Projet expérimental sur la mise en évidence de l'effet Zeeman

Compte-rendu du projet expérimental n ◦ 1
L'eet Zeeman normal
Auteurs : Arnaud Raoux et Jean-François Rupprecht
Responsable : Christian Hagendorf (Laboratoire de physique théorique)
Objectif : Mettre en évidence l'eet Zeeman normal dans une lampe à Cadmium en y appliquant un fort champ
magnétique, et mesurer quantitativement ses eets, c'est à dire quantier la levée de dégénérescence.
1

Table des matières
1 Protocole expérimental 3
1.1 Dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 L'interféromètre de Fabry et Pérot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Réglage de l'interféromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Calibrage du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Interprétation théorique de l'eet Zeeman 7
2.1 Description classique de l'atome d'hydrogène [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Sans champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Avec champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Description quantique de l'atome d'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 L'atome d'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Eet Zeeman dans l'atome d'hydrogène [1,2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Eet Zeeman pour l'atome de cadmium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Niveaux d'énergie du cadmium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Ordre de grandeur du décalage en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Eet Zeeman anormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Optimisation de la résolution du Fabry-Pérot 10
3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Eet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Eet des collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Combinaison des deux eets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Largeur naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Caractérisation expérimentale de l'eet Zeeman 15
4.1 Multiplication des raies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Mesure de e/m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Eclairement en fonction de l'intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Intensité relative des pics secondaires aux pics principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Annexe 21
5.1 Photomultiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Sonde à eet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 Etude de l'interféromètre de Fabry et Pérot [4,5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.1 Calcul de l'éclairement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.2 Intervalle spectral libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3.3 Largeur à mi-hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Bibliographie 24
2

Introduction
Déjà Faraday, alors qu'il ne connaissait pas l'existence de l'atome, avait compris l'inuence des champs magnétiques
sur les sources de lumière. Zeeman, en 1896 découvrit expérimentalement un phénomène, dit de "levée de dégénerescence"
des niveaux d'énergie qui permit de valider la théorie électromagnétique de la lumière. Ce projet expérimental
a pour but de mettre en évidence l'eet découvert par Zeeman. On utilise dans ce but une lampe à cadmium qui va
éclairer un interféromètre (ici de Fabry et Pérot). Lorsqu'on applique un champ magnétique intense au niveau de cette
lampe, on observe une démultiplication des anneaux de Newton en trois composantes (eet Zeeman normal). Nous
allons expliquer ce phénomène, puis le décrire quantitativement, et en déduire une approximation du rapport e/m e .
1 Protocole expérimental
1.1 Dispositif
Décrivons brièvement le matériel dont on dispose pour réaliser cette expérience. Les dispositifs tels que la sonde
photomultiplicatrice ou l'interféromètre seront décrits plus précisément dans l'annexe de ce document.
Source de lumière : On utilise une lampe à cadmium. Cette lampe chauant au cours du temps, on utilise un
ventilateur pour la refroidir. On vera pourquoi la température est un ennemi dans cette manipulation.
Champ magnétique : An de créer le champ magnétique nécessaire, on utilise deux solénoïdes qui sont alimentés
par deux alimentations stabilisées. An d'étalonner ce champ magnétique en fonction de l'intensité traversant
les bobines, on utilise une sonde à eet Hall.
Dispositif interférentiel : Le dispositif interférentiel est composé d'un interféromètre de Fabry et Pérot, de deux
lentilles convergentes an de se placer en diraction de Fraunhöfer, d'un collimateur, d'un diuseur, d'un diaphragme,
et d'un ltre rouge.
Mesures : An de récupérer l'intensité transmise par l'interféromètre, on utilise un photomultiplicateur relié à
un amplicateur et à un oscilloscope, et pour mesurer le rayon des anneaux, on utilise une loupe graduée.
La gure 1 montre le dispositif sur le banc d'optique.
Fig. 1 Photo du montage interférentiel
3

1.2 L'interféromètre de Fabry et Pérot
L'interféromètre de Fabry et Pérot est formé de deux miroirs dont les faces sont traitées de façon à obtenir des
coecients de réexion et de transmission adaptées à l'utilisation en transmission ou en réexion. Ici, on utilise le
Fabry-Pérot par transmission. On se référera à l'annexe pour une étude plus appronfondie du Fabry-Pérot.
Fig. 2 Schéma de l'interféromètre de Fabry et Pérot utilisé en transmission
1.3 Réglage de l'interféromètre
On place successivement la lampe, le colimateur (C), le diaphragme dans le plan focal image de C, la première
lentille (L1), l'interféromètre, la seconde lentille (L2), et la loupe dans le foyer image de L2. (cf : Fig.3)
Fig. 3 Photographie du montage
Le montage étant installé, il s'agit de régler l'interféromètre pour obtenir des interférences. Pour cela, il faut ajuster
l'alignement des dispositifs sur l'axe optique, le parallèlisme des mirroirs. Ce dernier réglage se fait en deux temps :
D'abord, en regardant la lumière transmise, on élimine les images parasites d'anneaux en faisant varier les vis de
réglage grossier. Puis, en bougeant la tête horizontalement, et obliquement, on fait en sorte de ne pas voir d'anneaux
apparaître ou disparaître au centre en jouant sur les vis de réglage n. On obtient alors les gures d'interférences
présentées sur la gure 4.
1.4 Calibrage
L'interféromètre possède un moyen de mesurer, et de faire varier la distance inter-miroirs. Cette échelle ne donne
pas exactement la distance, mais en est une fonction ane. L'idée du calibrage est d'utiliser une méthode permettant
de relier cette graduation (que l'on notera X) à la distance réelle, notée e. La relation étant ane, il sut de faire une
régression linéaire à partir de plusieurs valeurs de X associées à des valeurs de e.
Méthode
4

Fig. 4 Anneaux d'interférences sans ltre, et avec ltre rouge
Par exemple, plaçons-nous à X = 10, 0 mm. Nous allons utiliser les interférences observées pour mesurer e. On
connait déjà la diérence de marche entre deux rayons : δ = 2e cos i, avec i l'angle d'incidence du rayon entrant dans
l'interféromètre. On remarque que le rayon sortant fait toujours un angle i avec la normale à l'interféromètre. On place
une lentille convergente de distance focale f à la sortie du Fabry-Pérot, et une loupe graduée dans le foyer image. La
loupe permet de mesurer l'abscisse x d'un anneau dans l'axe perpendiculaire à l'axe optique. On peut sans diculté
relier f, i et x. En eet, par un argument de trigonométrie, on a x = f tan i. Ainsi, si le rayon observé est d'ordre p,
et en se plaçant près de l'axe optique (tan i = sin i = i), on a
( )
pλ = δ = 2e cos i = 2e 1 − i2 = 2e
2
(
1 − x2 p
2f 2 )
Ainsi, si on considère un rayon d'ordre p quelconque (mais dont l'abscisse est mesurable précisément à la loupe), et le
rayon d'ordre p + n avec n ∈ Z, on a
( ) ( )
(p + n)λ − pλ = 2e 1 − x2 p+n
2f 2 − 2e 1 − x2 p
2f 2
c'est-à-dire
nλ = e x2 p − x 2 p+n
f 2
Bien sûr, pour avoir une mesure du rayon, il faut avoir une mesure de la position du centre des anneaux. Pour cela,
on peut mesurer l'abscisse à gauche et à droite du premier anneau visible, et prendre le milieu. Cette technique est
assez approximative, mais ce n'est pas cette valeur qui va le plus jouer sur l'incertitude de la mesure.
Il ne reste plus qu'à prendre plusieurs valeurs de n, et faire une régression linéaire pour obtenir le coecient
directeur de la droite x 2 p − x 2 p+n = f(n).
L'interpolation de la gure 5 nous donne le coecient directeur de la droite f 2 λ/e et nous donne accès à e. On
répète cette méthode pour obtenir plusieurs valeurs de e pour des X diérents, et on interpole une nouvelle fois pour
obtenir la relation linéaire désirée (cf Fig. 6).
Au nal, on obtient la relation
X = −0, 01e + 0, 440 (cm)
On prendra garde au fait que le coecient directeur est négatif : augmenter dans les X diminue la distance inter-miroirs
e.
1.5 Calibrage du champ magnétique
On cherche maintenant à étalonner le champ magnétique, c'est-à-dire à décrire la variation du champ magnétique
en fonction de l'intensité du courant qui traverse les bobines. Pour ce faire, on place une sonde à eet Hall à la place
de la lampe et on mesure le champ pour diérentes valeurs de l'intensité. Les résultats sont donnés sur la gure 7.
Sur le graphique de la gure [ ? ? ?], on observe deux zones distinctes : Une zone, pour les intensités modérées dans
laquelle le champ réagi de façon linéaire (I < 7A), et une zone, qui concerne les intensités plus élevées, où la réponse
5

Fig. 5 Graphe de x 2 p − x 2 p+n en fonction de n, permettant la mesure de e à une valeur de X donnée
Fig. 6 Courbe donnant la valeur de X en fonction de e
Fig. 7 Intensité du champ magnétique en fonction de l'intensité du courant qui traverse les bobines
6

cesse d'être linéaire. On ne s'intéressera pour cette raison qu'aux intensités peu élevées (I < 6A), sauf peut-être pour
des résultats qualitatifs, ou des schémas plus précis à fort champ magnétique.
Forts de ces deux calibrages, nous allons maintenant pouvoir passer aux mesures de l'eet Zeeman, et en déduire
plusieurs résultats tels que la répartition des électrons dans les diérents niveaux d'énergie, ou le rapport e/m e . Mais
avant de donner les résultats expérimentaux, expliquons comment la mécanique quantique prévoit ce phénomène.
2 Interprétation théorique de l'eet Zeeman
On étudiera d'abord l'eet Zeeman pour l'atome d'hydrogène, puis on s'y ramenera an d'expliquer les promiétés
du cadmium observées.
2.1 Description classique de l'atome d'hydrogène [3]
On sait que les électrons, quelque soit l'approche choisie, émettent des vibrations lumineuses. En mécanique classique
où l'électron tourne autour du noyau comme la Terre autour du Soleil, on admet que la fréquence de révolution
est exactement la fréquence des ondes lumineuses émises ou absorbées. Calculons alors ces fréquences de révolution,
en présence ou non d'un champ magnétique.
2.1.1 Sans champ magnétique
Fig. 8 Modélisation classique du mouvement de l'électron
On modélise l'attraction coulombienne du proton avec l'électron par la force exercée par un ressort de raideur k et
de longueur à vide nulle. Comme m e /m p ∼ 10 −3 , on peut supposer que la masse réduite est approximativement celle
du proton, et que celui-ci est immobile. L'équation de Newton nous donne donc
d 2−−→ OM
m p
dt 2
= −k −−→ OM
Donc on trouve, sur chaque composante x, y, et z l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre
ω 2 0 =
k m p
L'électron possède une unique fréquence, et il n'émet et n'absorbe qu'une longueur d'onde, de pulsation associée ω 0 .
2.1.2 Avec champ magnétique
Lorsqu'on rajoute un champ magnétique −→ B = B⃗u z uniforme et stationnaire au système précédent, l'équation de
Newton devient
d 2−−→ OM
m p
dt 2 = −k −−→ OM − e⃗v ∧ −→ B
On obtient alors les équations
⎧
ẍ = − k x − eBẏ
m ⎪⎨
p
ÿ = − k y + eBẋ
m p
⎪⎩
¨z = − k m p
z
7

Sur l'axe Oz, on a un oscillateur harmonique de pulsation ω 0 comme précédemment. Pour résoudre les deux premières
équations couplées, on pose ζ = x + iy. On obtient alors une équation diérentielle en ζ du second ordre.
¨ζ + 2iω ˙ζ + ω 2 0ζ = 0 avec ω = eB
2m
On obtient donc des oscillateurs harmoniques non-amortis, avec des pulsations ω 1 et ω 2 dénies par
√
ω 1,2 = ω0 2 + ω2 ± ω
La présence du champ magnétique apporte donc deux nouvelles pulsations pour l'électron qui correspondent à son
mouvement selon les axes Ox et Oy. Ainsi l'électron absorbe et émet deux nouvelles fréquences : les mouvements selon
les diérents axes ne sont plus équivalents. C'est en quelque sorte un phénomène de "levée d'équivalence". Décrivons
maintenant cet eet à l'aide de la mécanique quantique.
2.2 Description quantique de l'atome d'hydrogène
2.2.1 L'atome d'hydrogène
On se contente ici de rappeler que la résolution de l'équation de Schrödinger pour un électron autour d'un proton
nous donne des états dépendant de quatre nombres quantiques (n, l, m, s) respectivement le nombre quantique
principal, le nombre quantique magnétique, et le nombre quantique de spin. Oublions pour simplier la présence du
spin.
L'hamiltonien de l'électron dans le potentiel V (⃗r) du proton s'écrit
−→ P
2
H 0 = + V ( −→ R)
2m e
et on a une base de vecteurs propres communs à H 0 , L 2 et L z notée (|ψ n,l,m 〉), telle que
Alors, on a
L 2 |ψ n,l,m 〉 = 2 l(l + 1)|ψ n,l,m 〉 et L z |ψ n,l,m 〉 = m|ψ n,l,m 〉
H 0 |ψ n,l,m 〉 = E n |ψ n,l,m 〉
Les énergies E n ne dépendent que du nombre quantique principal n. On voit donc que l'on a des énergies dégénérées :
à E n correspond plusieurs états quantiques (m, l, et s peuvent varier librement).
2.2.2 Eet Zeeman dans l'atome d'hydrogène [1,2]
1. Levée de dégénérescence
Plaçons maintenant l'atome d'hydrogène dans un champ magnétique uniforme. Alors le hamiltonien de l'électron
change de forme car l'impulsion généralisée ne coïncide plus avec m⃗v, mais ⃗p = m⃗v − e ⃗ A, d'où
H = (−→ P + e −→ A(R)) 2
2m e
+ V ( −→ R)
Un potentiel vecteur d'un champ magnétique uniforme est :
−→ A (⃗r) =
−→ B × ⃗r
2
Et on peut écrire l'hamiltonien de l'électron sous la forme H = H 0 + H 1 + H 2 , avec
−→ P
2
H 0 = + V ( −→ R)
m e
H 1 = − µ −→ −→
B L . B
(
H 2 = e2−→ B 2 −→ R 2 − (−→ R . −→ )
B ) 2
8m
−→
e B
2
8

où −→ L le moment cinétique de l'électron et µ B le magnéton de Bohr, déni par :
µ B = e
2m e
Par un raisonnement d'ordre de grandeur, on montre que dans un champ magnétique supérieur à quelques mT :
H 0 >> H 1 >> H 2
Le terme H 2 est négligeable devant les deux autres pour l'expérience considérée, et on écrit dans la suite H sous
la forme suivante :
H = H 0 − µ B
L z B
Cet hamiltonien, tout comme H 0 , commute ave L z et L 2 . Ces trois opérateurs sont codiagonalisables, avec une
base de vecteurs propres (|ψ n,l,m 〉) comme dans le paragraphe précédent. Mais on a maitenant
H|ψ n,l,m 〉 = (E n − µ B Bm)|ψ n,l,m 〉
Les valeurs propres de H ont donc changées, et on voit qu'à n xé, diérentes valeurs de m donnent des énergies
diérentes. On peut donc expérimentalement distiguer les états quantiques où seulement m varie. Ceci correspond
donc bien à une levée de dégénérescence. Cette levée de dégénérescence reste cependant partielle, car à n et m
xés, tant que m < l, plusieurs valeurs de l donnent la même énergie.
2. Polarisation de la lumière émise
Soit l'opérateur dipôle électrique −→ D = q −→ R, on retrouve les résultats prévus par le modèle classique de Lorentz
pour la polarisation du rayonnement. Utilisons-le pour l'atome d'hydrogène :
Considérons un système dans une superposition des états 1s et 2p à l'état intial :
|φ〉 = cosα|ψ 1,0,0 〉 + sin α|ψ 2,1,m 〉
On peut montrer qu'à un instant ultérieur t, le vecteur d'onde devient
|φ〉(t) = cos α|ψ 1,0,0 〉 + e (−iΩ+mω L)t sin α|ψ 2,1,m 〉
où ω L = µ B B/, et E = Ω.
Le rayonnement à m = 0 est noté π. Un calcul montre que pour cet état, < D x >=< D y >= 0. La polarisation
est donc rectiligne suivant la direction du champ magnétique, et le rayonnement est à la même pulsation Ω.
Le rayonnement à m = ±1 est noté σ ± . Un calcul montre que : < D z >= 0. Pour une observation dans la
direction du champ magnétique, le rayonnement est polarisé circulairement, et il est à la pulsation Ω ± ω L .
2.3 Eet Zeeman pour l'atome de cadmium
2.3.1 Niveaux d'énergie du cadmium
On considère la longueur d'onde λ = 643, 8nm que l'on utilisera par la suite dans les mainpulations. Pour noter
l'état d'énergie d'un atome dans une conguration électronique donnée, on utilisera la notation suivante :
2S+1 L J
où
L est le nombre quantique orbital total des électrons de l'atome, dont les valeurs sont notées S, P, D, F . . .
S est le nombre quantique total de spin des électrons de l'atome (La quantité 2S+1 représente la multiplicité de
l'état du fait de l'existence du spin des électrons de l'atome.)
J = S + L le nombre quantique du moment cinétique total de l'atome.
On dénit enn la quantité m J tel que m J est valeur propre de L z , elle peut prendre toutes les valeurs entières entre
−J et J.
Les transitions électroniques ne peuvent avoir lieu qu'entre niveaux d'énergie vériant les règles de sélection suivantes
:
⎧
⎨ ∆L = ±1
Règles de sélection : ∆J = 0, ±1
⎩
∆m J = 0, ±1
Ces règles sont récapitulées sur le schéma de la gure 9.
9

Fig. 9 Transitions pour l'atome de Cadmium. Chaque couleur correspond à un ∆m J diérent, et donc une pulsation
diérente : ω 0 − ∆ω, ω 0 , et ω 0 + ∆ω. Les èches de même couleur sont d'énergie identiques.
2.3.2 Ordre de grandeur du décalage en fréquence
Dans les transitions considérées, on connait le décalage en fréquence, et donc aussi celui en longueur d'onde
δω π→σ = ω L = eB
2m e
δλ π→σ = λ2 eB
4πcm e
Faisons l'application numérique pour B = 1T et λ = 643nm :
2.3.3 Eet Zeeman anormal
δω π→σ = 8, 80.10 10 s −1 et δλ π→σ = 1, 93.10 −11 m
Pour la longueur d'onde λ = 467, 8nm, les états du cadmium 1 D 2 et 1 P 1 sont tels que S = 0. Or le nombre
quantique total de spin S d'un atome modie l'énergie potentielle magnétique du système. Le champ magnétique
introduit un écart d'énergie suivant les valeurs de S et de L :
Avec
g L,S = 3 2
∆E = eB
2m e
g L,S m J
+
S(S + 1) − L(L + 1)
2(L + S)(L + S + 1)
On remarque que si S = 0, ∆E = em J /2m e (cas de 1 D 2 → 1 P 1 ). C'est pour éviter cet eet que l'on travaille à
λ = 467, 8nm.
3 Optimisation de la résolution du Fabry-Pérot
3.1 Position du problème
On remarque qu'en l'abscence de champ magnétique, le signal de sortie n'est pas une distribution de Dirac, comme
on pourrait l'attendre d'une raie exactement à λ = 643, 8nm. Une première interprétation serait de mettre en cause
la nesse de l'interféromètre. En eet, la nesse n'étant pas innie, si le signal d'entrée est une distribution de Dirac,
10

le signal de sortie sera déformé, et ressemblera à une gaussienne. Cependant, nous allons montrer que ce problème de
nesse n'est pas le seul responsable.
À λ = 643, 8nm et e = 0, 438cm, on obtient le spectre de la gure 10.
Fig. 10 Signal reçu par le photomultiplicateur, et interpolation de quatre pics par une fonction d'Airy avec e =
0, 438cm
On souhaite mesurer le rapport δλ 1/2 /∆λ. Les mesures à l'aide du pointeur sur l'oscilloscope sont peu précises,
l'incertitude de la largeur à mi-hauteur est de l'ordre de 0,2 unités. Pour obtenir un résultat plus précis, on procède
par interpolation du signal reçu par des gaussiennes. On remarque que l'écart type σ est relié à δλ 1/2 par la relation :
Ainsi, on a une évaluation précise de δλ 1/2 :
1
2 = exp(−(δλ 1/2/2) 2
2σ 2 )
δλ 1/2 = 2 √ 2 ln(2)σ ≈ 2, 35σ
Origin nous donne la mi-hauteur des gaussiennes qui approximent la courbe : δλ 1/2 = 1, 04 ± 0, 01. On a de plus
∆λ = 4, 85 ± 0, 01. On en déduit donc la relation
δλ 1/2
∆λ
= 0, 214 ± 0, 01
On constate que δλ 1/2 /∆λ >> 0, 021. Les pics sont plus larges que ceux prévus par l'étude d'une fonction d'Airy de
nesse F = 200 (cf partie 5).
On en déduit donc que c'est la source qui n'est pas strictement monochromatique. Le cadmium n'émet pas exactement
à la longueur d'onde λ = 643nm, mais autour de λ. La largeur d'une raie diminue la résolution du Fabry-
Pérot, ce qui explique la courbe obtenue. Il s'agit maintenant de comprendre les phénomènes responsables cette
non-monochromaticité de la source, et d'en déduire des moyens de réduire cette largeur an d'augmenter la précision
des résultats.
3.2 Eet Doppler
1. Calcul de l'eet Doppler
11

La source lumineuse que l'on utilise est à température ambiante. La physique statistique assure alors que tous les
atomes ne circulent pas à la même vitesse, mais que la distrubtion des vitesses est celle de Maxwell-Boltzmann,
et cela selon toutes les directions, en particulier dans la direction de l'axe optique, d'où l'apparition d'un eet
Doppler. L'échelle caractéristique de la lampe étant le centimètre et l'observation se faisant à près d'un mètre,
on peut supposer que les atomes sont assez loin, ce qui justiera le calcul suivant. Précisons quantitativement ce
résultat :
On peut montrer que si la source se déplace selon une vitesse v par rapport à l'observateur (cf Fig. 11), et à une
grande distance, alors la longueur d'onde perçut est donnée par la formule
λ(θ, v) =
λ 0
1 − v sin θ
c
Fig. 11 Eet Doppler dû au mouvement d'une source par rapport à l'observateur.
L'incertitude relative en longueur d'onde est donc
Ou encore
λ(v ⊥ ) =
λ 0
1 − v ⊥ /c
λ − λ 0
λ 0
= v sin θ
c
et
λ − λ 0
λ 0
2. Distribution des vitesses
La probabilité d'avoir une particule à la vitesse v ⊥ à dv ⊥ près est donnée par la distribution de Maxwell :
( )
dP (v ⊥ , θ) = A exp − mv2 ⊥
dv ⊥
2k B T
Vu la formule obtenue précédemment, on en déduit la probabilité que l'observateur reçoive un signal à la longueur
d'onde λ à dλ près :
( mc 2 (λ − λ 0 ) 2 )
dP (λ) = B exp
2λ 2 0 k dλ = f(λ)dλ
BT
avec B une constante de normalisation.
3. Conclusion : Le spectre d'émission de la lampe est donc une gaussienne centrée sur λ 0 et d'écart type :
σ 2 = λ2 0k B T
mc 2
= v ⊥
c
12

4. Application numérique : Plaçons-nous à T = 2000K, λ 0 = 643, 8nm, e = 0, 44cm. On obtient
( ) σ
= 1, 21.10 −7
λ 0
Dop
Comparons maintenant le résultat obtenu théoriquement en prenant l'eet Doppler au résultat expérimental :
( )
δλ1/2
= 0, 039

Fig. 12 Graphe d'une gaussienne, d'une lorentzienne, et de leur convolée : une fonction de Voigt normalisée.
Fig. 13 Interpolation d'un spectre à e = 0, 438cm par une fonction de Voigt
14

Fig. 14 Interpolation d'un spectre à e = 0, 438cm par une pseudo fonction de Voigt
la lampe, et ils n'emettent pas pendant un temps inni, donc la quatrième relation d'indétermination d'Heisenberg
(qui est une relation de transformée de Fourier)
∆E∆t ≥
assure que l'énergie ne peut pas être bien dénie, et comme E = hν, la fréquence non plus. On peut montrer que cette
largeur spectrale dite naturelle admet une distribution lorentzienne. Dans les conditions normales de température et
de pression, cette largeur spectrale naturelle est négligeable devant la largeur spectrale due aux deux autres eets.
On tire de cette étude deux conditions expérimentales favorables à une petite largeur de raie :
Il faut d'abord ventiler la source lumineuse pour éviter que la lampe ne s'échaue trop, et que l'eet Doppler ne
soit trop prononcé.
Il faut de plus, pour limiter l'eet des collisions, travailler avec des lampes à basses pression.
4 Caractérisation expérimentale de l'eet Zeeman
Disposition :
On positionne maintenant à la place de la loupe utilisée précédemment, un photomultiplicateur relié à un amplicateur
et un oscilloscope. En faisant varier la distance inter-miroirs par l'intermédiaire d'un moteur placé sur
le Fabry-Pérot, nous allons recueillir grâce à l'oscilloscope, le délement des anneaux, et en présence d'un champ
magnétique, l'apparition de nouveaux anneaux caractérisant la levée de dégénérescence.
Rappel des résultats sans champ magnétique :
En l'abscence de champ magnétique, en faisant déler les anneaux, l'oscilloscope nous fournit le graphe déjà présenté
au paragraphe 3.1. On peut, à l'aide d'Origin, approximer cette courbe par une série de gaussiennes (même si l'étude
précédente à montrer que les courbes devaient plutôt être des fonctions de Voigt) (cf Fig. 14). Expérimentalement, on
remarque que placer un polariseur en travers du chemin ne change pas le signal de sortie. On en déduit qu'il n'est pas
polarisé.
15

4.1 Multiplication des raies
On place maintenant un champ magnétique intense au niveau de la lampe, et on observe les conséquences. Grâce
à la loupe, on arrive à observer la levée de dégénérescence (cf Fig. 15).
Fig. 15 Photographies respectivement avec et sans ltre rouge de la conséquence de la présence du champ magnétique
: Démultiplication des anneaux en trois (eet Zeeman normal)
Si on fait maitenant déler les anneaux en faisant varier e, on observe une modication de la suite de gaussiennes
précédentes. On observe que le pic qui revenait périodiquement s'est séparé en trois : le pic principal est resté, et
deux pics secondaires de chaque côté de celui-ci sont apparus. De plus, la présence d'un polariseur bien orienté coupe
complètement le signal du pic central, ce qui prouve que contrairement à l'expérience sans champ, le pic est polarisé
rectilignement. On utilise ce fait pour observer plus précisément les deux signaux secondaires (cf Fig. 16 et 17).
Fig. 16 Signal de sortie en présence d'un fort champ magnétique sans polariseur
Remarque : La théorie (cf 2.2.2) prévoit que la lumière des pics secondaires soit polarisée circulairement dans le
sens du champ magnétique. Ici, les lignes de champ magnétique étant perpendiculaires à l'axe optique, cette lumière
16

Fig. 17 Signal de sortie en présence d'un fort champ magnétique avec polariseur
devrait nous apparaître polarisée rectilignement. Et en eet, on peut tourner le polariseur de façon à n'obtenir que le
pic central.
Aux vues de ces courbes, plusieures questions se posent :
Quelle est l'intensité relative des pics secondaires par rapport au pic principal en fonction de l'intensité du
courant ?
Peut-on calculer les fréquences des pics secondaires en fonction de l'intensité du courant ou de l'amplitude du
champ ?
Que peut-on tirer de ce calcul ?
On remarque qu'en passant d'une intensité nulle à une intensité de 10A dans les bobines, on observe une
nette augmentation de l'intensité de l'éclairement. Comment varie cet éclairemenet en fonction de l'intensité du
courant ?
Dans le reste de ce compte-rendu, nous essayrons de répondre le plus précisément possible à ces questions.
4.2 Mesure de e/m e
On cherche à donner, grâce aux résultats expérimentaux obtenus, une approximation du rapport e/m. On sait que
la diérence des temps mesurée sur l'oscilloscope entre deux raies correspond au décalage en longueur d'ondes. Plus
précisément, on a α tel que (notant e ′ l'épaisseur, pour éviter les conits de notations)
∆t π→π = α∆λ = λ2
2e ′ et ∆t π→σ = α∆λ π→σ
De plus,
∆λ π→σ = λ2 ∆ω π→σ
= λ2 eB
2πc 2πc 2m e
D'où
e
= 4πc
m e λ 2 B ∆λ π→σ = 4πc λ 2 ∆t π→σ
λ 2 B 2e ′ ∆t π→π
C'est-à-dire
e
= 2πc ∆t π→σ
m e e ′ B ∆t π→π
Reste à connaître ∆t π→σ , ∆t π→π , qui se déduisent des interpolations présentées sur les gures 18,19 et 20. On trouve
nalement
e
= (1, 8 ± 0, 1).10 +11 C.kg −1
m e
17

` À comparer à la valeur théorique : ( e
m e
)
th
= 1, 76.10 11 C.kg −1
Fig. 18 Interpolation par une somme de deux gaussiennes pour I = 5, 5A et e = 0, 438cm
4.3 Eclairement en fonction de l'intensité
Le principal du travail eectué a maintenant été exposé. Cependant, nous voulions revenir sur une question marginale,
mais légitime et intrigante : Pourquoi l'intensité de la lampe augmente-t-elle avec l'intensité du courant, et donc
le champ magnétique ?
An de quantier cet eet, nous avons relevé pour plusieurs valeurs de l'intensité du courant, l'éclairement de
la lampe. Les résultats obtenus (cf Tableau Fig. [ ? ? ?]) laissant à penser que la relation entre le signal et l'intensité
étaient logarithmique, nous avons tracer la courbe U en fonction de ln I. De plus, on se rappelle que lors du calibrage
du champ magnétique, nous avions mis en évidence que si l'intensité était trop élevée, la relation entre le champ et
l'intensité n'était plus linéaire. Ainsi, enlevons le dernier point. On obtient un résultat (cf Fig. [ ? ? ?]) très satisfaisant.
Bien que l'on trouve une relation logarithmique entre l'éclairement de la lampe, et l'intensité du champ magnétique,
l'interprétation physique n'en est pas plus évidente. Une possibilité serait la suivante : La lampe à Cadmium étant une
lampe à décharge, elle utilise les collisions en chaîne entre électrons. La présence du champ magnétique rallongerait le
parcours d'un électron, lui permettant plus de chocs, et ainsi augmentant l'intensité lumineuse de la lampe. An de
vérier cela, il faudrait voir si une autre cause permettant d'augmenter le nombre de collisions, comme par exemple
une augmentation de la tension appliquée aux bornes de la lampe, provoquerait le même eet.
4.4 Intensité relative des pics secondaires aux pics principaux
On s'intéresse enn à une dernière question : Comment varie le rapport d'intensité entre le pic principal et les pics
secondaire ? Pour y répondre, nous avons calculé ce rapport pour plusieurs intensités, mesures qui sont regroupées sur
la gure 24.
Le tableau de la gure 24 met clairement en évidence que le rapport d'intensité reste constant. C'est à dire que
quelque soit l'intensité du courant (ou l'intensité de champ), si elle est non nulle, alors un pic secondaire procure 66%
de l'éclairement du pic principal.
18

Fig. 19 Interpolation par une somme de deux gaussiennes pour I = 7, 0A et e = 0, 438cm
Fig. 20 Interpolation par une somme de deux gaussiennes pour I = 8, 5A et e = 0, 438cm
19

Fig. 21 Résultats de l'éclairement de la lampe en fonction de l'intensité du courant électrique.
Fig. 22 Approximation de l'éclairement en fonction de ln I.
Fig. 23 Intensité relative des pics secondaires aux pics principaux en fonction de l'intensité du courant
20

5 Annexe
5.1 Photomultiplicateur
Décrivons plus précisément le fonctionnement du photomultiplicateur : dans le plan focal image de la lentille
derrière le Fabry-Pérot, on place une sonde à photons an de mesurer de façon quantitative les interférences obtenues.
Cette sonde transforme les photons incidents en courant, c'est à dire en électrons. Le signal d'entrée étant faible,
elle va amplier le signal en renvoyant plusieurs électrons pour un seul photon incident. Le mécanisme de cette
démultiplication est donné par le schéma de la gure 24.
Fig. 24 Schéma de fonctionnement du photomultiplicateur
Le signal ainsi obtenu reste cependant faible. Pour cette raison, on relie le capteur à un amplicateur. Celui-ci est
un montage électronique dont l'élément central est un amplicateur opérationnel (AO).
5.2 Sonde à eet Hall
Pour étalonner le champ magnétique, c'est à dire obtenir une courbe de l'amplitude du champ en fonction de
l'intensité traversant les bobines, on utilise une sonde à eet Hall. Pour comprendre la façon dont fonctionne cette
sonde, il faut revenir sur le phénomène d'eet Hall (classique).
Eet Hall : Considérons une plaque conductrice de longueur L selon Ox, d selon Oy, d'épaisseur e selon Oz
très petite devant d et L, et de surface S = Ld. Maintenant faisons parcourir un courant I connu selon l'axe Ox, et
appliquons le champ magnétique à mesurer selon l'axe Oz. (cf gure 25)
Fig. 25 Dispositif mettant en évidence l'eet Hall
Sous l'action de la force de Lorentz −→ F = −e⃗v × −→ B , les électrons font être déviés, et il va y avoir une accumulation
de charges négatives sur la face A. Ce phénomène va compenser l'action du champ magnétique, jusqu'à atteindre un
nouvel état stationnaire. Il s'est ainsi créé un champ électrique selon l'axe Oy.
21

Quantitativement, écrivons la relation de la dynamique pour un électron dans ce nouvel état stationnaire.
⃗0 = m⃗a = −e( −→ E H + ⃗v × −→ B )
On en déduit que
−→ E H = vB⃗u y = − IL e B⃗u y
Il se créé donc une diérence de potentiel entre les électrodes parallèles à l'axe Ox, et mesurer le champ magnétique
revient à mesurer une diérence de potentiel, ce que l'on fait aisément avec un voltmètre. Cette diérence de potentiel
est reliée au champ −→ B par la relation
∆V H = IS e B
5.3 Etude de l'interféromètre de Fabry et Pérot [4,5]
5.3.1 Calcul de l'éclairement
On éclaire l'interféromètre avec une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ avec un angle α, et on
cherche l'intensité de l'onde sortante.
Pour cela, on remarque que la diérence de marche entre deux rayons sortant est δ = 2e cos α. Il s'agit donc
uniquement d'additionner les amplitudes complexes de toutes les ondes sortantes. Supposons que les lames aient
toutes les deux un coecient de transmission t = √ T et un coeecient de réexion r = √ R (de telle sorte que
R + T = 1). Si l'amplitude de l'onde incidente est A 0 , elles des amplitudes des ondes sortantes A k , k ≥ 1, on a
On obtient donc, après calcul
A 1 = t 2 e iβ , β ∈ R puis A k+1 = r 2 e iϕ A k avec ϕ = 2π 2e cos α
λ
L'intensité de l'onde s'en déduit immédiatement :
a(M) = ∑ A k = A 0 e iβ 1 − R
1 − Re iϕ
k≥1
I(M) = I 0
1
1 + 4R
(1−R) 2 sin 2 ϕ 2
Cette expression de l'intensité est une fonction d'Airy de ϕ, de paramètre F = 4R/(1 − R) 2 , dont le graphe à l'allure
de ceux de la gure 1. Ce paramètre F est appelé la nesse de l'interféromètre.
Pour une lame semi-argentée, on a par exemple r = 0, 95 et donc F = 360.
L'intensité possède des pics très pointus pour certains déphasages ϕ précis, ou encore certains angles α. C'est un
gain de précision par rapport à l'interféromètre de Michelson. En eet, la prise en compte de tous les rayons sortant
améliore nettement la nesse de l'appareil. L'utilisation de cet interféromètre rend ainsi possible la distinction de
plusieurs pics de fréquence très proches les unes des autres. L'eet Zeeman se manifestant par la démultiplication des
anneaux, qui restent très proches de l'anneau initial, on comprend le choix du Fabry-Pérot pour notre expérience,
outre sa facilité de réglage.
Par souci de simplicité, on aimerait obtenir les interférences dans toutes les directions. Pour cela, il faut faire varier
α de 0 à 2π. Cela explique l'utilisation d'un diuseur avant l'interféromètre, qui va transmettre l'onde incidente dans
toutes les directions.
5.3.2 Intervalle spectral libre
On dénit l'intervalle spectral libre comme la diérence des deux longueurs d'onde correspondant à deux maxima
successifs de la fonction d'Airy. La diérence de marche pour des rayons proches de l'origine s'écrivant
2e = pλ
Donc
∆p = ∆λ.2e
λ 2
Pour ∆p = 1, on appelle ∆λ intervalle spectral libre. Il s'écrit
∆λ = λ2
2e
22

Fig. 26 Fonction d'Airy pour diérentes valeurs de la nesse
5.3.3 Largeur à mi-hauteur
Les valeurs ϕ ±1/2 du déphasage telles que I = I0 sont 2
( ) 1
ϕ ± = ±2 arcsin √
F
[2π]
Or ϕ = 2e.2π
λ
D'où
2π.2e
, donc δϕ = δλ
λ
et on dénit la largeur à mi-hauteur δλ 2 1/2 par :
δλ 1/2 = λ2
4πe (ϕ +1/2 − ϕ −1/2 )
( )
δλ 1/2 = λ2 1
eπ arcsin √
F
On a donc la relation suivante entre largeur à mi-hauteur et intervalle spectrale libre :
δλ 1/2
√
F
)
∆λ = arcsin( 1
π
Evaluation numérique :
Pour λ = 643, 8nm et e = 0, 44cm et F = 200 :
D'où
∆λ = 4, 7.10 −11 m = 0, 47A et δλ 1/2 = 1, 06.10 −12 m = 0, 01A
δλ 1/2
∆λ
= 0, 022
23

6 Bibliographie
[1] C.Cohen-Tannoudji, B.Diu, F.Laloe, Mécanique quantique I p839, Editeur des sciences et des arts
[2] M.Le Bellac, Physique quantique, EDP Sciences
[3] L.Landau, E.Lifschitz, Mécanique, Ellipses
[4] Born, Principles of Optics, Macmillan Library Reference
[5] G.Bruhat, A.Kastler, P.Bouchareine, Optique, Dunod
24