TD de Physique no 2 : Thermodynamique

1. Différentier l’expression de S(U, V ). Montrer qu’en identifiant l’expression trouvée à l’identité thermodynamiqueon obtient, d’une part, l’expression de l’énergie interne d’une mole de gaz étudié : U m (T, V ), et,d’autre part, l’équation d’état d’une mole du gaz : f(P, V m , T ) = 0.2. Deux moles de ce gaz subissent une détente de Joule-Gay-Lussac d’un volume initial V = 5, 00 dm 3et d’une température initiale T = 293, 00 K à un volume final 2V . Calculer les variations de température etd’entropie correspondantes.3. Comparer les résultats obtenus à ceux de la détente de deux moles de gaz parfait de même capacitécalorifique molaire à volume constant dans les mêmes conditions initiales.Exercice n o 15 : Entropie statistique et fil de laineDeux réservoirs identiques aux parois athermanes sont reliés par une vanne. Un gaz parfait se trouveinitialement dans un des deux réservoirs, la vanne étant fermée. On ouvre la vanne, le gaz subit alors unedétente de Joule-Gay-Lussac.1. (Cours) Déterminer la variation d’entropie du gaz parfait lors de la détente en fonction de N (nombrede molécules du gaz) et k B (la constante de Boltzmann).On suppose que toutes les molécules du gaz sont discernables et on appelle macroétat X = k (avec k comprisentre 0 et N) l’état macroscopique du système pour lequel il y a k molécules dans le premier réservoir et,par conséquent, N − k dans le second. Chaque façon d’obtenir le macroétat X = k est appelée microétat.Le nombre de microétats correspondant au macroétat X = k est appelé nombre de complexion du macroétatX = k, nous le noterons Ω(k).2. (Cours) Déterminer Ω(k).On admet que pour un système isolé tous les microétats ont une probabilité identique d’être réalisés.3. (Cours) Quelle est la probabilité pour que le macroétat X = k soit réalisé.L’entropie statistique est définie par S = k B ln Ω avec Ω le nombre de complexion de l’état considéré.4. Montrer que cette définition est compatible avec le résultat de la question 1 sachant que l’état finalest l’état le plus probable.Indication : ln(N!) ≃ N(ln(N) − 1) lorsque N → +∞ (formule de Stirling).On considère maintenant un fil de laine formé de N molécules indépendantes alignées. Chaque moléculepeut occuper l’un des deux états suivants :• état fondamental, de longueur L et d’énergie e 1 .• état excité, de longueur L − a et d’énergie e 2 . On pose e 2 − e 1 = ∆e > 0.Un macroétat est caractérisé par la longueur du fil de laine.5. Relier la longueur L(n) du fil au nombre n de molécules dans l’état fondamental.6. Exprimer en fonction de n l’énergie E(n) du fil.7. Déterminer Ω(n) le nombre de complexion du macroétat de longueur L(n).8. Exprimer alors l’entropie S(n) du fil. N étant un nombre grand devant n lui même grand devant 1,donner à l’entropie une forme approchée en utilisant la formule de Stirling.9. Le fil est en contact avec un thermostat à la température T . Lorsqu’un système est soumis à unetelle contrainte, on montre que son état d’équilibre est celui pour lequel la fonction F (n) = E(n) − T S(n)est minimale. Déterminer la valeur de n eq de n à l’équilibre ainsi que la longueur du fil. Quelle conséquencepratique peut-on tirer de cette étude ?Exercice n o 16 : Transformation d’un système diphaséOn donne le tableau de données thermodynamiquest = 80˚C t = 115˚Crelatif à l’eau ci-contre. Un récipient indilatable de volumeP sat (10 3 P a) 47, 39 169, 1V = 1, 00 m 3 contient une masse m = 1 kg d’eau v liq (m 3 .kg −1 ) 1, 029.10 −3 1, 056.10 −3à la température t 1 = 80˚C.v vap (m 3 .kg −1 ) 3, 407 1, 0371. Justifier le fait que le système est diphasé.h liq (kJ.kg −1 ) 334,9 482,52. Calculer les masses de phase liquide m liq et vapeurm vap .s liq (kJ.kg −1 .K −1 ) 1,075 1,473h vap (kJ.kg −1 ) 2644 2699On met le récipient en contact avec un thermostat à la s vap (kJ.kg −1 .K −1 ) 7,612 7,183température t 2 = 115˚C.3. Quel est l’état final du système ? Calculer les nouvelles masses m ′ liq et m′ vap.4. Calculer le transfert thermique Q reçu par le système.5. Calculer l’entropie créée S c .7