TD de Physique no 2 : Thermodynamique

4. Calculer le rendement global η du moteur. Le comparer au rendement η ′ du moteur qui fonctionneraitentre les deux mêmes sources idéales de chaleur.Problème : Étude dynamique d’un moteur dithermeUn moteur ditherme fonctionne entre deux sources selon un cyclequasi-statique (ci-contre), constitué de deux adiabatiques et de deuxisochores. Les températures des sources sont T 2 (source chaude) et T 1(source froide), avec T 2 > T 1 . Le cycle est décrit par n moles d’un gazparfait de capacité thermique molaire à volume constant C V constante.Pour ce gaz γ = C P /C V = 1, 4. Les différentes phases du cycle sont :• Phase AB : compression adiabatique quasi-statique de durée∆t ; ∆t est une grandeur variable ;• Phase BC : contact du gaz avec la source chaude T 2 pendantle temps ∆t ;• Phase CD : détente adiabatique quasi-statique de durée ∆t ;• Phase DA : contact du gaz avec la source froide T 1 pendantle temps ∆t ;À chaque cycle correspond un tour de l’arbre moteur.Chaque grandeur - pression P , volume V et température T - du gaz en un point du cycle sera indicée parla lettre de ce point. On notera a le rapport volumétrique a = V A /V B = V D /V C . On donne : T 1 = 300 K,T 2 = 1000 K, a = 10, n = 0, 05 mol et la constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K −1 .mol −1 .1. Bilans thermodynamiques. Pour cette question, on prendra T A = 350 K et T C = 900 K.a) Déterminer les transferts thermiques reçus par le gaz au cours de chaque phase en fonction des grandeursaux points A et C.b) Déterminer la variation d’entropie du gaz au cours de chaque phase.c) Déterminer l’entropie échangée au cours des phases BC et DA.d) Quelle est l’entropie créée au cours d’un cycle ? Application numérique. Commenter.Dans la suite du problème T A et T C ne sont plus fixées. Que les transferts thermiques aient lieu avec l’uneou l’autre des sources, on supposera que, pendant une durée dt infinitésimale, à l’instant t, ils sont de la formeδQ 2 = α(T 2 − T (t))dt au cours de la phase BC, et δQ 1 = α(T 1 − T (t))dt au cours de la phase DA, où T (t) estla température du gaz à t et α est une constante positive. On prendra α = 45 J.K −1 .s −1 pour les applicationsnumériques.2. De quelles grandeurs dépend α ?3. Les températures en A et C.a) Déterminer une relation entre T 1 , T A , T D , τ et ∆t. On posera τ = nC Vα. Que représente τ ?b) Déterminer une relation entre T 2 , T B , T C , τ et ∆t.c) Déduire des questions précédentes T C et T A en fonction de T 1 , T 2 , τ, a, γ et ∆t.4. Les cycles réels limites.a) Quelles sont les limites de T A et de T C lorsque ∆t tend vers zéro ? On les notera T A ′ et T C ′ . Quelle relationexiste-t-il entre T A ′ et T C ′ ? Commenter.b) Quelles sont les limites de T A et de T C lorsque ∆t tend vers l’infini ? On les notera T A ′′ ′′et T C .c) Représenter graphiquement, dans le diagramme (P, V ), les deux cycles limites (pour ∆t tendant vers zéro,puis pour ∆t tendant vers l’infini) ; on fera figurer impérativement les isothermes T 1 et T 2 sur le graphique.d) Quel est le travail fourni par le moteur, noté W f min dans le cas où ∆t tend vers zéro ?e) Quel est le travail fourni par le moteur, noté Wmax f dans le cas où ∆t tend vers l’infini ? Exprimer Wmax f enfonction de T 1 , T 2 , a, n, C V . Dans ce cas le moteur est réversible ? Donner le valeur numérique de Wmax.ff) Que pensez-vous de la puissance réelle du moteur dans chacun de ces cas limites ?5. La puissance du moteur.a) Déterminer le travail fourni par le moteur, W f , au cours d’un cycle, en fonction de Wmax, f ∆t et τ. Endéduire l’expression de la puissance P du moteur.b) Représenter graphiquement la puissance P du moteur ainsi que le travail fourni, W f , en fonction de ∆t.c) Critiquer la puissance trouvée pour ∆t tendant vers zéro. Déterminer une expression de la valeur supérieurede la puissance du moteur, notée P max .9