TD de Physique no 5 : Ondes mécaniques

E.N.S. de Cachan
Département E.E.A.
M2 FE
3 e année
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique n o 5 :
Ondes mécaniques
Exercice n o 1 : Exemple de couplage entre deux oscillateurs
Considérons deux oscillateurs identiques constitués chacun
d’un ressort (raideur k, longueur à vide l 0 ) et d’une masse
m. Les deux masses glissent sans frottement le long de l’axe
(x ′ x) horizontal qui est aussi l’axe commun des deux ressorts.
Ces deux oscillateurs sont couplés par un troisième ressort k ′
(cf figure ci-contre). On repère les masses 1 et 2 par leurs déplacements
respectifs x 1 et x 2 par rapport à leurs positions
d’équilibre.
1. Établir les deux équations différentielles dont x 1 et x 2
sont solutions.
2. Déterminer les pulsations propres ω s et ω a du système. Déterminer ensuite les expressions générales
de x 1 (t) et de x 2 (t).
3. Quelle serait la pulsation propre du système si l’une des deux masses était bloquée. Comparer la à ω s
et à ω a .
4. La paroi de gauche effectue maintenant des oscillations correspondant à ξ(t) = ξ 0 cos(ωt). Déterminer,
en régime établi, les expressions des amplitudes des déplacements des masses 1 et 2 respectivement A 1 (ω) et
A 2 (ω). Commenter. On posera u 1 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) et u 2 (t) = x 1 (t) − x 2 (t).
Exercice n o 2 : Battements
Considérons à nouveau le dispositif de l’exercice précédent. À l’instant initial les deux masses ont une
vitesse nulle, et leurs positions initiales sont x 1 (t = 0) = x 0 et x 2 (t = 0) = 0. En utilisant les résultats de
l’exercice n o 1, déterminer x 1 (t) et x 2 (t). Tracer les allures correspondantes dans le cas d’un couplage faible :
k ′

Exercice n o 4 : Entraînement de deux horloges
Huygens a découvert que deux horloges de fréquences
propres voisines mais non égales, posées
sur une même table suffisamment près l’une de
l’autre, et abandonnées avec des conditions initiales
quelconques, se synchronisent naturellement
c’est-à-dire finissent par osciller avec une même
fréquence et un déphasage constant, le déphasage
étant d’autant plus faible que les horloges sont
proches.
1. Pour rendre compte de cette observation, on adopte le modèle mécanique sommaire de la figure cidessus
: deux pendules simples de longueurs respectives l 1 et l 2 , portant à leurs extrémités A 1 et A 2 des masses
identiques m, sont fixés aux points B 1 et B 2 d’une barre de masse M, posée sur un support fixe, et libre de se
translater sans frottements le long de l’axe ⃗u x ; on donne B 1 B 2 = 2a. On repère le mouvement du système par
l’abscisse x du milieu B de B 1 B 2 et par les angles θ 1 et θ 2 que font les pendules avec la verticale. On limite
les calculs à l’ordre un en θ 1 et θ 2 .
a) Exprimer les composantes selon ⃗u x et ⃗u z des accélérations des deux masses en fonction de ¨θ 1 , ¨θ 2 , ẍ, l 1 et
l 2 . En déduire que les tensions des fils valent T 1 = T 2 = mg, et établir les équations du mouvement :
¨θ 1 + g l 1
θ 1 = − ẍ
l 1
; ¨θ2 + g l 2
θ 2 = − ẍ
l 2
b) Exprimer la composante selon ⃗u x de l’accélération du centre d’inertie G du système. En déduire que :
( ml1 ¨θ1 + ml
)
2 ¨θ2
ẍ = −
M + 2m
c) On suppose que l 1 = l 2 = l. Déterminer les pulsations propres et la solution générale du problème. Interpréter
la pulsation du mode antisymétrique. Interpréter la pulsation du mode symétrique lorsque M → ∞.
d) Lorsque l 1 = l(1 − ɛ) et l 2 = l(1 + ɛ) avec ɛ

En déduire sans calcul les deux équations analogues issues de l’équation (2).
c) On suppose pour finir que C 1 = C(1 − ɛ) et C 1 = C(1 + ɛ) avec ɛ

Déterminer l’équation aux dérivées partielles satisfaite par ɛ(x, t) (équation de propagation de d’Alembert).
On posera c 2 = Ka2
m .
c) En déduire la relation de dispersion correspondante. Retrouver ce résultat à l’aide de la question 2.
4. Posons u = x − ct et v = x + ct. Exprimer ∂ɛ ∂ɛ
∂ɛ ∂ɛ
∂x
et
∂t
en fonction de c,
∂u
et
∂v
Développer également
les dérivées secondes. En déduire les solutions générales de l’équation de D’Alembert. Interpréter alors c.
5. Soit une barre de longueur L et de section S du solide considéré. Appliquons une force d’intensité F
sur une des faces. Dans le domaine de linéarité du matériau, l’allongement relatif ∆L/L est proportionnel à la
force surfacique. Le rapport de proportionnalité est l’inverse du module d’Young E.
a) Exprimer c en fonction de E et de µ la masse volumique du matériau.
b) Faire l’application numérique dans le cas du cuivre : E Cu = 124 GP a et µ Cu = 8920 kg.m −3 .
Exercice n o 8 : Corde vibrante
On considère une corde faiblement extensible de
longueur L et de masse linéique µ, tendue horizontalement
à une extrémité par une force constante ⃗ F . La
corde peut par exemple être reliée à une masse fixe
suspendue après une poulie. On fait l’hypothèse que le
poids de la corde est négligeable devant la tension et
donc ⃗ F . La forme d’équilibre est simplement horizontale.
On introduit les axes x’x, défini par la forme d’équilibre,
et y’y, défini par le mouvement transversal, l’origine
O étant le point de fixation de l’extrémité gauche de la corde. Le mouvement de la corde autour de sa
position d’équilibre est décrit par la fonction y(x, t). On note également ⃗ T (x, t) la tension de la corde en x à t
et θ(x, t) l’angle que fait la tangente à la corde en x avec l’axe x ′ x et à t (cf figure ci-dessus).
1. Montrer que y(x, t) est solution d’une équation de propagation de D’Alembert. Donner l’expression de
la vitesse de propagation c.
2. On recherche les solutions de l’équation de D ’Alembert sous forme d’ondes stationnaires planes c’està-dire
on recherche les solutions sous la forme y(x, t) = F (x)G(t). Montrer que :
c 2 F ′′ (x)
F (x) = G′′ (t)
G(t) = A
où A est une constante négative que l’on posera égale à −ω 2 . En déduire la forme générale de y(x, t).
3. Modes propres de la corde fixée à ses deux extrémités. On notera L la longueur de la corde.
a) Montrer que k, ω et λ sont quantifiés et donner leurs expressions.
b) Donner l’expression générale de y(x, t).
c) On pince la corde de telle sorte qu’elle forme un triangle isocèle de hauteur h, puis elle est lâchée sans vitesse
initiale. Déterminer l’expression de y(x, t) correspondante.
4. Dans l’expérience de Melde, un vibreur placé en O effectue des oscillations sinusoïdales d’amplitude
a : y(0, t) = a cos(ωt).
a) La corde étant fixée à l’autre extrémité, déterminer les déplacements y(x, t) de tout point de la corde à tout
instant.
b) Interpréter et commenter le phénomène de résonance. Donner les valeurs des fréquences de résonance.
Exercice n o 9 : Application musicale : le piano
1. Avant la mise au point de la gamme tempérée, les musiciens utilisaient la gamme dite naturelle : celle-ci
repose sur trois intervalles consonants (c’est à dire agréables à l’oreille) qui constituent l’accord parfait majeur
complété par l’octave. Ainsi, dans la suite do-mi-sol-do, les rapports de fréquences sont :
• pour la tierce (do-mi) : 5 4 ;
• pour la quinte (do-sol) : 3 2 ;
• pour l’octave (do-do) : 2.
Pour une corde, il apparaît que si le mode fondamental (ou harmonique n = 1) est un do, l’harmonique n = 2
est le do de l’octave supérieure, et l’harmonique n = 3 = 3 2
∗ 2 est le sol de l’octave supérieure.
a) Trouver les notes correspondant aux harmoniques n = 4, n = 5 et n = 6.
b) Montrer que l’harmonique n = 7 ne rentre pas dans le schéma tierce-quinte-octave (les musiciens disent de
ce fait qu’il est dissonant ; il est proche de si bémol).
4

c) Quelle est la note correspondant à l’harmonique n = 8 ? Est-elle consonante ou dissonante ?
2. Spectre sonore d’une corde frappée (piano). À l’instant t = 0, la corde de longueur L est dans la
position d’équilibre y(x, 0) = 0. La corde est frappée avec un petit marteau de largeur b (avec b 0 : masse linéique µ 2 , même tension T .
Une onde progressive se dirige vers le point O en provenant de la région des x < 0.
1. Déterminer les coefficients de réflexion r et de transmission t relatifs à la vitesse. On introduira la
quantité n =
√
µ2
µ 1
. Commenter les résultats obtenus. Que se passe-t-il pour les cas limites µ 2 = 0 et µ 2 = +∞ ?
2. Définir la puissance Π(x, t) transférée en x dans le sens des x > 0, puis vérifier la conservation de
l’énergie en x = 0.
Exercice n o 11 : Étude des vibrations d’une corde verticale
L’axe (Ox) est vertical ascendant, (Oy) horizontal. Une corde, infiniment souple,
de masse linéique µ, de longueur L est suspendue au point A dans le champ de pesanteur
g. Lorsque la corde est au repos, son extrémité inférieure coïncide avec le point
O. Son point d’accrochage A effectue des oscillations horizontales : y A = a cos(ωt),
d’amplitude a très inférieure à L. L’extrémité inférieure de la corde ne subit aucune
contrainte.
Le déplacement (quasi-horizontal) d’un point P (x) de la corde par rapport à sa
position d’équilibre est noté y(x, t). Dans toute la suite on suppose que y, ∂y
∂x et ∂2 y
∂x
sont très petits, et que le
2
déplacement de la corde ne se produit que dans la direction (Oy).
1. Montrer que l’équation de propagation des ondes le long de la corde est :
∂ 2 y
∂t 2
= g ( ∂y
∂x + x ∂2 y
∂x 2 )
2. On cherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme :
y(x, t) = α(x) cos(ωt) + β(x) sin(ωt)
a) Montrer que α(x) et β(x) vérifient la même équation différentielle.
b) On note X = x ω2
g
; α(x) = A 0A(X) ; β(x) = B 0 A(X), avec A(0) = 1. Établir l’équation vérifiée par
la fonction A(X), puis rechercher une solution de cette équation sous la forme d’un développement en série
entière :
A(X) = 1 + A 1 X + A 2 X 2 + . . .
Déterminer les coefficients A k .
( )
ω
c) Que vaut B 0 ? Déterminer A 0 en fonction de A
2 L
g
et de a. Écrire l’expression de y(x, t).
Exercice n o 12 : Modes propres d’un ressort
On considère un ressort horizontal de longueur à vide L dont une extrémité est fixée en O et dont l’extrémité
mobile M est reliée à une masse ponctuelle m libre se déplaçant sans frottement le long de l’axe (Ox). On
note µ la masse linéique du ressort. On repère le mouvement d’une spire située à l’abscisse x au repos par sa
position x + ξ(x, t). Si on coupe fictivement le ressort à l’abscisse x, la force exercée par la partie droite sur la
partie gauche est donnée par la loi de HOOKE :
⃗F = K ∂ξ
∂x ⃗u x
5

où K est une caractéristique du matériau.
1. Montrer que ξ(x, t) est solution d’une équation de D’Alembert et exprimer la célérité c correspondante.
2. On fait l’approximation des régimes quasi-stationnaires, c’est à dire qu’on néglige les dérivées temporelles
dans l’équation de D’ALEMBERT. On note L + X(t) la position de la masse m.
a) Déterminer la fonction ξ(x, t) en fonction de x, X(t) et L.
b) En déduire la force exercée par le ressort sur m en fonction de K, L et X. En déduire la raideur du ressort
en fonction de K et L.
c) Déterminer la pulsation ω arqs des oscillations. En déduire une condition sur µ, L et m pour que l’ARQS
soit validée.
3. On revient au cas général.
a) Quelles sont les conditions aux limites imposées à la fonction ξ(x, t) d’une part par le mur et d’autre part
par la masse m en x = L ?
b) On cherche des solutions de la forme :
ξ(x, t) = f(x) cos(ωt)
Établir l’équation dont est solution f(x) et déterminer sa forme à une constante multiplicative près en fonction
de ω, x et c.
c) Montrer que ω est solution de :
( ωL
tan
c
)
= K
mωc
Discuter cette équation graphiquement.
d) On suppose que µL

Exercice n o 14 : Vitesses de phase et de groupe dans le cas d’une relation de dispersion de
Kein-Gordon
On considère un paquet d’onde se propageant dans un milieu dont la relation de dispersion est du type
Klein-Gordon :
k 2 c 2 = ω 2 − ω 2 c
Donner les expressions des vitesses de phase et de groupe pour ω > ω c . Commenter.
Problème : Sismologie et structure interne de la Terre
Les secousses sismiques, naturelles ou artificielles, sont à l’origine d’ondes mécaniques se propageant au
sein ou en surface de la Terre. Le comportement de ces ondes, entre l’hypocentre et le lieu de réception, est
déterminé par la structure interne de la Terre. Ce problème aborde les principales méthodes mises en oeuvre
en sismologie pour sonder la Terre à différentes échelles de profondeur.
Partie I : Les ondes sismiques de volume
On établit dans cette partie les équations de propagation des ondes de déformation
au sein d’un solide. Au repos, le solide, de masse volumique ρ 0 , est immobile. On
note ⃗u(M, t) le déplacement, à un instant quelconque, d’un élément de solide, en
M au repos. On restreint l’étude aux ondes planes se propageant selon ⃗e x , et aux
déformations bidimensionnelles : ⃗u(x, t) = u x (x, t)⃗e x + u y (x, t)⃗e y . Les déformations
locales du milieu sont à l’origine de contraintes, forces surfaciques, qu’exercent les particules de solide les unes
sur les autres. Avec une onde plane, ⃗u(x, t), il apparaît des contraintes que sur les surfaces normales à ⃗e x .
Soit dS une telle surface élémentaire (cf figure ci-dessus), située en x 0 au repos, la force élastique exercée par
l’élément 1, x < x 0 , sur l’élément 2, x > x 0 , s’écrit :
dF ⃗ 1→2 = f ⃗ 1→2 dS avec f1→2 ⃗ = −(λ + 2µ) ∂u x
∂x (x 0)⃗e x − µ ∂u y
∂x (x 0)⃗e y
où λ et µ sont les coefficients de Lamé, constantes positives, caractéristiques du milieu.
1. Justifier brièvement le signe négatif dans l’expression de la force. Pourquoi cette forme n’est-elle valable
que dans le cadre des faibles déformations ? Donner les unités des coefficients de Lamé.
2. Soit un parallélépipède de volume dτ, de dimensions dx, dy et dz selon les trois axes cartésiens. La
résultante des forces élastiques qu’il subit s’écrit : dF ⃗ = fv ⃗ dτ ; déterminer l’expression de la force volumique
⃗f v des forces élastiques.
3. Dans le cadre de faibles déformations, les équations seront linéarisées en se limitant aux termes du
premier ordre en ⃗u et ses dérivées. Effectuer un bilan de matière à l’aide d’une tranche d’épaisseur dx au repos,
et montrer que la masse volumique ρ(x, t) vérifie :
(
ρ = ρ 0 1 − ∂u )
x
∂x
Traduire l’approximation effectuée à l’aide d’une condition sur les longueurs d’onde Λ présentes.
4. En supposant que les particules de solide ne sont soumises qu’aux contraintes élastiques, montrer
que les déformations u x (x, t) et u y (x, t) vérifient chacune une équation de d’Alembert. Exprimer les célérités
respectives c P (onde P) et c S (onde S) de ces ondes.
5. Justifier à l’aide d’un schéma que l’une de ces deux ondes est dite de compression, alors que l’autre
est dite de cisaillement. Que dire sur l’existence de telles ondes dans un liquide ?
6. Lors qu’un tremblement de Terre, des ondes sont émises dans toutes les directions. La connaissance
des distances entre la source sismique (hypocentre) et différentes stations réceptrices permet la localisation
de l’hypocentre. Dans un milieu homogène, exprimer la distance D d’une station à la source, en fonction des
célérités c P et c S , et de la durée ∆t séparant les arrivées des ondes P et S à la station.
7. Applications numériques. Dans la croûte continentale : c P = 7, 0 km.s −1 et c S = 4, 5 km.s −1 . Calculer
la distance à la source sismique si ∆t = 70 s. Avec quelle précision faut-il connaître ∆t pour localiser
l’hypocentre à 1 km près ? À votre avis, par quoi est limitée la précision de cette mesure de distance ?
8. Les périodes des ondes sismiques sont comprises entre 1 et 1000 secondes. Commenter l’approximation
effectuée à la question 3 ?
Partie II : La théorie des rais
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Dans un milieu hétérogène, où la célérité n’est pas uniforme,
le comportement ondulatoire des ondes sismiques est
complexe. On utilise la théorie des rais, analogue de l’optique
géométrique pour les ondes lumineuses, qui étudie les
trajectoires des pinceaux d’ondes sismiques perpendiculaires
aux surfaces d’onde. Les résultats concernant le cas des ondes
planes sont utilisables ici. Le modèle sismologique le plus utilisé
pour la structure de la Terre (PREM) présente la symétrie
sphérique. Il a été obtenu à partir d’informations fournies par
les ondes de volume, les ondes de surface et les modes propres de la Terre. On donne les célérités des ondes P
et S en fonction de la profondeur (cf figure ci-dessus).
1. Donner la condition sur la longueur d’onde Λ permettant d’utiliser une théorie géométrique plutôt
qu’ondulatoire. En déduire, en utilisant le modèle PREM, la gamme de fréquences des ondes sismiques vérifiant
cette condition. Quels type de phénomènes ne peuvent être décrits par la théorie des rais ?
2. Soient deux milieux homogènes, séparés par un dioptre plan, dans lesquels la célérité des ondes P vaut
respectivement c 1 et c 2 . Un rai sismique incident dans le milieu 1 rencontre l’interface. Donner les analogues des
lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction des rais sismiques. Faire un schéma indiquant les orientations
des angles considérés.
Détermination de l’épaisseur de la croûte terrestre par réfraction sismique
Modélisons la Terre, au voisinage de sa surface, par un milieu
à deux couches planes homogènes : la croûte d’épaisseur H
située au-dessus du manteau (cf figure ci-contre). On ne considère
que les ondes P de célérités c 1 et c 2 avec c 1 < c 2 . Un tremblement
de Terre se produit en A, et émet des ondes sismiques
dans toutes les directions. Trois ondes de type P peuvent être
reçues au point B à la distance D de A. L’onde P g désigne celle
se propageant en ligne droite dans le milieu 1. L’onde P M P désigne
celle se réfléchissant sur l’interface, en I. L’onde P n est due à un retour dans le milieu 1, de la partie de
l’onde réfractée dans le milieu 2, qui se propage tangentiellement à l’interface.
3. Déterminer l’angle θ en fonction des célérités c 1 et c 2 . Montrer que l’onde P n ne peut exister qu’à
partir d’une distance critique D c que l’on exprimera.
4. Exprimer, pour chaque onde, le temps de parcours en fonction de la distance D : ∆t(P g ), ∆t(P M P )
et ∆t(P n ). Justifier en particulier que ∆t(P M P ) = ∆t(P n ) pour D = D c .
5. Représenter, sur un même graphe, les allures des trois courbes représentant ∆t en fonction de D. De
telles courbes sont appelées hodochrones. On précisera leur comportement asymptotique à grande distance,
ainsi que les valeurs prises en D = 0 et D = D c .
6. Pour l’étude de la croûte, les sismologues utilisent des sources explosives
de forte puissance, et alignent des sismomètres régulièrement sur de
grandes distances. Souvent, dans les hodochrones obtenus, ne sont utilisés
que les temps de parcours des ondes les plus rapides. La figure ci-contre
donne le temps d’arrivée de l’onde la plus rapide en fonction de la distance
D à parcourir. Il s’agit sensiblement de deux portions de droite, une rupture
de pente est observée pour D i = 150 km ; on relève également : ∆t i = 23 s
et ∆t 0 = 5 s. Calculer les célérités c 1 et c 2 des ondes dans la croûte et le manteau. Exprimer l’épaisseur H en
fonction de c 1 et c 2 , et l’évaluer numériquement.
On envisage maintenant une variation linéaire de la célérité dans la croûte : c 1 =
c 10 (1 − kz) où k est une constante positive. Un rai sismique est émis en A(z = 0, x = 0)
dans une direction faisant un angle i 0 avec l’axe (Ax).
7. Établir, en utilisant les lois de Descartes entre z et z + dz, la relation liant dx et
dz le long du rai :
(1 − kz) cos i 0
dx = −dz √
1 − (1 − kz)2 cos 2 i 0
8. Intégrer cette relation et montrer que la trajectoire du rai est un arc de cercle ;
préciser les coordonnées de son centre (x 0 , z 0 ) et son rayon R, en fonction de i 0 et de k.
Retrouver le cas du milieu homogène.
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9. Tracer sur un même graphe deux rais émis du même point sous les angles i 01 et i 02 avec i 01 < i 02 .
10. À la profondeur H commence le manteau. Montrer qu’il existe, contrairement au milieu homogène,
une distance maximale D max en surface pour recevoir un rai sismique ne se propageant que dans la première
couche (de type P g ). Exprimer cette distance en fonction de H et k.
11. Soit maintenant un modèle à deux couches, présentant les gradients de célérité : c 1 = c 10 (1 − k 1 z)
et c 2 = c 20 (1 − k 2 z). On modélise ainsi le manteau, compris entre z = 0 et z = −H 1 , et le noyau externe.
L’épaisseur de la croûte est ainsi négligée. Le modèle PREM donne c 1 (−H 1 ) > c 2 (−H 1 ). À l’incidence limite
i 0 donnant la distance D ′ max pour l’onde P g dans le manteau, dessiner l’allure du rai P n réfracté dans le noyau,
et justifier qu’il revient en surface à une distance supérieure à D ′ max.
On montre alors, en envisageant les incidences supérieures qu’il existe une zone d’ombre à la surface de
la Terre dans laquelle aucune onde P n’est recueillie. Cette observation a prouvé l’existence d’un noyau dans
lequel les ondes sismiques se propagent moins vite que dans le manteau.
12. Par ailleurs, l’étude des ondes S a mis en évidence l’absence de celles-ci dans le noyau externe. Que
peut-on en déduire sur la nature du noyau ?
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