Minéralogie, porosité et diffusion des solutés dans l'argilite du ...

230 ANNEXES
L’expérience d’in-diffusion analysée par microLIBS fournie la carte de la distribution
spatiale en traceur. Pour pouvoir inverser les paramètres de diffusion locaux (D et Φ),
l’algorithme TDD ne peut être utilisé directement, car celui-ci est basé sur l’inversion de
données temporelles (c. à d. courbe de restitution). Pour pouvoir inverser une carte de
concentrations en traceur, la fonction objective FO doit tout d’abord être définie par rapport
aux concentrations spatiales expérimentales C(x,y)exp et simulées C(x,y)sim pour chaque point
de la carte. Les paramètres locaux seront identifiés lorsque les erreurs entre concentrations
spatiales expérimentales et simulées seront minimisées. Le terme erreur ∂εα/∂t de la matrice
Jacobienne (α est le nombre de points expérimentaux compris entre 0 et L la taille de la carte)
peut être estimé à partir des concentrations simulées C(x,y)sim à deux temps proches de la
durée de l’expérience T de façon à convertir les données spatiales en temps:
ε ( C(
x,
y)
exp ) T − ( C(
x,
y)
sim ) T ( C(
x,
y)
exp ) T − ( C(
x,
y)
≈
−
∂t
T
T + dT
∂ sim T + dT
Les termes ∂t / ∂dβ sont ensuite calculés à partir des équations 2 et 3.
Pour valider cette nouvelle approche, nous avons réalisé un calcul direct d’une « expérience »
d’in-diffusion à partir d’une carte synthétique composée de 2 domaines poreux (Annexe 5.1a)
où les porosités et coefficients de diffusions on été imposés dans chaque sous domaine
(domaine 1 : Φ1 =20 % et D1=5×10 -10 m²/s et domaine 2 : Φ2 =5 % et D2=1×10 -10 m²/s). Ce
calcul direct est défini comme l’expérience de diffusion à inverser. Les conditions limites
utilisées sont celles définies au chapitre 3 (injection des particules par tirage d’un nombre
aléatoire). A partir de la distribution finale des particules (la carte de concentrations) (Annexe
5.1b) et des porosités imposées dans chaque sous domaine, les coefficients de diffusion
locaux ont été recherchés par inversion. Pour cet exemple, les valeurs des coefficients de
diffusion pour le premier calcul direct + inversion sont prises éloignées de celles utilisées
pour « l’expérience ». La figure annexe 5.2 montre l’évolution des coefficients de diffusion
des deux sous domaines et de la fonction objective à chaque itération (calcul direct +
inversion). La fonction objective atteint son minimum lorsque les deux coefficients de
diffusion ont été retrouvés. Pour cet exemple, 10 itérations ont été nécessaires pour identifier
les deux coefficients de diffusion. Nous avons réalisées ce même type d’approche pour
diverses géométries de cartes composées de 2 et 3 domaines poreux, les coefficients de
diffusion locaux ont tous été retrouvés avec succès.
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