Minéralogie, porosité et diffusion des solutés dans l'argilite du ...

228 ANNEXES
A��EXE 5
PROCEDURE D’I�VERSIO� DE LA METHODE TIME DOMAI�
DIFFUSIO�
Dans l’objectif d’interpréter les expériences d’in-diffusion analysées par microLIBS, la
méthode Time Domain Diffusion a donné lieu à des nouvelles implémentations. La finalité de
celle-ci n’a pu cependant aboutir à cause des difficultés à reproduire une forte décroissance de
traceur dans le réservoir en contact avec l’échantillon (phénomène de rétention>phénomène
de diffusion) (cf. Chapitre 5).
1. La procédure d’inversion par Time Domain Diffusion (TDD)
Pour interpréter une expérience d’out-diffusion, Delay and Porel (2003) ont couplé la
méthode TDD avec une procédure d’inversion pour identifier les paramètres de diffusion
spécifiques à plusieurs zones poreuses. La méthode d’inversion est basée sur la minimisation
de la fonction objective (FO, cf. Chapitre 5) définie par entre les concentrations
expérimentales C(t)exp et simulées C(t)sim d’une courbe de restitution en traceur. La procédure
de minimisation utilise un algorithme de résolution Gauss-Newton où les termes de la matrice
Jacobienne J sont dérivés analytiquement. La matrice Jacobienne J est définie par les dérivées
partielles des erreurs ελ (λ : 1..p) entre C(t)exp λ et C(t)sim λ par rapport aux paramètres dβ (β :
1..n) (en contexte diffusif : les porosités et coefficients de diffusion), J=∂ελ/∂dβ. L’originalité
de l’inversion TDD est de proposer une résolution analytique de ces dérivés (par opposition
aux méthodes dites de perturbation). La matrice J peut être réécrite en deux dérivés partielles :
∂ελ/∂dβ = ∂ελ/∂t × ∂t/∂dβ. Dans le cas d’une expérience d’out-diffusion, ∂εα/∂t est approximée
par une différence finie :
∂ε
λ
∂t
ε λ − ε
≈
t − t
λ
λ+
1
λ+
1
( C ( t
=
λ
)
exp
− C ( t
λ
)
sim
) − ( C ( t
t
λ
− t
λ+
1
λ+
1
)
exp
− C(
t)
sim λ+
1
En TDD, le temps de parcours t d’une particule est la somme des temps de transition
successifs d’un pixel i vers un pixel voisins k (k∈j voisin de i) ti→k, t=∑ti→k. La dérivé ∂t/∂dβ
)
[1]