorsale calcaire du Rif .... 43Figure 12 : Diagramme de Piper : Classification des points d’eaux.......................... 44Figure 13 : Volume de contrôle autour du point P .................................................... 78Figure 14 : Eléments de volume pour les composantes x et z ........................... 80Figure 15 : Illustration du milieu poreux homogène non saturé .............................. 114Figure 16 : Profil de la concentration suivant la profondeur pour temps donné...... 118Figure 17 : Profil de la concentration suivant le temps pour z= cte et x=cte......... 118Figure 18 : Iso-contours de la concentration.......................................................... 119Figure 19 : Profil de la teneur en eau suivant la profondeur pour temps (t)=cte. .... 119Figure 20 : Profil de la teneur en eau suivant la profondeur pour x=cte. ............... 120Figure 21 : Profil de la teneur en eau en fonction de z et de x............................... 120Figure 22 : Iso-contours de la teneur en eau........................................................ 121Figure 23 : Profil de la pression suivant la profondeur pour un x donné et un tempsdonné...................................................................................................................... 121Figure 24 : Comparaison temporelle du profil de la pression suivant la profondeurpour x=cte............................................................................................................... 122Figure 25 : Profil de la pression suivant le temps pour z= cte et x=cte................. 122Figure 26 : Profil de la pression en fonction de z et de x. ...................................... 123Figure 27 : Iso-contours de la pression ................................................................ 123Figure 28 : Comparaison temporelle de profil de la saturation suivant la profondeurpour x=cte............................................................................................................... 124Figure 29 : Profil de la saturation suivant le temps pour z= cte et x=cte................ 124Figure 30 : Profil de la saturation en fonction de z et de x...................................... 125Figure 31 : Comparaison temporelle de profil de la conductivité suivant laprofondeur pour x=cte ............................................................................................ 125Figure 32 : Profil de la conductivité suivant le temps pour z= cte et x=cte............. 126Figure 33 : Profil de la conductivité en fonction de z et de x.................................. 126Figure 34 : Profil du flux d’infiltration suivant la profondeur pour x=cte et pourdifférentes temps. ................................................................................................... 127Figure 35 : Profil du flux d’infiltration suivant le temps pour z=cte et x=cte........... 12711

Liste des tableaux et des figuresFigure 36 : Profil du flux d’infiltration en fonction de z et de x pour un instant donné............................................................................................................................... 128Figure 37 : Iso-contours du flux d’infiltration .......................................................... 128Figure 38 : Profil de la température suivant la profondeur pour un instant t donné etune position x donnée ............................................................................................ 129Figure 39 : Illustration du milieu poreux stratifié ..................................................... 130Figure 40 : Profil de la teneur en eau en fonction de z et de x à un instant donné 133Figure 41 : Iso-contours de la teneur en eau......................................................... 134Figure 42 : Evolution temporelle de la teneur en eau pour la couche (0-0,75m) ... 134Figure 43 : Evolution temporelle de la teneur en eau pour la couche (0,75-1m) ... 135Figure 44 : Evolution temporelle de la teneur en eau pour la couche (2,25-3m) ... 135Figure 45 : Comparaison de l’évolution temporelle de la teneur en eau dans lesdifférentes couches ................................................................................................ 136Figure 46 : Evolution de la concentration pour un x et un temps donnés ............... 136Figure 47 : Profil de la concentration en fonction de z et de x à un instant donné.. 137Figure 48 : Evolution temporelle de la concentration dans la couche (0-0,75) ....... 137Figure 49 : Evolution temporelle de la concentration dans la couche (0,75-1) ....... 138Figure 50 : Comparaison de l’évolution temporelle de la concentration dans lesdifférentes couches ................................................................................................ 138Figure 51 : Evolution temporelle de la température aux différentes strates............ 13912

Introduction GénéraleLe troisième chapitre est concerné àla résolution numérique. En effet,l’équation de Richards est difficile à résoudre analytiquement à cause de la forte nonlinéaritédes propriétés hydrauliques. Sa résolution peut se faire par plusieursméthodes numériques. Ces méthodes sont générales et nécessitent une adaptationpour les problèmes spécifiques et des connaissances approfondies enmathématiques et en programmation. Dans ce travail, les équations obtenues sontrésolues à l’aide de la méthode des volumes finis. C’est une méthode dediscrétisation bien adaptée à la résolution numérique des équations de conservationde grandeurs extensives telles que la masse, la quantité de mouvement, l'énergie.Cette méthode possède diverses propriétés telles que la conservation locale des flux,le respect du principe du maximum, la possibilité de l'appliquer à des maillagesquelconques (maillages structurés ou non structurés) qui la rendent attractive. Parailleurs, la méthode de résolution utilisée est celle d’ADI (Alternating DirectionImplicit). Elle consiste à itérer le système d’équations implicites en deux étapes.Le quatrième chapitre est consacré, d’une part, à l'étude des résultats pour lecas d’un milieu poreux homogène non saturé. D’autrepart, nous étudions leprocessus de la propagation du polluant dans un milieu poreux stratifié non saturé.L’écoulement des fluides dans ces milieux est modélisé par l’équation de Richards,complétée par des équations supplémentaires. Les hétérogénéités se traduisent pardes discontinuités dans les coefficients du système d'équations au passage d'un typede roche à l'autre. Cependant, certaines quantités physiques restent continues : lavitesse de Darcy, la pression et les flux de contaminants.16

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxinfluencent les comportements des polluants, ainsi que la situation hydrique etlégislative de l’eau au Maroc.I- Propriétés du milieu poreuxI-1 DéfinitionLe milieu poreux est l’ensemble de grains solides ou d’agrégats autourdesquels existent des espaces vides appelés pores, qui peuvent être interconnectésou non. La matrice constituée des grains solides est rigide ou peut subir des petitesdéformations.Les premières informations sur les propriétés d’un tel milieu sont fournies parl’analyse granulométrique, souvent réalisée par tamisage, qui vise à déterminer ladistribution des grains qui composent la matrice, en faisant le postulat que ceux-cisont sphéroïdaux. On obtient ainsi une courbe granulométrique représentant lepourcentage (volumique ou massique) des éléments dont le diamètre est inférieur ouégal à un diamètre donné.Outre la granulométrie, la nature lithologique ainsi que l’agencement desgrains dans l’espace définissent des classifications du milieu poreux.Lorsque la composition lithologique est constante, on parle de milieuhomogène, et de milieu hétérogène lorsque cette propriété varie dans l’espace.Si les propriétés du milieu varient suivant l’orientation dans l’espace, on parlede milieu anisotrope, et de milieu isotrope si ces propriétés demeurent constantes.Parmi ces propriétés du milieu, celles qui vont influencer sur les phénomènesd’écoulement et de transport sont en particulier : la porosité totale et la perméabilitéintrinsèque, propriétés spécifiques du milieu dépendant de nombreux facteurs18

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreux(histoire du matériau en particulier) et caractérisent le milieu du point de vuehydraulique.I-2 L’analyse texturaleDans le cas d'un sol, les propriétés évoquées précédemment dépendent de sastructure, terme qui désigne la manière dont sont associés les grains entre eux.Celle-ci est, entre autres, fonction de la distribution en taille des grains qui leconstituent, c'est-à-dire de la texture (ou composition granulométrique du sol),déterminée en laboratoire par des tamisages successifs. La texture d'un sol est alorsdéfinie en se référant aux classes décrites dans le triangle des textures :Figure 1 : Triangle des textures selon USDA (Clapp et al 1978 ; Morel 1989)19

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxLe point P est un exemple pour illustration : il représente un sol de typeargileux, contenant 50% d’argile (Clay), 20% de limon fin (Silt) et 30% de sable(Sand). De nombreux auteurs proposent des formulations permettant de déduire lespropriétés hydriques d'un sol de sa composition granulométrique (Gupta et all 1979 ;Puckett et al 1985 ; Saxton et al 1986 ; Vereecken et al 1992).D'autres proposent des caractéristiques moyennes associées à chaque classedu triangle des textures (Clapp et al 1978 ; Morel 1989). Les régressions obtenuespar les auteurs sont fondées sur des analyses statistiques réalisées sur un grandnombre d'échantillons de sols.Tableau 1 : Classification texturale USDA par classes de tailles de grains (Guymon1994)Matériau (texture)DiamètreminimalDiamètre maximalCailloux, galets 20 mm 200 mmGraviers, gravillons 2 mm 20 mmSable grossier 0.5 mm 2 mmSable moyen 250 m 500 mSable fin 100 m 250 mSable très fin 50 m 100 mLimon (moyen, grossier) 20 m 50 mLimon fin (Silt) 2 m 20 mArgile 0 2 mRemarquons cependant que les caractéristiques hydriques du sol, quidépendent de la géométrie de l'espace poral, sont liées aux propriétés structuralesdu sol, dont la texture n'est qu'une composante.20

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxL'utilisation des caractéristiques hydriques établies à partir de celle-ci risque ainsid'être insuffisante pour décrire les écoulements dans le sol.I-3 Intégration spatiale des propriétésLes propriétés que nous venons de rappeler s’appliquent de façon générale à uneéchelle macroscopique, l’échelle à laquelle on veut appliquer la théorie del’écoulement et du transport. Or, les équations servant de base à ces théories sontdes équations à l’échelle microscopique appliquées au fluide considéré comme uncontinuum. Il est donc nécessaire d’effectuer un changement d’échelle enmoyennant ces équations sur des volumes suffisamment grands pour pouvoirconsidérer un milieu continu. Deux approches sont pour cela possible : l’une,déterministe, fait intervenir la notion de Volume Elémentaire Représentatif (VER) etl’autre, statistique, est établie par l’intermédiaire des Fonctions Aléatoires (FA).I- 4 Le Volume Elémentaire ReprésentatifDans ce travail et afin de pouvoir considérer le milieu poreux comme un continuum,nous utilisons l’approche du Volume Elémentaire Représentatif (VER), qui consiste àaffecter à un point mathématique de l’espace la valeur moyenne des propriétés d’unvolume de sol (De Marsily, 1980).Le VER est défini en disant qu’il est : Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de pores, de façon à ceque l’on puisse définir une propriété moyenne globale ;21

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreux Suffisamment petit pour que les variations du paramètre d’un domaine audomaine voisin puissent être approchées par des fonctions continues.La taille du VER est généralement définie par l’apparition d’un palier dans la courbereliant une propriété du milieu à la taille du volume d’observation (figure I-2).Figure 2 : La propriété P liée à la taille de VER mesurée par une de ses dimensionscaractéristiques L. (Bear 1972)I-5 Masse volumique sècheLa masse volumique sèche, d , est définie comme le rapport entre la masse dessolides et le volume total de sol.M S dV tI-1Où : Ms est la masse de la phase solide [M] et V tle volume total apparent [L -3 ].Elle est en général de l’ordre de 1,4 à 1,7 g.cm -3 pour les sols sableux et de 1 à 1,5g.cm -3 pour les sols argileux.22

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxI-6 La porositéLa porosité, ε, constitue un indice du volume relatif des vides dans le sol et estdéfinie comme le rapport du volume des vides au volume total de sol. 1 dSI-2Où : S représente la masse volumique des solides.La plupart des roches sont constituées de particules minérales solides, plus ou moinscimentées, format un squelette autour duquel subsistent des espaces vides : ce sontles milieux poreux au sens des mécaniciens des fluides. Par exemple, les sables etles grés ont une porosité totale qui peut aller jusqu’à 30%. Mais même les rochesque l’on suppose généralement compactes ont une certaine porosité : calcaires,dolomies (surtout secondaires) et même les roches cristallines et métamorphiques(de 1 à 5%).Les argiles constituent une catégorie à part : leurs éléments constitutifs, lamellaires,sont organisés en « feuillets » : ce sont des empilements de couches parallèlesséparées par des intervalles variables où un fluide peut se loger : cela leur procure,en particulier, des propriétés de gonflement en présence d’eau. Nous verrons de plusque cette eau est fortement liée aux particules solides argileuses. Le pourcentage devide peut cependant être très élevé : jusqu’à 90%.I-7 La teneur en eau volumiqueDans les milieux non saturés, nous définissons la teneur en eau volumique àl’échelle d’un VER,23

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreux Volume d'eau conteneu dans un VERVolume total du VERI-3La teneur en eau d’un sol varie entre une valeur minimale (la teneur en eaurésiduelle, θr), et une valeur maximale (la teneur en eau à saturation, θs ). Cettedernière est en principe égale à la porosité, toutefois, dans les conditions naturelles,un sol ne parvient jamais à la saturation totale, car il reste toujours de l’air piégé(Musy et Soutter,1991).I-8 La saturationLa saturation, S , est définie comme la fraction mouillée de la porosité : Volume d'eau conteneu dans un VER I-4S Volume de pore du VER On défini également la saturation effective :S r srI-5I-9 Le potentiel de pressionDans le milieu poreux, à chaque teneur en eau, correspond une répartitiondes phases air et eau à l’intérieur du VER (De Marsily, 1980). La phase d’eau étantcontinue, les pressions s’y égalisent à une cote donnée et il en résulte un potentielde pression (h) unique :h PeaugI-624

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxOù : P eauest la pression de l’eau dans le sol [ML -1 T -2 ] ;ρ la masse volumique del’eau [ML -3 ] et g l’accélération de la pesanteur [LT -2 ].Nous pouvons distinguer deux domaines du potentiel de pression. Pardéfinition, la pression est nulle, c.-à-d. égale à la pression atmosphérique, au toit dela nappe (surface libre). Dans la zone saturée, la pression est positive, alors quedans la zone non saturée elle est négative (par convention).Le potentiel total est décrit par la notion de charge hydraulique, H, et sescomposantes sont le potentiel de pression (h) et charge de gravité (z), [L].H h zI-7Dans la zone non saturée du sol, la teneur en eau et le potentiel de pressionvarient de manière concomitante. La relation existante entre ces deux paramètresconstitue dès lors un élément essentiel de description de l’état hydrique du milieuporeux non saturé. Cette relation exprime les variations d’intensité des forces decapillarité en fonction de la teneur en eau. Comme celle-ci dépend de l’organisationde l’espace poral du sol, la forme de la relation entre le potentiel de pression et lateneur en eau constitue une caractéristique spécifique à un sol, ou plusgénéralement à un type de sol, dans un état structural donné. Graphiquement, cetterelation θ(h) est représentée par une courbe, dénommée courbe caractéristiqued’humidité du sol ou courbe de rétention hydrique (Musy et al., 1991).L’analyse de la relation θ(h) s’avère délicate car elle relève de phénomènescomplexes et peu accessibles. Dans la zone non saturée, la teneur en eaucorrespondant à une succion matricielle donnée dépend ainsi essentiellement de lagéométrie des pores, soit de la structure du sol. La figure 3illustre ces25

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxdépendances. Dans la gamme de potentiel de pression élevé, la teneur en eau resteplus importante pour un sol à texture fine (argile).Figure 3 : Influence de la texture et de la structure sur la relation h(θ). Effet d’hystérèse: branches principales et courbes de passage (Thony 1970 ; Hillel 1974)La relation entre le potentiel de pression et la teneur en eau présente engénéral une hystérésis (Figure 3), car la relation n’est pas univoque : les courbesdéterminées par drainage diffèrent de celles déterminées par humidification. Larelation θ(h) englobe ainsi tous les points situés entre les deux enveloppes queconstituent les courbes caractéristiques complètes, allant de la saturation à l’état secet vice versa.26

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxI-10 La conductivité hydrauliqueLa conductivité hydraulique, K [LT -1 ], selon la loi de Darcy, est l’aptitude dumilieu poreux à transmettre l’eau qu’il contient pour une teneur en eau donnée. Ladiminution de la teneur en eau entraîne une diminution rapide de la conductivitéhydraulique. En milieu saturé, la conductivité hydraulique est uniforme (dans le casd’un sol donné et pour une direction d’écoulement donnée) et égale à sa valeurmaximale, la conductivité hydraulique à saturation (K S).La Figure 4 illustre lesrelations liant la conductivité au potentiel de pression et à la teneur en eau,lesquelles sont non linéaires et dépendent du type de sol considéré. La relation K(h)est aussi sujette à l’hystérésis et il est en général préférable de la représenter enfonction de la teneur en eau. La relation K(θ) est minimale à partir d’un seuil θr et ellecroît pour atteindre sa valeur maximale à saturation, θS.Figure 4 : Allure générale des fonctions K(h) et K(θ) (Campbell 1974 ; Gardenr et al1970)Lorsque le milieu poreux est isotrope c.à.d. l’écoulement est unidirectionnel, lecoefficient de la perméabilité K est un coefficient scalaire. Quand le sol esthomogène et anisotrope, les valeurs de la conductivité hydraulique varient selon27

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxchaque axe dans le système référentiel Oxyz et on l’exprime par un tenseur d’ordre 2symétriques :KKKxxyxzxKKKxyyyzyKKKxzyzzzI-8Lorsque les directions principales d’anisotropie sont les mêmes que les axesdu référentiel Oxyz, les termes Kij=Kji sont nuls et le tenseur de la conductivitéhydraulique devient diagonal.K00h0K0h0 0K v I-9OùKh: est le coefficient de perméabilité horizontale et Kvla perméabilité verticale.Le transport d'un polluant dépend en premier lieu des caractéristiques del'écoulement qui le transporte.Tableau 2 : la conductivité hydraulique de plusieurs matériaux en fonction de leurtexture (De Marsily, 1981).TextureConductivité hydraulique à saturation(m/s)Graviers sans éléments fins 10 -2Sables non argileux et graviers 10 -2 à 10 -5Sables fins et argileux 10 -5 à 10 -9Argiles franches 10 -9 à 10 -13La conductivité hydraulique est un paramètre qui présente une fortehétérogénéité spatiale dans les sols.28

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxc. Les paramètres dérivés (La capacité de rétention, la diffusivité hydraulique)Nous avons défini précédemment deux fonctions hydrodynamiques nonlinéaires : la courbe caractéristique de teneur en eau (h) et la courbe de conductivitéhydraulique K(h). Etant donné que la teneur en eau est liée à la charge hydrostatique(ou potentiel matriciel), la conductivité hydraulique peut être exprimée en fonction de. Introduisons deux fonctions auxiliaires, à savoir la capacité de rétention en eauC(h) (L1) et la diffusivité hydraulique D(h)dC( h) , soit la pente de la courbe de rétention. Elle représente la variation dedhteneur en eau du sol par unité de variation de charge matricielle.Figure 7 : Courbes de capacité de rétention lorsque les courbes de rétention en eausont décrites par les fonctionnalités de Van genuchten ou Brooks et Corey.K(h)D(h) , la diffusivité hydraulique (L2T-1).C(h)Ces fonctions auxiliaires permettront d’écrire les équations de transport entermes d’une seule variable dépendante.33

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxII- La situation hydrique au MarocL’infrastructure hydraulique au Maroc permet la mobilisation d'un volumemoyen annuel d'environ 14 milliards de m3, permettant la satisfaction des besoins eneau de l'irrigation (83% du volume) et de l'alimentation en eau potable et industrielledu pays. Le potentiel hydraulique réellement considéré mobilisable au Maroc, dansdes conditions techniques et économiques actuelles, est évalué à 20 milliards de m3par an (soit 13% environ des précipitations totales du pays) dont 16 milliards de m3en eau superficielle et 4 milliards de m3 en eau souterraine .Figure 8 : Situation hydrique au MarocII-1 Eau souterraineLes eaux souterraines constituent une part importante du patrimoinehydraulique du Maroc. Elles présentent des avantages certains sur le plan de la34

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxcouverture des besoins, par rapport aux eaux de surface, en raison de leur régularitéet de leurs faibles coûts de mobilisation comparativement aux eaux de surface. Ils’agit aussi d’une ressource moins vulnérable aux aléas climatiques et à la pollutionet mieux repartie géographiquement.Sur l’ensemble du territoire national, on dénombre 32 nappes profondes(profondeurs variant de 200 à plus de 1 000 m) et plus de 48 nappes superficielles(une faible profondeur de niveau d’eau). Les premières sont difficiles d’accès avec uncoût de mobilisation et d’exploitation assez élevé, les secondes plus accessiblesmais aussi plus vulnérables à la pollution.II-2 Qualité des Eaux souterraine au MarocLes paramètres d’appréciation de la qualité globale des eaux souterrainesdifférent de ceux des eaux de surface et sont spécifiques à une pollution physicochimique,organique et bactériologique.Tableau 4 : Classe de qualité.PARAMETRESCLASSE DE QUALITEEXCELLENTE BONNE MOYENNEMAUVAISETRESMAUVAISECONDUCTIVITE (μs/cm) 1000NITRATES (mg/l) 100AMMONIUM (mg/l) 8MATIERESORGANIQUES (mg/l)8 -COLIFORMES FECAUX(/100 ml)20000 -35

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxFigure 10 : Carte de classification des principales nappes phréatiques selon la qualitéglobale de leurs eaux.Les eaux souterraines restent de meilleure qualité. Mais certaines nappesimportantes sur la côte atlantique sont déjà polluées par l’utilisation importante et non37

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxrationnelle des engrais et des pesticides par le secteur agricole et par l’intrusion deseaux marines et le pompage excessif. Des signes alarmants paraissent ici et là :Le niveau d’azote dans certaines nappes est élevé (des concentrationsdépassant de loin les 50mg/l), c’est le cas de certaines zones de la nappe desBéni-Moussa (Tadla), de la zone des Mnasra au Gharb...;La salinité des eaux est parfois bien au dessus des seuils des eaux douces(atteignant des valeurs de 10 à 12 g/l) (Document de la banque mondiale2003).II-3 Qualité de eaux et pollution agricoleLe recours à l’agriculture intensive s’est accéléré durant les 20 dernièresannées avec le développement de l’irrigation. Cela s’est fait avec un recoursprogressif mais finalement important aux engrais chimiques. Le niveau de pollutionagricole par les phosphates et nitrates a été estimé à 10.000 tonnes /an en 1994.Pour plusieurs nappes phréatiques les teneurs en nitrates ont atteint des seuilslimites dépassant les 50 mg/l qui sont fixés par l’OMS pour la potabilité des eaux.Des teneurs variant de 50 à 70 mg/l ont été observées dans les zones maraîchèresde bon nombre de périmètres irrigués (Tadla, Gharb, Moulouya, ...). L’intensificationagricole étant appelée à s’accentuer, notamment pour valoriser l’eau agricole, lesrisques d’accroissement des pollutions chimiques par les engrais sont certains si desmesures de bonnes pratiques ne sont pas mises en oeuvre.L’autre problème qui menace potentiellement la qualité des eaux est l’usagede plus en plus fréquent de produits phytosanitaires avec ce que cela engendrecomme contamination par des produits organiques toxiques. Environ 1 milliond’hectares sont annuellement traitées avec les pesticides dont 60 % en zones38

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxirriguées (L. Erraki et al 2004)). Les quantités de pesticides utilisées par lesagriculteurs sont jugés faibles et estimées à près de 9.400 tonnes. Les donnéesactuellement disponibles au Maroc indiquent que peu de choses sont connues surles substances actives, les formulations et les conditions d’application des pesticides.Les niveaux et types de pollution des eaux et des sols sont aussi mal connus; il est,cependant, estimé que 0.5 à 1% de ces produits se retrouvent dans les cours d’eaux(Ministère de l’aménagement 2001). Les estimations des contaminations des nappesphréatiques par les pesticides sont à ce jour indéterminé.II-4 Qualité des eaux et pollution industrielleLes rejets d’eaux usées industrielles dans les cours d’eau sont estimés à 3,3millions équivalents /habitants. La plus grande partie de ces rejets se retrouve dansle bassin de Sebou et dans l’Océan Atlantique. Le Sebou concentre les pollutionsorganiques dues aux huileries et la pollution par le chrome liée aux tannes rie. Lebassin du Tensift recueille les métaux lourds (présence de mines d’extraction deplomb, zinc et cuivre). Les bassins du Loukkos, du Bouregreg, de Souss-Massarestent les moins atteints par les rejets industriels.II-5 Qualité des eaux et décharges4.700.000 tonnes de déchets solides ménagers et industriels étaient déposéesen 2000 dans des décharges non contrôlées, parfois en bordure de systèmeshydriques vulnérables. Ces déchets intègrent des polluants organiques des métauxlourds et d’autres polluants toxiques qui nuisent à la qualité des eaux. C’est là unaspect qui devrait connaître une limitation les années à venir dans la mesure où lesgrandes villes du royaume se dotent aujourd’hui de décharges contrôlées39

Tbe Cinema of the t98os 711laughter. An old monk, Jorge de Burgos (Feodor Chaliapin), placedpoison in the corner of each page, thereby indirecrly killing anyonewho dared to read the blasphemous book. Once trapped, the old monksets the tower on fire and dies in rhe flames. \(/illiam has just enoughrime to exit alive. Meanwhile, the peasants gathered around the gallowsstart an upheaval, which ends in the death of the inquisitor.Despite his international fame and contribution to world cinerna,many French film critics tend to sysrematically categorize Annaud'smovies exclusively as part of rhe French-film legacy. To this, Annaudusually answers by asserting his internarional endorsement, whetherfrnancially or arristically, by the very makeup of his casc of actors andtechnical crews. Annaud wrote rhe scenario of most of his films withthe collaboration of G6rard Brach3' (b, r92"/), and the scores vr'ere byvarious French artists. In an interview with cultural attach6 LaurentDanidlou, Annaud spoke of his philosophy regarding national cinema:I think that one should not identi{' the nationality of a film q'ith itslanguage, as if it were literature. The art of 6lm couesponds to the artof the image, and. langLrage is a secondary issue. When a French novelbecomes an international success, it is because it conveys the thoughtsof the French authot and not his language. For 6lms, it is the same."Thus, Annaud explained his decision to work in the United States.\Wirh the regulations imposed on French directors working in France,Annaud preferred to keep his artistic freedom even if this meantworking abroad. Annaud is fond of mentioning ro the internationalpress that all of his fi.lms have been financed in different countries(e.g., The Nann of tbe Rore was financed by American, German, ftalian,and French backers).This ls a good occasion to change mentalities and to explain to theFrench that Americans are not trying ro kill French cinema. They atejust businessmen whose goal is to make good movies.... Ve, professionals,think that q.ith the American community, French people getthe wrong idea about what is going on in Los Angeles. It is a muchfrieodlier world and open to foreign infuences than one thinks.'ife atehere to help our French colleagues to understand the evolution ofHollywood cinema and to allow Americans to get acquainted withFrench technicians. The goal is to help contacts and eventually to createa friendly climare between the two communiries.r4In r99r, Claude Berri offered Annaud the complex adapration ofMatguerite Duras's best-seller Tbe Lorcr (,L'antant), which proved to bea box of6ce and critical success. Also successful at the box offce wasSwen Years in Tibet (Sept au ak T;bet, u)97), which took its inspirationfrom the autobiographical srory of Heinrich Flarrer, a war prisoner

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxseule loi sur l’eau adoptée par la chambre des représentants le 15 juillet 1995. La loisur l’eau constitue aujourd’hui la base légale de la politique de l’eau au Royaume.Elle repose sur un certain nombre de principes qui découlent de plusieurs objectifs àsavoir :– la mise au point d’une planification de l’aménagement et de la répartition desressources en eau basée sur une large concertation entre les usagers et les pouvoirspublics;– la protection de la santé de l’homme par la réglementation de l’exploitation,de la distribution et de la vente des eaux à usage alimentaire;– la réglementation des activités susceptibles de polluer les ressources en eau: notamment, la prévision des sanctions et la création d’une police des eaux pourréprimer toute exploitation illicite de l’eau ou tout acte susceptible d’altérer sa qualité,l’introduction des principes « préleveur-payeur » et « pollueurpayeur»;– la répartition rationnelle des ressources en eau en période de sécheressepour atténuer les effets de la pénurie;– la recherche d’une plus grande valorisation agricole de l’eau grâce àl’amélioration des conditions d’aménagement et d’utilisation des eaux à usageagricole.Cette loi a introduit la notion de gestion participative, concertée etdécentralisée de l’eau à travers le Conseil Supérieur de l’Eau et du Climat (CSEC), lacréation des agences de bassin et le développement de la contractualisation.Il faut toutefois reconnaître que l’application des termes de cette loi connaîtencore des difficultés certaines dues principalement :41

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreux– À la multiplicité des intervenants dans le domaine de l’eau et à la nouveautédu rôle attribué par la loi aux agences de bassins au niveau local : Il y a encore unmanque d’appropriation des éléments de base de cette loi par les usagers et lesacteurs locaux du secteur de l’eau;– Aux niveaux très limités à ce jour des budgets dont les agences de bassindisposent pour assumer leurs missions, les redevances liées à la pollution de l’eaune sont pas encore mises en application et celles liées aux prélèvements d’eau sontlimitées. Ainsi les agences restent très liées à l’administration centrale et donc peuen mesure de jouer leur rôle régional de façon autonome et dans le cadre d’uneconcertation locale tel que cela est prévu par la loi.En réalité, l’impression qui se dégage est qu’au niveau de la mise en oeuvrede cette loi, l’administration rencontre des réticences et freins qui l’obligent – aumoins dans cette phase initiale du processus – à en limiter l’esprit de reforme. Unesprit basé sur de nouveaux modes de gestion des ressources, plus transparents,plus performants autour des principes de proximité, d’intégration et d’implication desagents économiques et usagers de l’eau.III- Faciès chimiques des eauxLa concentration plus moins prépondérante de chacun des éléments majeursva donc revêtir une signification particulière en ce qui concerne une eau. Afin, demieux cerner cette signification, il a été défini une notion de « faciès » qui rendcompte des proportions relatives des différents ions en solution dans l’eau. Le facièsd’une eau est défini par l’anion et le cation prédominants. Il peut être complété par unfaciès secondaire. La représentation des données physico-chimiques sur lediagramme de Piper montre plusieurs faciès chimiques qui dépendent de la nature42

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu Poreuxgéologique de l’aquifère, des activités agricoles et industrielles. Il est composé dedeux triangles représentant la répartition des anions et celles des cations,respectivement, et d’un losange représentant la répartition synthétique des ionsmajeurs. Dans ce losange, le pôle haut correspond à 100 % de sulfates et chlorureset 100 % de calcium et magnésium, le pôle bas représentant 100 % de carbonate etbicarbonate et 100% de sodium et potassium. Ainsi, dans ce diagramme, une eaubicarbonatée calcique serait située au pôle gauche du losange alors qu’une eauchlorurée sodique serait située au pôle droit. La superposition de plusieurs analysessur un même diagramme permet de comparer leur faciès hydrochimique.Nous avons l’occasion de suivre et de réaliser l’étude statistique del’exploitation des eaux de sources à chaouen.Figure 11 : Principaux oueds et sources alimentés par la dorsale calcaire du Rif43

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxLes prélèvements d’eau sont réalisés selon un pas mensuel, une répartition etune fréquence différente d’une source à l’autre, qui dépend de la disponibilité desouvrages ; ce qui nous permet de suivre progressivement l’évolution de la qualité deseaux sous l’effet de la pollution on et sous l’effet des variations saisonnières (Ghouli etal 2008). Des échantillons d’eau sont pris dans des flacons en plastique(polyéthylène), préalablement rincés par l’eau de l’échantillon.Figure 12 : Diagramme de Piper : Classification des points d’eaux44

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxIV- ConclusionNous avons essayé de présenter aussi simplement que possible lesparamètres qui régi le transport de la masse dans le sol. En effet, la compréhensiondu transport d’éléments contaminants est d’autant plus complexe que plusieursprocessus impliqués dans l’écoulement hydrodynamique interagissentsimultanément. Cela est notamment du à la présence d’hétérogénéités dans le milieugéologique qui perturbent les champs de vitesse et de concentration du polluant,rendant ainsi l’analyse très difficile. Les modèles de transport en milieu poreux nonsaturé actuels, appliqués aux sols, tentent de hiérarchiser les processus dominants àpartir de lois empiriques. Dans le chapitre suivant, nous modélisons les processus duphénomène de pollution dans le milieu poreux non saturé par la combinaison del’écoulement de l’eau, le transfert de chaleur et le transport de polluant.Dans le deuxième volet de ce chapitre,nous avons exposé la situationhydrique au Maroc, en effet sur l’ensemble du territoire national, on dénombre 32nappes profondes (profondeurs variant de 200 à plus de 1 000 m) et plus de 48nappes superficielles (une faible profondeur de niveau d’eau). Les premières sontdifficiles d’accès avec un coût de mobilisation et d’exploitation assez élevé, lessecondes plus accessibles mais aussi plus vulnérables à la pollution. En ce quiconcerne les nappes d’eau souterraines, leur qualité globale a été bonne au niveaude 20% des stations, moyenne sur 29 % et dégradée sur 51% des stations. Parailleurs, la réglementation marocaine concernant les eaux est pourvue d’uneossature législative de base qui nécessite une refonte et une actualisation afin degagner en précision et en efficacité.45

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxRéférencesArya, L.M. et Paris, J.F., (1981). "A physicoempirical model to predict the soilmoisture characteristic from particle-size distribution and bulk density data". SoilScience Society of America Journal, 45: 1023-1030.Assouline, S., Tessier, D. et Bruand, A., (1998). "A conceptual model of the soilwater retention curve". Water Resources Research, 34(2): 223-231.Bastet, G., Bruand, A., Quétin, P. et Cousin, I., (1998). "Estimation des propriétésde rétention en eau des sols à l'aide de fonctions de pédotransfert (FPT): Uneanalyse bibliographique". Etude et Gestion des Sols, 5(1): 7-28Bear, J. (1972) Dynamics of fluids in porous medi a New York : Dover publication,p. 764Boivin P., Garnier P., Tessier D. (2004) – Relationship between clay content, claytype, and shrinkage properties of soil samples. Soil Sci. Soc. Am. J.68, 1145-1153.Boucheseiche C., Cremille E., Pelte T., Pojer K. (2002) Bassin Rhône –Méditerranée – Corse. Guide technique n°7, Pollution toxique et écotoxicologie :notion de base. Lyon, Agence de l'Eau Rhône – Méditerranée - Corse, 83 pp.Brooks, R.H. et Corey, A.T., (1964). Hydraulic properties of porous media,Hydrology Paper 3, Colorado State Univ., Fort Collins, CO.BZIOUI M (2000) « Politique et stratégies de gestion des ressources en eau auMaroc » Académie du Royaume du Maroc – session de novembre.Campbell, G.S., (1974). "A simple method for determining unsatured conductivitymoisture retention data". Soil Science, 117(6): 311-314.Clapp, R. B . et Hornberger, M (1978). Empirical equations for some soil hydraulicproperties Water Resources Research, , Vol . 14, No. 4, pp. 601-604Document de la banque mondiale, (2003). Évaluation du coût de la dégradationde l’Environnement au Maroc »,Domenico, P.A. et Schwartz, F.W., (1990). Physical and Chemical Hydrogeology.John Wiley and Sons, New York, pp 807.46

Aperçu global sur le transport de polluants en Milieu PoreuxMualem, Y., (1976). "A new model for predicting the hydraulic conductivity ofunsaturated porous media". Water Resourources Research, 12: 513-522.Musy, A. et Soutter, M., (1991). Physique du sol. Presses Polytechniques etUniversitaires Romandes, Lausanne, pp 335.Puckett, W. E., Dane, J . H., Hajek, B . F , (1985). Physical and mineralogical datato determine soil hydraulic properties Soil Sci. Soc. Am. J., , Vol . 49, pp. 831-836Saffman, P.G., (1959). "A theory of dispersion in porous media". Journal of FluidMechanics, 3(6): 321-349.Saxton, K. E., Rawls W. J., Romberger, J . S., Papendick, R. I. (1986). Estimatinggeneralized soil-water characteristics from texture. Soil Sci . Soc . Am . Vol . 50,pp. 1031-103 6Schaap M.G. & Leij F.J. (2000) - Improved of unsaturated hydraulic conductivity withthe Mualem-van Genuchten model. Soil Sci. Soc. Am. J. 64, 843-851.Thony, J,L. (1970). Etude expérimentale des phénomènes d’hystérésis dans lesécoulements en milieux poreux non saturés. Resources Research, Vol . 14, No. 4,pp. 601-604van Genuchten, M.T., (1980). "A closed-form equation for predicting the hydraulicconductivity of unsaturated soils". Soil Science Society of America Journal, 44:892-898.Vauclin, M., (1994). "Modélisation du transport de solutés dans la zone non saturéedu sol". Revue des sciences de l'eau, 7: 81-102.Vervoort R.W. & Cattle S.R. (2003) – Linking hydraulic conductivity and tortuosityparameter to pore space geometry and pore-size distribution. Journal of Hydrology272, 36-49.Vogel, T., Genuchten, M.T.v. et Cislerova, M. (2001). "Effect of the shape of thesoil hydraulic functions near saturation on vairably-saturated flow predictions".Advances in Water Resources, 24: 133-144.48

Formulation MathématiqueCHAPITRE 2 : Formulation MathématiqueIntroductionBachelard (1938) disait que « les problèmes ne se posent pas eux-mêmes,toute connaissance est réponse à une question. S’il n’y a pas eu de question, il nepeut y avoir connaissance scientifique ». Ainsi, nous comprenons clairement que lamodélisation ne doit pas être vue comme un aboutissement mais plutôt comme unoutil parmi d’autres. Il s’agit donc pour nous d’une voie de recherche. Ceci expliquele fait que chaque modèle doit, à notre avis, conserver une marge de progression, uncaractère évolutif.La question à laquelle répondent les modélisateurs en hydrologie n’est autreque le besoin d’expliquer la dynamique d’un bassin versant pour ce qui nousconcerne, afin d’en prévoir les comportements futurs et d’essayer de remédier auxéventuels maux le touchant (pollution des sols, sécheresse, actions anthropiques,…).La description de systèmes dynamiques aussi complexes que le cycle de l’eaunécessite l’utilisation d’un nombre important de relations mathématiques qui rendentbien vite l’explication théorique inextricable. En effet, le nombre important devariables, de paramètres et d’équations nécessaires à l’explicitation du cycle de l’eaunous amène à poser une question fondamentale. Faut-il préférer la représentationde tous les phénomènes ou au contraire faire des choix, étayés si possible, pour49

Formulation Mathématiquefaciliter le réalisme de la modélisation ? Un compromis s’impose naturellement afind’être en mesure de présenter une modélisation fiable, bien qu’incomplète parnature. Klemes (1982) rapportait à ce sujet une remarque de Kartvelishvili quisuggérait que le développement d’une théorie causale adéquate des processushydrologiques devrait être plus exigeant que la théorie de la relativité ou lamécanique quantique. La modélisation doit donc être vue comme un outil nousservant à appréhender la dynamique du cycle de l’eau et à en comprendre lesmécanismes, plutôt qu’en tant que moyen de représenter ce système exactement.Ainsi, nous devons œuvrer à modéliser ce système dans l’optique de la réalisationd’un outil d’analyse. Pour cela, il nous faut faire des choix quant aux processus àreprésenter. Le choix de ces processus et la combinaison qui en est faite,dépendent, d’une part, des connaissances acquises antérieurement et, d’autre part,des idées des modélisateurs quant à l’origine des phénomènes (Delattre, 1979).Nous ne pensons pas qu’un modèle puisse nous fournir des connaissancesnouvelles mais, en revanche, il doit pouvoir servir de base pour étayer desconclusions, des remarques, pour vérifier des comportements. C’est ainsi que nousenvisageons la modélisation d’une manière générale et l’hydrologie ne fait pasexception.Dans ce chapitre, nous rappelons les bases théoriques de l’écoulement d’eauet du transport des polluants dans les milieux poreux non saturés. Les équationsclassiques traduisant la continuité et l’expression macroscopique du flux sontprécisées dans ce contexte. Par ailleurs, l’introduction des relations constitutives estdétaillée.50

Formulation MathématiqueI- Équations de BaseI-1 Équation de continuité en milieu poreuxOn applique au milieu poreux continu équivalent l’équation de continuité (oubilan des masses d’eau) qui consiste à écrire l’égalité entre le bilan des flux demasse d’eau à travers les surfaces d’un volume élémentaire représentatif et lavariation dans le temps de la masse d’eau dans ce volume. L’intégrale sur la surfaceest transformée par la formule ’Ostrogradsky en intégrale sur le volume délimité parcette surface. On peut écrire l’équation de continuité sous la forme suivante : ( q) 0tII-1Où : ρ masse volumique de l’eau (kg.m-3), porosité totale du milieu et q le vecteurdensité de flux volumique ou vitesse de darcy (m.an-1), il représente le débit d’eauécoulé à travers une section d’air unité et normale à la direction de l’écoulement.Pour un fluide incompressible Cte, l’équation (II-1) s’écrit alors : ( q) 0tII-2Sous cette forme, l’équation (II-2) traduit l’égalité entre la différence desmasses entrante et sortante d’un volume élémentaire représentatif (VER) pendant unintervalle de temps et la variation de masse dans le (VER) pendant le mêmeintervalle de temps.I-2 La Loi de DarcyL’équation de Darcy-Buckingham est une loi phénoménologique, introduite en1856 par Darcy et étendue par Buckingham aux milieux poreux non saturés, qui relie51

Formulation Mathématiquele flux d’eau (ou volume d’eau traversant une section élémentaire de milieu poreuxperpendiculaire à la direction de l’écoulement par unité de temps) au gradient decharge hydraulique : q K( ) HII-3Où : , , xyzAvec : K(x, y,z,θ) est le tenseur de conductivité hydraulique (m.s-1) et H (m) lacharge hydraulique où ses composantes sont le potentiel de pression (h) et la chargede gravité (z).q (m.s-1) est appelée « vitesse de Darcy », il s’agit d’une vitesse fictive.La conductivité hydraulique représente la constante de proportionnalité entrele débit et le gradient hydraulique dans la loi de darcy. Elle représente l’effet de larésistance à l’écoulement de l’eau dû aux forces de frottement.La conductivité hydraulique d’un sol non saturé n’est plus une valeur constante, ellevarie en fonction de la teneur en eau du sol ou de la pression de l’eau du sol, entreune valeur maximale, quand le sol est à saturation (la conductivité hydraulique àsaturation), et une valeur nulle, quand la teneur en eau diminue jusqu’au coefficientd’hygroscopicité ( r ), où l’eau n’est plus mobile.52

Formulation Mathématique Equation en hqqqxyxH K(h)xH K(h)yH K(h)z (h z) h K(h) K(h) x x (h z) h K(h) K(h) y y (h z) h K(h) K(h) 1 z zII-4Pour z défini positivement vers le bas. Equation en En terme de teneur en eau et en utilisant les fonctions auxiliaires définiesprécédemment, on pourra écrire :qqqxyzH K( )xH K( )yH K( )z 1 K( ) D( ) c( ) x x 1 K( ) D( ) c( ) y y 1 K( ) 1 D( ) K( ) c( ) z zII-5Où : D() est la diffusivité apparente du sol, définie comme le rapport de laconductivité hydraulique K() et sa capacité capillaire c() [Childs et collis George1948] :K( )D( ) II-6c( )53

Formulation MathématiqueAvec :dc( ) représente la variation de teneur en eau par unité de variation dedhcharge de pression. Sa valeur est donnée par la pente de la relation (h).I-3 Équation générale des écoulements en zone non saturéEn combinant la loi expérimentale de Darcy et l’équation de continuité, onobtient l’équation de Richards dans un milieu mono, bi et tridimensionnel. tKhh z 0II-7Cette équation a été proposée pour la première fois par Richards (1931). Bienévidement, elle peut s’écrire en fonction du potentiel ou de l’humidité car ces deuxvariables sont reliées par l’équation de rétention. Sa résolution nécessite laconnaissance de deux fonctions décrivant les propriétés hydrodynamiques du sol (lacourbe de rétention hydrique, h(θ), et la courbe de conductivité hydraulique, K(h)).En fonction de saturation effective l’équation bidimensionnel devient :t D( ) x x D( ) 1z zII-8Ou encore :h hC(h) K(h) tx x hK(h)z z1II-9L’équation de Richards est une équation non-linéaire dont la résolutionnécessite en général des moyens numériques, dans notre cas c’ est la méthode des54

Formulation Mathématiquevolumes finis. Elle permet de déterminer les champs de potentiels (chargehydraulique totale) et la répartition de la teneur en eau dans le sol.La résolution de l’équation est néanmoins très sensible à la détermination desrelations décrivant les paramètres hydrodynamiques, en particulier au voisinage de lasaturation (Vogel et al., 2001).I-4 Équation de Transport des Polluants en Milieux PoreuxLes processus de transport dans les sols, ont lieu principalement dans laphase liquide, par le réseau poreux partiellement rempli d’eau. En effet, quand lespolluants entrent dans le sol, la plupart d'entre eux sont transportés par l'eau avecun mouvement convectif. Cependant, le transport peut également être affecté pard'autres processus de natures chimique, biologique et physique.Nous pouvons trouver dans les travaux de Jury et Flühler (1992), Vauclin (1994),Feyen et al. (1998), des synthèses sur les divers modèles existants dans le domainedu transport de solutés dans les milieux poreux. Ces modèles peuvent êtreregroupés selon quatre mécanismes basés sur des lois physiques (van Dam et al.,2004) :« Stochastic-convective model » (SCM). Le volume de sol est considérécomme des « tubes » d’écoulement indépendants les uns des autres. Lesvitesses dans les tubes sont réparties selon une fonction considérée souventcomme log-normale (Jury et Roth, 1990).« Convection-dispersion équation » (CDE). Suppose un flux uniforme où lesoluté se propage par un flux dispersif analogue à la diffusion, obéissant à laloi de Fick.55

Formulation Mathématique« Fractional advection-dispersion équation » (FADE). Ce modèle estintermédiaire entre SCM et CDE. Son développement est lié au nonadéquation de la CDE à représenter le transport de solutés à l’échelle duterrain.« Continuous-time random walk » (CTRW), (Berkowitz et al., 2000). Décrit lemouvement du soluté par un déplacement aléatoire dans le temps.Parmi ces modèles, nous avons choisi, dans ce qui suit, d’utiliser le modèlemécaniste déterministe de convection-dispersion-réactions chimiques. Parce quec’est un des modèles les plus utilisés. Et parce qu’il s'appuie sur une descriptiondéterministe des processus modélisés et qu’il requiert la détermination des valeursde paramètres ou des conditions initiales. Il est dit mécaniste, car il est fondé sur deséquations provenant des lois de la physique :CtidNti D C C q R ( C , N ) 01,i i i i,j i i jII-10Où Ni et Ci sont les concentrations de l’élément (i) dans la phase solide et liquiderespectivement et Ri,j est source interne et/ou puits.Le premier terme à droite dans l’équation (II-10) représente la variation deconcentration causée par la dispersion hydrodynamique. Cette expression estanalogue à celle de la loi de Fick qui décrit les flux de diffusion. Ce modèle de Ficksuppose que le gradient de concentration est la force motrice et que le flux dispersifva des concentrations les plus fortes vers les plus faibles. Cependant, cettehypothèse n’est pas toujours vérifiée dans les observations et fait encore l’objet derecherches et d’études. Le deuxième terme représente le transport par advection et56

Formulation Mathématiquedécrit les déplacements de solutés en considérant une vitesse moyenned’écoulement souterrain. Le troisième terme englobe toutes les réactions chimiques,géochimiques et biologiques qui engendrent un transfert de masse entre le liquide etles phases solides ou les passages entre différentes formes chimiques dissoutes. Ladiminution des concentrations des composés chimiques inorganiques peuts’expliquer par des phénomènes d’adsorption/désorption, précipitation/dissolution, oudes phénomènes d’oxydoréduction ; les composés organiques eux, peuvent êtreadsorbés ou décomposés au cours de processus microbiologiques. Il y a eu unprogrès considérable en matière de modélisation de ces processus; cependant, unbilan complet de ces processus et de leur représentation dans les modèles detransport va au delà de l’objectif de ce chapitre.En général, dans l’équation de convection-dispersion-réactions chimiques, lesprincipaux mécanismes de transport pour un soluté sont la convection et ladispersion hydrodynamique qui englobent la diffusion moléculaire et la dispersionmécanique.a. ConvectionLa convection représente l’entraînement des éléments en solution dans lemouvement du fluide qui se déplace. Le soluté est transporté par le mouvementgénéral de l’eau, à la vitesse définie par la loi de Darcy.Le principe de conservation de la masse permet d’écrire : C q iit C II-1157

Formulation MathématiqueOù : C est la concentration [ML -3 ], q la vitesse de Darcy [LT -1 ], θ la teneur en eauvolumique du sol [L 3 L -3 ].b. Dispersion hydrodynamiqueLa notion de dispersion hydrodynamique a été introduite par Bear (1972). Ladispersion hydrodynamique est un phénomène par lequel une substance migre dansle sol. En se déplaçant, l’espèce chimique se dilue (effet du mélange) et s’étale pouroccuper un volume plus grand avec une concentration corrélativement décroissante(effet de dilution).Cette propagation est provoquée, d’une part, par le déplacement des molécules sousl’effet de la diffusion moléculaire et, d’autre part, par la dispersion cinématique.La dispersion hydrodynamique est fonction de la nature du sol et descaractéristiques du transport de soluté.c. DiffusionLa diffusion est un phénomène basé sur le mouvement des molécules qui seproduit en présence d’un gradient de concentration aboutissant à un net mouvementdes constituants vers les régions de plus faible concentration. La diffusion ne dépendpas du mouvement de l’ensemble de fluide et est gouvernée par les activitéscinétiques des ions et molécules appelées mouvement Brownien. Son influence nedevient importante que dans les cas d’écoulements lents. Dm Ciit C II-1258

Formulation MathématiqueOù : D m est le coefficient de diffusion moléculaire dans le milieu poreux (L2T-1).Normalement ce coefficient est plus faible dans les matériaux avec des pores pluspetits. Dans un milieu poreux, la diffusion dépend de la tortuosité qui traduit un effetde résistance à la diffusion provoqué par la distorsion des chenaux entre les poresdu milieu. Dans les écoulements non saturés, la tortuosité augmente quand la teneuren eau diminue, dans ce cas le coefficient D m est encore plus faible.Le processus de la diffusion est un processus de transport relativement lent. Soneffet est alors masqué en présence de mouvements convectifs important.Néanmoins, la diffusion à l’échelle du temps géologique peut avoir un impact trèsimportant.d. Dispersion mécaniqueParallèlement au transport général des molécules en solution parconvection, se rajoute un phénomène de dispersion du soluté dans l’eau.Cette dispersion est due à l’hétérogénéité de la distribution des vitesses dansun milieu poreux, elle-même soumise à trois phénomènes : (i) le profil devitesse dans un capillaire est parabolique (donc la vitesse est plus rapide pourles molécules situées au centre des pores), (ii) la dimension des pores estvariable (donc la vitesse est plus rapide pour les molécules transportées parles grands pores), (iii) les lignes de courant varient par rapport à la directionprincipale de l’écoulement (donc plus rapide pour les molécules qui s’éloignentle moins de cette direction principale). Dij Ci C itII-1359

Formulation MathématiqueOù : Dij est le tenseur de dispersion (c’est un tenseur symétrique de deuxième ordre,et ses directions principales sont la direction du vecteur vitesse d’écoulement, lesdeux autres directions sont perpendiculaires à la première et entre elles).Dans la formulation conventionnelle de l’équation de transport de masse (II-13), on définit le coefficient de dispersion hydrodynamique comme la somme de ladispersion mécanique et de la diffusion moléculaire (Bear 1997). La dispersionmécanique est fonction, à la fois des propriétés intrinsèques du milieu poreux(comme des conductivités hydrauliques et des porosités hétérogènes), mais aussi del’écoulement du fluide. La diffusion moléculaire dans un milieu poreux sera différentede celle avec de l’eau libre du fait du rôle de la porosité et de la tortuosité. Cesrelations se présentent généralement pour le cas Bidimensionnelle sous la formesuivante:D1, i 1, i2xqq( 1, i 2, i2, i2zqq Dqxq) qzm,i1, i( 1, i2xqq 2, i2, iqxq) q2zqqz Dm,iII-14Où : α 1,2 est la dispersivité dans le milieu poreux (un tenseur d’ordre 4), q x et q y lescomposantes de la vitesse de darcy, D m,i le coefficient de diffusion moléculaire et IqIla norme du vecteur vitesse (Bear 1979; Domunico et Schwartz 1998; Scheidegger1961).La dispersivité dans un milieu poreux isotrope peut être caractérisée par deuxconstantes. Il s’agit de la dispersivité longitudinale, α1, et de la dispersivitétransversale, α2. La plupart des applications de modèles de transport à des60

Formulation Mathématiqueproblèmes hydrogéologiques qui ont été établies jusqu’à maintenant se sont baséessur cette formulation conventionnelle.Bien que la théorie conventionnelle prétende que α1 est généralement unepropriété intrinsèque de l’aquifère, il est démontré dans la pratique qu’elle dépend etest proportionnelle à l’échelle de mesure. La plupart des valeurs de α1 indiquées sesituent dans l’intervalle de 0.01 à 1.0 fois l’échelle de mesure, bien que le rapport α1à l’échelle de mesure ait tendance à décroître avec des échelles plus grandes(Anderson 1984; Gelhar et al. 1992). Dans le cas ou la dépendance des dispersivitésà la saturation est négligeable, on aura la relation suivante : α 2,i = 0.1α 1,i .II- Processus de transfert de chaleur et propriétés thermiquesII-1 Définition des modes de transfertLe transfert de chaleur correspond à une transmission de l’énergie contenuedans une zone vers une autre. Ce transfert a lieu sous trois formes : la conductionsous l’effet d’un gradient de température, la convection et le rayonnement.La conduction désigne le transfert d’énergie par contact sans déplacement global dematière. Ce sont des porteurs élémentaires (molécules, électrons ou phonons) quivéhiculent l’énergie. Ce mode de transfert est très étudié car il dépend uniquement dela structure du matériau et de ses composants. La conductivité est donc une valeurcaractéristique intrinsèque du matériau.La convection caractérise le transfert de chaleur entre une matrice solideimmobile et un fluide qui s’écoule le long de la paroi solide, ces deux éléments étant àdes températures différentes. On distingue la convection naturelle et la convectionforcée. La convection naturelle recouvre les écoulements de fluides interstitiels, induitspar les variations de masse volumique dues aux différences de température. La61

Formulation Mathématiqueconvection forcée quant à elle, recouvre les cas où le fluide a un mouvement donc unevitesse de déplacement imposée par une cause d’origine mécanique (pompage…). Laconvection mixte mêle de manière équivalente les deux modes de convectionprécédemment cités.Le rayonnement enfin est dû aux émissions d’ondes électromagnétiques. Lachaleur se transmet entre le corps émetteur qui joue le rôle de source et le corpsrécepteur qui emmagasine l’énergie sans aucun support matériel entre les deuxmatériaux.II-2 Equation Transfert thermiqueLes processus biologiques et chimiques de transformation des différentesmatières utilisées en agriculture (engrais, pesticides,……) sont conditionnés parl’effet de la température du sol. Donc, une évaluation précise de ces processus doittenir compte du transfert thermique à travers le système racinaire. Le couplage d’unmodèle de transfert thermique avec un modèle de transfert des masses est unproblème très délicat de point de vue modélisation, puisqu’il fait intervenir plusieursparamètres du sol qui ne font pas l’objet des mesures directes (conductivitéthermique, capacité thermique volumique, paramètres hydro dispersifs). De plus, letransfert thermique dans un milieu poreux en général et dans le sol non saturé enparticulier est le résultat de divers phénomènes et processus qui interagissent ausein de ce milieu, ce qui consiste à déterminer les facteurs influents sur latempérature du sol.Nous supposons que le transfert de chaleur dans les milieux poreux s'effectueessentiellement selon la conduction à travers l'ensemble du milieu poreux sous l'effetde gradients de température. Le transfert de chaleur par conduction est régit par la loide Fourier qui détermine que le flux thermique est le produit de la conductivité62

Formulation Mathématiquethermique et du gradient thermique :Q th gradTII-15Cette loi implique qu'il y a équilibre entre les flux thermiques qui entrent etsortent d'un domaine et le changement d'emmagasinement de chaleur avec le tempsen supposant qu'il n'y a pas de source de chaleur dans le domaine. De façonmathématique, la loi de conservation exige que dans ces conditions la divergence duflux thermique par conduction soit égale au changement d'emmagasinement [Wagnetet Hutson., 1989] :Tt div hChgradTII-16Le rapport entre la capacité thermique volumique et la conductivité thermiqueglobale est dénommé la diffusivité thermique. Pour le cas Bidimensionnelle l’équationdevient :Tt x hCh T xz hCh T zII-17Avec : T est la température du sol (°C), λ(θ) sa conductivité thermique [JL -1 T -1 °C -1 ],ρ h est la masse volumique en état humide [ML -3 ] et C h la chaleur spécifique ou lacapacité thermique massique du sol [JM -1 °C -1 ]. Le produit (ρ h C h ) correspond à lacapacité thermique volumique [JL -3 °C -1 ].La résolution de l’équation (5) nécessite en premier lieu la connaissance despropriétés thermiques du sol étudié.a. Capacité thermique volumiqueCette grandeur est estimée à partir des fractions volumiques et chaleursspécifiques de chacun des constituants du sol (de Vries, 1963) :63

Formulation Mathématique Chhisi CsisiCww CaaII-18Où : représente la fraction volumique du constituant i du solide, C si , C w et C a sontrespectivement les chaleurs massiques spécifiques de chaque constituant du solide,de l’eau et de l’air (JKg-1 °C-1), et si, w et a sont les masses volumiquescorrespondantes (Kg m-3).Si on considère que la chaleur spécifique de la phase gazeuse (Ca) estnégligeable et que les constituants solides sont décrits par une seule phase solide,l’équation (II-18) s’écrit tout simplement sous la forme : Chh CssCwwII-19En prenant C w =4.2KJKg -1 °C -1 , C s =840, s =2.65 103 Kg m -3 et w =103 Kg m -3 ,l’équation (IV-23) se ramène à une fonction d’une seule variable.La capacité thermique massique de chacun des constituants dépend en réalité dela température, mais, dans la gamme de température que peuvent présenter les sols,ces variations restent négligeables (de vries, 1963).b. Conductivité thermiqueDe nombreux modèles empiriques ou semi-empiriques (de vries,1952 ; johansen,1975) ont été proposés dans la littérature pour calculer la conductivité thermique.Ces modèles ont été calés sur des mesures effectuées sur échantillons enlaboratoire ou in situ et ne peuvent en toute rigueur n’être applicables que pour le oules types de sols pour lesquels ils ont été élaborés et dans des expériencessimilaires.64

Formulation MathématiqueDans ce travail, on utilise le modèle empirique de De Vries (1952) modifié parWierenga et al (1969). Ce modèle fait intervenir les conductivités thermiques λ i desconstituants i du sol, les teneurs volumiques en eau de ces constituants, des facteursde forme affectés à ces constituants qui rendent compte de leur participation àl’organisation du milieu. Il distingue la phase physiquement continue du sol danslaquelle baignent les autres constituants. La conductivité thermique s’exprime ainsi : ciik iiik iiII-20Où : c est un coefficient qui correspond à un ajustement empirique aux valeursexpérimentales et qui dépend de la teneur volumique en eau (c égale à 1,65 pour θ

Formulation MathématiqueIII- Conditions initiales et aux limitesConditions initiales : on utilise la procédure développée par Vanclooster et al(1994), utilisée par Normand (1996). L’initialisation du profil thermique à lapremière exécution s’effectue en prenant la température moyenne de l’air (Ta)du premier jour comme valeur initiale au sommet du profil du sol, et la valeurT=7°C comme étant la température initiale observée en bas de profil du sol.Cette représentation semble adéquate, puisque la condition initiale est àcourte portée dans le temps. Les températures initiales aux autresprofondeurs du sol sont calculées par interpolation linéaire des deux valeursinitiales de la température observées au sommet et en bas du profil du sol.D’où, l’on écrit :T(z,t)=To(z) t ≤ 0 II-21Conditions à la limite supérieure : On suppose que les variations horaires dela température à la surface du sol sont sinusoïdales: 2tT0,t Ta sinII-22 p Où T a est la température moyenne horaire à la surface du sol (°C), l’amplitude de latempérature à la surface du sol qui représente généralement l’écart entre lestempératures moyenne et extrême (°C), p la période d’un cycle complet et t le temps.La fréquence radiale est définie par le rapport2p.66

Formulation MathématiqueIV- Condition à la limite inférieureOn suppose l’onde thermique imposée à la surface du sol, avoir atteint unecertaine profondeur z max . Cela ce traduit alors par un gradient de température nul àcette profondeur :Tzzz max 0II-23V- Pollution des solsL’utilisation des matières azotées et des pesticides pour l’amélioration desrendements agricoles ne va pas sans poser certains problèmes au niveau de laqualité des sols et de l’eau. En effet, les pratiques agricoles modernes sont à la based’un certain nombre de problèmes du fait de l’apport extérieur au système agricolede composants potentiellement polluants.En effet, la plupart des pesticides sont des molécules organiques de synthèsedont les propriétés toxiques permettent de lutter contre les organismes nuisibles.D’un point de vue réglementaire, on distingue les produits utilisés principalementpour la protection des végétaux que l’on appelle produits phytopharmaceutiques ouplus communément produits phytosanitaires, des autres produits que l’on appellebiocides. Par exemple, un insecticide est un produit phytosanitaire s’il est utilisé surdu blé mais un biocide dès lors qu’il est utilisé sur du bois de charpente. Sous l’angledes résidus retrouvés dans les eaux lors des contrôles sanitaires ou de lasurveillance environnementale de la qualité des eaux, il s’agit du paramètrepesticides qui inclut toutes les substances permettant de lutter contre les organismesnuisibles, qu’ils soient utilisés en agriculture ou dans le cadre des activités67

Formulation Mathématiqued’équipement et de transport des collectivités locales et des particuliers. Les teneursdes eaux en cuivre ne sont pas prises en compte dans les bilans pesticides.Les substances actives constituent le principe actif des produits. L’agricultureMarocain en utilise environ plus que trois cents. Ces matières actives entrent dans lacomposition de plus de huit mille produits commercialisés. Ceux-ci bénéficient d’uneautorisation de mise sur le marché délivrée par le ministre chargé de l’Agriculture,après une procédure d’évaluation du risque pour le consommateur, l’utilisateur etl’environnement. En fonction des conditions d’utilisation et selon les caractéristiquesdu milieu, ces substances actives sont susceptibles de se retrouver dans lesdifférents compartiments de l’environnement (air, sol, eau, sédiments, etc.) etnotamment dans les denrées alimentaires. Elles peuvent présenter, en sus de leurseffets intentionnels sur les parasites ou organismes visés, des dangers très variablespour l’homme et les écosystèmes, avec un impact immédiat ou sur le long terme.V-1 Adsorption sur les particules de solL’adsorption / désorption, ou sorption, détermine le partage d’un soluté entrela phase solide (le sol), la phase liquide (la solution du sol) et la phase gazeuse (si lesoluté est volatil). Ainsi, plus le soluté est adsorbé par le sol, moins il sera présentdans la solution du sol et donc constituera une contamination potentielle des eauxmoindre.Notons que les nitrates sont concernés dans une moindre mesure parl’adsorption, par rapport au phosphore et aux pesticides.68

Formulation MathématiqueParmi les matériaux adsorbant du sol, nous trouvons les constituantsminéraux (argiles, oxydes et hydroxydes) et les constituants organiques (acideshumiques, acides fulviques humines) du sol (Bailey et White, 1970).Afin d’appréhender convenablement le phénomène d’adsorption, nous devonstout d’abord rappeler que le lien entre la molécule et la particule de sol peut être dedeux types. Pour des énergies d’adsorption faibles (inférieures à 10 kcal/mol),l’adsorption est physique, alors que pour de plus grandes valeurs, nous parleronsd’adsorption chimique. L’adsorption, qui est un phénomène réversible (parmodification de la concentration de la solution, ou des conditions du milieu comme lepH par exemple), se caractérise par les paramètres thermodynamiques del’interaction sol/soluté.Pour de faibles concentrations de soluté dans le sol, ce qui est relativementfréquent, nous pouvons simplifier ces isothermes par une relation simple qui estl’isotherme linéaire.N KidCiII-24Où : Kd est le coefficient de distribution sol/solution ; Koreta (1996) a montré, toutcomme Barriuso et al. (1994) que le coefficient d’adsorption Kd varie avec laprofondeur du sol.V-2 Conditions initiales et aux limitesLes conditions initiales doivent être spécifiées sur tous les points du domaine.Ces conditions peuvent être exprimées en charge de pression, en teneur en eau ouconcentration.69

Formulation MathématiquePour la résolution hydraulique, les conditions aux limites sont diverses. Nouspouvons choisir entre flux nul, flux constant non nul, flux variable, pression d’eauconstante et pression d’eau variable.Pour le soluté, nous avons trois types de conditions :1er type, condition de concentration ou de Dirichlet : cette condition exprimeque lors d’une injection de soluté en surface du sol, celle ci est soumiseimmédiatement et de façon constante à une concentration C 0 .2ème type ou condition de Neumann : elle impose un gradient deconcentration aux noeuds de la frontière prédéfinis.3ème type, condition de Cauchy ou de flux : à l’entrée du système étudié,exprime la continuité du flux de solution et de concentration de part et d’autrede la limite supérieure, soit : la solution subit immédiatement un mélange avecla solution initialement présente dans le sol, ce qui est contradictoire avecC=C 0(condition de concentration). On peut alors écrire que pendant lecréneau, le flux entrant de solutés est égal au flux sortant du systèmed’alimentation en eau. Quand le flux d’eau est zéro ou dirigé hors la région,cette condition devient automatiquement une condition de Neumann.Si on considère qu’aucun mouvement n’a lieu avant le début de l’infiltration(équilibre) ; on a : hq( z,0) K(h) 1 0 zII-25Avec les conditions :70

Formulation Mathématiqueh( z zmax , t) 0eth(0,0)maxII-26Où : z max est la profondeur de drainage.La combinaison des équations (II-20) et (II-20) abouti à un profil de pressioninitial linéaire avec la profondeur z :h( z,0) hini ( z) z zmaxII-27En conclusion ; Concernant l’hydrodynamique, la condition à la limitesupérieure est de type Neumann (flux constant) et la conduction à la limite inférieureest celle d’un drainage libre ou gradient unitaire (Wanko et al 2005, lehmann 1996).S’agissant de la soluté, les conditions aux limités inférieurs du domaine sont dites detransmission (C zmax =C zmax-dz ).h(z,t 0) z zh(z 0, t) zq(z 0, t) qC(z 0, t) CC(z,t 0) 0C(z zmax0maxsomax, t) C(z zmax dz,t)II-28VI- ConclusionDans ce chapitre, nous avons présenté les concepts théoriques d’écoulementd’eau et de transport de solutés dans un milieu poreux non saturé.Pour cela, nous avons établie l’équation bidimensionnelle de Richards pourmodéliser le transfert d’eau et l’équation de convection-dispersion pour modéliser letransport de solutés.71

Formulation MathématiqueAfin de résoudre l’équation de Richards, le modèle Mualem - Van Genuchten(1980) a été choisi car c’est celui qui rend le mieux compte de la non-linéarité despropriétés hydrodynamiques parmi tous les modèles exposés. Aussi c'est une deslois les plus utilisées (Eching et Hopmans, 1993 ; Vogel et al., 2001) et des plussouples.Dans le chapitre suivant, nous allons présenter la méthode numérique(méthodes des volumes finis) utilisée pour résoudre le système d’équationsbidimensionnel.72

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Résolution NumériqueChapitre 3 : Résolution NumériqueIntroductionLa résolution numérique des équations de conservation en bidimensionnel(2D) ou en tridimensionnel (3D) a fait l’objet de nombreux travaux de recherches quiont classé les équations par type. En effet, les équations de type elliptique décriventles phénomènes de diffusion stationnaires, les équations de type paraboliquedécrivent les phénomènes de diffusion évolutive et les équations de typehyperbolique décrivent les phénomènes de transport. Pour chaque type d’équations,il existe de nombreuses méthodes numériques qui permettent de transformer leséquations différentielles en équations algébriques. Ainsi, on parle de méthodes dedifférences finies, d’éléments finis, de volumes finis, etc. Dans ce chapitre, leséquations de base sont discrétisées en utilisant l’approche des volumes de contrôle(volumes finis), (Patankar, 1980), vu son large domaine d’application, sa flexibilité, sagénéralité et l’interprétation simple de la forme intégrale des équations deconservation dans un élément de volume. Le domaine physique est divisé en unnombre fini d’éléments de volume où toutes les grandeurs physiques (vitesse,pression, etc) sont calculés.I . Volume de contrôleLe domaine étudié est défini par maillage de points discrètement espacés surlesquels sont centrés les volumes de contrôle. On intègre les équations différentiellessur chaque volume de contrôle, ces volumes étant indépendants entre eux. Le77

Résolution Numériquemaillage au point P est représenté sur la figure 15. Par analogie avec les pointscardinaux, le point P est entouré des points N, S, W et E(dans le casbidimensionnel). Les points N et S indiquent les côtés Nord et Sud respectivement,ceux-ci définissent la direction horizontale. Les points W et E indiquent les côtésOuest et Est et définissent la direction verticale. Les points n, s, w et s qui se situentau milieu des segments PN, SP, WP et PE indiquent la position des interfaces.Chaque équation est alors discrétisée sur le volume de contrôle dxdydz (dans le casbidimensionnel dy=1).Figure 13 : Volume de contrôle autour du point PII. Discrétisation et méthode de résolutionII-1. Discrétisation de l’équation d’écoulementDans notre géométrie bidimensionnelle associée au repère (x,z), l’équation demouvement (II-19) s’écrit sous la forme :78

Résolution Numériquet D( ) x x D( ) 1z zIII-1L’équation (III-1) s’écrit sous une forme plus simple : txzG JIII-2Avec : G D( )et J D( ) 1 x zEn intégrant sur les volumes de contrôles [w, e], [n, s] et sur l’intervalle detemps [t, t+t] on obtient: G dxdzdt dxdzdt t xt espacet espace J dxdzdt zt espaceIII-3Par application du théorème de Green on a :n 1 n* ** xz G G zt J J* xtPpewnsIII-4Dans l’équation ci-dessus, si la valeur de la fonction désignée par * estévaluée au temps n, la formulation est une formulation explicite. Par contre si, elleest évaluée au temps n+1, la formulation est un arrangement implicite.Il reste à discrétiser les quantités G et J :Ge D( ) xeEp DexGw pW D( ) Dw x xIII-5w79

Résolution NumériqueJn N p D( ) 1 D 1n z znJs pS D( ) 1 D 1s z zsSi une grandeur est définie sur le maillage de volume de contrôle (w,e,s,n),Patankar propose la forme de discrétisation ‘naturelle’ qui est celle de la moyennearithmétique ou schéma des ‘différences centrales’ : E P e2 N Pn2W w2 S Ps2PIII-6Figure 14 : Eléments de volume pour les composantes x et zEn tenant compte des équations (III-5) et (III-6), l’équation (III-4) devient :n1n ztxz D D D 2D D D D Pxt2p2xD D D 2D D D D *N p N N p S p S pS2zD D *SxtNEpEEpwpwp*wIII-7Ou encore :80

Résolution Numériquen1i,jni,jztxz 2xDi1,j Di,ji1,j Di1,j 2Di, j Di1, ji,j Di1,j Di,ji1,jtDi, j1 Di,ji,j1 Di, j1 2Di,j Di,j1z D D x2xt2D D *i,j1i,j1i,j1i,ji,j1**i,j III-8Nous obtenons ainsi, au niveau de la colonne de sol envisagée, un systèmed’équations qui sera ensuite résolu à l’aide des conditions aux limites au moyen del’algorithme de Thomas. Les grandeurs physiques sont alors calculéessuccessivement pour chaque couche de sol.II-2 Méthode de résolutionLa méthode de résolution est celle de ADI (Alternating Direction Implicit). Elleconsiste à itérer le système d’équation implicite en deux étapes. La première étapeconsiste à calculer la solution entre les temps t=0 et t = n+1/2 en mettant en œuvreune méthode implicite en x et une méthode explicite en z. La seconde étape faitévoluer le temps de n+1/2 à n+1 en mettant en œuvre, cette fois, une méthodeexplicite en x et implicite en z. Le système d’équations (III-8) conduit alors :a) 1ére demi pasCette méthode ADI permet d’expliciter les équations discrétisées et de proposerdes solutions de la forme suivantes : i 1,j i1,j i,j i1,jIII-9i , ji,ji1, j i,j III-10L’équation (III-8) devient :81

Résolution Numérique1 n2i,jni,jztxz x11 1111nnnnnn22 2222Di1,j Di,ji1,j Di1,j 2Di,j Di1, j1nn n2Di 1, jDi, j1 1 2 i1, j4 2xt 4zxt D4n n n nn nDi, j Di, ji jDijDijDij1, 1, 1 2,, 1n n n D D ni,j1i,j1 Dni,j1i,ji,j11 n2i,jn i,jIII-11En tenant compte de l’équation (III-9), on obtient : ztxz 4xzt4x111n n n z t11 nn22222D 2D D D D i1,ji,j11111nnnnn22222Di1,j Di,j i1,j Di1,j Di,j i1,j n n n n n nxtDi , j D i , j i , j 1 Di , j 1 2Di , j D i , j 11 4z n n n Di , j 1 D i , j i , j 1xt D D 4ni , j 1i1,jni , j 14xi1,ji,ji1,jni,j12 ni , jni , jxzIII-12Par identification avec l’équation (III-10), on a :i,jztxz4xzt11nn22Di1,j Di,j 4x111n n n z t11 nn22222D 2D D D D i1,ji,ji1,j4xi1,ji,ji1,jIII-13i,j n zti , j xz D4xxtni , j 4 z1 xtnDi , j 1 D 4ztxz4x1n2i1,jD D D 2D D D D ni , jni , j 1ni , j 1111n n n z t11 nn22222D 2D D D D i1,ji1,j Dni,j12ni , j 1i,ji1,jni , ji1,jni , j 14xni , ji1,jni , j 1i,jni , jni , j 182

Résolution NumériqueAfin d’assurer la convergence du schéma numérique, nous utilisons l’équation(III-13) que pour déterminer les points intérieurs; c'est-à-dire 3 ≤ i ≤ Imax-2. Pour lespoints proches aux frontières, nous utilisons la discrétisation suivante :11 1111nnnnnn nD D D D Dnn n nj2z tj2jjj23, 2, 3, 3, j222, j21, j21 22, j 2, jxz 14x 2 2D1 1,D1 2 2,1,jxt 4zxt D4nn nnn nD2,j D2,jjDjDjDj12, 12, 1 22,2, 1nn n D D n2, j12, j1 Dn2, j12, j2, j11n22, jn2, jIII-14Ou encore :1n22, j ztxz 4x11111nnnn ztnn22222D3, j 2D2,j D1,j xz2, j D3, j D2,j4x11 1ztnnn22 2 D1, j D2,j1, j4xxt 4zxt D4nn nnn nD2,j D2,jjDjDjDj12, 12, 1 22,2, 1nn n D D n2, j12, j1 Dn2, j12, j2, j11n23, jn2, jIII-15Nous tenons compte de l’équation (III-10), on obtient :83

Résolution Numérique2, jzt4xD ztxz 4xDn3, jn3, j1212 Dn2, j 2D12n2, j12 Dn1, j122, jxzxt4zxt4 111n z t nnn2222, j D1,j D2,j1, j4xn n n n n nD2,j D 1 2, j 2,j 1 D2,j 1 2D2,j D2,j 1n n n D2,j 1 D2,j 2, j 1n nD2,j 1 D2,j 1 zt111nnn222xz D 2D D 4x3, j2, j1, jn2, jIII-16Nous appliquons la même démarche pour les points Imax-1, on obtient :i max 1,ji max1,jztnDi4x1 ztn2xz Di 4xnxzi max1,jxt4zxt D4nnnnnnDimax1,j Dmax 1,max 1,1 max1,1 2max 1,max1,11 i ji jDijDijDijnnn D D i max 1,j1ni max 1,j112max, jmax, jzt D4x D D 2D1n2i max 2,ji max1,jni max 1,j11n2i max 1,j1n2i max1,j D D1n2i max, ji max1,j1 ztxz D 4x1n2i max 2,j1n2i max, j1n2i max 2,j 2D1n2i max1,j D1n2i max 2,j ni max 1,jIII-17Bien évidemment, cette procédure est appliquée à tous les nœuds de calcul, de 2à imax-1. De ce fait, les valeurs aux frontières des gradeurs physiques pour i=1 eti=imax sont les conditions aux limites.84

Résolution Numériqueb) 2éme Demi pasDans ce deuxième demi-pas, la solution proposée par la méthode ADI est de laforme suivante : i, j 1i,j 1i,j i,j 1III-18i , j i,j i,j 1 i,j III-19L’équation (III-8) devient :n1i,j1 n2i,jztxz xxt 4zxt D411 1111nnnnnn22 2222Di1,j Di,ji1,j Di1,j 2Di,j Di1, j1n21, ,1 n1 n2 Dij Diji1, j4 2n1n1n1n1n1n1Di, j D,, 1, 12, , 11 i jij Dij Dij Dijn1n1n1 D D n1i,j1i,j1 Dn1i,j1i,ji,j11 n2i,jn1i,jIII-20En tenant compte de l’équation (III-18), on obtient : xtxz 4zni,j12xz4n1 n1n1 xtn1 n1 n1Di j1 2Di , j D i,j1Di,j1 D i , j i , j 1i , j4z1111111nnnnnnn22222221, , 1,1,2 , 1, ztDij Dij ij Dij Dij Diji,j111x nnn2221,, Dij Dij i1, jxtn1n1n1 n1 n1 Di , j D , , 1 , 1 , , 141 i j i j D i j D i j ijzxtn1 n1 Di,j1 D i,j1,4III-21Par identification avec l’équation (III-19), on a :85

Résolution Numérique86 1,1,11,11,1,11,11,11,1,1,11,1,,1,,1,,1,1,,1,,,1,1,11,11,1,11,1,11,,424442442442121212121212121212121jinjinjinjinjinjinjinjijinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjijijinjinjinjinjinjinjinjijiDDztxDDDztxzxDDtxDDztxDDDDDDDxtzzxDDztxDDDztxzxDDztxIII-22Afin d’assurer la convergence du schéma numérique, nous utilisons l’équation(III-22) que pour déterminer les points intérieurs; c'est-à-dire 3 ≤ j ≤ jmax-2. Pour lespoints proches aux frontières, nous utilisons la discrétisation suivante : 1,31,11,11,21,11,21,11,21,31,31,21,31,2,21,2,21,2,21,21,2,21,2,21,242424 2121212121212121212121ninininininininininininininininininininininininiDDtxDDDDDDDztxDDDDDDDxtzzxIII-23Ou encore : 1,31,11,11,21,11,31,21,31,2,21,2,21,2,21,21,2,21,2,21,11,21,31,24424242121212121212121212121 nininininininininininininininininininininininiDDtxDDDDztxDDDDDDDxtzzxDDDztxzxIII-24

Résolution Numérique87Nous tenons compte de l’équation (III-19), on obtient : 1,11,21,31,31,11,11,21,11,2,21,2,21,2,21,21,2,21,2,2,21,11,21,31,21,3,22444242442121212121212121212121nininininininininininininininininininiinininininiiDDDztxzxDDtxDDztxDDDDDDDxtzzxDDDztxzxDDztxIII-25Nous appliquons la même démarche pour les points jmax-1, on a : 12max,11max,1max,1max,12max,11max,11max,12max,1max1,1max,1max1,1max,1max1,1max,1max1,1max1,1max,1max1,1max,1max,12max,11max,1max,11max,1max,1max,2444242442121212121212121212121njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjijinjinjinjinjinjijiDDDztxzxDDtxDDztxDDDDDDDxtzzxDDDztxzxDDztxIII-26Bien évidemment, cette procédure est appliquée à tous les nœuds de calcul, de 2à jmax-1. De ce fait, les valeurs aux frontières des gradeurs physiques pour j=1 etj=jmax sont les conditions aux limites.

Résolution NumériqueII-3 Discrétisation de l’équation de Transport des Polluants en Milieux PoreuxDans notre géométrie bidimensionnelle associée au repère (x,z), l’équation dutransport des polluants en milieux poreux (II-19) s’écrit sous la forme :t kddC CC D1 D2 Cqxx xz CC D2 D3 Cqz xzz R ji,j( Ci, Ni) 0III-27Où: d k d1 est le terme du retard.Pour faciliter l’introduction du facteur jnumérique, on peut l’écrire sous la forme suivante :R ( C , N )i, dans la discrétisationjii R ( C , N ) RCji, j i iIII-28La discrétisation de l’équation (III-27), moyennant les approximations cidessusconduit au système d’équations suivant :88

Résolution Numérique89 11,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,,1,,,1,1,1,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,,,,1,,,1,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,1,1,,,1,,,1,1,1,,1,,1,,161644161616161616444444jijijijijijijijijijijijixjixjijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijixjixjijijijijixjixjijijijijijixjixjijijijinjinjiddnjiCzDDCzDDCqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDCqqxDDqqxDDCqqxDDdzdtzxCCkIII-29

Résolution Numérique90 1,,,1,,,3,1,3,,1,11,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,,,,1,,,3,1,3,,1,,,1,,,3,1,3,,1,1,,,1,,,3,1,3,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,441616444444161616161616jijizjizjijijijijijijijijijijijijijijijizjizjijijijijizjizjijijijijijizjizjijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijiCqqxDDCxDDCxDDCqqxDDqqxDDCqqxDDCxDDCxDDxDDCxDDCxDDxDDtxtzxCRjiji ,,II-3-1 Méthode de résolutiona. 1ére demi pasNous adoptons les mêmes démarches utilisées pour la résolution de l’équationdu mouvement tout en tenant compte des formes suivantes :jijijijiCC ,1,1,,1 III-30

Résolution Numérique91jijijijiCC ,1,,, III-31On obtient : jinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjiddnjinjixnjixnjinjinjinjijiqqxDDtzqqxDDqqxDDtzzxkqqxDDtz1,,,1,,,1,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,1,,,,1,,,1,1,1,,1,,44244442442212121212121212121212121212121212121212121212121 jinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjiddnjinjinjinjiddnjijiqqxDDtzqqxDDqqxDDtzzxktzxCRBAzCxk1,,,1,,,1,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,1,,,,,,,442444422212121212121212121212121212121212121III-32Avec :

Résolution Numérique92 njinjinjinjinjinjinjinjinjinjijinjixnjixnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiCzDDCzDDqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDtzA11,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,,1,,,1,1,1,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1616441616161616162212121212121III-33et njinjiznjiznjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiCqqxDDCxDDCxDDCqqxDDqqxDDCqqxDDCxDDCxDDxDDCxDDCxDDxDDtxB1,,,1,,,3,1,3,,1,11,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,,,,1,,,3,1,3,,1,,,1,,,3,1,3,,1,1,,,1,,,3,1,3,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,4416164444441616161616162III-34

Résolution Numérique93Pour les points proches aux frontières i=2, nous avons : 44442244442442212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121,2,,1,1,2,1,1,2,1,,2,,3,1,2,1,3,2,3,2,2,2,2,2,2,,2,,1,1,2,1,1,2,1,,2,,3,1,2,1,3,2,3,2,,2,,3,1,2,1,3,2,3,2,njxnjxnjnjnjnjnjxnjxnjnjnjnjddnjnjnjnjddnjjnjxnjxnjnjnjnjnjxnjxnjnjnjnjddnjnjxnjxnjnjnjnjjqqxDDqqxDDdzdtzxktzxCRBAzCxkqqxDDqqxDDdzdtzxknqqxDDdzdtIII-35Avec : njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjxnjxnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjCzDDCzDDCqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDdzdtA11,2,2,2,1,2,1,11,2,2,2,1,2,1,1,,2,,1,1,2,1,1,2,1,12,2,2,2,1,2,1,2,2,2,3,2,3,13,2,2,2,3,2,3,12,2,2,2,1,2,1,2,2,2,3,2,3,13,2,2,2,3,2,3,161644161616161616221212121212121III-36

Résolution Numérique94 njnjznjznjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjznjznjnjnjnjnjznjznjnjnjnjnjnjznjznjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjCqqxDDCxDDCxDDCqqxDDqqxDDCqqxDDCxDDCxDDxDDCxDDCxDDxDDtxB12,,2,1,2,3,2,13,2,2,12,11,2,2,12,2,2,12,13,2,2,12,2,2,12,2,,2,1,2,3,2,13,2,2,12,,2,1,2,3,2,13,2,2,12,12,,2,1,2,3,2,13,2,2,12,11,2,2,12,2,2,12,1,2,2,12,2,2,12,2,2,12,2,2,12,13,2,2,12,2,2,12,3,2,2,12,2,2,12,2,2,12,2,2,12,4416164444441616161616162III-37Pour les points proches aux frontières i= imax-1, nous avons :

Résolution Numérique95 444422444424422121212121212121212121212121212121212121212121212121212121211,max,2,max,1,max1,2,max1,1,max2,max1,max,max,,1,max1,max,1,1,maxmax,1,max1,max1,max1,max1,max1,max1,max,2,max,1,max1,2,max1,1,max2,max1,max,max,,1,max1,max,1,1,maxmax,1,max1,max,max,,1,max1,max,1,1,maxmax,1,maxnjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjiddnjinjinjinjiddnjijinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjiddnjinjixnjixnjinjinjinjijiqqxDDqqxDDdzdtzxktzxCRBAzCxkqqxDDqqxDDdzdtzxknqqxDDdzdtIII-38Avec :

Résolution Numérique96 njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjnjinjnjiCzDDCzDDCqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDdzdtA12,max1,max2,2,max2,1,max2,max12,max1,max2,2,max2,1,max2,max2,max1,max,2,max,1,max1,2,max1,1,max2,max11,max1,max2,2,max2,1,max2,max1,max2,max,2,1,maxmax,1max,1,max2,max,2,1,maxmax,11,max1,max2,2,max2,1,max2,max1,max2,max,2,1,maxmax,1max,2,2,max,2,2,max,161644161616161616221212121212121III-39

Résolution Numérique97 njinjiznjiznjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiCqqxDDCxDDCxDDCqqxDDqqxDDCqqxDDCxDDCxDDxDDCxDDCxDDxDDtxB11,max1,max,11,max,1,max3,11,max3,1,max11,max12,max1,max2,11,max2,1,max11,max1max,1,max2,11,max2,1,max11,max1,max1,max,11,max,1,max3,11,max3,1,max11,max1,max,11,max,1,max3,11,max3,1,max11,max11,max1,max,11,max,1,max3,11,max3,1,max11,max12,max1,max2,11,max2,1,max11,max2,max1,max2,11,max2,1,max11,max1,max2,11,max2,1,max11,max1max,1,max2,11,max2,2,11,maxmax,1,max2,11,max2,1,max11,max1,max2,11,max2,1,max11,max4416164444441616161616162III-40

Résolution Numérique98b. 2éme Demi pasNous adoptons les mêmes démarches que celle utilisées pour la résolutionde l’équation du mouvement tout en tenant compte des solutions suivantes :1,,1,1, jijijijiCCIII-41jijijijiCC ,1,,, III-42On obtient : 1,1,,11,,1,3,11,3,1,11,1,,11,,1,3,11,3,1,11,1,,11,,1,3,11,3,1,11,,1,,11,,1,3,11,3,1,11,,4424444244221jinjiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjiddnjinjiznjiznjinjinjinjijiqqxDDtxqqxDDqqxDDtxzxkqqxDDtx 1,1,,11,,1,3,11,3,1,11,1,,11,,1,3,11,3,1,11,1,,11,,1,3,11,3,1,11,,,,,,,4424444222121212121jinjiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjiddnjinjinjinjiddnjijiqqxDDtxqqxDDqqxDDtxzxktzxCRBAzCxkIII-43Avec :

Résolution Numérique99 212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212111,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,,1,,,1,1,1,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,,,,1,,,1,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,1,1,,,1,,,1,1,1,,1,1616441616161616164444442njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjiCzDDCzDDCqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDCqqxDDqqxDDCqqxDDdzdtAIII-44et

Résolution Numérique100 1,1,,11,,1,3,11,3,1,11,11,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,11,,2,1,2,,1,1,,2,1,2,,1,,2,1,2,,1,44161616161616161622121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121jinjiznjiznjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiqqxDDCxDDCxDDCxDDCxDDxDDCxDDCxDDxDDtxBIII-45Pour les points proches aux frontières j=2 et j=jmax-1, nous adoptons lamême démarche que précédemment, on aura : 444424421,2,1,1,1,23,1,13,1,21,11,2,1,3,1,23,1,33,1,21,3,21,2,1,3,1,23,1,33,1,21,3,221nizniznininininiznizninininiddniniznizninininiiqqxDDqqxDDtxzxkqqxDDtxIII-46 4444221,2,1,1,1,23,1,13,1,21,11,2,1,3,1,23,1,33,1,21,3,2,2,2,2,2,22121212121nizniznininininiznizninininiddninininiddniiqqxDDqqxDDtxzxktzxCRBAzCxkIII-47

Résolution Numérique101Avec : 21212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121211,1,22,1,22,,21,21,3,22,1,22,,21,21,2,2,1,2,,21,1,21,,21,2,1,22,1,22,,21,2,22,1,22,,21,21,1,22,1,22,,21,2,3,22,1,22,,21,2,22,1,22,,21,21,3,22,1,22,,21,2,2,2,1,2,,21,1,21,,21,2,2,1,2,,21,1,21,,21,21,2,2,1,2,,21,1,21,,21,21616441616161616164444442ninininininininininininixnixninininininininininininininininininininininininininininininininininixnixnininininixnixninininininixnixninininiCzDDCzDDCqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDCqqxDDqqxDDCqqxDDdzdtAIII-48

Résolution Numérique102 1,11,2,1,1,1,23,1,13,1,21,11,1,22,,12,,2,11,1,22,,12,,2,11,3,22,,32,,2,31,2,22,,12,,2,1,22,,32,,2,31,3,22,,32,,2,31,2,22,,12,,2,1,22,,32,,2,344161616161616161622121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121niniznizninininininininininininininininininininininininininininininininininininininininininiCqqxDDCxDDCxDDCxDDCxDDxDDCxDDCxDDxDDtxBIII-49 4444244211max,,12max,,11max,3,12max,3,11max,12max,11max,,1max,,11max,3,1max,3,11max,1max,1max,11max,,1max,,11max,3,1max,3,11max,1max,1max,21njiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjiddnjinjiznjiznjinjinjinjijiqqxDDqqxDDtxzxkqqxDDtxIII-50

Résolution Numérique103 44442211max,,12max,,11max,3,12max,3,11max,12max,11max,,1max,,11max,3,1max,3,11max,1max,1max,1max,1max,1max,1max,1max,2121212121njiznjiznjinjinjinjinjiznjiznjinjinjinjiddnjinjinjinjiddnjijiqqxDDqqxDDtxzxktzxCRBAzCxkIII-51Avec :

Résolution Numérique104 21212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212max1,1max,2,1max1,2,1max,1max1,max1,1max,2,1max1,2,1max,1max1,1max1,1max,,1max1,,1max,1,1max1,1,1max,1max1,2max,1max,2,1max1,2,1max,1max1,1max,2,1max1,2,1max,1max1,2max1,1max,2,1max1,2,1max,1max1,max,1max,2,1max1,2,1max,1max1,1max,2,1max1,2,1max,1max1,max1,1max,2,1max1,2,1max,1max1,1max,1max,,1max1,,1max,1,1max1,1,1max,1max1,1max,,1max1,,1max,1,1max1,1,1max,1max1,1max1,1max,,1max1,,1max,1,1max1,1,1max,1max1,1616441616161616164444442njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjinjinjixnjixnjinjinjinjiCzDDCzDDCqqxDDCzDDzDDCzDDCzDDzDDCzDDCqqxDDqqxDDCqqxDDdzdtAIII-52

Résolution NumériqueB xt2 11111111nnnnnnnn22222222i,3 i,2 D2,i,3 D2,i,2 i,1 i,2 D2,i,1 D2,i,216x1111nnnn2222i,3 i,2 D2,i,3 D2,i,216x11111111nnnnnnnn22222222i,3 i,2 D2,i,3 D2,i,2 i,1 i,2 D2,i,1 D2,i,216x1111nnnn2222i,3 i,2 D2,i,3 D2,i,216x1111nnnn2222i,1 i,2 D2,i,1 D2,i,216x1111nnnn2222i,1 i,2 D2,i,1 D2,i,216xn1n1n1n1n1n1 D D q q i,1i,24x3, i,13, i,2CCCC1n2i1,31n2i1,31n2i1,11n2i1,1z,i,14z,i,216x16xCn1i,1C1n2i1,2Cni1,212 III-53II-4 Equation de la TempératureDans notre géométrie bidimensionnelle associée au repère (x,z), l’équation dedu transfère de la chaleur dans les milieux poreux non saturé s’écrit sous la formesuivante :Tt Fx xz T T F zIII-54Avec :F()h C h105

Résolution NumériqueLa discrétisation de l’équation (III-54) conduit au système d’équations suivant :Tn1i,j Tni,jztxz 2xx2zFi1,j Fi, jTi1,j Fi1,j 2Fi, j Fi1,jTi,j Fi1,j Fi, jTi1,jt Fi, j1 Fi, jTi,j1 Fi, j1 2Fi, j Fi, j1 F F Ti,j1i,ji,j1T*i,j*III-55II-4-1 Méthode de résolutiona. 1ère demi pasNous adoptons les mêmes démarches celles employées pour la résolution del’équation du mouvement tout en tenant compte des solutions suivantes :Ti1,j i1,jTi,j i1,jIII-56Ti, ji,jTi1, j i,j III-57On obtient :i,jztxz4xzt11nn22Fi1,j Fi, j4x111nn n z t11 nn22222Fi1,j 2Fi, j Fi1,jFi1,j Fi, j4xi1,ji,j n ztTi, jxz F4x xti,j1 4zztxz4xn n n nn n n n nF F T F 2F F T F F i,j1n2i1,j Fi,j11n2i,ji,j1i1,ji,ji,j1i,ji,j1i,j111nn n z t11 nn22222Fi1,j 2Fi, j Fi1,jFi1,j Fi, ji1,j4xTni,j1III-58Pour les points proches aux frontières i=2 et i=imax-1, nous aurons :106

Résolution Numérique107 21212121212121212121211,2,3,12,2,12,2,12,2,12,12,2,12,1,2,1,2,2,1,2,3,2,3,2,24244244njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjnjnjnjnjnjjFFFxtzzxTFFTFFFTFFztxTFFxtzzTxFFFxtzzxFFxtzIII-59et 21212121212121212121212,max1,maxmax,12,2,12,1,max11,max1,max11,max11,max1,max11,max2,max1,max2,max1,max1,max2,max1,maxmax,1,maxmax,1,max24244244njinjinjinjnjnjnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjijinjinjinjinjinjijiFFFxtzzxTFFTFFFTFFztxTFFxtzzTxFFFxtzzxFFxtzIII-60b. 2éme Demi pasNous adoptons les mêmes démarches que celle utilisées pour la résolution del’équation du mouvement tout en tenant compte des solutions suivantes :1,,1,1, jijijijiTTIII-61jijijijiTT ,1,,, III-62On obtient :

Résolution Numérique108 1,1,11,11,1,11,1,1,11,1,,1,,1,,1,1,,1,,,1,1,11,11,1,11,1,11,,42442442442121212121212121212121jinjinjinjinjinjijinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjijijinjinjinjinjinjinjinjijiFFztxFFFztxzxFFztxTFFTFFFTFFxtzzxTFFztxFFFztxzxFFztxIII-63Pour les points proches aux frontières j=2 et j=jmax-1, nous aurons : 1,11,21,31,11,21,11,2,21,2,21,2,21,21,2,21,2,2,21,11,21,31,21,3,2244242442121212121212121212121nininininininininininininininininiinininininiiFFFztxzxTFFztxTFFTFFFTFFxtzzTxFFFztxzxFFztxIII-64et

Résolution Numériquei,j max1i,j max1xtFi4z xtnxz Fi, j 4zn1, j max1max 2F FnFi1,1nzt2xzTi,j max1 F i4 x Fixtn1n1 Fi, j max2 Fi, j max1T4z xtxz F 4zn1i,j max1n1i,j max112j max11n21,j max11n21,j max1n1i,j max F Fn1i,j max2 2Fi,n F 2Fn1i,j max21n2i,j max1T12i,j max1n1i,j max11n2j max1n2i1,j max11T F1n2i1,j max1 F1n2i1,j max1n1i,j max2 T1n2i,j max1III-65IV- Critère de convergenceLa résolution du système algébrique est itérative. À partir d’une estimation desgrandeurs de l’écoulement, nous calculons les coefficients de la matrice à lapremière itération. Les résultats obtenus permettront de calculer les coefficients de lamême matrice à l’itération suivante et ainsi de suite. Un critère de convergenceapproprié devra être fixé qui nous permet d’indiquer à quelle itération la solutionobtenue peut être considérée comme une bonne approximation de la solution exactedu problème.Depuis l’apparition de l’algorithme SIMPLE (Patankar et Spalding, 1972), cetteméthode a subi certaines modifications pour l’amélioration de ses propriétés deconvergence. SIMPLER (Patankar, 1981), SIMPLEC (Van Doormaal et Raithby,1984) sont entre autres les résultats de ces améliorations.Dans ce travail, nous avons choisi un test de convergence pour arrêter lecalcul. Ceci consiste à mesurer la variation des différentes variables entre deuxitérations successives en chaque nœud et la convergence sera supposée atteinte109

Résolution Numériquelorsque la différence de chaque variable en un nœud du maillage devient inférieureou égale à une valeur 0 très faible ; soit :n1ni in1i 0Dans notre étude, 0 a été choisie égale à 10 -4 .V- Validation du code de calculLes programmes que nous avons élaborés pour résoudre les équations debase d’un milieu poreux ont été validés en prenant comme référence certainesétudes numériques disponibles dans la littérature (Saàdi et al 1998) (Hami et al2001) et (Tiwari et al 2001). Cette comparaison est très satisfaisante et montrentune très bonne concordance avec ceux trouvés dans la littérature.VI- ConclusionLes équations obtenues sont résolues à l’aide de la méthode des volumesfinis. C’est une méthode de discrétisation bien adaptée à la résolution numérique deséquations de conservation de grandeurs extensives telles que la masse, la quantitéde mouvement, l'énergie. Cette méthode possède diverses propriétés telles que laconservation locale des flux, le respect du principe du maximum, la possibilité del'appliquer à des maillages quelconques (maillages structurés ou non structurés) quila rendent attractive. Un autre avantage de cette méthode est qu'elle conduit à desschémas numériques robustes. Cela explique pourquoi cette méthode est largementemployée dans divers domaines : la mécanique des fluides, le transfert de chaleur etde masse, la simulation des réservoirs dans le génie pétrolier, etc. La méthode derésolution utilisée est celle d’ADI (Alternating Direction Implicit). Elle consiste à itérer110

Résolution Numériquele système d’équations implicites en deux étapes. La première étape consiste àcalculer la solution entre les instants « t=0 et t = n+1/2 » en mettant en œuvre uneméthode implicite en x et une méthode explicite en z. La seconde étape fait évoluerle temps de n+1/2 à n+1 en mettant en œuvre, cette fois, une méthode explicite en xet implicite en z.Le code numérique étant validé dans différentes situations, nous procédonspar la suite à nos simulations numériques pour étudier le transport du polluant dansun milieu poreux non saturé homogène où stratifié.111

Résolution NumériqueRéférencesM. Hami, K. Gueraoui, A. Hammoumi, and G. Zeggwagh (2001) «modélisationnumérique unidimensionnelle de transport de soluté dans un milieu poreuxnon saturé » journal of hydraulic research, vol 39, p 32-39Pantankar s. V.,(1981) : « A Calculation Procedure for Two-Dimensional EllipticSituations », Num. Heat Transfer, Vol. 4, pp. 409-425.Patankar S. V. and Spalding D.B. (1972): “ A Calculation Procedure for Heat,Mass and Momentum Transfer in Three Dimensional Parabolic Flows, “Intl, J,Heat Mass Transfer, Vol, 15, pp. 1787-1805.S. V. Patankar (1980). ‘Numerical Heat Transfert and Fluid Flow’ WashingtonD.C. Hemisphere Publishing Corporation .Saàdi zakaria, A. Maslouhi, M.Zérouali et J.P.Gaudet (1998) « Contribution àl’étude de transfert de l’azote en conditions naturelles de terrain et à grandeéchelle » 2eme Conférence Internationale sur les Mathématiques Appliquéeset les Sciences de l’Ingénieur. Casablanca, pp. 610-612.Tiwari, S.K and Bowers, K.L. (2001), Modeling Biofilm Growth for Porous MediaApplications, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 33, pp. 299-319.Van Doormaal J.P. and Raithby G.D., (1984): “ Enhancement of the SIMPLEMethod for Predicting Incompressible Fluid Flows,” Numer. Heat transfer, Vol.7,pp. 147-163.112

Résultats et DiscussionsChapitre 4 : Résultats et DiscussionsIntroductionAprès avoir mis au point et validé notre modèle numérique grâce aux résultatsdisponibles dans la littérature, nous nous proposons dans un premier temps d’étudierla propagation des polluants dans un milieu poreux homogène non saturé. Une sériedes résultats a été présenté afin de comprendre le phénomène du transport dupolluant dans le sol.Souvent, on rencontre en génie civil et dans des domaines connexes, commel’agriculture et la foresterie, des situations qui nécessitent une analyse des transfertsdes polluants dans des sols stratifiés situés au-dessus de la nappe phréatique, oùprévalent des conditions non saturées. C’est le cas, par exemple, des couverturesmulticouches utilisées pour isoler les sources potentielles de contaminationenvironnementale telles les décharges de rejets domestiques, industriels, miniers etautres. L’objectif principal de ce chapitre est d’étudier le transport de polluant dansun milieu poreux non saturé homogène ou stratifié.113

Résultats et DiscussionsI- Propagation du polluant dans un milieu poreux homogène nonsaturé.a. Description du sol étudiéLe modèle de simulation utilisé est un domaine rectangulaire de texturehomogène.Figure 15 : Illustration du milieu poreux homogène non saturéLes paramètres hydrodynamiques sont illustrés dans le tableau suivant :Tableau 6 : Paramètres hydrodynamique, texturales et thermique du sol modélisé.Densité sèche d (Kg/dm 3 ) 1.512K s (cm/min) 0.39s (cm3/cm3) 0.34r (cm3/cm3) 0.1hg (cm) -27.5M (nombre sans dimension) 0.173 (nombre sans dimension) 6114

Résultats et Discussionsb. Résultats et discutions (Cas d’un milieu poreux non saturéhomogène)La solution numérique est donnée sous forme discrète dans le temps et dansl’espace. Les variables calculées sont la concentration du soluté, la teneur en eau, lapression, la saturation, la conductivité hydraulique et le flux d’infiltration.Sur la figure 16, nous présentons l’évolution de la concentration en fonction de laprofondeur pour des x différentes à un instant donné. On remarque que laconcentration de la substance mobile diminue avec la profondeur et que cettediminution est retardée dans le temps. Ce résultat est tout à fait logique puisqued’une part, les profils de concentration se comportent de la même façon que ceux del’humidité, mais ils se déplacent rapidement à cause de l’ajout de la pressionosmotique dans la pression matricielle. D’autre part, plus le temps s’écoule plus lefluide se mélange avec cette substance et peut donc être transporté plus loin. Cesrésultats sont similaires à ceux obtenus par d’autres auteurs (Saâdi et al, 1998) et(Gueraoui et al, 2000).La figure 17, illustre le profil de la concentration au cours du temps d’une sectiondonnée. On constate que, la concentration augmente au fur et à mesure que letemps.Ceci est tout à fait logique, puisque au fur et à mesure le temps passe il y aaccumulation du polluant dans cette section.La figure 18 représente les iso-contours de la concentration. On remarque que,les lignes de courant se rapprochent quand on s’éloigne de l’entrée. Ceci est dû aufait de l’approche de la zone de saturationSur la figure 19, nous avons porté la distribution de la teneur en eau en fonctionde la profondeur pour différentes valeurs de x et à un instant donné. On constate que115

Résultats et Discussionsla teneur en eau diminue avec la profondeur. Ceci peut s’expliquer par le fait que,d’une part, les pores qui se trouvent dans les niveaux z=cte proches de la surfacez=0, qui est supposée non saturée, sont ceux qui sont les plus susceptibles à êtreremplis. D’autre part, plus le temps s’écoule, plus les particules fluides deviennentplus denses plus sont transportées sous l’effet de la pesanteur à des niveaux plusbas.Sur la figure 20, nous illustrons le profil de la teneur en eau en fonction de laprofondeur pour différents temps et pour un x donné. On constate que ces profilssont retardés dans le temps. Ceci s’explique par le fait que les pores du milieu sontplus ou moins saturés par l’eau et donc le nombre des pores vides diminue avec letemps. Nous obtenons des résultats similaires à ceux obtenus par d’autres auteurs(Moussaoui, 1994).La figure 21 représente une vu dans l’espace de l’évolution de la teneur en eau.On retrouve les mêmes remarques sitées précédemment.Sur la figure 22, on retrouve le même phénomène rencontré par la concentrationc'est-à-dire, plus on se rapproche de la zone saturée plus les lignes se rapprochent.Nous présentons sur les figures 23, 24 et 25 l’évolution dans le temps et dansl’espace de la pression. On constate que les profils de la pression suivent la mêmeallure que la teneur en eau. En effet les deux grandeurs sont relié par une mêmerelation ; Loi de Brooks et Corey.La figure 26 représente une vue dans l’espace de l’évolution de la pression. Onretrouve les mêmes constatations sitées précédemment.Sur la figure 27, on représente les iso-contours de la pression. On constate queplus on se rapproche de la nappe phréatique plus les lignes iso-contoursserapprochent.116

Résultats et DiscussionsNous représentons sur la figure 28 l’évolution de la saturation en fonction de laprofondeur pour différent temps et pour un x donné. On constate que ces profils sontretardés dans le temps. Ceci s’explique par le fait que les pores du milieu sont plusau moins saturés par l’eau.La figure 29 illustre le profil de la saturation en fonction du temps pour une sectiondonnée. Nous constatons les mêmes phénomènes observés précédemment enconfirmant l’interprétation du profil de la concentration.Dans la figure 31, on représente la comparaison temporelle du profil de laconductivité pour une section donnée. On constate la confirmation de la remarqueobservée sur les figures 20- ..).La figure 33, représente le profil de la conductivité dans l’espace.Les figures 34, 35 et 36 illustrent respectivement, le comportement du fluxd’infiltration en fonction de la profondeur et du temps. Nous remarquons que, le fluxdécroît non linéairement dans le temps du fait de la décroissance de la concentrationet de l’augmentation du coefficient de retard correspondant. Cette décroissance estplus rapide dans les premier temps car la diminution de la concentration est plusforte. Nous retrouverons des résultats qualitativement identiques à ceux obtenu pard’autres auteurs (Gueraoui et al, 2000).Sur la figure 38, on remarque que la température augmente au fur et à mesureque la profondeur augmente et qu’elle présente un point d’inflexion à la profondeur1.8 m. En effet, pour les profondeurs inférieures à 1.8 m, le transfert de la chaleurpar conduction l’emporte sur celui par convection. Pour les profondeurs supérieuresà 1.8 m, les processus de transfert s’inversent.117

Résultats et DiscussionsConcentration0,90,80,70,60,50,40,30,20,100 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Z (m)x=0,7 mx=1,5 mx=2,3 mFigure 16 : Profil de la concentration suivant la profondeur pour temps donnéConcentration0,3329960,3329960,3329960,3329960,3329960,3329960,3329960,3329960,3329960,3329960 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1temps en jourFigure 17 : Profil de la concentration suivant le temps pour z= cte et x=cte118

Résultats et Discussions302520151055 10 15 20Figure 18 : Iso-contours de la concentrationTeneur en eau0,30,250,20,150,10,0500 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Z (m)x=0,7 mx=1,5 mx=2,3 mFigure 19 : Profil de la teneur en eau suivant la profondeur pour temps (t)=cte.119

Résultats et DiscussionsTeneur en eau0,30,250,20,150,10,05t=1/4 jourt=1/2 jourt=3/4 jour00 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Profondeur Z (m)Figure 20 : Profil de la teneur en eau suivant la profondeur pour x=cte.Figure 21 : Profil de la teneur en eau en fonction de z et de x.120

Résultats et DiscussionsFigure 22 : Iso-contours de la teneur en eau0-10Z (m)0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3-20Pression-30-40-50x=0,7 m-60-70-80Figure 23 : Profil de la pression suivant la profondeur pour un x donné et un temps donné121

Résultats et Discussions0-100 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Pression-20-30-40-50-60-70t=1/4 jourt=1/2 jourt=3/4 jour-80Profondeur Z (m)Figure 24 : Comparaison temporelle du profil de la pression suivant la profondeur pour x=cte-39,5288-39,60860 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1-39,6885Pression-39,7683-39,8482-39,9281-40,0079Temps en jourFigure 25 : Profil de la pression suivant le temps pour z= cte et x=cte122

Résultats et DiscussionsFigure 26 : Profil de la pression en fonction de z et de x.Figure 27 : Iso-contours de la pression123

Résultats et DiscussionsSaturation0,70,60,50,40,30,20,1t=1/4 jourt=1/2 jourt=3/4 jour00 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Profondeur Z (m)Figure 28 : Comparaison temporelle de profil de la saturation suivant la profondeur pour x=cteSaturation0,50010,50,49990,49980,49970,49960,49950,49940,49930,49920 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 29 : Profil de la saturation suivant le temps pour z= cte et x=cte.124

Résultats et DiscussionsFigure 30 : Profil de la saturation en fonction de z et de x.Conductivité hydraulique0,080,070,060,050,040,030,020,0100 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Profondeur Z (m)t=1/4 jourt=1/2 jourt=3/4 jourFigure 31 : Comparaison temporelle de profil de la conductivité suivant la profondeur pour x=cte125

Résultats et DiscussionsConductivité hydraulique0,039460,039440,039420,03940,039380,039360,039340,039320,03930,039280 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 32 : Profil de la conductivité suivant le temps pour z= cte et x=cte.Figure 33 : Profil de la conductivité en fonction de z et de x.126

Résultats et DiscussionsFlux d'infiltration0,160,140,120,10,080,060,040,02t=1/4 jourt=1/2 jourt=3/4 jour0-0,020 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3Profondeur Z (m)Figure 34 : Profil du flux d’infiltration suivant la profondeur pour x=cte et pour différentes temps.Flux d'infiltration0,0394540,0394520,039450,0394480,0394460,0394440,0394420,039440,0394380,0394360,0394340 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 35 : Profil du flux d’infiltration suivant le temps pour z=cte et x=cte127

Résultats et DiscussionsFigure 36 : Profil du flux d’infiltration en fonction de z et de x pour un instant donnéFigure 37 : Iso-contours du flux d’infiltration128

Résultats et DiscussionsFigure 38 : Profil de la température suivant la profondeur pour un instant t donné et une position xdonnéeII- Propagation du polluant dans un milieu poreux stratifié nonsaturéLa migration de polluants dans l’environnement est un phénomène dont on sesoucie depuis une vingtaine d’années et la compréhension des processus impliquésn’est pas encore pleinement élucidée. En effet, la compréhension du transportd’éléments contaminants est d’autant plus complexe que plusieurs processusimpliqués dans l’écoulement hydrodynamique interagissent simultanément. Cela estnotamment du à la présence d’hétérogénéités dans le milieu géologique quiperturbent les champs de vitesse et de concentration du polluant, rendant ainsil’analyse très difficile.129

Résultats et Discussionsa. Description du sol stratifié étudiéLa zone à modéliser est un domaine rectangulaire (position horizontale 0

Résultats et Discussions‣ Continuité du flux massique d’eau : le flux qui sort d’une couche doit être égalà celui qui entre dans la couche sous-jacente. On écrit donc :q L q L IV-2Où: L représente la cote de l’interface et la valeur positive infiniment petite.Les paramètres hydrodynamiques sont illustrés dans le tableau suivant :Tableau 7 : Paramètres hydrodynamique, texturales et thermique du sol modéliséCouche Densité sèche K ssr hgm(m) d (Kg/dm 3 ) (cm/min) (cm3/cm3) (cm3/cm3) (cm)0 - 0.75 1.64 0.50 0.37 0.01 -27.5 0.173 60.75 - 1 1.51 0.46 0.35 0.1 -27.5 0.173 61 – 2.25 1.50 0.39 0.28 0.1 -27.5 0.173 62.25 - 3 1.49 0.36 0.29 0.1 -27.5 0.173 6c. Résultats et discutions (Cas d’un milieu poreux non saturé stratifié)Nous avons appliqué, au niveau de chaque couche de sol, le modèle detransfert établie. La solution numérique est donnée sous forme discrète dans letemps et dans l’espace. Les variables calculées sont la teneur en eau et laconcentration du soluté.La figure 40 illustre l’évolution du profil de la teneur en eau en fonction del’espace. On constate que la propagation du polluant est dominante sur le planvertical que le plan horizontal a cause du gradient de pression.La figure 41 représente l’iso-contours de la teneur en eau. On remarque d’unepart, le même phénomène que le milieu poreux homogène au niveau de la zoneproche de l’entrée et de la nappe phréatique et d’autre part, la différence des iso-131

Résultats et Discussionscontours selon les propriétés physique de la strate. C’est ce phénomène qui estexploité en génie civil pour le stockage des polluants.On montre sur les figures 42, 43 et 44 l’évolution temporelle de la teneurvolumique en eau dans chaque couche du profil du sol. Les deux couches (0-0,75m)et (0,75-1m) sous jacents sont caractérisées par des teneurs volumiques en eau trèsproches, tout au cours de ¼ jour de simulation. Il en est de même pour les couches(1-2,25m) et (2,25-3m). La couche (1-2,25m) a une teneur en eau relativementélevée par rapport aux autres couches du fait qu’elle était initialement la plus humide.On constate sur la figure 45 que la teneur volumique en eau varie légèrementdans les premiers centimètres et atteint une valeur extrême au niveau de laprofondeur 1,7m, puis diminue vers les valeurs des conditions hydriques initialespour les profondeurs les plusbas. On peut dire donc, qu’à ce temps, le frontd’humidité n’a pas d’effet sur les profondeurs situées en bas du profil à cause,principalement, du caractère proche de la nappe phréatique.Sur les figures 46 et 47, nous présentons l’évolution de la concentration enfonction de x et de z à un instant donné. On remarque que la concentration de lasubstance mobile diminue avec la profondeur. C’est évident, puisque les profils deconcentration se comportent de la même façon que ceux des profils de l’humidité,mais ils se déplacent rapidement à cause de l’ajout de la pression osmotique dans lapression matricielle. Ces résultats son similaires à ceux illustrés par d’autres auteursdans le cas d’un sol homogène non saturé (Gueraoui et al, 2000) et (Sâadi et al,1999).Les figures 48,49 et 50 montrent l’évolution de la concentration en fonction dutemps pour les différentes couches. Les concentrations apparaissent importantesdans toutes les différentes couches du sol et on note en particulier leur forte mobilité.132

Résultats et DiscussionsLa concentration de la couche (1-2,25m) a un comportement relativementdifférent par rapport aux autres couches du fait qu’elle était initialement la plushumide.Sur la figure 51 sont portées les variations de la température aux différentesstrates. On constate que le transfère thermique provenant de la surface du sols’amortit de plus en plus avec la profondeur, ce qui est compatible avec les principesgénéraux de transfert thermique dans le sol (Musy et Soutter, 1994).Figure 40 : Profil de la teneur en eau en fonction de z et de x à un instant donné133

Résultats et DiscussionsFigure 41 : Iso-contours de la teneur en eau0,25Couche 0-0,75m0,2Teneur en eau0,150,10,0500 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 42 : Evolution temporelle de la teneur en eau pour la couche (0-0,75m)134

Résultats et DiscussionsCouche 0,75-1m0,220,2150,210,2050,20,1950,190,1850 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Figure 43 : Evolution temporelle de la teneur en eau pour la couche (0,75-1m)Couche 2,25-3mTeneur en eau0,2250,220,2150,210,2050,20,1950,190,1850,180 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 44 : Evolution temporelle de la teneur en eau pour la couche (2,25-3m)135

Résultats et DiscussionsCouche 0-0,75mCouche 1-2,25mCouche 0,75-1mCouche 2,25-3m0,250,20,150,10,0500 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Figure 45 : Comparaison de l’évolution temporelle de la teneur en eau dans les différentescouches0,60,5Concentration0,40,30,20,1000,150,30,450,60,750,91,051,21,351,51,651,81,952,12,252,42,552,72,853Profondeur Z (m)Figure 46 : Evolution de la concentration pour un x et un temps donnés136

Résultats et DiscussionsFigure 47 : Profil de la concentration en fonction de z et de x à un instant donnéCouche 0-0,75mConcentration0,435250,43520,435150,43510,435050,4350,434950,43490,434850,43480 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 48 : Evolution temporelle de la concentration dans la couche (0-0,75)137

Résultats et DiscussionsCouche 0,75-1mConcentration0,356140,3561350,356130,3561250,356120,3561150,356110,3561050 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 49 : Evolution temporelle de la concentration dans la couche (0,75-1)Couche 0-0,75mCouche 1-2,25mCouche 0,75-1mCouche 2,25-3mConcentration1,00081,00061,00041,000210,99980,99960 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Temps en jourFigure 50 : Comparaison de l’évolution temporelle de la concentration dans les différentescouches138

Résultats et DiscussionsFigure 51 : Evolution temporelle de la température aux différentes stratesIII-ConclusionDans ce chapitre, nous avons présenté les résultats de notre code numériquequi permet de simuler le processus de la propagation de polluant dans un milieuporeux homogène non saturé et un milieu stratifié. Les équations traduisant cephénomène sont considérées bidimensionnelles.Les résultats obtenus sont en parfaite accord avec ceux obtenus par d’autresauteurs traitant le même problème.139

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Résultats et DiscussionsSaàdi zakaria, A. Maslouhi, M.Zérouali et J.P.Gaudet (1998) « Contribution àl’étude de transfert de l’azote en conditions naturelles de terrain et à grandeéchelle » 2eme Conférence Internationale sur les Mathématiques Appliquéeset les Sciences de l’Ingénieur. Casablanca, pp. 610-612.Wang H.Q., Lacroix M., Masséi N., Dupont J.P. (2000) « Transport desparticules en milieu poreux : détermination des paramètres hydrodispersifs etdu coefficient de dépôt » C. R. Académie des Sciences, Paris, Sciences de laterre et des planètes . Vol. 331, p. 97-104.143

Conclusion GénéraleConclusion GénéraleLa propagation des polluants dans le sol est un phénomène dont on se souciedepuis une vingtaine d’années et la compréhension des processus impliqués n’estpas encore pleinement élucidée. En effet, la compréhension du transport d’élémentscontaminants est d’autant plus complexe que plusieurs processus impliqués dansl’écoulement hydrodynamique interagissent simultanément. Cela est notamment dû àla présence d’hétérogénéités dans le milieu géologique qui perturbent les champs devitesse et de concentration du polluant, rendant ainsi l’analyse très difficile. Il fautbien souligner que le problème majeur auquel font face les scientifiques et lesingénieurs impliqués dans la protection des ressources en eau est d’identifier leslieux et les mécanismes par lesquels les polluants peuvent s’infiltrer dans la nappe.Ils cherchent ensuite à développer de bons systèmes de prédiction du transport decontaminant au sein des eaux souterraines. Or, dans ce type de contexte lesdifférents modèles produisent une large variété de prédictions.Cependant, le milieu naturel n’est pas homogène et ses caractéristiqueshydriques évoluent en fonction de la nature de ses constituants. La modélisationnumérique joue dans ce domaine un rôle fondamental, car les expérimentations ensous-sol sont couteuses et peuvent ne pas être réalisables. Dans ces conditions, denombreux problèmes de modélisation et d'ordre purement numérique apparaissent,notamment, la prise en compte des hétérogénéités dans le sous-sol est une desdifficultés principales de l'écoulement et du transport souterrain.144

Conclusion GénéraleLes hétérogénéités se traduisent par des discontinuités dans les coefficientsdu système d'équations au passage d'un type de roche à l'autre. Cependant,certaines quantités physiques restent continues : la vitesse de Darcy, la pression etles flux de contaminants.Nous avons développé un modèle bidimensionnel basé sur les connaissancesphysiques des processus en gardant toutefois une approche objective afin deproposer un outil ergonomique de prospective.Un code numérique a été développé afin de modéliser le processus de lapropagation du polluant dans un milieu poreux non saturé homogène ou stratifié.L’écoulement des fluides dans les milieux poreux non saturés est modélisé parl’équation de Richards complétée par des relations traduisant les conditionsd’interface entre les couches. A cause de la forte non-linéarité des équations, ellessont résolues par la méthode numérique des volumes finis vu son large domained’application, sa flexibilité, sa généralité et l’interprétation simple de la forme intégraledes équations de conservation dans un élément de volume. Le domaine physiqueest divisé en un nombre fini d’éléments de volume où les composantes physiques etles propriétés des milieux poreux sont calculées. La méthode de résolution utiliséeest celle d’ADI (Alternating Direction Implicit). Elle consiste à itérer le systèmed’équations implicites en deux étapes. La première étape consiste à calculer lasolution entre t = 0 et t = n+1/2 en mettant en œuvre une méthode implicite en x etune méthode explicite en z. La seconde étape fait évoluer le temps de n+1/2 à n+1en mettant en œuvre, cette fois, une méthode explicite en x et implicite en z.Les différentes parties de travail ont conduit à des résultats et des conclusionsintéressants et en parfait accord avec les résultats des autres auteurs traitant desproblèmes similaires.145