Minéralogie, porosité et diffusion des solutés dans l'argilite du ...

195 CHAPITRE 5
⎡ D ⎤ ⎛ ⎞
eα
D
⎥ × ⎜ eαt
C = ⎢
⎟
r ( t)
C0
exp t erfc
2
⎢ ⎥
⎜ ⎟ [5.14]
⎣ H f ⎦ ⎝
H f ⎠
Avec Cr(t) la concentration en traceur dans le réservoir source. La forme de cette équation
montre que la décroissance en traceur dépend uniquement du couple De×α.
3.2.2 Sensibilité des paramètres De et α
L’expression mathématique du rapport M(x,t) / M(0,t) (eq. 5.13) montre une
indépendance des paramètres De et α contrairement à l’expression de la décroissance dans le
réservoir (eq. 5.14). Cependant cette expression semble indiquer une dépendance forte des
paramètres De et α. Pour savoir si l’on pourra identifier séparément De et α, nous avons
réalisé une étude de la sensibilité des paramètres De et α (eq. 5.13) a partir d’un critère de
moindres carré. Ce critère est défini par la fonction FO:
FO
∑
= L
( M ( x,
t)
− M ( x,
t)
)
1
M
1
2
( x,
t)
2
[5.14]
avec M1(x,t) / M(0,t) et M2(x,t) / M(0,t) calculées respectivement pour les paramètres De1, α1
et De2 α2. Cette fonction est définie comme la fonction objective (c. à d. la fonction à
minimiser) pour la résolution des problèmes inverses (Sun, 1994). La sensibilité des
paramètres est définie par la dérivée de FO vis-à-vis des paramètres variables. Pour illustrer
cette approche et estimer la sensibilité des paramètres De et α, FO a été calculée pour De1 =
5×10 -10 m²/s et α1 = 100000 et diverses valeurs de De2 et α2. Sa représentation 2D montre
qu’une unique solution satisfait FO = 0, cependant une solution acceptable (FO≈0) est
obtenue lorsque De1/α1 = De2/α2 ou De1/α1 = Da1 (Fig. 5.30). L’équation 5.13 montre ainsi une
dépendance fortes des paramètres De et α, mais il reste possible de séparer De et α. A présent
il convient de savoir dans quelle mesure cette séparation sera effective.
D’un point de vue général, l’ajustement d’un profil expérimental par une solution
analytique consiste à minimiser la fonction FO (Sun, 1994). Une large variété d’algorithmes
de minimisation existe dans la littérature selon la complexité du problème. A partir d’une
minimisation par un algorithme de type Gauss-Newton (sous Excel®), la solution exacte (De
= 5×10 -10 m²/s et α = 100000) est trouvée seulement si chaque valeur du profil présente une