Ondes sonores dans les fluides et diffusion de particules

E.N.S. de Cachan
Département E.E.A.
M2 FE
3 e année
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique n o 12 :
Ondes sonores dans les fluides
et diffusion de particules
Exercice n o 1 : Ondes sonores dans les fluides : modélisation (cours)
1. Écrire, dans le cadre de l’approximation acoustique, l’équation d’Euler et l’équation locale de conservation
de la masse.
2. Exploiter le caractère isentropique de l’écoulement pour établir une relation liant les dérivées temporelles
de P 1 (M, t) et de ρ 1 (M, t) et le coefficient de compressibilté isentropique.
3. Montrer que P 1 (M, t) et ⃗v 1 (M, t) sont solutions d’une équation de propagation de d’Alembert. Donner
l’expression de la célérité c associée. Commenter.
4. On suppose, dans cette question, que le fluide est un gaz parfait de coefficient isentropique γ, de masse
molaire M dont la température T 0 est uniforme. Donner alors l’expression de c en fonction de R (la constante
des gaz parfaits), T 0 , M et γ. Faire l’application numérique dans le cas de l’air avec M = 29 g.mol −1 à 25˚C.
5. Les fréquences sonores audibles correspondent à la plage allant de 20 Hz à 20 kHz. Établir la plage
de longueur d’onde correspondante à 25˚C. Commenter.
Exercice n o 2 : Structure des ondes sonores planes progressives (cours)
1. Rappeler la définition et l’intérêt des ondes planes progressives harmoniques.
Les deux équations de propagation de d’Alembert obtenues à la question 3 de l’exercice n o 1 ne sont
qu’une condition nécessaire où les champs P 1 (M, t), v 1,x (M, t), v 1,y (M, t) et v 1,z (M, t) semblent indépendants.
En réalité les équations couplées reliant P 1 (M, t) et ⃗v 1 (M, t) et le caractère irrotationnel de l’écoulement
imposent un couplage entre ces champs et une structure aux ondes planes progressives.
2. Montrer que les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.
3. Soit une onde sonore plane progressive caractérisée par les champs P 1 (M, t) et ⃗v 1 (M, t) = v 1 (M, t)⃗u où
⃗u est sa direction de propagation. Donner l’expression du rapport Z OP P = P 1 /v 1 , appelé impédance acoustique
du milieu. Commenter.
Exercice n o 3 : Ondes sonores dans un pavillon exponentiel
On envisage (cf figure ci-contre) la propagation d’ondes sonores dans un
volume limité par une surface de révolution d’axe Ox et de section variable
S(x) = exp(σx) où σ et S 0 sont des constantes. Au repos, la pression P 0 et
la masse volumique ρ 0 sont uniformes. On note χ s le coefficient de compressibilité
isentropique de l’air et c = 1/ √ ρ 0 χ s . L’onde sonore est décrite par les
champs P 1 (x, t) et ρ 1 (x, t) et le champ des vitesses ⃗v 1 pour lequel on fait l’approximation
de l’écoulement quasi-unidimensionnel en posant ⃗v 1 = v 1 (x, t)⃗u x .
On traite le problème dans l’approximation acoustique.
1. En faisant un bilan de masse pour le système ouvert (V ) compris entre les abscisses x et x + dx (cf
figure), établir une équation aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants reliant ρ 1 et v 1 .
2. À l’aide de l’équation d’Euler et de l’équation traduisant l’évolution thermodynamique du fluide,
établir deux autres équations reliant les champs P 1 , ρ 1 et v 1 .
3. En déduire la relation de dispersion pour des pseudo-OPPH proportionnelles à exp(j(ωt − kx)) et
discuter la nature des ondes suivant les valeurs de la pulsation.
1

Exercice n o 4 : Réflexion et transmission des ondes sonores planes au niveau du raccordement
de deux conduites
On étudie la réflexion et la transmission d’ondes sonores planes
au niveau du raccordement de deux conduites de sections S 1 et S 2
(cf figure ci-contre : a) Cas réel b) Modélisation).
1. Montrer que l’on a continuité de la pression en x = x 0 :
P 1 (x 0 , t) = P 2 (x 0 , t).
2. Montrer que l’on a continuité du débit volumique au niveau
du raccordement : D V,1 (x 0 , t) = S 1 v 1 (x 0 , t) = D V,2 (x 0 , t) =
S 2 v 2 (x 0 , t).
On définit l’impédance acoustique d’une conduite de section S
par : Z = ρ 0 c/S.
3. Établir les expressions des coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude (pour le débit volumique et la surpression)
en fonction des impédances acoustiques des conduites raccordées.
4. Simplifier les expressions obtenues lorsque les conduites contiennent
le même fluide, et ne différent que par leurs sections. Commenter les cas limites S 2 = ∞ et S 2 = 0.
Exercice n o 5 : Instruments à vent
Une OPPH v 1i = A i cos(ωt − kx) se propage dans le demi-espace x < 0. Un obstacle imperméable placé
en x = 0 impose la condition aux limites v 1 (0, t) = 0. Dans cet exercice on note c la célérité du son dans le
fluide considéré.
1. Déterminer l’expression du champ des vitesses associé à l’onde résultante dans le demi-espace x < 0.
Montrer qu’il s’agit d’une onde stationnaire.
2. Donner l’expression du champ de pression associé. Commenter.
3. Les instruments à vent à embouchure de flûte sont assimilables à un tuyau de longueur L ouvert à ces
deux extrémités. On admettra le résultat de l’exercice n˚4 : une extrémité ouverte sur l’atmosphère extérieure
correspond en première approximation à un nœud de surpression. Déterminer les fréquences ν p (avec p un
entier naturel non nul) des modes de résonance du tube. Commenter.
4. Les instruments à vent possédant une anche (hautbois, clarinette) et ceux pour lesquels ce sont les
vibrations des lèvres du musicien qui sont amplifiées sélectivement sont assimilables à un tuyau de longueur L
ouvert à une de ses extrémités et fermé à l’autre.
a) Donner les conditions aux limites associées à ce problème.
b) Déterminer les fréquences ν p (avec p un entier naturel non nul) des modes de résonance du tube. Commenter.
Exercice n o 6 : Aspects énergétiques (cours)
Une onde sonore (P 1 ,⃗v 1 ) se propage dans un fluide dont la pression au repos est uniforme et notée P 0 .
1. Établir l’équation locale de conservation de l’énergie sonore en calculant la divergence du vecteur
densité de flux de puissance sonore. Commenter.
2. On considère le cas une onde sonore plane progressive de direction ⃗u.
a) Montrer que les densités d’énergie cinétique e c et interne e i sont égales. Puis établir la relation existant
entre ⃗ Π et e la densité d’énergie sonore.
b) L’intensité sonore en décibels L est définie par :
( I
) ( < || Π|| ⃗ >
)
L = 10 log = 10 log
I 0 < || Π ⃗ 0 || >
où les valeurs moyennes sont faites sur le temps et où I 0 =< || Π ⃗ 0 || >= 10 −12 W.m −2 est une valeur de
référence correspondant au seuil d’audition (à 1500 Hz) d’une oreille moyenne. À 10 mètres de la fusée Ariane
au décollage, l’intensité sonore est de 140 dB (niveau sonore synonyme de destruction immédiate de l’oreille).
Calculer les vitesse et pression maximales associées à ce niveau sonore à 25˚C.
Données : vitesse du son dans l’air supposé parfait à 25˚C : 347 m.s −1 ; masse volumique de l’air : ρ 0 =
1, 3 kg.m −3 .
2

c) Justifier alors la validité de l’approximation acoustique en calculant en ordre de grandeur le rapport de
l’accélération convective par l’accélération locale.
Exercice n o 7 : 0ndes sonores sphériques
Une sphère pulsante de centre fixe O dont le rayon a(t) = a 0 + a 1 cos(ωt) varie sinusoïdalement avec une
amplitude a 1 λ.
3. Simplifier l’expression du champ des vitesses pour r > λ.
5. Exprimer l’impédance complexe Z R = P 1 /v 1 au niveau de la membrane et la comparer à l’impédance
Z OP P des ondes planes progressives. En déduire pourquoi on peut considérer qu’on a un nœud de pression à
l’extrémité d’un tuyau ouvert sur une atmosphère, dont la section a pour dimension typique a 0

1. On s’intéresse à la surpression sur l’axe au point M de coordonnées (0, 0, z) avec z>0. Montrer en
appliquant l’analogue du principe de Huygens-Fresnel pour les ondes sonores que la surpression élémentaire
complexe créée en M par une couronne élémentaire de rayon r de la membrane vaut :
dp(z) = Kp(0)2πrdr e−jk√ r 2 +z 2
√
r2 + z 2 .
2. Établir la relation
p(z) = A [ e −jk√ z 2 +a 2 − e −jkz] ,
en exprimant A en fonction des données.
3. Détermination de A. On suppose, uniquement dans cette question, le milieu légèrement absorbant.
Traduire cette propriété sur k. Que devient p(z) lorsque a → +∞ ? Quelle est alors la nature de l’onde ? En
déduire que A = p(0). On admettra la généralité du résultat et on adopte cette valeur pour toute la suite du
problème.
4. On note λ la longueur d’onde de l’onde sonore émise et on se place dans les conditions de champ
lointain : z >> a et λ/a >> a/z. Pour z=1 m, ces conditions sont-elles numériquement vérifiées pour un hautparleur
dont la plage d’utilisation est 0, 8 − 8 kHz et tel que S = 73 cm 2 . Dans toute la suite et dans ces
conditions, on admettra que les ondes sont localement planes ce qui permettra d’utiliser les résultats du cours.
5. Montrer que dans les conditions de champ lointain :
|p(z)| ≃ ρ 0ξ 0 Sω 2
,
2πz
avec ρ 0 la masse volumique de l’air.
6. Applications numériques. Calculer l’amplitude de vibration du disque produisant une intensité sonore
de 90 dB à 1 m du disque sur l’axe, pour f=1 kHz puis pour f=60 Hz. Commenter ces deux valeurs.
II- Directivité
1. Dans les conditions de champ lointain, on considère un point M ′ tel que l’angle entre OM −−→ ′ et Oz soit
égal à θ. S’il existe, quel est (approximativement) le plus petit d’angle θ pour lequel on observe un minimum
de diffraction ? En déduire une condition pour que le rayonnement d’un haut-parleur ne s’annule dans aucune
direction. Pour quelles fréquences cette condition est-elle vérifiée pour le haut-parleur précédent ?
2. Pourquoi les haut-parleurs d’aigus sont-ils si petits ?
Exercice n o 10 : Diffusion en présence de sources de particules
On étudie la diffusion unidimensionnelle de neutrons dans un barreau de plutonium cylindrique d’axe Ox
et de section droite d’aire S, s’étendant entre les abscisses x = 0 et x = L. On note n(x, t) la densité de
neutrons à l’abscisse x et à l’instant t. Cette diffusion satisfait à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion
D = 22 m 2 .s −1 .
Les réactions nucléaires entre les neutrons et la matière entraînent une production de neutrons : il apparaît
δ 2 N = Kn(x, t)Sdxdt pendant une durée dt dans une tranche d’épaisseur dx, où K = 3, 5.10 4 s −1 est une
constante positive caractéristique des réactions nucléaires. On admet en première approximation que n doit
s’annuler à tout instant aux extrémités du cylindre, en x = 0 et x = L. En revanche, on suppose que n(x, t)
ne s’annule pas à l’intérieur du cylindre.
1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiées par n(x, t).
2. Dans le cas du régime stationnaire, déterminer n(x) à une constante multiplicative près. Montrer que
ce régime n’est possible pour une valeur particulière L S de L dont on donnera l’expression.
3. En régime quelconque, chercher n(x, t) à une constante multiplicative près, sous la forme n(x, t) =
f(x)g(t).
4. En déduire que n(x, t) diverge si L est supérieure à une valeur critique L C que l’on déterminera.
Application numérique.
4

Exercice n o 11 : Diffusion sphérique
On considère un milieu dans lequel se produit la diffusion de neutrons caractérisée en un point M par la
densité particulaire n(r, t) dépendant uniquement de r = OM et de t. Les particules radioactives qui produisent
les neutrons sont présentes dans la sphère de centre O et de rayon a. Elles produisent σ neutrons par unité de
volume et de temps. σ est une constante.
1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiées par n(r, t).
2. Déterminer les solutions n(r) en régime stationnaire.
Exercice n o 12 : Diffusion d’atomes dans les solides
On considère un phénomène unidimensionnel (suivant la direction Ox) de diffusion d’atomes, dans un
milieu occupant tout le demi-espace x > 0. On appelle D le coefficient de diffusion et n(x, t) la densité
d’atomes en x à l’instant t. On note ⃗j le vecteur densité de courant particulaire.
À l’instant initial, la concentration en atomes est nulle partout sauf dans une faible épaisseur située en
x = 0, où l’on implante une quantité Q d’atomes par unité de surface.
1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par n(x, t).
2. On montre alors que la densité d’atomes dans le matériau au cours de la diffusion est de la forme :
( )
n(x, t) = B(t) exp − x2
A(t)
où A(t) et B(t) sont des fonctions du temps. Déterminer les fonctions A(t) et B(t) en fonction de Q, D et t.
On donne l’intégrale :
∫ ∞
√ π
exp(−u 2 )du =
2
0
3. Déterminer la profondeur de diffusion h pour laquelle n(h, t) = n(0, t)/e.
4. Au bout d’une heure, h vaut 5 µm. Donner l’allure du profil des concentrations à t 1 = 1 h et à t 2 = 3h.
5

Problème :
Quelques aspects de la circulation sanguine (suite)
Deuxième partie
Propagation d’ondes dans un tube élastique
On considère un tube élastique de longueur infinie que l’on
repère avec un axe Ox (cf figure ci-contre). On supposera par
la suite que toutes les grandeurs physiques ne dépendent que de
l’abscisse x et du temps. À l’intérieur de ce tube on trouve un
fluide que l’on considère non visqueux. On notera ρ(x, t) = ρ 0 +
ρ 1 (x, t) la masse volumique de ce fluide, P (x, t) = P 0 + P 1 (x, t)
la pression et u(x, t) sa vitesse que l’on supposera dirigée selon l’axe Ox. Les grandeurs ρ 0 et P 0 correspondent
à l’état du fluide au repos. Les effets de pesanteur sont négligés.
1. Dans cette partie, on s’intéresse à l’aorte et aux grosses artères de l’être humain.
a) Justifier que l’on peut négliger les effets de la viscosité pour étudier la dynamique de la circulation dans
cette partie du système circulatoire. Écrire l’équation d’Euler pour le fluide.
b) Linéariser l’équation obtenue. À quelles conditions peut-on le faire ? On vérifiera à la fin de cette section
que ces conditions sont bien satisfaites.
2. Le tube est élastique de section variable S(x, t) = S 0 + S 1 (x, t).
a) Établir l’équation exprimant la conservation de la matière. On considérera le fluide dans le volume compris
entre x et x + dx.
b) Linéariser cette équation. En utilisant le coefficient de compressibilité isentropique du fluide χ et le coefficient
de distensibilité du tube D = 1 ∂S
∂P1
S ∂P
, obtenir une équation reliant
∂t
et ∂u
∂x .
3. En déduire l’équation de propagation pour les ondes dans ce tube et montrer que leur célérité est
donnée par :
1
c 2 = ρ 0(χ + D)
4. La masse volumique du sang ainsi que sa compressibilité sont semblables à celles de l’eau. La célérité
du son dans l’eau vaut c eau = 1400 m.s −1 . Déterminer la célérité des ondes dans un tube métallique dont la
distensibilité vaut D m = 10 −11 P a −1 et dans un vaisseau sanguin où la distensibilité vaut D v = 4∗10 −5 P a −1 .
Comparer les valeurs obtenues.
5. On place en x = 0 une pompe imposant un débit massique Q m (t) à l’origine. On suppose que cet
écoulement est tel que les vitesses et surpressions sont petites.
a) En supposant qu’aucune onde ne provient de l’infini, déterminer l’expression de la vitesse u(x, t) et de la
surpression P 1 (x, t) du fluide sur le demi-axe Oz positif à l’aide de la fonction Q m .
b) Le débit volumique moyen imposé par le cœur est Q = 4, 5 L.min −1 . Quel est l’ordre de grandeur de la
surpression nécessaire pour assurer ce débit ? Comparer avec le cas d’un tube rigide. Commenter.
c) Avec l’âge, la distensibilité des vaisseaux diminue (artériosclérose). Quels effets de ce phénomène prévoyezvous
sur l’organisme ? Un moyen de traitement est d’insérer un ballon (très allongé) rempli de gaz dans l’aorte,
ne l’obturant qu’en partie ; justifier qualitativement ce procédé.
6. Que peut-on penser des approximations faites lors de la linéarisation pour les valeurs données dans
cette partie ? Évaluer en particulier l’amplitude relative des oscillations de rayon de l’aorte.
6