Suites Réelles - Ens

Suites Réelleswww.eleves.ens.fr/home/yhuang11.1 Exercices1) Soit (x n ) n∈N une suite réelle bornée telle que x n + x2n2−→ 1. Montrer que lim x n = 2n→+∞ n→+∞ 3 .2) Soit (u n ) n∈N une suite réele. LASSE:i) cette suite est convergente;ii) cette suite est bornée et admet une seule valeur d’adhérence.3) Montrer que la suite x n = sin x n est convergente. On pourra montrer qu’elle est de Cauchy.4) Montrer qu’une suite convergente dans Z est stationnaire.5) Suites homographiques.6) Densité modulo 1 avec:i) (u n ) diverge et ∆(u n ) tend vers 0;ii) ∆(u n ) diverge et ∆(∆(u n )) tend vers 0.7) Montrer qu’une suite à valeurs dans Z est convergente ssi elle est stationnaire.8) Soit (u n ) n∈Z une suite convergente. La suite (E(u n )) n∈N est-elle convergente?11.2 Produit de CauchySoient deux suites réelles convergente (u n ) n∈Nlimn→+∞1n+1 (u 0v n + u 1 v n−1 + · · · + u n v 0 ).11.3 Suite extraite d’une suite de Cauchy−→n→+∞ u ∈ R et (v n) n∈N−→ v ∈ R. Cherchern→+∞1) Montrer que toute suite extraite d’une suite de Cauchy est encore de Cauchy.2) Montrer que de toute suite de Cauchy (x n ) n∈N on peut extraire une sous-suite telle que ∀p ∈N, ∀q ∈ N, q ≥ p, |x np − x nq | ≤ 12 p .11.4 Suite divergente de pas tendant vers 0Pour une suite réelles (u n ), on définit sa suite différence ∆ n = u n − u n+1 .Soit (u n ) une suite croissante tendant vers ∞, et on suppose de plus que ∆ n tend vers 0. Montreralors l’ensemble A := {u n − E(u n )|n ∈ N} est dense dans [0, 1].On considère ensuite la suite différence de la suite différence (notée ∆ 2 ). . .11.5 lim sup et lim infOn définit la lim sup et la lim inf. Montrer que pour une suite réelle de pas tendant vers 0, l’ensemblede ses valeurs d’adhérences est [lim inf, lim sup].1

On pourra commencer par montrer que cet ensemble est un intervalle.11.6 Compactifié d’Alexandrov de RMontrer qu’une suite réelle positive admet ou bien une sous-suite convergente vers un nombre réel,ou bien une sous-suite tendant vers +∞.11.7 Autour du théorème de Cesaro0) Montrer que si (p n ) n∈N est une suite réelle de limite p ∈ R, alors lim√ n+1p 0 p 1 . . . p n = p.n→∞1) Transformation de Toeplitz, une CNS.2) Applications.11.8 Nombre d’or√1) Justifier les convergences, puis montrer que 1 + √ 1 + √ 11 + . . . = 1 + . On pourra1+ 11+...penser à construire une suite (définie par récurrence) croissante et majorée par exemple.2) Trouver cette valeur.3*) Discuter la convergence de11.9 Suites adjacentes√a 1 + √ a 2 + √ log log aa 3 + . . . selon la valeur de lim supnn.t→∞Soit u 0 un nombre naturel, et on considère la suite définie (par récurrence) par u n+1 = u 2 n + 1.Montrer qu’il existe un nombre réel α tel que u n = E[α 2n ].On pourra penser au théorème de segments emboîtés ou méditer sur le titre de l’exercice.11.10 “Que faire si on n’a rien préparé pour sa colle?” -W.W.On sort le lemme sous-additif. . .On dit qu’une suite réelles est sous-additive si ∀(n, m) ∈ N 2 , u n+m ≤ u n + u m . Montrer que si(u n ) n∈N est sous-additive, alors ou bien la suite un ndécroît vers −∞, ou bien la limite de la suiteu nnexiste.11.11 Développement en série de Engel11.12 Fractions continuescf. J.W.S. Cassels. . .11.13 Suite de PerrinOn définit par récurrence la suite (u n ) par: u 0 = 3, u 1 = 0, u 2 = 2 et u n+3 = u n+1 + u n pour toutn ∈ N.1) Montrer que 2|u 2k si k ∈ N.2) Montrer que plus généralement, p|u pk pour tout p premier et k entier naturel.2